trigonometrÍa: sistema de medición de ángulos

Prof. Susana Quintas - Prof. Andrés Costantino 1

TRIGONOMETRÍA: Sistema de medición de ángulos

Sistema sexagesimal

Un ángulo de un giro mide 360°, un ángulo llano mide 180° y un recto 90°

La unidad es el grado, que es la noventaava parte de un ángulo recto.

1° =1𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

90 o también 1° =

1𝑔𝑖𝑟𝑜

360=

1 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜

180

En este Sistema

1° = 60′ = 3600′′

Sistema Radial

La unidad de medida en este sistema es el RADIÁN. Se llama radián al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual radio de la misma.

El valor de un ángulo de un giro, o

sea, 360° en el sistema circular o

radial es igual a 2𝜋 porque:

�� =𝑎𝑟𝑐𝑜

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

En un giro el arco es igual al

perímetro de la circunferencia, o

sea, 2𝜋𝑟.

Siendo 𝑟 = 𝑜𝑏 entonces el arco es:

𝑎𝑟𝑐𝑜 = 2𝜋𝑜𝑏

Luego

�� = 360° =2𝜋𝑜𝑏

𝑜𝑏 = 2𝜋

Para simplificar el cambio de unidades se puede utilizar

la equivalencia correspondiente a medio giro

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔


1) 180° 𝜋

40° x 180°

40°=

π

x 180°. 𝑥 = 40°. π x=

40°

180° 𝜋

2) 180° 𝜋

330° x

𝑥 =330°.𝜋

180°

3) 180° 𝜋

72° x

𝑥 = 72°.𝜋

180°

4) 180° 𝜋

-30° x

𝑥 =−30°.𝜋

180°

5) 180° 𝜋

765° x

𝑥 =765°.𝜋

180°

17

4𝜋 =

4

4𝜋 +

4

4𝜋 +

4

4𝜋 +

4

4𝜋 +

1

4𝜋 esto nos indica que es

4𝜋 + 1

4𝜋

𝑥 =2

9 𝜋

𝑥 =11

6𝜋

𝑥 =2

5𝜋

𝑥 = −1

6𝜋

x= 17

4𝜋 =

1

4𝜋 + 4𝜋

765° = 360° + 360° + 45° = 4 𝜋 + 𝜋

4

360° = 2𝜋 + 2𝜋 = 4𝜋

45° = 𝜋

4


6) 180° 𝜋

-1457° x

𝑥 =−1457°.𝜋

180°

1) 𝜋 180° 3

4𝜋 x

𝜋

34 𝜋

=180°

𝑥

x.𝜋 = 180°.3

4𝜋

x = 180°.3/4 𝜋

𝜋

2) 𝜋 180°

−7

2𝜋 x

𝜋

−72 𝜋

=180°

𝑥

x.𝜋 = 180°. (−7

2𝜋)

x = 180°.(−

7

2𝜋)

𝜋

𝑥 = −8𝜋 −17

180𝜋

𝑥 = 135°

𝑥 = − 630°

-1457° = - 360° − 360° − 360° − 360° - 17°

= - 1440° -17°

= −8𝜋 −17

180𝜋


3) 𝜋 180°

5

6𝜋 x

𝜋

56 𝜋

=180°

𝑥

x.𝜋 = 180°.5

6𝜋

x = 180°.

5

6 𝜋

𝜋

4) 3,14159 radianes 180°

2 radianes x

3,14 𝑟𝑎𝑑

2𝑟𝑎𝑑=

180°

𝑥

3,14159 𝑟𝑎𝑑. 𝑥 = 180°. 2𝑟𝑎𝑑

x = 180°.2 𝑟𝑎𝑑

3,14159𝑟𝑎𝑑

5) 3,14159 radianes 180°

1,5 radianes x

3,14159 𝑟𝑎𝑑

1,5 𝑟𝑎𝑑=

180°

𝑥

3,14159 𝑟𝑎𝑑. 𝑥 = 180°. 1,5𝑟𝑎𝑑

x = 180°.1,5 𝑟𝑎𝑑

3,14159𝑟𝑎𝑑

𝑥 = 150°

𝑥 = 114° 35′29,6′′

𝑥 = 85°56′37,21′′


6)

𝜋 180°

−𝜋

12 x

𝜋

−𝜋

12

=180°

𝑥

x.𝜋 = 180°. (−𝜋

12)

x = 180°.(−

𝜋

12)

𝜋

�� = 210° �� = 27° �� = −570° = −360° − 210° �� = 120° �� = -240° 𝑓 = 205°

1° = 60′ = 3600′′

𝑓 = 12.300′ 60’ 1°

12300’ 𝑥 =12300′.1°

60′= 205°

𝑓 = 12.300′ = 205°

�� = 97.200′′ 3600’’ 1°

97.200’’ 𝑥 =97.200′′.1°

3600′′= 27°

𝑥 = −15°

�� = 97.200′′ = 27°


Si se quiere trabajar con el ángulo en grados, se puede plantear la siguiente proporción:

2𝜋. 𝑟 360°

𝑆 𝜃

𝑆 =𝜃. 2𝜋. 𝑟

360°


Si se quiere trabajar con el ángulo en grados, se puede plantear la siguiente proporción:

𝜋. 𝑟2 360°

𝐴 𝜃

a) Ángulo central: 360° − 140° = 220° Debemos expresar el ángulo central

correspondiente a la longitud del arco en radianes

𝜃 = 220° = 11

9𝜋

𝑠 = 𝜃. 𝑟

b) 𝜃 = ?

𝑠 = 𝜃. 𝑟 10 = 𝜃. 5

𝜃 = 2 𝑟𝑎𝑑

𝑠 =11

9𝜋. 5 =

55

9𝜋 ≅ 19, 19

𝐴 =𝜃. 𝜋. 𝑟2

360°


c) s=8 𝜃 = 2𝑟𝑎𝑑 𝑟 = ?

8 = 2.r

𝜃 = 60° En radianes 𝜃 = 1

3𝜋 r = 12cm

A=1

2. 𝜃. 𝑟2

A= 1

2.

1

3𝜋. (12𝑐𝑚)2

A = 16m2

θ = 2rad

r=?

A= 1

2θ. r2

16m2 = 1

2 .2. r2 √16m2 = √r2

4m = |r|

r=4

r= 4m

A=24𝜋𝑐𝑚2 ≅ 75,39 𝑐𝑚2

Otra forma de resolver

360° 𝜋. 𝑟2

60° A= 60°.𝜋.(12𝑐𝑚)2

360°

𝐴 = 24𝜋𝑐𝑚2 ≅ 75,39 𝑐𝑚2


a) A=19,365𝑐𝑚2 𝑟 = 10𝑐𝑚 𝜃 = ?

𝐴𝑠𝑐= 1

2𝜃. 𝑟2

19,365 𝑐𝑚2 = 1

2𝜃. (10 𝑐𝑚)2

19,365 𝑐𝑚2

50𝑐𝑚2 = 𝜃

0,3873 = 𝜃

180° = 𝜋 = 3,14159 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

3,14159 rad 180°

0,3873 rad 𝑥 =0,3873 𝑟𝑎𝑑.180°

3,14159 𝑟𝑎𝑑

𝑥 = 22,191° = 22°11′26,76′′

b) A del circulo = 78,54 𝑐𝑚2

A del sector circular = 𝐴𝑠𝑐

𝜃 = 30°

78,54 𝑐𝑚2 360°

𝐴𝑠𝑐 30°

78,54 𝑐𝑚2

𝐴𝑠𝑐=

360°

30°

78,54 𝑐𝑚2.30°

360° = 𝐴𝑠𝑐

𝐴𝑠𝑐= 6,545 𝑐𝑚2

𝜃 = 22°11′26,76′′

Otra forma de resolver

𝜋𝑟2 360°

19,365 𝑐𝑚2 𝜃 = 19,365 𝑐𝑚2.360°

𝜋(10𝑐𝑚)2

𝜃 = 22°11′26,76′′


a) Cálculo de la medida de los lados del rectángulo

Datos

Perímetro del rectángulo inscripto en la circunferencia = 68 cm

𝐸𝐻 = 2

3(𝐸𝐹 − 9𝑐𝑚)

𝐸𝐻 = 𝐹𝐺 Por ser lados opuestos paralelos y congruentes

𝐸𝐹 = 𝐺𝐻

Por lo tanto

2𝐻𝐸 + 2𝐹𝐸 = 68 𝑐𝑚

Reemplazamos 𝐸𝐻 = 2

3(𝐸𝐹 − 9𝑐𝑚) en

2𝐻𝐸 + 2𝐹𝐸 = 68 𝑐𝑚

2. [2

3(𝐸𝐹 − 9𝑐𝑚)] + 2𝐹𝐸 = 68 𝑐𝑚

2. [2

3𝐸𝐹 − 6𝑐𝑚] + 2𝐹𝐸 = 68 𝑐𝑚

4

3𝐸𝐹 − 12𝑐𝑚 + 2𝐹𝐸 = 68 𝑐𝑚


10

3𝐸𝐹 = 68 𝑐𝑚 + 12 𝑐𝑚

10

3 𝐸𝐹 = 80𝑐𝑚

𝐸𝐹 =80𝑐𝑚 . 3

10= 24 𝑐𝑚

Reemplazamos 𝐸𝐹 en

𝐸𝐻 = 2

3(𝐸𝐹 − 9𝑐𝑚)

𝐸𝐻 = 2

3( 24𝑐𝑚 − 9 𝑐𝑚) = 10𝑐𝑚

b) Cálculo del radio

Diagonal del rectángulo = 𝐹𝐻 = Diámetro de la circunferencia

𝐹𝐻 2 = 𝐸𝐻 2 + 𝐸𝐹 2

𝐹𝐻 2 = (10𝑐𝑚)2 + (24𝑐𝑚)2

|𝐹𝐻| = √676𝑐𝑚2

𝐹𝐻 = 26𝑐𝑚

𝐹𝐻

2= 𝑟

c) Cálculo del área del sector circular

A= 1

2 𝜃 𝑟2

𝜃 = 60° = 1

3𝜋

A= 1

2.

1

3𝜋. (13𝑐𝑚)2

𝐸𝐻 = 𝐹𝐺 = 10 𝑐𝑚

𝐸𝐹 = 𝐺𝐻 = 24cm

r = 13 cm

A= 169

6𝜋𝑐𝑚2 ≅ 88,488 𝑐𝑚2


Datos

𝐴𝐵 = 2𝐴𝐷 + 1

𝑃 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 + 𝐷𝐶 + 𝐴𝐵 =26 cm

Sabemos que

𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 Por ser lados opuestos congruentes del paralelogramo

𝐴𝐵 = 𝐷𝐶

a) Cálculo de los lados del paralelogramo

Escribimos el perímetro en función de los datos que nos brinda el problema

P = 2AD + 2AB (1)

Sustituimos AB = 2AD + 1 en (1) P = 2AD + 2. (2AD + 1)

26cm = 2AD + 4AD + 2

24 cm = 6AD

𝟒𝐜𝐦 = 𝐀𝐃

AB = 2 AD + 1

AB = 2 .4cm + 1

𝐀𝐁 = 𝟗 𝐜𝐦

𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 4 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 = 9 𝑐𝑚


b) Cálculo del área del sector circular DAE

Datos:

A = 30° = 1

6π

AD = radio del Sector circular = 4cm

Asc = 1

2θr2 ASC =

1

2.

1

6π. (4cm)2

TRIGONOMETRÍA DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Sea el triángulo rectángulo de la figura, podemos definir algunas razones entre los lados de este

según su relación con el ángulo .

Por ejemplo: ¿Tiene algún sentido plantearse estas razones entre los lados del triángulo?

Observemos la figura siguiente

Los triángulos ABC y ADE son ambos rectángulos y además del ángulo recto tienen otro ángulo igual (en este caso ). Entonces, también el tercer ángulo será igual ¿por qué? De acuerdo con uno de los criterios de semejanza expresados en la unidad anterior (Criterio ángulo-ángulo), estos dos triángulos resultan semejantes y por consiguiente se cumplen las proporciones:

ASC = 4

3πcm2 ≅ 4,188 cm2


Por consiguiente, no interesan las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos que podamos construir,

manteniendo constante (en magnitud y posición) el ángulo , las razones construidas tendrán siempre el mismo valor y dependerán solamente del ángulo en cuestión. Esto nos permite definir las llamadas funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.

Al ser 3 los lados de un triángulo existen 6 formas distintas de dividir 2 de ellos, por lo tanto, las funciones trigonométricas son 6. Estas son funciones del ángulo, mientras el ángulo se mantenga constante, independientemente de las longitudes de los lados, los valores de las funciones trigonométricas se mantienen igual.

a) tg �� =𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝

𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦= 3 =

3

1=

6

2=

12

4=

24

8= ⋯ = 3

b) tg �� =𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝

𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦= 5,5 =

11

2=

22

4=

33

6= ⋯ = 5,5

c) sen �� =𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝=

1

5=

2

10=

3

15= ⋯ =

1

5


cos �� =𝑎𝑑𝑦

ℎ𝑖𝑝=

𝑥

28→ 𝒙 = 28 ∙ cos ��

sen �� =𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝=

𝑦

28→ 𝒚 = 28 ∙ sen ��


tan �� =𝑜𝑝

𝑎𝑑𝑦=

𝑥

4→ 𝒙 = 4 ∙ tan ��

cos �� =𝑎𝑑𝑦

ℎ𝑖𝑝=

4

𝑦→ 𝒚 =

4

cos ��

El primero se forma trazando la diagonal en un cuadrado de lado 1. Se forman dos triángulos rectángulos cuyos catetos miden 1 y su hipotenusa mide 2 (Justifícalo). Además, los ángulos agudos miden 45º (¿Por qué?) El segundo se forma trazando la bisectriz (¿qué es?) del ángulo opuesto a la base en un triángulo equilátero cuyos lados miden 2. Se forman así dos triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos miden 60º y 30º, su hipotenusa mide 2, un cateto mide 1 y el otro mide 3 (explicar por qué). Para estos ángulos de 30º, 45º y 60º es fácil hallar sus razones trigonométricas, empleando las definiciones dadas en la página anterior. Realiza los cálculos necesarios para obtenerlos (No olvides racionalizar los denominadores).


a) sen �� =op

h=

3

5 cosec �� =

hip

op=

5

3

cos �� =ady

hip=

4

5 sec �� =

hip

ady=

5

4

tg �� =op

ady=

3

4 cotg �� =

ady

op=

4

3

sin �� =op

h=

3

5 (dato)

Para averiguar x aplicamos el teorema de Pitágoras:

52 = 32 + x2 → 25 − 9 = x2 → √16 = |x| → x = 4


Otra forma de hacerlo

𝐬𝐞𝐧 �� =𝟑

𝟓 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟏

𝐬𝐞𝐧 ��= → 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟏𝟑

𝟓

=→

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� = 𝟏:𝟑

𝟓= 𝟏 ∙

𝟓

𝟑=

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟓

𝟑

𝐬𝐞𝐧𝟐�� + 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 → 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐢𝐭𝐚𝐠ó𝐫𝐢𝐜𝐚

(𝟑

𝟓)

𝟐+ 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 → 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 −

𝟗

𝟐𝟓→ 𝐜𝐨𝐬𝟐�� =

𝟏𝟔

𝟐𝟓→ |𝐜𝐨𝐬 ��| = √

𝟏𝟔

𝟐𝟓

→ 𝐜𝐨𝐬 �� =𝟒

𝟓

𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏

𝐜𝐨𝐬��→ 𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟏𝟒

𝟓

→ 𝐬𝐞𝐜 �� =𝟓

𝟒

𝐭𝐠 �� =𝐬𝐞𝐧��

𝐜𝐨𝐬��→ 𝐭𝐠 �� =

𝟑

𝟓𝟒

𝟓

→ 𝐭𝐠 �� =𝟑

𝟓∙

𝟓

𝟒→ 𝐭𝐠 �� =

𝟑

𝟒

𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟏

𝐭𝐠 ��→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏𝟑

𝟒

→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟒

𝟑

𝑏) cos �� =ady

hip=

2

7 sec �� =

hip

ady=

7

2

sin �� =op

hip=

3√5

7 cosec �� =

hip

op=

7

3√5∙

√5

√5=

7√5

15

tan �� =op

ady=

3√5

2 cotg �� =

ady

op=

2

3√5∙

√5

√5=

2√5

15

cos �� =ady

hip=

2

7 (dato)


72 = 22 + x2 → 49 − 4 = x2 → √45 = |x| → x = 3√5



𝐜𝐨𝐬 �� =𝟐

𝟕 𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟏


𝟏𝟐

𝟕

→ 𝐬𝐞𝐜 �� =𝟕

𝟐

𝐬𝐞𝐧𝟐�� + 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 → 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐢𝐭𝐚𝐠ó𝐫𝐢𝐜a

𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =1

s𝐞𝐧��→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟏

𝟑√𝟓

𝟕

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟕

𝟑√𝟓→

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟕

𝟑√𝟓∙

√𝟓

√𝟓→

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟕√𝟓

𝟑√𝟓𝟐→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟕√𝟓

𝟏𝟓

𝐭𝐠 �� =s𝐞𝐧��

𝐜𝐨𝐬 ��→ 𝐭𝐠 �� =

𝟑√𝟓

𝟕𝟐

𝟕

→ 𝐭𝐠 �� =𝟑√𝟓

𝟕∙

𝟕

𝟐→ 𝐭𝐠 �� =

𝟑√𝟓

𝟐


𝐭𝐠 ��→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏

𝟑√𝟓

𝟐

→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟐

𝟑√𝟓∙

√𝟓

√𝟓→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟐√𝟓

𝟑√𝟓𝟐→

→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟐√𝟓

𝟏𝟓

c) tg �� =op

ady=

√3

1 cotg �� =

ady

op=

1

√3∙

√3

√3=

√3

3

sen �� =op

hip=

√3

2 cosec �� =

hip

op=

2

√3∙

√3

√3=

2√3

3

cos �� =ady

hip=

1

2 sec �� =

hip

ady= 2


tan �� =op

ady=

√3

1 (dato)


x2 = 12 + (√3)2

→ x2 = 4 → |x| = 2


𝐭𝐠 �� = √𝟑 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟏

𝐭𝐠 ��→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏

√𝟑→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏

√𝟑∙

√𝟑

√𝟑

→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =√𝟑

√𝟑𝟐→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

√𝟑

𝟑

𝐭𝐠𝟐�� + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐�� → (√𝟑)𝟐

+ 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐�� → 𝟑 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐�� →

→ 𝟒 = 𝐬𝐞𝐜𝟐�� →

→ |𝐬𝐞𝐜 ��| = √𝟒 →

→ 𝐬𝐞𝐜 �� = 𝟐

𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏

𝐜𝐨𝐬��→ 𝟐 =

𝟏

𝐜𝐨𝐬��→ 𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬�� = 𝟏 → 𝐜𝐨𝐬�� =

𝟏

𝟐

𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝐠𝟐�� = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� → 𝟏 + (√𝟑

𝟑)

𝟐

= 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� →

→ 𝟏 +𝟑

𝟗= 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� → 𝟏 +

𝟏

𝟑= 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� →

→𝟒

𝟑= 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� → |𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 ��| = √

𝟒

𝟑 →

→ |𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 ��| =𝟐

√𝟑→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟐

√𝟑∙

√𝟑

√𝟑→

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟐√𝟑

√𝟑𝟐→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟐√𝟑

𝟑


s𝐞𝐧��→

𝟐√𝟑

𝟑=

1

s𝐞𝐧��→ s𝐞𝐧�� =

𝟏

𝟐√𝟑𝟑

→ s𝐞𝐧�� =𝟑

𝟐√𝟑→

→ s𝐞𝐧�� =𝟑

𝟐√𝟑∙

√𝟑

√𝟑→ s𝐞𝐧�� =

𝟑√𝟑

𝟔→

→ s𝐞𝐧�� =√𝟑

𝟐


d) cotg �� =ady

op= 1 tg �� =

op

ady= 1

cosec �� =hip

op= √2 sen �� =

op

hip=

1

√2∙

√2

√2=

√2

2

sec �� =hip

ady= √2 cos�� =

ady

hip=

1

√2∙

√2

√2=

√2

2

cotg �� =ady

op= 1 (dato)


x2 = 12 + 12 → x2 = 2 → |x| = √2


𝐜𝐨𝐭𝐠 �� = 𝟏 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟏

𝐭𝐠 ��→ 𝟏 =

𝟏

𝐭𝐠 ��→ 𝟏 ∙ 𝐭𝐠 �� = 𝟏 →

→ 𝐭𝐠 �� = 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� = 𝟏 + 𝐭𝐠𝟐�� → 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� = 𝟏 + 𝟏𝟐 → 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐�� = 𝟐 →

→ |𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 ��| = √𝟐 → 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� = √𝟐


s𝐞𝐧��→ √2 =

1

s𝐞𝐧��→ √2 ∙ s𝐞𝐧�� = 𝟏 → s𝐞𝐧�� =

𝟏

√𝟐→

→ s𝐞𝐧�� =𝟏

√𝟐∙

√𝟐

√𝟐→ s𝐞𝐧�� =

√𝟐

𝟐


𝐜𝐨𝐬 ��→ 𝟏 =

√𝟐

𝟐

𝐜𝐨𝐬 ��→ 𝐜𝐨𝐬 �� =

√𝟐

𝟐

𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏


𝟏

√𝟐

𝟐

→ 𝐬𝐞𝐜 �� =𝟐

√𝟐∙

√𝟐

√𝟐→ 𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟐√𝟐

𝟐→

→ 𝐬𝐞𝐜 �� = √𝟐


e) sec �� =hip

ady= 7 cos �� =

ady

hip=

1

7

cosec �� =hip

op=

7

4√3∙

√3

√3=

7√3

12 sen �� =

op

hip=

4√3

7

cotg �� =ady

op=

1

4√3∙

√3

√3=

√3

12 tg �� =

op

ady= 4√3

sec �� =ℎ𝑖𝑝

𝑎𝑑𝑦= 7 (dato)


72 = 12 + x2 → 49 − 1 = x2 → √48 = |x| → x = 4√3


𝐬𝐞𝐜 �� = 𝟕 𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏

𝐜𝐨𝐬��→ 𝟕 =

𝟏

𝐜𝐨𝐬��→ 𝐜𝐨𝐬�� =

𝟏

𝟕

𝐬𝐞𝐧𝟐�� + 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 → 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒊𝒕𝒂𝒈ó𝒓𝒊𝒄𝒂

𝐬𝐞𝐧𝟐�� + (𝟏

𝟕)

𝟐= 𝟏 → 𝐬𝐞𝐧𝟐�� +

𝟏

𝟒𝟗= 𝟏 → 𝐬𝐞𝐧𝟐�� = 𝟏 −

𝟏

𝟒𝟗→

→ 𝐬𝐞𝐧𝟐�� =𝟒𝟖

𝟒𝟗→ |𝐬𝐞𝐧 ��| = √

𝟒𝟖

𝟒𝟗→ |𝐬𝐞𝐧 ��| =

√𝟒𝟖

𝟕→

→ s𝐞𝐧�� =𝟒√𝟑

𝟕


s𝐞𝐧��→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟏

𝟒√𝟑

𝟕

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟕

𝟒√𝟑→

→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟕

𝟒√𝟑∙

√𝟑

√𝟑→ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

𝟕√𝟑

𝟏𝟐


𝐜𝐨𝐬 ��→ 𝐭𝐠 �� =

𝟒√𝟑

𝟕𝟏

𝟕

→ 𝐭𝐠 �� =𝟒√𝟑

𝟕∙

𝟕

𝟏→ 𝐭𝐠 �� = 𝟒√𝟑


𝐭𝐠 ��→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏

𝟒√𝟑→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏

𝟒√𝟑∙

√𝟑

√𝟑→

→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =√𝟑

𝟏𝟐


f) cosec �� =hip

op=

13

12 sen �� =

op

hip=

12

13

sec �� =hip

ady=

13

5 cos �� =

ady

hip=

5

13

cotg �� =ady

op=

5

12 tg �� =

op

ady=

12

5

cosec �� =ℎ𝑖𝑝

𝑜𝑝=

13

12 (dato)


132 = 122 + x2 → 169 − 144 = x2 → √25 = |x| → x = 5


𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏𝟑

𝟏𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 �� =

1

s𝐞𝐧��→

13

12=

1

s𝐞𝐧��→

→ s𝐞𝐧�� =𝟏

𝟏𝟑

𝟏𝟐

→ s𝐞𝐧�� =𝟏𝟐

𝟏𝟑

𝐬𝐞𝐧𝟐�� + 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 → 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐢𝐭𝐚𝐠ó𝐫𝐢𝐜𝐚

(𝟏𝟐

𝟏𝟑)

𝟐+ 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 →

𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟔𝟗+ 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 → 𝐜𝐨𝐬𝟐�� = 𝟏 −

𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟔𝟗→

→ 𝐜𝐨𝐬𝟐�� =𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟗→ |𝐜𝐨𝐬 ��| = √

𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟗→ 𝐜𝐨𝐬 �� =

𝟓

𝟏𝟑

𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏


𝟏𝟓

𝟏𝟑

→ 𝐬𝐞𝐜 �� =𝟏𝟑

𝟓


𝐜𝐨𝐬 ��→ 𝐭𝐠 �� =

𝟏𝟐

𝟏𝟑𝟓

𝟏𝟑

→ 𝐭𝐠 �� =𝟏𝟐

𝟏𝟑∙

𝟏𝟑

𝟓→ 𝐭𝐠 �� =

𝟏𝟐

𝟓


𝐭𝐠 ��→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =

𝟏𝟏𝟐

𝟓

→ 𝐜𝐨𝐭𝐠 �� =𝟓

𝟏𝟐


Ejercicio 13 Completar en base a los datos, en cada caso:

a) sen �� = 0,247 y cos �� = 0, 969

tg �� = sen ��

cos ��=→ tg �� =

0,247

0,969→ tg �� = 0,255

cotg �� = cos ��

sen ��=→ cotg ��

0,969

0,247→ cotg �� = 3,923

b) sen �� = 0,866 y tg �� = 1,732

tg �� =sen ��

𝑐𝑜𝑠�� → 1,732 =

0,866

𝑐𝑜𝑠�� → cos �� =

0,866

1,732 → cos �� = 0,5

sec �� =1

cos ��→ sec �� =

1

0,5→ sec �� = 2

c) tg �� = 1,05 y sec �� = 1,45

tg �� =sen ��

cos �� sec �� =

1

cos �� → cos 𝛼 =

1

sec ��

1,05 =sen ��

1

sec ��

→ 1,05 =sen ��

1

1,45

→ 1,05 ∙1

1,45= sen ��

→ sen �� = 1,05

1,45→ sen �� = 0,724

cosec �� =1

sen ��→ cosec �� =

1

0,724→ cosec �� = 1,381


d) cotg = 0,038 y sen = 0,9992

cotg �� =cos ��

sen ��→ 0,038 =

cos 𝛾

0,9992→ cos 𝛾 = 0,038 ∙ 0,9992

→ cos 𝛾 = 0,037

sec 𝛾 =1

cos 𝛾→ sec �� =

1

0,037→ sec �� = 27,027

trigonometrÍa: sistema de medición de ángulos

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