2.1.1. razón trigonométrica (r.t) 2.1.2. propiedades...

54 Trigonometría 55Und. 2 R.T. de Ángulos Agudos

Luego establecemos que:

C.O = Longitud del cateto opuesto a «».

C.A = Longitud del cateto adyacente a «».

H = Longitud de la hipotenusa.

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEFINICIÓN RAZÓNNOTACIÓN

Dado que los lados de un triángulorectángulo tienen por medidas númerosreales positivos, se deduce que las razo-nes trigonométricas de ángulos agudostienen valores reales positivos.

Ejemplo.- Aplicamos estas definiciones en el triángulo rectángulo mostrado, donde se puedeestablecer, en relación al ángulo , que:

Teorema de Pitágoras:

AB2 + BC2 = AC2

122 + 52 = 132

169 = 169

sen = 513 ; cos = 12

13 ; tan = 512

csc = 135 ; sec = 13

12 ; cot = 125

2.1.2. Propiedades Fundamentales

2.1.2A. Las R.T son adimensionalesDado que las razones trigonométricas se obtienen de dividir dos longitudes, el resultado es

independiente de las unidades de longitud empleadas para cada término puesto que ellas sesuprimen en la operación.

Por tal motivo se afirma que las razones trigonométricas son cantidades adimensionales, esdecir, carecen de unidades.

Ejemplo.- A partir del triángulo mostrado calculemos el cos

cos = 2425

m m = 0,96

2.1.1. Razón Trigonométrica (R.T)2.1.1A. Definición

Se llama razón trigonométrica a la comparación por cociente de las longitudes de dos lados deun triángulo rectángulo.

Ejemplo.- Del triángulo mostrado se puede establecer elsiguiente conjunto de Razones Trigonométricas:

513 ; 12

13 ; 512 ; 12

5 ; 135 ; 13

12Observa que de un triángulo rectángulo solamente po-

demos establecer 6 razones trigonométricas diferentes.

2.1.2B. Definición de razones trigonométricas de ángulos agudosDado un triángulo ACB, recto en C, se definen las razones trigonométricas, con relación al

ángulo agudo A, a cada una de las comparaciones por cociente de las longitudes de dos lados deltriángulo con relación a dicho ángulo.

Las razones trigonométricas de ángulos agudos son seis(6) y se denominan: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente,Secante y Cosecante. En adelante, toda referencia a un án-gulo agudo de un triángulo rectángulo se hará indicando suvértice o su medida.

En la siguiente figura consideramos:

A = , como ángulo de referencia.

En física es de gran importancia la aplicaciónde los vectores para describir una variedad defenómenos.

Para ello es imprescindible saber descompo-ner rectangularmente a los vectores, lo que a suvez exige un conocimiento adecuado de las razo-nes trigonométricas que tienen por característicavincular los lados de un triángulo rectángulo.

Así, si un cuerpo está en equilibrio debido a laacción de tres fuerzas no paralelas, se debe cum-plir que al descomponerlas rectangularmente,como muestra la figura, la suma de las compo-nentes, en cada eje, debe ser cero.


01.- Completar el siguiente cuadro según correspon-da:

02.- Completar los siguientes cuadros, de modo quelas razones trigonométricas expresadas estén en tér-minos de los lados del triángulo dado:

(a) sen cos tan

csc sec cot

(b) sen cos tan

csc sec cot

(c) sen cos tan

csc cot

(d) sen cos tan

csc sec cot

03.- Para cada triángulo dado, se pide calcular el ladodesconocido aplicando el Teorema de Pitágoras. A con-tinuación anotar el valor de la razón trigonométrica quese indica:

a.

2.1.2B. Las R.T sólo dependen del ánguloSi dividimos dos pares de lados homólogos en dos triángulos rectángulos semejantes, encon-

traremos que su razón es la misma.

Puesto que la razón trigonométrica de un ángulo, es, por definición, una razón entre dos ladosde un triángulo rectángulo, la característica señalada pone en evidencia que la razón trigonomé-trica tiene un valor independiente del tamaño de los triángulos.

Veamos el siguiente caso:

En base a los criterios de semejanza de triángulos rectán-gulos, en la figura reconocemos que:

BHC AHB ABC

Luego, los lados homólogos, respecto del ángulo , encada uno de los triángulos, se encuentran en la misma pro-porción, esto es:

constanteq php n m q ()

Del mismo gráfico reconocemos que:

sen BHC=qp ; sen AHB=

hn ; sen ABC=

pm q ()

Sustituyendo () en (), concluimos que:

sen BHCsen AHB sen ABC

Este resultado nos confirma que el valor de una razón trigonométrica es independiente deltamaño del triángulo o, lo que es lo mismo, no depende de la longitud de los lados, sólo dependede la medida del ángulo.

Ejemplo.- En el gráfico mostrado, calculemos «x»

ADE: 2tan 3

ABC: tan 9x

Igualamos las tangentes:

29 3x

x = 6

Observa que la R.T no depende de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.


Prob. 01

Sabiendo que: csc = mnnm

222 , donde: es un

ángulo agudo; determina: cos y cot

Como: csc = 2 2 2

m nmn = hipotenusa

cat. opuesto

Por Pitágoras: x2 + (2 mn)2 = (m2 + n2)2

x2 = (m2 + n2)2 – (2 mn)2

x2 = )2( 22 mnnm )2( 22

mnnm

x2 = (m – n)2 (m + n)2

x = m2 – n2

Luego, por las definiciones:

cos = hipotenusaadyacente .cat

cos = 22

22

nmnm

cot = cat . adyacentecat . opuesto cot = mn

nm

2

22

Prob. 02

De la figura, calcular: M = sen + cos + 3/5

Aplicando el teorema de Pitágoras, en eltriángulo rectángulo mostrado:

(7k + 3)2 + (7k + 4)2 = (7k + 5)2

49k2+ 42k + 9 + 49k2+ 56k + 16 = 49k2+ 70k + 25

98k + 49k2 = 70k

49k2 = -28k k = 0 (un valor)

k = - 74 (valor absurdo)

Luego el triángulo rectángulo se reduce a:

De donde: M = 3 4 35 5 5

10M 5 M = 2

Prob. 03

Dado el ACB (recto en C), calcular el valor de:

M = csc2 A – tan2 B

Graficando el enunciado del problema y acontinuación utilizando las definicionescorrespondientes en «M», se tendrá:

M = 2

ac –

2

ab M = 2

22

abc

b.

c.

d.

e.

f.

04.- En cada caso se pide calcular el valor de sen ycot :

a. sen = ...............

cot = ...............

b. sen = ...............

cot = ...............

c. sen = ...............

cot = ...............

d. sen = ...............

cot = ...............

e. sen = ...............

cot = ...............

05.- A partir de los valores conocidos de un lado y unarazón trigonométrica, se pide determinar y anotar lamedida de los otros lados en cada caso:

CASO DATOS TRIÁNGULO

61Und. 2 R.T. de Ángulos Agudos60 Trigonometría

Prob. 07

En un triángulo rectángulo, el área de su regióntriangular es 270 m2, calcula su perímetro si lacosecante de uno de sus ángulos agudos es 2,6.

Sea «» el ángulo agudo, tal que:

13csc 2,6 5k

k

Entonces:

Se sabe que el área (S) es 270 m2

(12 )(5 ) 2702

k kS 60 k2 = 540

k2 = 9 k = 3

Nos piden el perímetro (2p):

2p = 5k + 12k + 13k

2p = 30k

2p = 30(3)

2p = 90

Prob. 08

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de suhipotenusa es igual a 8 veces el valor del área desu región triangular. Calcula sen · cos , si esuno de sus ángulos agudos.

Sea ABC el triángulo rectángulo:

Se sabe que: (hipotenusa)2 = ocho veces el área

2 28 42

c ab b ca

21 1 4 4

c a c ab bb

Finalmente, identificando obtenemos:

1sen · cos 4

Prob. 09

Del gráfico mostrado, calcula tan .

Sea BD = a, luego identificamos que el ánguloABD mide .

ABD: 2tan a

BDC: tan 9a

Multiplicamos miembro a miembro:

2tan tan 9a

a

2 2tan 9

2tan = 3

Prob. 10

Del gráfico mostrado, calcula sen .

Pero: c2 – b2 = a2 (Teor. de Pitágoras)

Finalmente: M = 2

2

aa M = 1

Prob. 04

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B secumple:

3 sen A = 2 sen C

Calcula el valor de la tangente del menor de susángulos agudos.

Dibujamos un triángulo rectángulo recto en B.

Se sabe que: 3 sen A = 2 sen C

Reemplazando: 3 2a cb b

3a = 2c

Luego se cumple: a = 2k

c = 3k

Observa que el menor ángulo es «A», entonces:

2tan A 3kk 2tan A = 3

Prob. 05

Siendo A y B ángulos agudos de un ABC, tal que:

2 sec A = tan B

Calcular: R = csc2 A – 2 sec B

Del triángulo rectángulo mostrado y las defini-ciones correspondientes, reemplazamos en lacondición dada.

2

bc = a

b b2 = 2ac . . . (1)

Luego: R = csc2 A – 2 sec B = 2

ac – 2

ac

R =

c aca

2

22 . . . (2)

Reemplazando (1) en (2): R = 2

22

abc

Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

c2 – b2 = a2 R = 2

2

aa R = 1

Prob. 06

El perímetro de un triángulo rectángulo es 360 my el valor del seno de uno de sus ángulos agudoses 40/41. Calcula la longitud de la hipotenusa.

Sea el ángulo agudo del triángulo rectángulo,tal que:

40sen 41kk

Se sabe que el perímetro (2p) es 360, entonces:

9k + 40k + 41k = 360

90k = 360 k = 4

Finalmente, la hipotenusa (H):

H = 41k = 41(4) = 164


Prob. 13

Del gráfico mostrado, calcula: cot tan .

Le damos un valor a los lados AB, DC y BD.

ABC: cot m nm

ABD: tan nm

Reemplazamos en:

cot tan m n nm m

cot tan mm

cot – tan = 1

Prob. 14

Según el gráfico, calcula sen .

Trazamos el radio OM y se forma el cuadradoBMON. Además se observa que el radio mayorBD es igual a la suma de BO y OD.

Luego: BD BP 2r r

BPN: sen2r

r r

sen2 1r

r

2 11sen ·2 1 2 1

2 22 1sen

2 1

sen = 2 - 1

Prob. 15

Del gráfico, calcula:

tancot

Trazamos AD y se forma el triángulo isóscelesADC (AD = DC = 8), en el triángulo rectánguloABD, calculamos AB por el teorema dePitágoras, análogamente en el triángulo ABCcalculamos AC, resultando:

Finalmente en el ABC:

9sen 12

3sen = 4

Prob. 11

Si «S» es área, en la figura mostrada se cumple:

2S1 = 3S2

calcula: cot .

Como: 2S1 = 3S2

11

2 2

33 2 2

S SSS S S

Entonces se cumple: AD 3DB 2

ABC: 5cot a

DBC: cot 2a


2 5cot · 2a

a 2 5cot 2

5cot 2

Finalmente: 10cot = 2

Prob. 12

Del gráfico mostrado, calcula tan x.

Si trazamos el radio OD observamos que el án-gulo AOD también mide x. En el triángulo rec-tángulo ADO calculamos AD aplicando el Teo-rema de Pitágoras, resultando:

ADO: 2 10tan = 3x


Graficando el enunciado, tendremos:

En el AOB:

AB2 = 4a2 + 16a2 AB2 = 20a2

A continuación, en el BAC, aplicamos elTeorema de Pitágoras:

BC2 = a2 + AB2 BC2 = a2 + 20a2

BC = 21 a

BAC: sen = aa21 · 21

21

sen = 2121

Prob. 19

Calcular la tangente del mayor ángulo agudo deun triángulo rectángulo sabiendo que los ladosestán en progresión geométrica.

Sea el triángulo de la condición:

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

(ar2)2 = (ar)2 + a2 a2r4 = a2r2 + a2

r4 = r2 + 1 r4 – r2 – 1 = 0

Resolviendo:

r2 = 1 1 4(1)(-1)

2 r2 = 1 52

De donde: r = 251

De los dos ángulos agudos, reconocemos almayor , por tener el mayor cateto opuesto, luego:

tan = aar = r tan = 2

15

Prob. 20

El área de un triángulo rectángulo mide 84 cm2 yla diferencia de sus lados mayores es 1 cm. Calcu-lar el seno del menor ángulo.

Sea el ACB recto en «C», en el que «A» es elmenor ángulo y en donde los mayores ladosson la hipotenusa c y el cateto b, que segúncondición se relacionan así:

c – b = 1 c = b + 1

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

(b + 1)2 – b2 = a2

b2 + 2b + 1 – b2 = a2

2b + 1 = a2 . . . (1)

Pero: área = 2ab = 84 ab = 168 . . . (2)

Multiplicando (1) · a, tenemos:

2 ab + a = a3 a3 – a = 336

Damos valores a los lados AD, DB y BC.Asimismo reconocemos que el BDC esexterior al ADC.

DBC: tan( + ) = nm

ABC: cot( + ) = 2nm

Reemplazamos en:

tan ( ) 2cot ( )

2

nmnm

n mnm

tan ( + ) = 2cot ( + )

Prob. 16

En el gráfico mostrado, calcula tan .

Observa que el lado del cuadrado ABCD esigual al diámetro de la circunferencia, trazamosla diagonal BD y se forma el triángulorectángulo DFE.

DFE: tan = 2 rr2tan

Prob. 17

En el gráfico, calcula sen .

Si trazamos FG AD , se logra establecer que BGF FDE , por lo tanto los lados FG y EDson proporcionales a 3 y 4.

BAE: 3t tan 7 aa

3an = 7

Prob. 18

En un paralelepípedo en donde la altura es lamitad del ancho y el largo el doble del ancho, setraza una de sus diagonales, y una de las diago-nales de su base, de tal manera que tengan unpunto en común. Calcular el seno del ángulo queforman dichas diagonales.


Aplicamos el teorema de Pitágoras en lostriángulos ACD y BCD para calcular CD.

ACD: 2CD 289 25k

BCD: 2CD 100 4k

Igualamos: 2 2289 25 100 4k k

Resolviendo, obtenemos:

k = 3 CD = 8

En el triángulo BCD, calculamos la tan

8CDtan BC 6

4tan 3

Prob. 24

Si: 5tan 0º 90º12 , calcula el valor de

tan 2 .

Dibujamos el triángulo rectángulo para , luegoconstruimos un triángulo isósceles donde unode sus ángulos es /2.

En el triángulo rectángulo grande obtenemos:

1tan 2 5 5tan 2 25

Prob. 25En un triángulo rectángulo ABC recto en B lahipotenusa mide 7 m y la mediana relativa al cate-to mayor mide 5 m y con quien forma un ánguloagudo . Calcula «cos »

Dibujamos el triángulo rectángulo con los datosmencionados:

En el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el

Teorema de Pitágoras: 22 2 225 (2 ) 7a a

Resolviendo, resulta: 2 2a

ABM: cos 5a 2 2cos = 5

Prob. 26

En el gráfico mostrado, calcula tan si AB = 1 yDE = 27.

Ubicamos los datos en la figura y se verificaque los ángulos AFB, BCF miden .

Factorizando el 1er miembro y descompo-niendo el 2do, obtenemos:

(a + 1) a (a – 1) = 8· 7· 6

De donde: a = 7 b = 24 y c = 25

Finalmente: sen A = 7/25

Prob. 21

En un triángulo rectángulo ABC, recto en «B», secumple: tan A · cos C = 3, calcular el valor de:

2E sec A 3cscC

Dibujamos el triángulo rectángulo recto en B.

Expresamos el dato en función de los lados:

tan A· cos C =3 3a ac b a2 = 3bc

Análogamente lo haremos con la expresión «E»:

22E sec A 3 csc C E 3b b

c c

2

23E b bc

c , pero: 3bc = a2

2 2

2E b ac

, por Pitágoras: b2 = a2 + c2

2

E a 2 2c a2c

Simplificando, obtenemos: E = 1

Prob. 22

En un triángulo rectángulo ABC recto en C severifica que:

a 2b cos B cot Ac

Calcule el valor de csc A.

Dibujamos el triángulo rectángulo

Expresamos el dato en función de los lados:

2 aa b a bc c a 2 ab

c c bc a c = 2a

Reemplazamos en el triángulo:

Del triángulo obtenemos: 2csc A aa

csc A = 2

Prob. 23

En la figura mostrada, se cumple: AB 3BC 2 , cal-

cula el valor de tan .

Como:

AB 3AB 3 BC 2 BC 2kk


Ubicamos los datos en la figura, a continuacióntrazamos EC AB , determinándose el paralelo-gramo ABCE:

Observa el triángulo ECD es rectángulo porquecumple el teorema de Pitágoras.

En el triángulo rectángulo ECD, calculamos laexpresión:

17 15csc cot 8 8

csc + cot = 4

Prob. 30

Del gráfico mostrado se sabe que AD = BC, deter-mina el valor de:

2 cos + cot

Completamos la semicircunferencia de radio r,luego prolongamos CD y ubicamos los datosen la figura:

ECB: arcos 2

EOD: r arcot

Reemplazamos en:

2 cos cot 2 2a r ar r 1

2 cos + cot = 1

Prob. 31

Del triángulo mostrado, calcula «tan ».

Aplicamos el Teorema de Pitágoras paracalcular «x», así:

22 2( 1) ( 1) 2 5x x

x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 = 20

Reduciendo, resulta: x = 3

Reemplazamos en el :

Finalmente: 2tan 4 1tan = 2

Sea BF = n y FD = m, calculamos tan en lossiguientes triángulos rectángulos:

FDE: tan = m/27

CBF: tan = n/m

ABF: tan = 1/n


tan tan tan m 27nm

1n

3 1tan 27

1tan = 3

Prob. 27

En el gráfico mostrado, calcula el valor de:

tan · tan

Trazamos los radios (r) en los puntos detangencia y sea FG = m.

EAG: tan rr m

CDF: tan 2m r

r

Nos piden, calcular: tan · tan

Reemplazamos: 2r r m

r m r

Simplificando, resulta: 12

Prob. 28

Siendo MP = PN, calcula tan en el gráfico mos-trado:

Los triángulos rectángulos AOB y AMP sonisósceles, sea MP = PN = a y OM = b.

Trazamos el radio ON = a + b.

PMO: tan ba . . . (*)

En el OMN aplicamos el Teorema dePitágoras:

(a + b)2 = b2 + (2a)2 2 2a b 22ab b 24a

2ab = 3a2 2b = 3a 32

ba

Reemplazando en (*) obtenemos: 3tan = 2

Prob. 29

Del gráfico mostrado, ABCD es un trapecio don-de: BC AD, además AB = BC = 8, CD = 15 yAD = 25. Calcular el valor de:

csc + cot .


calcular la longitud de la hipotenusa (en m).

A) 4 3 B) 3 3 C) 2 3

D) 3 E) 32

13.- En un triángulo acutángulo ABC se trazan lasalturas BM y AN interceptándose en H, de tal mane-ra que: AH = 3 HN. Calcular: tan B · tan C

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

14.- Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B,se traza la mediana AM (relativa al lado BC) y luego,desde B se traza la perpendicular BH a la medianaAM. Se pide determinar la tangente del ángulo for-mado por el cateto AB y la perpendicular BH enfunción del ángulo C.

A) 2 tan C B) cot C C) 21 tan C

D) tan C E) 2 cot C

15.- En un triángulo rectángulo el semiperímetro es60 m y la secante de uno de sus ángulos agudos es2,6. Calcular la longitud ( en m) de la hipotenusa.

A) 24 B) 26 C) 39

D) 52 E) 65

16.- Del gráfico mostrado, calcula: tan .

A) 1/3

B) 1/2

C) 3/2

D) 2/3

E) 1/6

17.- En el g ráfico, calcula el valor de: cottan

( ) ( )

A) 1/2

B) 1/4

C) 1/8

D) 2

E) 4

18.- En el gráfico mostrado, calcula: cot .

A) 2

B) 2 1

C) 2 2

D) 2 2

E) 2 1

19.- Del gráfico mostrado, calcula: cot :

A) 2

B) 2

C) 2 /2

D) 2 2

E) 1

20.- Para el gráfico mostrado, calcula: tan .

A) 5/13

B) 5/12

C) 12/5

D) 13/5

E) 3/4

21.- Del gráfico mostrado se sabe que AD = 2BD,

calcula el valor de: tan tantan tan

A) 3

B) 2

C) 1

D) 1/2

E) 1/3

22.- En triángulo rectángulo se cumple que el cua-drado de la hipotenusa es el triple producto de loscatetos. Calcular la suma de las tangentes de losángulos agudos.

A) 2 B) 1 C) 3/2

D) 3 E) 2/3

01.- Si: cos = 0,8; donde: agudo, se pide calcu-lar: 3 csc + 4 sec A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

02.- Siendo «» un ángulo agudo y además:tan = 5 , calcular: M = 1 + cos2

A) 67 B) 6

11 C) 56 D) 5

11 E) 76

03.- En un triángulo ABC (C = 90°), se verifica que:75

a ba b ; calcular sec A · csc A.

A) 375 B) 37

6 C) 103 D) 11

3 E) 85

04.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo esigual al cuádruplo de la longitud de uno de suscatetos. Calcular la tangente del ángulo opuesto aeste cateto.

A) 171 B) 15

1 C) 171 D) 15

1 E) 15

05.- A y B son ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo ABC. Calcular «csc A», si:

sen A · cot B =

Bsec

AcosBcscAsen

csc B

A) 5 B) 2 5 C) 2 52 D) 5

2 E) 55

06.- Si: AB = BC y además: cot = 2,4; se pidecalcular: tan

A) 1/3

B) 5/4

C) 2/3

D) 7/9

E) 3/4

07.- Del cubo mostrado, evaluar «cos ».

A) 3

B) 2

C) 6 4

D) 6

E) 6

08.- En un triángulo rectángulo ABC (recto en A) se

sabe que: tan C = 940 . Si además: a – c = 21;

calcular el perímetro del triángulo.

A) 70 B) 80 C) 90 D) 120 E) 150

09.- Si se sabe que: 8 tan x = 320,8 (x es un ánguloagudo); encontrar el valor de:

V = 2 cos x – sen x

A) 0,4 B) 0,2 C) 1 D) 2 E) 0

10.- Determine la mayor razón trigonométrica de unode los ángulos del triángulo rectángulo si sus catetosson: (n – 1) 12 n y su hipotenusa es n.

A) 24 B) 5

3 C) 3 D) 52 E) 2

11.- En un ABC, la hipotenusa mide 18 u y el senode «C» es 2/3. Si se traza la altura BH relativa a lahipotenusa; calcular la medida del segmento AH.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

12.- En un triángulo ABC, recto en B, se cumple quetan A = 2 tan C. Si además:

2 2 2 292 3 4 a b c m ;

72 Trigonometría

23.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, secumple: 5sec A sec C 2 , calcule: (sen A + sen C)2.

A) 7/5 B) 9/5 C) 3/5D) 4/5 E) 1/5

24.- Se tiene un terreno en forma de triángulo rec-tángulo donde la hipotenusa es 34 m y uno de losángulos agudos mide , tal que tan = 8/15. Calculasu perímetro.A) 50 m B) 60 m C) 70 mD) 80 m E) 100 m

25.- El perímetro de un triángulo rectángulo es120 m. Si la tangente de uno de los ángulo agudoses 2,4; calcula su área.A) 160 m2 B) 180 m2 C) 240 m2

D) 360 m2 E) 480 m2

26.- En un triángulo rectángulo se tiene que uno desus catetos es el doble de la diferencia entre lahipotenusa y el otro cateto. Calcular la tangente delmayor ángulo agudo.A) 3/4 B) 4/3 C) 1/2D) 1/3 E) 3

27.- En un triángulo rectángulo BAC se cumple que2cos B cos C 3 . Calcular la altura relativa a la

hipotenusa, sabiendo que esta mide 6 2 m .

A) 2 m B) 3 m C) 4 mD) 5 m E) 7 m

28.- Los lados de un triángulo rectángulo están enprogresión aritmética, calcula el coseno del mayorángulo agudo.A) 2/5 B) 3/4 C) 1/2D) 3/5 E) 4/5

29.- En el gráfico mostrado, calcula tan , si tan = 4y BM = MC.A) 1/2B) 1/4C) 1/6D) 1/8E) 1/10

30.- Si el triángulo rectángulo ABC es isósceles, cal-cular tan demás BM = MC.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

31.- Si: cos = 8/17 y 0º < < 90º, calcula el valorde tan /2.

A) 3/4 B) 4/5 C) 3/5

D) 4/3 E) 2/3

32.- Si «M» y «N» son puntos medios, además «O»es centro, calcula el valor de cot .

A) 3

B) 3 / 3

C) 3 1

D) 2 3

E) 1

01D

09E

17B

25E

02A

10E

18C

26B

03B

11D

19C

27C

04B

12C

20B

28D

05D

13D

21B

29D

06C

14A

22D

30C

07D

15D

23B

31C

08C

16D

24D

32C

2.1.1. razón trigonométrica (r.t) 2.1.2. propiedades...

Documents