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  • LibrosMareaVerde.tk

    www.apuntesmareaverde.org.es

    Autores:JosLuisLorenteAragnyAndrsGarcaMirantes

    Ilustraciones:Elaboracinpropia,Wikipedia,BancodeImgenesdeINTEF

    MATEMTICASI:1deBachillerato

    Captulo4:Trigonometra

  • MatemticasI.BachilleratodeCiencias.Captulo4:Trigonometra Autores:AndrsGarcaMirantesyJosLuisLorenteAragnLibrosMareaVerde.tk Ilustraciones:Elaboracinpropia,Wikipedia,BancodeImgenesdeINTEFwww.apuntesmareaverde.org.es

    Trigonometra136

    1.RAZONESTRIGONOMTRICAS1.1.UNIDADESDEMEDIDADENGULOS1.2.RAZONESTRIGONOMTRICASDENGULOSAGUDOS1.3.RAZONESTRIGONOMTRICASDENGULOSARBITRARIOS

    2.CLCULODERAZONESDEUNOSNGULOSAPARTIRDEOTROS2.1.RAZONESTRIGONOMTRICASDELASUMADENGULOS2.2.RAZONESTRIGONOMTRICASDELARESTADENGULOS2.3.RAZONESTRIGONOMTRICASDELNGULODOBLE2.4.RAZONESTRIGONOMTRICASDELNGULOMITAD2.5.TRANSFORMACIONESDESUMADERAZONESTRIGONOMTRICASENPRODUCTOS

    3.IDENTIDADESYECUACIONESTRIGONOMTRICAS3.1.ECUACIONES3.2.SISTEMAS

    4.RESOLUCINGENERALDETRINGULOS4.1.TEOREMADELCOSENO4.2.TEOREMADELSENO4.3.RESOLUCINDETRINGULOS4.4.PROBLEMASDETRIGONOMETRACONMEDIDASSIMPLESYDOBLES

    Enelcursoanterioryatehabrsfamiliarizadoconlosconceptosmsimportantesdelatrigonometrayhastaesposiblequeconozcassuhistoria.Comoseguramentesabes, lapalabra trigonometrasignificamedicin de tringulos. Ms concretamente, viene delgriego "" ("trigonometria"), donde ""significatringuloy""significamedir.Es una de las disciplinas de lasMatemticasms antiguas.Hay tablillas babilnicas del siglo XX (antes de Cristo!) ypapiros egipcios del XVII a.C. que tratan temas detrigonometra.No slo son antiguos sus orgenes, tambin su desarrollo.Prcticamentetodoloquevamosaverenestecaptulo(queesesencialmente todo loquesesabe)acercaderesolucindetringulosyaloconocanlosgriegosenelsigloIIantesdeCristo. El enfoque suyo, sin embargo era fundamentalmente geomtrico y muchos teoremas quenosotrosvemosenformaalgebraicaseescribandemaneramuydiferente.Peroyaeranconocidos!Porquestedesarrollotanrpido?Laexplicacinnoesmuysorprendente.Latrigonometraseutilizamuchsimo en Astronoma, medida de terrenos (agrimensura) y navegacin, tres campos muynecesariosen lascivilizacionesantiguas.Ynopiensesque laAstronomasehacaporcuriosidad,eravitalsaberlosmovimientosdelosastrosparalascrecidasdelNiloyparaguiarbarcosporlasestrellas.Por eso existen instrumentos realmente antiguos demedidas de ngulos, como la ilustracin quepuedesverdelMuseoArqueolgicodeMadrid.En este captulo no slo veremos resolucin de tringulo. Tambin se estudiarn las identidades yecuaciones donde aparecen razones trigonomtricas. El estudio de estas frmulas se lo debemosfundamentalmentealacivilizacinhind(sigloXfundamentalmente).Dehechosenoycosenovienendelsncrito.Senovienedejy(cuerdadearco)ykoijy(jydelcomplementario).

    InstrumentoparamedirngulosMuseoArqueolgicodeMadrid

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    Trigonometra137

    1.RAZONESTRIGONOMTRICAS

    1.1.MedidadengulosEnelsistemasexagesimaldemedidadengulos,launidadeselgradosexagesimalquesedefinecomola trescientos sesenteava parte de un ngulo completo. Tiene dos divisores: elminuto que es lasesenteavapartedeungradoyelsegundoqueeslasesenteavapartedeunminuto.

    Probablementehayasvistoyaenelcursoanteriorque launidaddemedidadengulosenelSistemaInternacionaleselradin.

    El radin es un ngulo tal que cualquier arco que se leasociemide exactamente lomismo que el radio utilizadoparatrazarlo.Sedenotaporrad.

    Puestoqueaunngulocompletolecorrespondeunarcodelongitud2R,aunradinunarcodelongitudR,entonces:

    Nderadianesdeunngulocompleto= 22R

    Rrad

    Ylarelacinconelsistemasexagesimallaobtenemosapartirdelngulocompleto:

    ngulocompleto=360o=2 rad ngulollano=180o=radianes

    Porestarelacinseobtieneque1rad57,216o57o1258.

    Podramospor tantohaberdefinidoelradindeotramanera totalmenteequivalente,apartirde losgrados.

    Unradinson

    180gradossexagesimales.

    Porquestamedida?Noresultaunpocoextraousarunnmeroirracionalcomoparamedir?Haydosrazonesparaello.

    1. Conradianesesmuyfciltransformarlongitudesenngulosyviceversa.Congradosesunpocomscomplicado(tampocomucho).

    2. Cuandoveamosenestemismocurso lasderivadas, las funciones trigonomtricasseexpresanenradianes.Estoesasporquelasderivadassalenmssencillas.Perobueno,loveremosmsadelante.

    Actividadespropuestas1. Expresaenradianeslassiguientesmedidas:60o,120o,225o,330o.

    2. Expresaengradossexagesimales:4,

    32

    32,

    23

    y6

    10radianes.

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    Trigonometra138

    3. Cunto suman (en radianes) los ngulos de un tringulo? Cunto mide un ngulo recto enradianes?

    4. Paraver lautilidadde losradianes,supongamosunmvilquesemueveenunacircunferenciadedosmetrosde radio conuna velocidadde4m/s.Calcula su velocidaden rad/s yen gradosporsegundo.cuntasvueltasdaporminuto?

    5. Unmvilharecorrido3radenunacircunferenciaderadio2m.Cuntoespacioharecorrido?Ysilacircunferenciatuvieraradio05m?

    6. Hemosrecorrido40gradosdeunacircunferenciaderadio2m.cuntoespaciohemosrecorrido?ysituvieraradio05m?Esmsfcilomsdifcilquehacerloconradianes?

    1.2.RazonestrigonomtricasdengulosagudosYa has visto el ao pasado cmo se definan las razones trigonomtricas en un tringulo. Noslimitaremosportantoarecordarcmosehacanyaintroducirlanotacinquevamosaseguirenestecaptulo.

    Losvrticesdeuntringulo losrepresentaremoscon letrasmaysculas,empezandoelalfabeto(A, B, C,).Elladoopuestoacadavrticelorepresentaremosconlaletraminsculacorrespondienteadichovrtice(a, b, c).Asuvezelngulocorrespondienteacadavrtice lorepresentaremosconlaletragriegaquetoque,empezandoelalfabetogriego(,,).

    Enotraspalabras:

    EnelvrticeAestelnguloyopuestoal,elladoa.

    EnelvrticeBestelnguloyopuestoal,elladob.

    EnelvrticeCestelnguloyopuestoal,elladoc.

    En la medida de lo posible usaremos siempre esa convencin, para todos los tringulos, seanrectngulosono.Tambinmarcaremoslosngulosrectoscomoenlafigura,conformacuadrada.

    Comoyasabes,sedefinenlasrazonestrigonomtricasdelngulocomo:

    hipotenusa

    opuestocatetosen ba

    hipotenusa

    contiguocatetocos

    bc

    contiguocatetoopuestocatetotg

    ca

    bcba

    cossen

    En ingls se escribe sin() para el seno y tan() para la tangente. Posiblemente lo tengas as en tucalculadora.

    Comoyahasvistoelaopasado,estadefinicinnodependedeltringuloelegido.

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    Trigonometra139

    Estas razonesno son independientesunasdeotras.Dehecho, si sabemosqueunnguloesagudo,bastaunaCUALQUIERAdelasrazonestrigonomtricasparacalculartodaslasdems.

    1. PRIMERARELACINFUNDAMENTAL: 1cos 22 sen

    2. SEGUNDARELACINFUNDAMENTAL:

    cossentg

    Unacuestindenotacin

    Esmuyhabitual,aunquenodeltodocorrecto,escribir loscuadradosde lasfuncionestrigonomtricas

    antesdelargumento.Esdecir 2sen quieredecir 2sen yNO sensen .Estanotacinesttangeneralizadaquecreemosconvenientequetehabitesaellayporesoeslaqueseguiremosapartirdeahora.Perofjateporfavorenloquesignifica.

    Tambinseutilizaparaotraspotencias.As,porejemplo 88 sensen y 1cos 22 sen .

    Actividadpropuesta

    7. En la figura se verifica el teorema de Pitgoras 222 cba .Utilizando dicho teorema, demuestra la primera relacinfundamental.

    8. Utilizando las definiciones de las razones trigonomtricas,demuestralasegundarelacinfundamental.

    Otrasrazonestrigonomtricas

    Ademsdelasrazonestrigonomtricasquehemosvisto,existenotrastresquesonunpocomenoshabituales.Sonlassiguientes:

    cos1sec

    senec1cos

    tgg1cot

    Actividadpropuesta9. Utilizandoladefinicindelasidentidades,demuestra:

    a) 22 sec1 tg b) 22 coscot1 ecg

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    Trigonometra140

    Razonestrigonomtricasde30oy60oConsideramos un tringulo equiltero de ladoL. Trazamos la alturacorrespondientealladosobreelqueseapoya.Conelloquedadivididoendostringulosrectngulosigualescuyosngulosmiden90o,30oy60 o.Adems lahipotenusamideLyunode sus catetosL/2.PorelteoremadePitgoraspodemosobtenerelquenosfalta:

    23

    43

    42

    222

    22 LLLLLLh

    Calculamoslasrazonestrigonomtricasde30oy60oeneltringulo

    ABH :

    23

    23:

    2360

    LLLL

    Lhsen o

    21

    2:

    230

    LLLLsen o

    21

    2:

    260cos

    LLLLo

    23

    23:

    2330cos

    LLLL

    Lho

    32

    32:2322

    2:60

    LLLL

    LhLhtg o ,

    33

    31

    322

    23:

    2:

    230

    LLLLhLtg

    Razonestrigonomtricasde45oAhoravamosatrabajarconuntringulorectnguloissceles.PongamosquelosdoscatetostienenunalongitudL.Utilizamosdenuevoel teoremadePitgorasyobtenemoselvalorde lahipotenusaxenfuncindeL:

    22 222 LLLLx

    Ahorapodemoscalcularyalasrazonestrigonomtricasde45o

    22

    21:

    245

    LL

    xLsen o

    22

    21:

    245cos

    LL

    xLo

    145 LLtg o

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