Trigonometría Moderna

AREA DE MATEMÁTICA

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Y SUS

RAZONES TRIGONOMETRICAS

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALEs aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier cuadrante del plano cartesiano.

x

Y

Lado inicial del ángulo en posición normal

Lado final del ángulo en posición normal

Medida del ángulo en posición normal

Ángulo en el 2do Cuadrante

o

Origen de Coordenadas

También son

llamados ∢s en

posición canónica

o estándar.

Y

X

Lado inicial

Lado Final

Medida del ángulo en posición normal

Ángulo ubicado en el

3er cuadrante

X

Y

Lado inicial

Lado Final

Ángulo ubicado en el

4to cuadrante

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0) el radio vector de dicho punto, entonces las Razones Trigonométricas de “ ” , se definen como sigue:

X

Y

yxP ;

y

x

rr

ySenθ

rradiovecto

ordenada

r

xCosθ

rradiovecto

abscisa

x

yTanθ

abscisa

ordenadayx

Ctgθ

xr

θSec

yr

θCsc

yxP ;

1. Del gráfico:

x

y 12;5

xy

Como:222 yxr

Entonces: 222 125 r

13r

Calcula todas las R.T. de

Luego:

1312

ry

Sen135

rx

Cos5

12

xy

Tan

125

yx

Ctg5

13

x

rSec

1213

yr

Csc

2) Calcula: CscθSecθ en:

-2

-1θ

Resolución.-

Lo primero será calcular el valor del radio vector

r

r

222 r12

Entonces: 5r;1y;2x

CscθSecθ Luego: yr

xr

1-5

2-5

CscθSecθ 252

25 2

53

θ

3. En el gráfico:

SecSen ( 4 ; 5)

Calcula:

( -4 ; -5)

Resolución.-

Trasladamos el punto (4;5) por simetría, haciendo rotaciones de 90°.

Luego: SecφSenφ =441

41

5

= 414

21

=

414

21

Oj0 .. ESTçN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

θ

( x ; y ) + ; -

TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS R.T. POR CUADRANTES

PRIMER CUADRANTE

Todas las Razones Trigonométricas

son Positivas

SEGUNDO CUADRANTE

El SENO y la CO-SECANTE son

Positivas, las demás Negativas.

TERCER CUADRANTE

La TANGENTE y la COTANGENTE son Positivas, las demás

Negativas.

CUARTO CUADRANTE

El COSENO y La SECANTE son

Positivas, las demás Negativas.

ÁNGULOS CUADRANTALESEntenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma n

2π

ó “90ºn” ; n Z

Ejemplo:

Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

x

y

90º

180º

270º

R.T. 0º, 360º 90º 180º 270º 0; 2 /2 3/2

sen 0 1 0 -1cos 1 0 -1 0 tg 0 N 0 Ncot N 0 N 0sec 1 N -1 Ncsc N 1 N -1

(0; 1)

(-1; 0)(1; 0)

(0; -1)

1º90 rr

ysen

r/º90

0r

r

ytg0º90cos

rr

x 0

360º

r=1

Veamos unos problemitas …

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Ejemplo 1 : Del siguiente gráfico calcular:

cot1210 senE cot1210 senE cot1210 senE

x

y

(1; -3)

cot1210 senE

10

10

Con el par ordenado del dato calculamos “r”:r2 = 12 + (-3)2 r =

Reemplazamos las definiciones:

3

112

10

3.10E

E = -3 + 4 E = 1

Ejemplo 2 : Indicar el signo resultante de la siguiente operación: E = sen130º . cos230º . tg330º

Ejemplo 3 : Indicar el cuadrante al que pertenece la medida angular

“” si: tg < 0 csc > 0

E = sen130º . cos230º . tg330º

II C III C IV C

E = + . - . - E = +

tg = - { IIC IVC }

csc = + { IC IIC } IIC

Calcular:ºab

ºb)º+(ab)+(a=E

csc2702

cos180sec360 22 Ejemplo 4 :

12

11 22

ab

babaE

ab

babaE

2

22

ab

abE

2

4

2E

Del gráfico calcular:Ejemplo 5 :

23

)(6

cos3

sen

senE

º180

º903

º180º30cos3

sen

senE

Tenemos que:

Entonces:

13

023

3

E

2

3EPor lo tanto

Te recomiendo practicar un poco más , sé perseverante, nada en la vida es fácil.