taller : un triángulo modelo : 30 - 60 – 90 desafío...

Tal ler e l cartabón/Juan Lepe Luengo

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Taller : Un Triángulo Modelo : 30 - 60 – 90 Desafío : Const ruye un Tr iángu lo con las s igu ientes característ icas : Que sea

rec tángu lo acutángu lo y que los ángu los agudos estén en razón de “ uno es a dos “ , “ 1 : 2 “ , es dec i r , uno sea la mi tad de ot ro y que sean múl t ip los de 5.-

Usando los implementos de geometr ía adecuados como : escuadra, t ransportador y pape l cuadr icu lado, const ru imos e l t r iángu lo mencionado. Cuyas medidas son : 90° - 60° - 30° = 180°

Observación : No o lv ides que la adic ión de los ángulos in te rnos de un t r iángu lo cualquie ra suman : 180° y que la ad ic ión de los ángu los exter io res suman 360°

Lado basal : cateto mayor

El t r iángu lo puede tener t res pos ic iones en e l p lano las que se muest ran a cont inuac ión

Lado basal : la hipotenusa Lado basal : Cate to menor

Act iv idad N° 1 : Usando e l t ranspor tador , comprueba las medidas de los ángu-los, con una regla mide sus lados ¿ Qué nombre especia l rec ibe este t r iángu lo ? .

Act iv idad N° 2 : Con 2 de estos t r iángu los const ruye todas las f iguras posib les

e ident i f íca las. Mide sus ángulos y lados. Escr ibe sus carac ter ís t i cas y a qué c las i f icac ión per tenecen.

Las cuat ro s igu ientes f iguras geomét r icas conformadas por : “ t r iángu los

mode los 30° - 60° - 90° “ , es tán unidas por la h ipotenusa y por e l ca te to mayor .


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Triángulo equilátero Trapezoide Deltoides

Rectángulo Romboide 1

Recuerda que un cuadri látero es una figura geométrica que t iene 4 lados, 4 ángulos y 4 vért ices y que según posición de lados se clasi fican en : paralelogramos ( cuadrados, rectángulos, rombos y romboides ) Trapecios ( isósceles, rectángulos y escaleno ) y trapezoides.( t rapezoides y del toides ).

Mientras que el tr i látero es una figura geométrica que t iene 3 lados, 3 ángulos y 3 vért ices y se clasifican, según medidas de sus lados en : ∆ equiláteros, ∆ isósceles y ∆ escálenos. Otra clasi ficación según medidas de sus ángulos en: ∆ rectángulo, ∆ acutángulo y ∆ obtusángulo. Escribe las característ icas o propiedades de estas f iguras.-

a).- Triángulo equilátero :

b).- Trapezoide Deltoides :

c).- Rectángulo :


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d).- Mide los ángulos y los lados de cada una de las figuras anteriores. e).- Establece la propiedad de equivalencia entre estas tres figura anteriores. f) .- Calcula el perímetro y el área de cada una de las figuras anteriores. Haz los

cálculos aquí.

Las s igu ientes dos f iguras geomét r icas están un idas por e l cateto menor del t r iángu lo modelo , que además const i tuye una de las a l tu ra de las s igu ientes f igura . ( romboide y t r iángu lo isósceles obtusángulo ) .

Romboide 2

Triángulo Isósceles Obtusángulo


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Act iv idad N° 3 : Con 3 de estos t r iángu los mode los, const ruye todas las f iguras pos ib les e ident i f í ca las. Mide sus ángu los y lados. Escr ibe sus carac ter ís t i cas y a qué c las i f icac ión per tenecen.

Trapecios Rectángulos Congruentes ( corto y alto )

Trapecio Rectángulo ( largo y bajo )

Trapecio Escaleno


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Desafío : Con tres tr iángulos modelos, solo se han construido trapecios, ¿podrás armar otras figuras dist intas?, como un tr iángulo, por ejemplo. Intenta.

Triángulo Rectángulo

Pentágono Irregular

Escribe las característ icas o propiedades de estas f iguras.-

a).- Trapecio Rectángulo :

b).- Mide los ángulos y mide los lados de los dos trapecios anter iores. Además res-

ponde cuánto miden los ángulos interiores de un cuadri látero.

c).- Los trapecios anteriores son equivalentes. Explique porqué.


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d).- Calcula el perímetro y el área de cada uno de los trapecios. Uti l iza las fórmulas apropiadas y realiza los cálculos en la siguiente página.


e ident i f í ca las. Mide sus ángu los y lados. Escr ibe sus carac ter ís t i cas y a qué c las i f icac ión per tenecen.

Como por Ejemplo : Rectángulo → Paralelogramo → Cuadri látero

Rectángulo ( bajo y largo )

Romboide ( bajo y largo )


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Romboide ( largo y bajo )

Romboide ( corto y alto )

Rectángulo ( alto y corto ) Trapecio Isósceles ( alto y corto )

Trapecio Isósceles ( bajo y largo )


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Triángulo Rectángulo ( semejante al t r iángulo modelo )

Hexágono simétrico cóncavo

En las siguientes f i -guras se muestran 4 rombos, cuyo contac-to con la superficie es un solo punto.

En la figura superior izquierda se observan : 4 tr iángulos rectán-gulos, 2 tr iángulos equiláteros, 2 trape-cios rectángulos, 1 deltoides y 1 rombo.

En la figura superior derecha se observan : 4 tr iángulos rectángu-los, 2 tr iángulos equi-láteros, 2 tr iángulos obtusángulos y 1 rombo


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Un rombo es un cuadrado que ha sido empujado de su parte superior como lo

indica el esquema anterior, luego la forma cambia, no así la longitud de sus lados. En consecuencia, podríamos afirmar que un rombo es un cuadrado deformado.

En la figura inferior izquierda se observan : 4 tr iángulos rectán-gulos, 2 tr iángulos equiláteros, 2 trape-cios rectángulos, 1 rectángulo y 1 rombo.

En la figura inferior derecha se observan : 4 tr iángulos rectángu-los, 2 tr iángulos equi-láteros, 2 trapecios rectángulos y 1 rombo. La simil i tud de un rombo con un cuadra-do es que ambos t ienen sus 4 lados iguales.

Los 4 rombos siguientes, similares a los anteriores, solo que su contacto con la superficie esta dado por un lado de dicho rombo. En su conformación se observan : tr iángulos, rectángulos, trapecios y trapezoides.

¿ Qué sucede si los ángulos agudos de un rombo disminuyen ?


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A continuación la construcción de figuras geométricas irregulares con 4 tr iángulos modelos. Figura irregular es aquella que t iene lados y ángulos di ferentes. En algunas ocasiones presentan ejes simétricos.

Pentágono irregular Pentágono rectangular isósceles

Escribe las característ icas o propiedades de estas f iguras.-

a).- Rombo :


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b).- Pentágono irregular :

c).- Pentágono rectángulo isósceles :

Pentágonos irregulares Desafío : Observa las figuras anteriores ( pentágonos irregulares ) en su conforma-

ción. serán iguales o semejantes, argumenta tu respuesta.


e ident i f íca las. Mide sus ángu los y lados. Escr ibe sus carac ter ís t i cas y a qué c las i f icac ión per tenecen.

Trapecio rectángulo ( corto y alto )


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Trapecio rectángulo ( largo y bajo )

Pentágonos irregulares

Desafío : Con 5 tr iángulos modelos 30 60 90, puedes construir un trapezoide.

( fig. de 4 lados y sin lados paralelos ). Prueba.

Pentágono irregular I

Pentágono regular : Es una figura geométrica que t iene 5 lados iguales y 5 ángulos interiores congruentes, cuya medida es : 144°


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Pentágono irregular I I Escribe las característ icas o propiedades de estas f iguras.-

a).- Trapezoide irregular :

b: Pentágono i rregular :


e ident i f í ca las. Mide sus ángu los y lados. Escr ibe sus carac ter ís t i cas y a qué c las i f icac ión per tenecen.

Triangulo obtusángulo isósceles


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Rectángulo ( corto y alto ) fig. a

Rectángulo ( largo y bajo ) fig. b

Trapecio isósceles fig. c

Pentágono irregular f ig. d


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Pentágono irregular ( forma de lápiz ) fig. e

Pentágono irregular ( forma de casa ) fig. f

Trapecio escaleno fig. g

Identi fica todas las figuras geométricas que observas en la fig. g


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Trapezoide del toides fig. h Pentágono Irregular fig. i Desafío : Demuestra con formas y fórmulas que las nueve figuras anteriores ( a b c

d e f g h i ) son equivalentes. Haz las demostraciones aquí. Además indica cual de ellas tiene el menor y el mayor perímetro.

Desafío : Construye un Trapecio Isósceles con 6 tr iángulos modelo 30 60 90, de

modo que tenga un “eje simétrico”.- Observación : No olvides que un eje simétr ico es aquel que divide a una figura geo-

métrica en dos partes iguales.


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Trapecio isósceles ( con un eje simétrico vert ical )

a ) . - E l pentágono i r regu lar fo rma de láp iz también t iene un e je s imét r ico, en este caso hor izonta l , ident i f í ca lo . ¿ Qué f iguras observas en este pentágono ?

Escribe las característ icas o propiedades de esta figura.-

b).- Pentágono irregular forma de lápiz:

c ) . - Recuerda las fórmulas para ca lcu la r per ímetros y á reas de pol ígonos. .


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Act iv idad N° 7 : Con 8 de estos t r iángu los const ruye todas las f iguras posib les e ident i f íca las. Mide sus ángu los y lados. Escr ibe sus carac ter ís t i cas y a qué c las i f icac ión per tenecen.

Triángulo equilátero

Romboide

a).- Escribe aquí las diferencias entre un rombo y un romboide

b).- Escribe aquí las diferencias entre un cuadrado y un rectángulo


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Desafío :Construye otras formas de romboides, analiza su forma y precisa la relación de sus perímetros y áreas.


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Trapecio isósceles

Trapecio rectángulo

Rectángulo “A”

c).- ¿ Cuántos tr iángulos observas en el rectángulo anterior y que otras figuras pue-des dist inguir ?.


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Rectángulo “B”

d).- Con 2 y 8 tr iángulos cartabón se han construido triángulos equiláteros, ¿cuantos más se deberán agregar para conformar un nuevo triángulo equilátero ?

Hexágonos i rregulares ( alto y corto )

e).- Indica la cantidad de ejes de simetría observas en estos dos hexágonos.


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Hexágonos i rregulares ( largo y bajo )

f) .- Observa con mucha detención estos hexágonos irregulares y menciona todas las figuras que dist ingues en el los e indica la cantidad de cada una de el las.

H E X A G O N O S I R R E G U L A R E S

Alto y corto Bajo y largo

Desafío : Con ¿ cuántos tr iángulos modelos puedes formar un hexágono regular ? y que tenga 2 ejes de simetría. Uno vert ical y uno horizontal.

Observación : Un hexágono regular es un polígono que t iene 6 lados iguales y 6

ángulos interiores iguales y cuya medida de cada uno es de 120°

Desafío : Podrás construir un hexágono con un número impar de tr iángulos mode-los. Argumenta tu respuesta.


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Hexágono regular con 2 ejes simétricos ( fig. 1 )

Observación : los ejes simétricos del hexágono anterior son perpendiculares entre

sí, es decir, su intersección provoca ángulos rectos. ( 90° )

Hexágono regular ( f ig. 2 )


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Observa con atención la fig. 2 y Completa la siguiente tabla.-

Triangulo rectángulo Triángulo equilátero

chico grande chico grande

Triangulo isósceles obtusángulo

Además ind ica o t ras f iguras que v isual izas en e l esquema anter io r .

Desaf ío mayor . Apelando a tu ingenio e in te l igenc ia . Con ¿ cuántos t r iángu los como e l s igu iente , se puede constru i r un cuadrado pequeño, un cuadrado mediano y un cuadrado grande ? Reprodúcelo var ias veces, péga lo en car tu l ina y prueba.

Característ icas de este tr iángulo rectángulo escaleno El cateto menor es la mitad del cateto mayor 2(Cateto menor) = Cateto ma yor

Cateto menor = ½ Cateto ma yor

Con la hipotenusa como base de contacto con la superficie. Realiza las siguientes actividades. Mide sus lados y ángulos y aplica el Teorema de Pitágoras para calcular el valor del cateto a


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Desafío :Con tres tr iángulos modelos 30 60 90 construye un tr iángulo congruente

a dichos tr iángulos, es decir, un nuevo tr iángulo modelo

Desafío : Construye un tr iángulo equilátero con tres tr iángulos modelos 30 60 90

y cuyo lado sea la hipotenusa de dicho tr iángulo. Además construye 2 tr iángulos equiláteros con tres des estos tr iángulos modelos.

1 tr iángulo equilátero 2 t r iángulos equiláteros


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Desafío : Con cuatros tr iángulos modelos 30 60 90, construye 2 cuadrados y com-prueba que el cuadrado menor es la tercera parte del área de cuadrado mayor.

2 cuadrados ( in te r io r y ex ter io r )

Desafío : Con ocho tr iángulos modelos 30 60 90 construye 3 cuadrados y que porcentaje corresponde al cuadrado inter ior con respecto al cuadrado exterior.

3 cuadrados ( in te r io r , in te rmedio y ex ter io r )


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Observa con bastante atenc ión este esquema s imét r ico que está conformado por 24 t r iángu los modelos 30° 60° 90° y que forman una f igura s imét r ica . Además se v isual izan : “ 6 pentágonos rectángu los isósce les “ .

Desafío : Considerando el esquema anterior con característ icas simétricas, desarro-l la los siguientes Juegos : A continuación las Instrucciones para dichos juegos.

Juego I :Ubica los numerales del 1 al 17, uno en cada círculo y sin repetir los, de tal manera que adicionados por cada pentágono rectángulo isósceles, las 6 sumas sean iguales. Una de las soluciones es “ 40 “. Encuentra otras.

Juego II :Ubica los numerales del 1 al 18, uno en cada círculo y sin repetir los, de tal manera que adicionados por cada pentágono rectángulo isósceles, las 6 sumas sean iguales. Una de las soluciones es “ 44 “. Encuentra otras

F i c h a s


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Juego I

Juego II

Estos juegos t ienen diversas soluciones. Encuéntralas


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Identi ficación y medidas del t r iángulo modelo

Uti l izando instrumentos de medición y aplicando principios adquiridos comprueba estos valores.

taller : un triángulo modelo : 30 - 60 – 90 desafío...

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