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TRIGONOMETRIA DEL
TRIANGULO RECTO
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Triángulos Rectángulos y Ángulos Agudos
Un triángulo recto es un triángulo con un ángulo de 90º y dos ángulos
agudos (menor que 90º).
Se utilizan letras griegas (alpha), (beta), (gamma), (theta), and (phi)
para nombrar ángulos, o letras mayúsculas A, B, C, etc.
Lado opuesto
Lado adyacente a
Hypotenusa
Nombramos los lados de un triángulo
conforme a su relación con los
ángulos.
La hipotenusa es el lado opuesto al
ángulo recto.
Si nombramos el ángulo de la base , uno de los lados es el lado opuesto a
y otro es el lado adyacente a .
Razones Trigonométricas
La longitud de los lados del triángulo recto se usan
para definir seis razones trigonométricas.
seno (sin)
coseno (cos)
tangente (tan)
cosecante (csc)
secante (sec)
cotangente (cot)
Lado opuesto
Lado adyacente a
Hypotenusa
Valores de las funciones trigonométricas
de un ángulo agudo
Sea un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6
funciones trigonométricas de se definen:
sin side opposite
hypotenuse
cos side adjacent to
hypotenuse
tan side opposite
side adjacent to
csc hypotenuse
side opposite
sec hypotenuse
side adjacent to
cot side adjacent to
side opposite
Ejemplo En el triángulo que se muestra, hallar los valores
de las 6 funciones trigonométricas de y .
Solución:
13
5
12
Funciones Recíprocas
Note que existe una relación recíproca entre parejas de
funciones trigonométricas.
csc 1
sin
1sec
cos
cot 1
tan
Ejemplo
Dado un triángulo recto, en el que
sin 4
5, cos
3
5, and tan
4
3,
Solución:
csc 1
sin
1
4
5
5
4
sec 1
cos
1
3
5
hallar csc , sec , y cot .
5
3
cot 1
tan
1
4
3
3
4
Valores de las funciones trigonométricas
de un ángulo agudo Sea un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6 funciones
trigonométricas de se definen:
sin side opposite
hypotenuse
cos side adjacent to
hypotenuse
tan side opposite
side adjacent to
csc hypotenuse
side opposite
sec hypotenuse
side adjacent to
cot side adjacent to
side opposite
Lado opuesto
Lado adyacente a
Hypotenusa
Ejemplo
Si sin 6
7
Solución:
5 valores trigonométricos de .
y es un ángulo agudo, determinar los
6
7
opp
hyp
Use la definición de la función del seno como una razón
y dibuje el triángulo recto.
7
a
6
Use la ecuación de Pitágora para hallar a.
a2 b2 c2
a2 62 72
a2 36 49
a2 49 36 13
a 13
Ejemplo
Use las longitudes de los 3 lados para determinar las cinco razones restantes.
sin 6
7
continuación:
cos 13
7
tan 6
13
6 13
13
csc 7
6
sec 7
13
7 13
13
cot 13
6
7
13
6
Ejemplos Hallar el valor de las 6 funciones trigonométricas para
cada ángulo utilizando la calculadora. Redondee a 4
lugares decimales:
0.5703899297
Solución:
Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado.
a) tan29.7º
a) tan29.7º 0.5704
b) sec48º
1
cos48ºb) sec48º 1.49447655
0.9948409474 0.9948
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Resolver el triángulo
Resolver el triángulo rectángulo implica determinar las
longitudes de todos los lados y las medidas de todos
los ángulos.
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Ejemplo
En el triángulo rectángulo
ABC, determinar a, b, y B si el
triángulo se ha nombrado de
forma estándar como se
muestra en el diagrama.
B
b
106.2
C A
a
61.7º
Ejemplo (cont.)
Solución:
Como la suma de los ángulos
internos de un triángulo es 180o, la
suma de A y B debe ser 90o.
Por lo tanto, las medidas de los
ángulos son:
B 90º A 90º 61.7º 28.3º
B
b
106.2
C A
a
61.7º
A 61.7º
B 28.3º
C 90º
Ejemplo (cont.)
Solución (cont.):
sin61.7º hyp
opp
a
106.2
a 106.2sin61.7º
a 93.5
B
b
106.2
C A
a
61.7º
cos61.7º adj
hyp
b
106.2
b 106.2cos61.7º
b 50.3
a 93.5
b 50.3
c 106.2
Las longitudes de los
lados son:
Aplicaciones:|
Un globo de aire se calienta y comienza a subir, mientras que el personal de tierra viaja 1.2 mi hacia una estación de observación. La observación inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el globo en ese momento.
Solución:
1.2 tan30º h 0.7 h
El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.
Aplicaciones:
Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida
tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un
ángulo de elevación de 50º? Haz un dibujo del
problema
Ejemplo
El ángulo de elevación de una rampa de 80 pies de
largo que lleva hacia un puente que está encima de
una carretera, es de 10.5o . Encontrar la altura a la
cual se encuentra el puente por encima de la
carretera.
Solución (cont)
La figura nos da
El puente se encuentra a aproximadamente 14.6 pies por encima de la carretera.
sin 10.5𝑜 =ℎ
80
(80)sin 10.5𝑜 = ℎ
14.57884204 = ℎ
ℎ ≈ 14.6 𝑓𝑡
Ejemplo
Desde el techo de una casa, el ángulo de depresión
con un punto en el suelo es 25o. Este punto se
encuentra a 35 metros de la base del edificio. ¿ Cuán
alto es el edificio?
Ejemplo (cont)
El edificio tiene una altura de aproximadamente 16
metros.
tan 25𝑜 =𝐵𝐶
35
(35)tan 25𝑜 = 𝐵𝐶
16.32076804 = 𝐵𝐶
BC ≈ 16.3 m
Aplicaciones:
El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 5 pies sobre el suelo. Si la escalera forma un ángulo 38º con el suelo, ¿Cuál
es el largo de la escalera?
hipotenusa
opuesto)38sin(
x
5)38sin(
pies 8)38sin(
5
x
Aplicaciones
El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que extienden hasta 30 pies. El manufacturero dice que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base esté a 6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el suelo?
Solución:
Debe comenzar haciendo un esquema de la situación,
nombrando las partes y anotando la información que se
tiene.
Solución (cont)
cos adj
hyp
6.5 ft
25 ft
0.26
74.92993786º
Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara. con un ángulo de 75º con el suelo.
Use la calculadora para hallar el ángulo que tiene coseno igual a 0.26:
Aplicaciones:
Una palma de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
adyacente
opuesto)tan(
60
50)tan(
6
5)tan(
406
5tan 1