unidad 9 –trigonometría en ángulos...

Unidad 9 –Trigonometría en ángulos agudos PÁGINA 156

SOLUCIONES_________________________________________________________________

El sistema sexagesimal.

Realiza las siguientes operaciones. a) 65º 35'52 '' 9º38'24 '' 75º14 '16 ''

b) 12º 23' 5º 7 '12 '' 7º15'48''

c) 3 32º 34 '12 '' 97º 42 '36 ''

Pasa a grados, minutos y segundos. a) 216 752'' 60º12 '32 ''b) 325 648'' 90º 27 '28''c) 546 789'' 151º 53'9 ''

Pasa a segundos.a) 32º 115 200''b) 12º32 ' 45 120''c) 76º 32 '28'' 275 548''

Expresa en grados, minutos y segundos. a) 32 '5º 32º 30 '0 ''b) 12 '68º 12º 40 '48''c) 32'93º 32º 55'48''

420

SOLUCIONES_________________________________________________________________

1.Llamaremos ‘a’ al ángulo azul y ‘v’ al verde.

2 2 2 2 2

a) Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 6 16 c 4 '47 m.

cateto opuesto 4 '47 cateto opuesto 4 2sen( ) 0 '74 sen( ) hipotenusa 6 hipotenusa 6 3

catetocos( )

C c c

a v

a contiguo 4 2 cateto contiguo 4 '47 cos( ) 0 '74hipotenusa 6 3 hipotenusa 6

cateto opuesto 4 '47 cateto opuestotg( ) 1'12 tg( )cateto contiguo 4 cateto co

v

a v 4 0 '89ntiguo 4 '47

2 2 2 2

b) Aplicamos Pitágoras para calcuar la hipotenusa:H H 49 16 H 8'06 m.

cateto opuesto 7 cateto opuesto 4sin( ) 0 '87 sin( ) 0 '5 hipotenusa 8'06 hipotenusa 8'06

catetcos( )

C c

a v

a o contiguo 4 cateto contiguo 70 '5 cos( ) 0 '87hipotenusa 8'06 hipotenusa 8'06

cateto opuesto 7 cateto opuestotg( ) 1'75 tg( )cateto contiguo 4 catet

v

a v 4 0 '57o contiguo 7

2 2 2 2

c) Aplicamos Pitágoras para calcuar la hipotenusa:H H 9 9 H 4'24 m.

cateto opuesto 3 cateto opuesto 3sin( ) 0 '71 sin( ) 0 '71hipotenusa 4 '24 hipotenusa 4 '24

cateto ccos( )

C c

a v

a ontiguo 3 cateto contiguo 30 '71 cos( ) 0 '71hipotenusa 4 '24 hipotenusa 4 '24

cateto opuesto 3 cateto opuestotg( ) 1 tg( )cateto contiguo 3 cateto

v

a v 3 1contiguo 3

421

SOLUCIONES_________________________________________________________________

2.2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

a) sin ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sin ( ) cos ( ) 1 0 '04 0 '96 cos( ) 0 '98b) sin ( ) cos ( ) 1sin ( ) 1 cos ( ) sin ( ) 1 0 '2025 0 '7975 sin( ) 0 '89c) tan( ) 3

sin( )tan( ) 3 sin( ) 3cos( )cos( )

sin ( ) cos2 2 2

2

( ) 1 9cos ( ) cos ( ) 11cos ( ) cos( ) 0 '32 sin( ) 0 '96

10

3.

2 2 2 2

2

1a) t an( )2

sin( ) 1tan( ) 2sin( ) cos( )cos( ) 2

sin ( ) cos ( ) 1 sin ( ) 4sin ( ) 11sin ( ) sin( ) 0 '45 cos( ) 0 '95

2 2 2 2

2

1b) t an( )3

sin( ) 1tan( ) 3sin( ) cos( )cos( ) 3

sin ( ) cos ( ) 1 sin ( ) 9sin ( ) 11sin ( ) sin( ) 0 '32 cos( ) 0 '96

10

422

2 2 2 2

2

3c) tan( )2

sin( ) 3 3tan( ) sin( ) cos( )cos( ) 2 2

9sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos ( ) 14

4cos ( ) cos( ) 0 '55 sin( ) 0 '8313

423

SOLUCIONES_________________________________________________________________

4.Si trazamos una de las dos diagonales de un cuadrado de lado 5cm, obtenemos dos triángulos rectángulos e isósceles de catetos 5cm. Al ser isósceles, sus ángulos agudos miden 45º y por ser rectángulos podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:

2 2 2 2 2 2 2 25 5 2 5 7 '07 cm.Una vez que conocemos los catetos y la hipotenusa de nuestro triángulo, podemoscalcular las razones trigonométricas de 45º.

cateto opuesto 5sen (45º)hipotenusa 7'07

H C c H H H

20 '702

cateto continuo 5 2cos (45º) 0 '70hipotenusa 7'07 2

cateto opuesto 5tan (45º) 1cateto continuo 5

5.Trazando la altura del triángulo como indica la figura, obtenemos dos triángulos equiláteros de hipotenusa 10 cm y uno de los catetos mide 5cm.

2 2 2 2 2 2

Aplicando Pitágoras a uno de esos triángulos conocemos el otro cateto: 10 5 8'66 cm.

Conocidos los catetos y la hipotenusa, podemos calcular las razones trigonométricas de 30º y 60º.

se

H C c c c

cateto opuesto 5 cateto opuesto 8'66n (30º) 0 '5 sen (60º) 0 '87hipotenusa 10 hipotenusa 10

cateto continuo 8'66cos (30º) 0 '87 cos (60ºhipotenusa 10

cateto contiguo 5) 0 '5hipotenusa 10

cateto opuesto 5 cateto opuesto 8'66tan (30º) 0 '58 tan (30º) 1'73cateto continuo 8'66 cateto continuo 5

424

6. Si trazamos una de las dos diagonales del cuadrado de lado x cm, obtenemos dos triángulos rectángulos e isósceles de catetos x cm. Al ser isósceles, sus ángulos agudos miden 45º y por ser rectángulos podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:

2 2 2 2 2 2 2 22 2 cm.Una vez que conocemos los catetos y la hipotenusa de nuestro triángulo, podemoscalcular las razones trigonométricas de 45º.

cateto opuesto x 1sen (45º)hipotenusa 2

H C c H x x H x H x

x2

22cateto continuo x 1 2cos (45º)

hipotenusa 22 2cateto opuesto xtan (45º) 1cateto continuo x

x

425

SOLUCIONES_________________________________________________________________

7.a) sen (32º12 '17 '') 0 '53 b) sen (34º32 ') 0 '57 c) sen (80º12 ') 0 '98 cos (32º12 '17 '') 0 '85 cos (34º32 ') 0 '82 cos (80º12 ') 0 '17 tan (32º12 '17 '') 0 '63 tan (34º32 ') 0 '69 tan (80º12 ') 5 '79

8. Llamaremos ‘a’ al ángulo azul y ‘v’ al verde.

2 2 2 2 2 2

a) Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto:H 10 8 6 m.

cateto opuesto 6 cateto opuesto 8sen( ) 0 '6 sen( ) 0 '8 hipotenusa 10 hipotenusa 10

cateto contiguocos( )

C c c c

a v

a 8 cateto contiguo 60 '8 cos( ) 0 '6hipotenusa 10 hipotenusa 10

cateto opuesto 6 cateto opuesto 8tg( ) 0 '75 tg( ) 1'33cateto contiguo 8 cateto contiguo 6

v

a v

2 2 2 2 2 2

b) Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 12 5 13 m.

cateto opuesto 5 cateto opuesto 12sen( ) 0 '38 sen( ) 0 '92 hipotenusa 13 hipotenusa 13

cateto cos( )

C c H c

a v

a contiguo 8 cateto contiguo 50 '8 cos( ) 0 '38hipotenusa 10 hipotenusa 13

cateto opuesto 5 cateto opuesto 12tg( ) 0 '42 tg( )cateto contiguo 12 cateto contiguo

v

a v 2 '45

426

SOLUCIONES_________________________________________________________________

9.

2 2 2 2 2 2

a) Conociendo dos de los tres lados, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:H 13 5 12 m.

cateto opuesto 5sen( ) 0 '38 22º 37 ' 11'51'' hipotenusa 13

csen( )

C c c c

a a

c ateto opuesto 12 0 '92 67º 22 ' 48 '49 '' hipotenusa 13

Solución:

Catetos: 5 y 12 cm. Hipotenusa: 13 cm.

Ángulos: 22º 37 ' 11'51'', 67º 22 ' 48 '49 '' y 90º.

c

cateto opuestob) sen(58º ) 0 '85 10 '18 cm. hipotenusa 12

cateto contínuo cos(58º ) 0 '53 6 '36 cm.hipotenusa 12

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo pod

C C

c c

emos calcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 58º 32ºSolución:

Catetos: 6'36 y 10'18 cm. Hipotenusa: 12 cm.

Ángulos: 32º , 58º y 90º.

427

SOLUCIONES_________________________________________________________________

10.Teorema del seno

sen( ) sen( ) sen( )a b c

a) sen(40º) sen(70º) 8 '21 cm.

x 12b)sen(30º) sen(25º) sen(180º 30º 25º )

x 12 y12 (30º ) 14 '2 cm.

(25º )12 (125º ) 23'26 cm.

(25º )

Solución: 14 '2 cm, 23'26 cm

x

senxsensenysen

x y

11.

2 2 2

Teorema del coseno

a b c 2bccos

2 2 2

2 2 2

a) x 10 8 2 10 8 cos12 7 '5 2 '74 cm.

b) x 10 12 2 10 12 cos 20 18'47 4 '3 cm.

x

x

428

SOLUCIONES_________________________________________________________________

12.

a) 180º 70º 50º 60ºsen(60º) sen(70º) sen(50º)

3 x y3sen(70º) 3'26 cm.sen(60º)3sen(50º)y 2 '65 cm.sen(60º)

Solución:

lados: 2'65, 3 y 3'26 cm.

ángulos: 50º, 60º y 70º

x

2 2 2

2 2 2

b)Teorema del coseno: 2 cos7 3 2 7 3 cos30 4'65 cm.

sen( ) sen( ) sen( )Teorema del seno: a b c

sen(30) sen( ) sen( )4'65 7 3

7sen(30)sen( ) sen( ) 0 '75 48º 49 '25'59 ''4'65

3sen(30sen( )

a b c bca a

) sen( ) 0 '32 18º 49 '8 '63''4'65

Solución:

Lados: 3cm, 4'65cm y 7cmÁngulos: 18º 49 '8 '63'', 30º y 48º 49 '25'59 ''

2 2 2

2 2 2

c)Teorema del coseno: 2 cos4 6 3 2 6 3 cos 36º 20 '9 '81''


sen(36º 20 '9 '81'') sen( ) sen( )4 6 36sen(36º 20 '9 '81'')sen( ) sen( ) 0 '89 62º 43'13'39

4

a b c bc

''

3sen(36º 20 '9 '81'')sen( ) sen( ) 0 '44 26º 23'3'59 ''4

Solución:

Lados: 3cm, 4cm y 6cmÁngulos: 26º 23'3'59 '', 36º 20 '9 '81'' y 62º 43'13'39 ''

429

SOLUCIONES_________________________________________________________________

13.

tan 23º ( 15) tan 23º15tan 35ºtan 35º

( 15) tan 23º tan 35º15 tan 23º 23'09

tan 35º tan 23ºSolución: El barco se encuentra a 38'09 m

hx hx

h x hx

x x

x x

14.

tan12º ( 5) tan12º5tan 20ºtan 20º

( 5) tan12º tan 20º5 tan12º 7 '02 2 '55

tan 20º tan12ºSolución: La montaña se encuentra a 2'55 m.

hx hx

h x hx

x x

x x h

430

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Razones trigonométricas de ángulos agudos.

15.a) d)

2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcuar la hipotenusa:H H 18 H 4'24 m.

cateto opuesto 3sin( ) 0 '71 sen(B) hipotenusa 4 '24

cateto contiguo 3cos( ) 0 '71 cos(B)hipotenusa 4 '24

cateto opuestotg( )cateto

C c

A

A

A 3 1 tan(B) contiguo 3

Observación: Al trabajar con un triángulo isósceles, tiene los dos ángulos agudos iguales, y por lo tanto, sus razones trigonométricas coinciden.

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto :H 10 8 6 m.

cateto opuesto 6sen( ) 0 '6 cos( )hipotenusa 10

cateto contiguo 8cos( ) 0 '8 sen( )hipotenusa 10

cateto opuesto 6tg( )cateto contiguo

C c c c

A B

A B

A 0 '758

cateto opuesto 8tg( ) 1'33cateto contiguo 6

B

b) e)

2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 10 3'16 m.

cateto opuesto 1sen( ) 0 '32 cos( )hipotenusa 3'16

cateto contiguo 3cos( ) 0 '95 sen( )hipotenusa 3'16

cateto opuestotg( )cateto co

C c H H

A B

A B

A 1 0 '33ntiguo 3

cateto opuesto 3tg( ) 3cateto contiguo 1

B

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto :H 9 7 3'74 m.

cateto opuesto 3'74sen( ) 0 '42 cos( )hipotenusa 9


cateto opuestotg( )cateto conti

C c c c

A B

A B

A 3'74 0 '53guo 7

cateto opuesto 7tg( ) 1'87cateto contiguo 3'74

B

432

c) f)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 10 8 6 m.



cateto opuestotg( )cateto c

C c c c

A B

A B

A 6 0 '75ontiguo 8

cateto opuesto 8tg( ) 1'33cateto contiguo 6

B

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 20 12 16 m.



cateto opuestotg( )cate

C c c c

A B

A B

A 16 1'33to contiguo 12

cateto opuesto 12tg( ) 0 '75cateto contiguo 16

B

16.Si el seno de uno de los ángulos es 0’25, entonces, ese ángulo mide 14º 28’ 39’04’’. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, entonces, el otro ángulo que nos queda mide 75º 31’ 20’96’’

Propiedades de las razones trigonométricas.

17.2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

a) sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '04 0 '96 cos( ) 0 '98

sen( )tan( ) 0 '2cos( )

Solución: sen( ) 0 '2, cos( ) 0 '98, tan( ) 0 '2

b) sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '25 0 '75 sen( ) 0 '87

sen( )tan( ) 1'73cos( )

Solución: sen( ) 0 '87, cos( ) 0 '5, tan( ) 1'73

433

2 2

2 2 2

c) sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 0 sen( ) 0

sen( )tan( ) 0cos( )

Solución: sen( ) 0, cos( ) 1, tan( ) 02 2

2 2 2

d) sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '64 0 '36 sen( ) 0 '6

sen( )tan( ) 0 '75cos( )

Solución: sen( ) 0 '6, cos( ) 0 '8, tan( ) 0 '75

18.

2 2 2

2a) sen( )2

1 2sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 cos( )2 2

sin( )tan( ) 1cos( )

2 2Solución:sin( ) , cos( ) , tan( ) 12 2

2 2 2

3b) sen( )2

3 1sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 cos( )4 2

sin( )tan( ) 3cos( )

3 1Solución:sin( ) , cos( ) , tan( ) 32 2

19.

2 2 2 2

2

a) t an( ) 5sin( )tan( ) 5 sin( ) 5cos( )cos( )

sin ( ) cos ( ) 1 25cos ( ) 4sin ( ) 11cos ( )29

Solución: cos( ) 0 '19, sen( ) 0 '93

2 2 2

c) t an( ) 1sin( )tan( ) 1 sin( ) cos( )cos( )

sin ( ) cos ( ) 1 2cos ( ) 1

2cos( )2

2 2Solución: cos( ) , sen( )2 2

2 2 2

b) t an( ) 0sin( )tan( ) 0 sin( ) 0cos( )

sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1cos( ) 1

Solución: cos( ) 1, sen( ) 0

2 2 2

d) t an( ) 0 '3sin( )tan( ) 0 '3 sin( ) 0 '3cos( )cos( )

sin ( ) cos ( ) 1 1'09cos ( ) 1cos( ) 0 '96

Solución: cos( ) 0 '96, sen( ) 0 '29

434

20.

2 2 2 2

2

2a) t an( )3


4sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 4sin ( ) 19

9cos ( )40

Solución: cos( ) 0 '47, sen( ) 0 '32

2 2 2

2c) t an( )3


11sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 19

cos( ) 0 '9

Solución: cos( ) 0 '9, sen( ) 0 '43

2 2 2

2

b) t an( ) 3sen( )tan( ) 3 sen( ) 3 cos( )cos( )

sen ( ) cos ( ) 1 4cos ( ) 11cos ( )4

1 3Solución: cos( ) , sen( )2 2

2 2 2

5d) t an( )4


21sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 116

cos( ) 0 '87

Solución: cos( ) 0 '87, sen( ) 0 '49

21.2 2

2 2

Si existe tal ángulo, debe cumplirse que sin ( ) cos ( ) 1

0 '2 0 '4 0 '2 1Al no cumplirse la igualdad, no existe un ángulo con dichas razones trigonométricas.

22. Si el seno de un ángulo mide 1, entonces, su coseno debe medir 0, y por lo tanto, no existe su tangente, porque al dividir 1 entre 0 obtenemos una indeterminación.

23. Ninguno de los dos casos son posibles, puesto que tanto el seno como el coseno oscilan entre -1 y 1.

24. Si para todo ángulo debe cumplirse 2 2sin ( ) cos ( ) 1 , entonces, ni el seno ni el coseno de ningún ángulo pueden superar a la unidad.

25. El ángulo que buscamos es 0º.

Razones trigonométricas sencillas.

26.Si el cuadrado es de lado 5 cm, al trazar la diagonal obtenemos dos triángulos rectángulos e isósceles (sus ángulos agudos miden 45º) de catetos la medida del lado del cuadrado. De este modo, nuestro problema se reduce a calcular la hipotenusa de dicho triángulo utilizando, por ejemplo, la fórmula del seno:

435

cateto opuesto 5 2sen(45º ) 5 2 7 '07 cm hipotenusa 2

hh

Solución: La diagonal del cuadrado mide 7’07 cm.

27.Si el triángulo es equilátero, al trazar la altura obtenemos dos triángulos rectángulos de hipotenusa 5 cm y con un cateto de 2’5 cm. El ángulo contiguo a dicho cateto mide 60º y el ángulo opuesto 30º. De este modo, podemos aplicar la definición de seno para obtener la altura:

cateto opuesto 3 5 3sen(60º ) 4 '33 cm hipotenusa 5 2 2

h h

Solución: La altura del triángulo mide 4’33 cm.

Razones trigonométricas con la calculadora.

28.a) sen (32º 21'12 '') 0 '54 b) sen (12º32 ') 0 '22 c) sen (18º12 '') 0 '31 cos (32º 21'12 '') 0 '84 cos (12º 32 ') 0 '98 cos (18º12 '') 0 '95 tan (32º 21'12 '') 0 '63 tan (12º32 ') 0 '22 tan (18º12 '') 0 '32

d) sen (45º ) 0 '71 e) sen (56º 53'38'') 0 '84 f) sen (12º32 '56 '') 0 '22 cos (45º ) 0 '71 cos (56º53'38'') 0 '55 cos (12º32 '56 '') 0 '98 tan (45º ) 1 tan (56º 53'38'') 1'53 tan (12º32 '56 '') 0 '22

29.

a) sen( ) 0 '32 18º30 '46 '53'' d) tan( ) 3 60º

3b) cos( ) 0 '5677 55º 24 '36 '02 '' e) sen( ) 60º2

c) tan( ) 1 90º (ángulo recto) f) cos 2( ) 45º2

30.

a) sen( ) 0 0º c) sen( ) 1 90º b) cos( ) 0 90º d) cos( ) 1 0º

k kk k

k

31. / cos 1.

32. / sen 1.

436

33. Todos los ángulos comprendidos entre 90 2 y 270 2 con k k k tienen coseno negativo:

2cos(135)2

cos(180º ) 1

2cos(225º )2

437

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Resolución de triángulos.

34.a)

cateto opuestosen(50º ) 0 '77 3'83 cm. hipotenusa 5

cateto contínuocos(50º ) 0 '64 3'21 cm.hipotenusa 5

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calcu

C C

c c

larrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 50º 40ºSolución:

Catetos: 3'21 cm y 3'83 cm. Hipotenusa: 5 cm.


b)

cateto opuestosen(27º 32 ') 0 '46 2 '31 cm. hipotenusa 5

cateto contínuocos(27º 32 ') 0 '89 4 '43 cm.hipotenusa 5

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos

C C

c c

calcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 27º 32 ' 62º 28'Solución:

Catetos: 2 '31 cm y 4 '43 cm. Hipotenusa: 5 cm.

Ángulos: 27º 32 ', 62º 28' y 90º.

439

c)

cateto opuestosen(53º 32 '12 '') 0 '8 5 '63 m. hipotenusa 7

cateto contínuocos(53º 32 '12 '') 0 '59 4 '16 m.hipotenusa 7

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo po

C C

c c

demos calcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 53º 32 '12 '' 36º 27 '48 ''Solución:

Catetos: 2 '31 m y 4 '43 m. Hipotenusa: 7 m.

Ángulos: 36º 27 '48 '', 53º 32 '12 '' y 90º.

d)

cateto opuestosen(23º12 ') 0 '39 3'15 mm. hipotenusa 8

cateto contínuocos(23º12 ') 0 '92 7 '35 mm.hipotenusa 8

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos

C C

c c

calcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 23º12 ' 66º 48'Solución:

Catetos: 3'15 mm y 7 '35 mm. Hipotenusa: 8 mm.

Ángulos: 23º12 ', 66º 48' y 90º.

440

e)


cateto contínuocos(30º ) 0 '87 2 '6 cm.hipotenusa 3

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calcular

C C

c c

restando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 30º 60ºSolución:

Catetos: 1'5 cm y 2 '6 cm. Hipotenusa: 3 cm.


f)


cateto contínuocos(60º ) 0 '5 2 cm.hipotenusa 4

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calcularr

C C

c c

estando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 60º 30ºSolución:

Catetos: 2 cm y 3'46 cm. Hipotenusa: 4 cm.


441

35.a)

cateto opuesto 5sen(43º ) 0 '68 7 '33 cm. hipotenusa

cateto opuesto 5tan(43º ) 0 '93 5 '36 cm.cateto contínuo

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos c

hh

cc

alcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 43º 47ºSolución:

Catetos: 5 cm y 5 '36 cm. Hipotenusa: 7 '33 cm.


b)

cateto opuesto 3sen(30º ) 0 '5 6 cm. hipotenusa

cateto opuesto 3tan(30º ) 0 '58 5 '2 cm.cateto continuo

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calcul

hh

cc

arrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 30º 60ºSolución:

Catetos: 3 cm y 5 '2 cm. Hipotenusa: 6 cm.


442

c)

cateto opuesto 7sen(50º 23'32 '') 0 '77 9 '09 cm. hipotenusa

cateto opuesto 7tan(50º 23'32 '') 1'21 5 '79 cm.cateto continuo

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falt

hh

cc

a lo podemos calcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 50º 23'32 '' 39º 36 '28 ''Solución:

Catetos: 5'79 cm y 7 cm. Hipotenusa: 9'09 cm.

Ángulos: 39º 36 '28 '', 50º 23'32 '' y 90º.

d)

cateto continuo 8cos(24º ) 0 '91 8 '76 m. hipotenusa

cateto opuestotan(24º ) 0 '45 3'56 m.cateto continuo 8

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos ca

hhc c

lcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 24º 66ºSolución:

Catetos: 3'56 m y 8 m. Hipotenusa: 8'76 m.


443

e)

cateto continuo 4cos(60º ) 0 '5 8 cm. hipotenusa

cateto opuestotan(60º ) 1'73 6 '93 cm.cateto continuo 4

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calc

hhc c

ularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 60º 30ºSolución:



f)

cateto continuo 5cos(25º ) 0 '5 10 cm. hipotenusa

cateto opuestotan(25º ) 0 '47 2 '33 cm.cateto continuo 5

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos cal

hhc c

cularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 25º 65ºSolución:

Catetos: 2'33 cm y 5 cm. Hipotenusa: 10 cm.


444

36.a)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 3 4 5 cm.

cateto opuesto 4sen( ) 0 '8 53º 7 '48 '37 ''hipotenusa 5

cateto opuesto 3sen( ) 0 '6 36º 52 '11'63''hipotenusa 5

Solución:

C c H H

A A

B B

Catetos: 2 cm y 4 cm. Hipotenusa: 5 cm.

Ángulos: 36º 52 '11'63'', 53º 7 '48 '37 '', 90º

b)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 3 2 3'87 cm.

cateto opuesto 2sen( ) 0 '52 31º 5'27 '35''hipotenusa 3'87

cateto opuesto 3sen( ) 0 '77 50º 46 '6 '53''hipotenusa 3'87

Solución:

C c H H

A A

B B

Catetos: 2 cm y 3 cm. Hipotenusa: 3'87 cm.

Ángulos: 31º 5 '27 '35 '', 50º 46 '6 '53'', 90º

c)

445

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 12 7 13'89 mm.

cateto opuesto 12sen( ) 0 '86 59º 45'39 '06 ''hipotenusa 13'89

cateto opuesto 7sen( ) 0 '50 30º15'44 '35 ''hipotenusa 13'89

Sol

C c H H

A A

B B

ución:

Catetos: 7 mm y 12 mm. Hipotenusa: 13'89 mm.

Ángulos: 30º15'44 '35'', 59º 45'39 '06 '', 90º

d)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 5 5 7 '07 m.

cateto opuesto 5sen( ) 0 '86 45ºhipotenusa 7 '07

cateto opuesto 5sen( ) 0 '50 45ºhipotenusa 7 '07

Solución:

Cateto

C c H H

A A

B B

s: 5 mm ambos. Hipotenusa: 7'07 mm. Ángulos: 45º , 45º , 90º

e)

446

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 2 4 4 '47 cm.

cateto opuesto 4sen( ) 0 '89 63º 29 '23'13''hipotenusa 4 '47

cateto opuesto 2sen( ) 0 '45 26º 34 '43'47 ''hipotenusa 4 '47

Solución

C c H H

A A

B B

:

Catetos: 2 m y 4 m. Hipotenusa: 4'47 m.

Ángulos: 26º 34 '43'47 '', 63º 29 '23'13'', 90º

f)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H 5 12 13 mm.

cateto opuesto 12sen( ) 0 '92 67º 22 '48 '49 ''hipotenusa 13


Solución:

C c H H

A A

B B

Catetos: 5 mm y 12 mm. Hipotenusa: 13 m.

Ángulos: 22º 37 '11'51'', 67º 22 '48 '49 '', 90º

37.a)

447

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 7 5 4 '9 cm.

cateto opuesto 4 '9sen( ) 0 '7 44º 24 '55 '11''hipotenusa 7

cateto opuesto 5sen( ) 0 '71 45º 35'48 '9 ''hipotenusa 7

Solución:

C c c c

A A

B B


Ángulos: 44º 24 '55 '11'', 45º 35'48 '9 '', 90º

b)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 5 2 4 '58 cm.

cateto opuesto 2sen( ) 0 '4 23º 34 '41'44 ''hipotenusa 5

cateto opuesto 4 '58sen( ) 0 '96 66º 20 '53'31''hipotenusa 5

Soluci

C c c c

A A

B B

Catetos: 2 cm y 4'58 cm. ón: Hipotenusa: 5 cm.

Ángulos: 23º 34 '41'44 '', 66º 20 '53'31'', 90º

c)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 14 12 7 '21 mm.

cateto opuesto 12sen( ) 0 '86 58º 59 '50 '21''hipotenusa 14

cateto opuesto 7 '21sen( ) 0 '515 30º 59 '50 '84 'hipotenusa 14

C c c c

A A

B B '

Catetos: 7'21 mm y 12 mm. Solución: Hipotenusa: 14 mm.

Ángulos: 30º 59 '50 '84 '', 58º 59 '50 '21'', 90º

d)

448

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 8 5 6 '24 m.

cateto opuesto 6 '24sen( ) 0 '78 51º19 '4 '13''hipotenusa 8


Soluci

C c c c

A A

B B

Catetos: 5 m y 6'24 m. ón: Hipotenusa: 8 m.

Ángulos: 38º 40 '55 '87 '', 51º19 '4 '13'', 90º

e)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 6 4 3'46 m.

cateto opuesto 4sen( ) 0 '67 41º 48'37 '13''hipotenusa 6

cateto opuesto 3'46sen( ) 0 '58 35º12 '59 '16 ''hipotenusa 6

Soluci

C c c c

A A

B B

ón:

Catetos: 3'46 m y 4 m. Hipotenusa: 6 m.

Ángulos: 35º12 '59 '16 '', 41º 48'37 '13'', 90º

f)

449

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 13 12 5 mm.



Soluci

C c c c

A A

B B

ón:

Catetos: 5 mm y 12 mm. Hipotenusa: 13 mm.

Ángulos: 22º 37 '11'51'', 67º 22 '48'49 '', 90º

38.a)


Solución: La altura del triángulo son 5'16 cm.

h h

b)


Solución: La altura del triángulo son 3'69 cm.

h h

c)cateto opuestosen(43º ) 0 '68 2 '73 cm.

hipotenusa 4Solución: La altura del triángulo son 2'73 cm.

h h

d)cateto opuestosen(25º ) 0 '42 4 '22 cm.

hipotenusa 10Solución: La altura del triángulo son 4'22 cm.

h h

450

39.a)

cateto opuesto 3tan(30º )cateto contíguo 5 2

cateto opuestotan(180º 120º ) 3 3cateto contíguo

3 3 3 5 3 55 2

5 3

Solución: La altura del triángulo son 5 3 cm.

hx

h h xx

x x xx

h

b)

cateto opuestotan(35º ) 0 '7 0 '7cateto contíguocateto opuestotan(28º ) 0 '53cateto contíguo 30

0 '7 0 '53 1'23 15'95 12 '9730

9 '08Solución: La altura del triángulo son 9 '08 cm.

h h xxhx

x x xx

h

c)

cateto opuestotan(15º ) 0 '27cateto contiguo 16

cateto opuestotan(180º 135º ) 1cateto contiguo

0 '27 0 '73 4 '29 5'8716Solución: La altura del triángulo son 5 '87 m.

hxh h xx

h h hh

d)

cateto opuestotan(18º ) 0 '32 0 '32cateto contiguocateto opuestotan(50º ) 1'19cateto contiguo 50

0 '32 1'19 1'51 59 '59 39 '4650

12 '63Solución: La altura del triángulo son 12 '63 cm.

h h xxhx

x x xx

h

451

Resolución general de triángulos.

40.a)

180º 30º 42º 108ºsen(30º) sen(108º) sen(42º)

a 8 c8sen(30º) 4 '21 m.sen(108º)8sen(42º) 5 '63 m.sen(108º)

Solución:

lados: 4'21, 5'63 y 8 m.


a

b

b)


a 7 c7sen(37º) 4 '58 m.sen(113º)7sen(30º) 3'8 m.sen(113º)

Solución:

lados: 3'8, 4'58 y 7 m.

ángulos: 30º, 37 º y 113º

a

b

c)


a 6 c6sen(50º) 4 '6 m.sen(87º)

6sen(43º) 4 '09 m.sen(87º)

Solución:

lados: 4'09, 4'6 y 6 m.


a

b

d)


a 5 c5sen(33º) 2 '83 m.sen(106º)5sen(41º) 3'41 m.sen(106º)

Solución:

lados: 2'83, 3'41 y 5 m.


a

b

452

SOLUCIONES_________________________________________________________________

41.a)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos9 3 2 9 3 cos35º 6'77 m.


sen(35º) sen( ) sen( )6'77 9 3

9sen(35º)sen( ) sen( ) 0 '76 49º 44 '7 '55 ''6'77

3sen(35ºsen( )

a b c bca a

) sen( ) 0 '25 14º 44 '7 '55 ''6'77

Solución:

Lados: 3 m, 6'77 m y 9 mÁngulos: 14º 44 '7 '55'', 35º y 49º 44 '7 '55''

b)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos5 7 2 5 7 cos 24º 3'17 m.


sen(24º) sen( ) sen( )3'17 5 7

5sen(24º)sen( ) sen( ) 0 '64 39º54 '24 '42 ''3'17

7sen(24sen( )

a b c bca a

º) sen( ) 0 '9 63º 55'0 '52 ''3'17

Solución:

Lados: 3 m, 6'77 m y 9 mÁngulos: 24º , 39º54 '24 '42 '' y 63º55'0 '52 ''

454

c)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos7 10 2 7 10 cos38º12 ' 6'24 m.


sen(38º12') sen( ) sen( )6'24 7 10

7sen(38º12')sen( ) sen( ) 0 '69 43º55'33'21''6'24

se

a b c bca a

10sen(38º12')n( ) sen( ) 0 '99 82º19 '26 '18''6'24

Solución:

Lados: 6'24 m, 7 m y 10 mÁngulos: 32º12 ', 43º55'33'21'' y 82º19 '26 '18''

d)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos9 12 2 9 12 cos15º 4'04 m.


sen(15º) sen( ) sen( )4'04 9 12

9sen(15º)sen( ) sen( ) 0 '58 35º12 '36 '54 ''4'04

12sesen( )

a b c bca a

n(15º) sen( ) 0 '77 50º14 '36 '65''4'04

Solución:

Lados: 4'04 m, 9 m y 12 mÁngulos: 15º , 35º12 '36 '54 '' y 50º14 '36 '65''

455

42.a)

2 2 2

2 2 22 2

2 2 2

Aplicamos Pitágoras para cada uno de los triángulos rectángulos en los que queda dividido el triángulo dado al trazar la altura: H

725 49 (10 )

5 (10 )20 124

6 '2 3'25

C c

h xx x

h xx

x h m. Solución: La altura del triángulo mide 3'25 metros.

b)

2 2 2

2 2 22 2

2 2 2

Aplicamos Pitágoras para cada uno de los triángulos rectángulos de la figura: H

7 (3 )49 25 (3 )

56 15

2 '5 4 '33 m. Solución: La altura del triángulo mide 4'33 metros.

C c

h xx x

h xxx h

43.a)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos5 8 11 2 8 11 cos 24º 37 '11'92 ''


sen(24º 37 '11'92 '') sen( ) sen( )5 8 118sen(24º 37 '11'92 '')sen( ) sen( ) 0 '67 41º 48'6

5

a b c bc

'64 ''

11sen(24º 37 '11'92 '')sen( ) sen( ) 0 '92 66º 25'18'56 ''5

456

Solución:

Lados: 5cm, 8cm y 11cmÁngulos: 24º37 '11'92 '', 41º 48'6 '64 '' y 66º 25'18'56 ''

b)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos5 10 6 2 10 6 cos 22º19 '53'92 ''


sen(22º19 '53'92 '' ) sen( ) sen( )5 10 610sen(22º19 '53'92 '' )sen( ) sen( ) 0 '76 49º 27 '

5

a b c bc

30 '23''

6sen(22º19 '53'92 '')sen( ) sen( ) 0 '46 27º 7 '36 '31''5

Solución:

Lados: 5cm, 6cm y 10cm

Ángulos: 22º19 '53'92 '', 27º 7 '36 '31'' y 49º 27 '30 '23''

c)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos3 8 6 2 8 6 cos 18º 34 '24 '06 ''


sen(18º 34 '24 '06 '') sen( ) sen( )3 8 68sen(18º 34 '24 '06 '')sen( ) sen( ) 0 '85 58º8'40 '45

3

a b c bc

''

6sen(18º 34 '24 '06 '' )sen( ) sen( ) 0 '64 39º 34 '19 '39 ''3

Solución:


Ángulos: 18º 34 '24 '06 '', 39º 34 '19 '39 '' y 58º8'40 '45''

457

d)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos4 5 6 2 5 6 cos 41º 24 '34 '64 ''


sen(41º 24 '34 '64 '' ) sen( ) sen( )4 5 65sen(41º 24 '34 '64 '')sen( ) sen( ) 0 '83 55º 46 '16 '0

4

a b c bc

8''

6sen(41º 24 '34 '64 '')sen( ) sen( ) 0 '99 82º 49 '9 '28''4

Solución:


Ángulos: 41º 24 '34 '64 '', 55º 46 '16 '08'' y 82º 49 '9 '28''

44.a)

180º 10º 12º 158ºsen( ) sen( ) sen( )Aplicamos el teorema del seno sobre el triángulo que tenemos:

a b csen(10º ) sen(12º ) sen(158º )

7 b c7sen(158º ) c 15'10 mm.

sen(10º)Volvemos a aplicar el teorema del se

c

2

no sobre el triángulo que obtenemos al trazar la altura:sen(12º ) sen(90º ) 3'14 mm.

h 15'10El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, entonces:

7 3'14A 10'99 mm2 2t

h

b h

2

.

Solución: El área del triángulo son 10'99 mm .

458

b)

180º 80º 50º 50ºEstamos trabajando con un triángulo isósceles, luego la altura divide a la base y al ángulo desigual en dos partes iguales.

Aplicamos el teorema del seno sobre uno de los triángulos qu

2

sen( ) sen( ) sen( )e se forman al trazar la altura: a b c

sen(50º ) sen(40º ) 9 '53 m. h 8

El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, entonces:16 9 '53A 76 '27 m .

2 2Sol

t

h

b h

2ución: El área del triángulo son 76'27 mm .

45.cateto opuestotan 50º 27 '79 m. cateto contínuo 25

Solución: La altura del árbol es de 27'79 m.

h h

46.cateto opuestosen 60º 6 '06 m.

hipotenusa 7Solución: La escalera está apoyada a una altura de 6'06 m.

h h

47.cateto opuestotan 60º 14 '004 m. cateto contínuo 20

Solución: La altura es de 14'004 m.

h h

459

48.

cateto opuesto 65sen 45º 91'92 m. hipotenusa

Solución: Tendrá que recorrer 91'92 m.

xx

49.

cateto opuestotan 48º 25'54 m. cateto contínuo 23

Solución: La altura de los edificios es de 25'54 m.

h h

50.cateto opuesto 7sen 0 '7 44º 25'37 '21''

hipotenusa 10Solución: La escalera forma un ángulo de 44º 25'37 '21'' con el suelo.

a a

51.cateto opuesto 12tan 0 '55 28º 36 '37 '65 '' cateto contínuo 22

Solución: Los rayos inciden con un ángulo de 28º36 '37 '65''.

a a

52.Calculando la tangente de 40º, podemos conseguir x, es decir, la mitad de la distancia entre ambos edificios.

cateto opuesto 65tan 40º 77 '46 m .cateto contínuo

Con esto sabemos que la distancia ent

xx

re ambos edificios es 2x, es decir, 154'92 m.Calculando la tangente de 58º, obtenemos la altura del segundo edificio.

cateto opuestotan 58º 123'97 m.cateto contínuo 77 '46

Solución: La altura del ed

h h

ificio de la derecha es de 123'97 m, y ambos edificios se encuentran a una distancia de 154'92 m.

460

53.Calculando las tangentes de ambos ángulos, obtenemos un sistemade dos ecuaciones en el que las incógnitas son x (distancia de uno de los extremos al poste), y h (altura del poste).

tan 30º tan 30º(12 )tan 40º tan30º 7 '11 m.

tan 40º12

Por lo tanto, la altura del poste es de tan 30º 7 '11tan 30º 4 '1 m. Aplicando la definición de seno para ambos ángulos, obtenemos

h h xx x x xhx

x

11

22

la cantidad de cable. cateto opuesto 4 '1sen 30º 8 '21 m.

hipotenusacateto opuesto 4 '1sen 40º 6 '39 m.

hipotenusaSolución: La altura del poste es de 4'1 m, y necesitamos 14'6 m de cable.

HH

HH

54.Pasamos todas las distancias a las mismas unidades:1'4 m. 140 cm. Aplicamos la definición de coseno para conseguir el ángulo:

cateto contínuo 30cos 0 '21 77º37 '34 '95'' hipotenusa 140

Solución: La es

a a

coba forma un ángulo de 77º 37 '34 '95 ''.

55.Estamos trabajando sobre un triángulo isósceles de lados iguales 94 cmy ángulo desigual 45º. Al trazar la altura, dicho ángulo queda dividido en dos de 22'5º cada uno. Nuestro objetivo es ver cuánto a variado la altura de Andrea, es decir, calcular la diferencia entre los 94 cm de sus piernas, y la altura del triángulo que está formando. Para eso, calculamos el coseno de nuestro ángulo de 22'5º, de modo que:Aplicamos la definición de coseno para conseguir el ángulo:

cateto contínuocos 22 '5º 86 '95 cm.hipotenusa 94

94 86 '95 7 '05 m. Solución: La altura de Andrea ha disminuído en 7'05 cm.

h h

c

461

SOLUCIONES_________________________________________________________________

56.

Resolvemos el siguiente sistema, donde es la altura de la torrey la distancia a la que nos encontramos.

tan 10º tan10º( 50)tan 25º tan10º 80 '40 m.

tan 25º50

tan10º 14 '18 mS

hx

h h xx x x xh

xh x

olución: La altura de la torre es de 14'18 m, y estamos a una distancia de 80'40 m.

57.

Resolvemos el siguiente sistema, donde es la altura de los edificiosy la distancia entre Ángela y el primer edificio.

tan 28º tan 28º(54 )tan 43º tan28º 34 '39 m.

tan 43º54

54 3

hx

h h xx x x xhx

4 '39 19 '61 mtan10º 18'29 m

Solución: La altura de los edificios es de 18'29 m, y Ángela se encuentra a 34'39 m del primero y 19'61 m del segundo.

h x

58.

463

Resolvemos el siguiente sistema, donde es la altura del faroy la distancia a la que se encuentra el barco.


tan 25º200

tan12º 78

hx

h h xx x x xh

xh x '12 mSolución: La altura del faro es de 78'12 m, y el barco se encuentra a 367'53 m.

59.Llamamos a la altura del edificio y al lugar donde nos encontramos, y resolvemos el sistema siguiente:

tan 48º tan 48ºtan 54º tan48º 2 7 '53 m.

2tan 54º

tan 48º 8 '36 mSolución

h x

h h xx x x xhx

h x: La altura del edificio es de 8'36 m,

y nos encontramos a 7'53 m.

60.

Llamamos a la altura de los niños, y x a la distancia del primero a la moneda. Si los ángulos que forma con la horizontal son de 35º y 50º, los ángulos que necesitamos nosotros son sus complementari

h

osde 55º y 40º respectivamente. Así, el problema se reduce a resolverel sistema siguiente:

tan 55º tan 55ºtan 40º 8 tan55º 3'53 m.

8tan 40º

x x hh h h hxh

464

tan 55º 5 '04 m8 5'04 2 '96 mSolución: Los niños miden 3'53 m y alcanza la moneda el que está colocado a la derecha.

x h

1.a)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa:H H 1 3 H 3'16 m.

cateto opuesto 1sen( ) 0 '32hipotenusa 3'16

cateto contiguo 3cos( ) 0 '95hipotenusa 3'16

cateto opuesto 1tg( ) 0cateto contiguo 3

C c

a

a

a '33

b)

2 2 2 2 2 2

Aplicamos Pitágoras para calcular el cateto que falta:H 20 16 c 12 mm.

cateto opuesto 16sen( ) 0 '8hipotenusa 20

cateto contiguo 12cos( ) 0 '6hipotenusa 20

cateto opuesto 1tg( )cateto contiguo

C c c

a

a

a 6 1'3312

2.2 2

2 2 2

a)sin ( ) cos ( ) 1

4 5 5cos ( ) 1 sin ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '759 9 3

2sen( ) 2 53tan( ) 0 '89cos( ) 55

32Solución: sen( ) ,cos( ) 0 '75, tan( ) 0 '893

465

2 2 2 2

2

3b) tan( )4

sen( ) 3 3tan( ) sen( ) cos( )cos( ) 4 4

9sen ( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos ( ) 116

25 5 5cos ( ) cos( ) sen( )9 3 4

5 5 3Solución: sen( ) , cos( ) , tan( )4 3 4

3.Ver página 160 del mismo tema.

4.a)

cateto opuesto 3cos(23º ) 3'26 m. hipotenusa

cateto opuestotan(23º ) 1'27 cm.cateto contínuo 3

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calcularrest

HHc c

ando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 23º 67ºSolución:

Catetos: 3 cm y 1'27 cm. Hipotenusa: 3'26 cm.


b)

cateto opuestosen(35º ) 11'47 mm. hipotenusa 20

cateto contínuocos(35º ) 16 '38 cm.hipotenusa 20

c c

C C

466

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, luego el ángulo que nos falta lo podemos calcularrestando a 180 los dos ángulos conocidos: 180º 90º 35º 55ºSolución:

Catetos: 11'47 cm y 16'38

cm. Hipotenusa: 20 cm. Ángulos: 35º , 55º y 90º.

5.a)

2 2 2

2 2 2

Teorema del coseno: 2 cos4 12 2 4 12 cos18 8'29 cm.


sen(18) sen( ) sen( )8'29 4 12

4sen(18)sen( ) sen( ) 0 '15 8º34 '29 '92 ''8'29

12sen(1sen( )

a b c bca a

8) sen( ) 0 '45 153º15'22 '7 ''8'29

Solución:

Lados: 4cm, 8'29cm y 12cmÁngulos: 8º 34 '29 '92 '', 18º y 153º15'22 '7 ''

b)


25 x y25sen(30º) 17 '68 cm.sen(135º)25sen(15º)y 9 '15 cmsen(135º)

x

467

Solución:

lados: 9'15, 17'68 y 25 cm.


6.a) sen(32º 21'12 '') 0 '54 cos(32º 21'12 '') 0 '84 tan(32º 21'12 '') 0 '63b) sen(12º 58'') 0 '21 cos(12º58'') 0 '98 tan(12º 58'') 0 '21c) sen(50 '43'') 0 '015 cos(50 '43'') 0 '99 tan(50 '43'') 0 '015

7.

180º 20º 35º 145º180º 145º 35ºEl problema se reduce a resolver el siguiente sistema.

tan(25º )5 9 '97 m, 6 '98 m.

tan(35º )

El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por

hx x h

hx

2

2

la altura, entonces:5 6 '98A 17 '45 m .

2 2Solución: El área del triángulo son 17 '45 m .

tb h

8. Supongamos que nuestro triángulo es como indica la figura

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Aplicamos el teorema del coseno: 2 cos7 9 5 2 9 5 cos 50º 42' 12'67'' 5 9 7 2 9 7 cos 33º 33' 26'32''

a b c bc

468

El problema se reduce a resolver el siguiente sistema.

tan(50º 42 '12 '')3'33 m, 4 '075 m.

tan(33º 33'26 '32 '')9

El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, e

hx x h

hx

2

2

ntonces:9 4 '075A 18'34 m .

2 2Solución: El área del triángulo son 18'34 m .

tb h

9.Resolvemos el siguiente sistema, donde es la altura de la torrey la distancia a la que nos encontramos.


tan 22º150

tan10º 46 '93

hx

h h xx x x xh

xh x mSolución: La altura de la torre es de 46 '93 m, y estamos a una distancia de 266 '16 m.

10.

Resolvamos el siguiente sistema, donde es la altura de los mástilesy la distancia del mastil de la izquerda al punto intermedio.

tan 35º tan 35º(15 )tan 23º tan35º 2

tan 23º15

hx

h h xx x x xhx

3'092 m.

tan 35º 16 '17 mSolución: La altura de los mástiles de 16 '17 m.h x

469

SOLUCIONES_________________________________________________________________

La ecuación a resolver es muy sencilla: 4 4 45 5x x x

Alicia tiene 4 gatos.

470

unidad 9 –trigonometría en ángulos...

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