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MATEMÁTICAS BÁSICAS

Profesoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Peñaloza

Universidad Nacional de Colombia Sede BogotáDepartamento de Matemáticas

15 de junio de 2009

MOP-JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas


Razones trigonométricas

Considere los triángulos rectángulos △ABC y △MNR contodos sus ángulos congruentes.

A B

C

M N

R

c

ba

mn

r




Entonces △ABC ∼ △MNR, por lo tanto

am

=bn

=cr

De los cual se deduce que

ab

=mn

,cb

=rn

,ac

=mr

Por lo tanto las razones ab , c

b , ac NO dependen del

tamaño del triángulo.




Las razones trigonométricas del ángulo A, considerando el△ABC, se definen como

sen A = cateto opuestohipotenusa csc A = hipotenusa

cateto opuesto

cos A = cateto adyacentehipotenusa sec A = hipotenusa

cateto adyacente

tan A = cateto opuestocateto adyacente cot A = cateto adyacente

cateto opuesto




Ejercicio

Demuestre que

sen2 A + cos2 A = 1

tan A = sin Acos A

tan2 A + 1 = sec2 A




En un triángulo rectángulo isósceles los ángulos no rectosdeben ser congruentes luego cada uno mide 45◦ Si tomamoscomo longitud de los catetos 1 el valor de la hipotenusa es

√2.

1

1

√2

45◦

45◦



Las razones trigonométricas son:

sen 45◦ = cos 45◦ =

√2

2tan 45◦ = cot 45◦ = 1sec 45◦ = csc 45◦ =

√2



Considere el triángulo equilátero de longitud de lado 2, al trazarsu altura se divide en dos triángulos rectángulos. Sus ángulosagudos miden 30◦ y 60◦ y los catetos 1 y

√3

1

22√

3

60◦ 60◦

30◦



Las razones trigonométricas son:

sen 30◦ = cos 60◦ =12

sen 60◦ = cos 30◦ =

√3

2

tan 30◦ = cot 60◦ =

√3

3tan 60◦ = cot 30◦ =

√3



Ejercicio

Encuentre las demás razones trigonométricas.



Resolución de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo podemos desconocer las longitudesde algunos de sus lados o la medida de sus ángulos, resolverel triángulo es encontrar la medida de todos sus lados y todossus ángulos.Se utiliza el teorema de Pitágoras y los valores de las"funciones"trigonométrias de ángulos de 0◦ a 90◦ queconocemos o que pueden ser halladas usando unacalculadora.



Ejemplo 1

Consideremos el siguiente triángulo

12

a

bA

B

C

30◦



Claramente ∡B mide 60◦.

sen 30◦ =a12

luego a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)

= 6

cos 30◦ =b12

luego b = 12 cos 30◦ = 12

(√3

2

)

= 6√

3



Ejercicios

1.Expresar x y y en términos de las razones trigonométricasde θ.

28

y

x

θ



Ejercicios

2. Un árbol proyecta una sombra de 6 metros cuando el soltiene una inclinación de 60◦,cuál es la altura del árbol?



Ejercicios

3. Una escalera de 8 metros se apoya en un edificio formandocon el suelo un ángulo de 70◦, qué altura alcanza? A quédistancia del edificio está su base?



Para resolver cualquier triángulo, no necesariamenterectángulo, contamos con los dos siguientes teoremas:




Ley del seno

En cualquier triángulo ABC con lados a, b, c se cumple que

sen Aa

=sen B

b=

sen Cc




Ejercicio

En la figura se desea conocer la longitud del segmento BA.Dado que C = 112, 90◦, A = 31, 10◦ y b = 347, 6 pies.

B C

A

b=347,6

112,90◦

31,10◦




Ley del coseno

En cualquier triángulo ABC con lados a, b y c se tiene

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C




Ejercicio

Resuelva el triángulo ABC si A = 42, 3◦, b = 12, 9 metros yc = 15, 4 metros.

A B

C

b=12,9m

42, 3◦

c=15,4m



Radián

Un radián es la medida de un ángulo central que subtiende unarco de longitud r en una circunferencia de radio r .

r



Radián

Observación

Puesto que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πrse tiene que

2πradianes = 360◦

A menudo se acostumbra a omitir la palabra radianes y seescribe simplemente

2π = 360◦



Radián

Ejercicio

Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos:0◦, 45◦, 30◦, 90◦, 135◦, 210◦

Expresar en grados cada uno de los siguientes ángulos:π

3 , 5π

4 , 5π

6 , 3π

2 , 11π

4 , 11π

6



Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas se definen usando lacircunferencia unitaria

C1 = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

y la rectaR = {(1, t) ∈ R

2 : t ∈ R}como sigue:




Si t es un número real y P(x , y) es el punto, en lacircunferencia unitaria C1, sobre el cual cae el punto (1, t)después de enrollar el segmento de recta (1, 0)(1, t) sobre C1,manteniendo fijo el punto (1, 0).




Entonces,

cos(t) = x

sen(t) = y




En el caso en que t sea negativo el punto P(x , y) se obtienecomo se ilustra en la siguiente gráfica.




Podemos observar que

−1 ≤ cos(t) ≤ 1

−1 ≤ sen(t) ≤ 1




Además, tenemos la identidad fundamental

cos2(t) + sen2(t) = 1.



Aún más:

Si 0 < t <π

2entonces cos t > 0 y sen t > 0.

Siπ

2< t < π entonces cos t < 0 y sen t > 0.

Si π < t <3π

2entonces cos t < 0 y sen t < 0.

Si3π

2< t < 2π entonces cos t > 0 y sen t < 0.



Ejercicio

Escriba el valor de sen t y cos t para t = 0;π

2;π;

3π

2; 2π.

Encuentre el valor de sen t y cos t para

t =5π

6;

5π

4;

11π

6;3π

4;7π

4;2π

3;4π

3;7π

6;5π

3.



Como además, cada vez que se da una vuelta a lacircunferencia se vuelve sobre los mismos puntos, los valoresde las funciones trigonométricas se repiten y tenemos:

sen t = sen (t + 2π) y cos t = cos(t + 2π)

en general:

sen t = sen (t +2kπ) y cos t = cos(t +2kπ) para todo k entero.



Definición

Una función f se dice PERIÓDICA DE PERÍODO a, si a es elmenor real positivo para el que se cumple:Si x está en el dominio de f entonces x + a también está en eldominio de f y además f (x) = f (x + a).

Ejemplo

Las funciones seno y coseno son funciones períodicas deperíodo 2π.



y = sen x



y = cos x



Amplitud y desplazamiento de fase

Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) para números realesa, b y c diferentes de cero, entonces

La amplitud es |a|, el periodo es 2π

|b| y el desplazamientode fase es − c

b .

Se puede encontrar un intervalo que contengaexactamente un ciclo resolviendo la desigualdad

0 ≤ bx + c ≤ 2π.



Gráficas

Ejercicio

Trace la gráfica de las siguientes funciones, encuentre dominio,rango, amplitud y desplazamiento de fase.

1 y = sen x + 22 y = 4 − cos x3 y = | cos 4x |4 y = 2 sen(x − π

4 )

5 y = |1 − 3 sen(2x − π)|




A partir de las funciones seno y coseno definimos las otras:

tan(t) =sin(t)cos(t)

sec(t) =1

cos(t)

cot(t) =cos(t)sin(t)

csc(t) =1

sin(t)



Ejercicio

Encontrar dominio y rango de éstas funciones trigonométricas.



y = tan x



y = cot x



y = sec x



y = csc x



Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.

4 cos t − 2 = 0

cos t =12

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z



Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones de la ecuación√3 + 2 sen β = 0.

√3 + 2 sen β = 0

sen β = −√

32

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,11π

3, . . .

t =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z



Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]

2 − 8 cos2 t = 0

cos2 t =14

cos t = ±12

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3



Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]

sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4



Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].

sen 2x(csc 2x − 2) = 0,

entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0

sen 2x = 0

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π



Ecuaciones

Ejemplo

csc 2x − 2 = 0

csc 2x = 2

sen 2x =12

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12



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