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FRT - UTN MATEMATICA - Trigonometría

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APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas

es el de ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y ÁNGULO DE DEPRESIÓN

α Línea Horizontal Ángulo de Elevación Es el ángulo α que forma la línea visual, que “sale” del ojo de un observador, que

mira hacia arriba, y la línea horizontal correspondiente.

Línea Horizontal β

Ángulo de Depresión

Es el ángulo β que forma la línea visual, que sale del ojo de un observador que

mira hacia abajo, y la línea horizontal.

Línea Visual

Línea Visual


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Resolución de Triángulos Rectángulos

Situación Problemática

Un hombre de 1,80m de altura, ubicado a 15 m de un árbol quiere conocer su

altura. El ángulo de elevación al extremo superior del árbol es 20º. Determine la

altura del árbol.

Conocemos (datos)

- el ángulo de elevación α= 20º

- la distancia desde el hombre al árbol D = 15m

- la altura de la persona A=1,8m

Se pide (incógnitas)

- la altura del árbol (H)

DESARROLLO

1º construimos una figura de análisis:

N

x

M P H

1,8 m

d

α


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Planteamos la expresión que permitirá determinar lo desconocido (H):

H = x + 1,80 (1)

En (1) desconocemos “x” que es el cateto opuesto al ángulo α (dato) del triángulo

rectángulo MNP. Por otra parte conocemos D que es el cateto adyacente del

triángulo.

La razón trigonométrica del ángulo α que relaciona ambos catetos es:

5,40m x

0,36 15. 20º tg . 15 x 15x

20º tg

=

==→=

(2)

Reemplazando (2) en (1): H= 5,40m + 1,80 m = 7,20m


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Considerando un sistema de ejes cartesianos, es posible representar cada una de las

razones trigonométricas por medio de segmentos. Para ello se considera una

circunferencia de radio unidad centrado en el origen de coordenadas, llamada

“circunferencia trigonométrica”. En ella podremos analizar que sucede con los

valores de las razones trigonométricas cuando el valor del ángulo esta comprendido

entre 0º y 360º( 0 a 2π rad)

De este modo podremos resolver situaciones problemáticas que son modelizadas por

triángulos oblicuos

Considere un ángulo, θ , con vértice en el origen de coordenadas, el lado fijo sobre

el eje de las abscisas y el lado móvil en el primer cuadrante.

Sea P(x,y) un punto sobre la circunferencia

determinado por la intersección del lado móvil

del ángulo con la circunferencia.

La proyección del punto P sobre el eje x,

determina el punto Q. El triángulo POQ es un

triángulo rectángulo con catetos de longitudes

x e y.

Por la definición se tiene que:

sen y y 1y

OP

PQ

hipotenusa

opuesto cateto sen θθ =⇒====

El valor de θsen está representado por la ordenada del punto P

cos x x 1x

OP

OQ

hipotenusa

adyacente cateto cos θθ =→====

El valor de θcos está representado por la abscisa del punto P

0 xcon xy θ tg

xy

OQ

PQ

adyacente cateto

opuesto catetoθ tg ≠=→===

El valor de θtg es el cociente entre la ordenada y la abscisa de P

0 x Q(x,0)

P(x,y)

y θ

1


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• SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Los signos de las razones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas

del punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en que cuadrante

esté ubicado P.

Cuadrante “x” “y” Seno y cosec.

Coseno y sec.

Tangente/cotg.

0 y ; 0 ⟩⟩x

+

+

+

0 y ; 0 ⟩⟨x

+

-

-

0 y ; 0 ⟨⟨x

-

-

+

0 y ; 0 ⟨⟩x

-

+

-

P y

xa

P y

x

y P

x

x

y


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Ejemplo

Determine el cuadrante en que se encuentra el ángulo α en cada uno de los

siguientes casos:

a) sen α < 0 y cos α > 0

b) tg α < 0 y cos α < 0

c) sec α < 0 y cosec < 0

Respuestas:

a) α ∈ 4º cuadrante b) α ∈ 2º cuadrante c) α ∈ 3º cuadrante

• VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.

0 6

π

4

π

3

π

2

π

π

2

3π

π2

sen α 0 5,0

2

1 = 7,02

2 = 86,02

3 =

1 0 -1 0

cos α 1 86,0

2

3 =

7,02

2 = 5,02

1 = 0 -1 0 1

tg α 0 57,0

3

3 =

1 73,13 = ∃/ 0 ∃/ 0

cosec α ∃/ 2 41,12 = 15,1

3

3.2 =

1 ∃/ -1 ∃/

sec α 1 15,1

3

3.2 =

41,12 = 2 ∃/ -1 ∃/ 1

cotg α ∃/ 73,13 = 1 57,0

3

3 =

0 ∃/ 0 ∃/


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RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitagóras en el

triángulo POQ se tiene que:

222OPOQPQ =+

de lo que se deduce que:

1αcosαsen 22 =+ (1)

Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGÓRICA

Y como OQ

PQαtg = se tiene que

αcosαsen

αtg =

Además a partir de la relación (1) podemos deducir otras relaciones.

αcos1αsen 2±=

αsen1αcos 2±=

Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por sen2 α se tendrá que:

αsen1

αsenαcosαsen

22

22

=+

por lo que αeccosαgcot1 22 =+

Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por cos2 α :

αcos1

αcosαcosαsen

22

22

=+

por lo que αsec1αtg 22 =+

Entonces se tienen las siguientes relaciones

αeccosαgcot1 22 =+

αsec1αtg 22 =+


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APLICACIÓN DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran relaciones

trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o

variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los

ángulos sobre los que se aplican las relaciones).

Estas identidades son útiles para:

- simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas

- en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas.

Ejemplo

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica.

Respuesta:

xecxecx 222 cos)1.(cossec =−

xecxec

xecxsen

xecxsen

x

x

xecxsen

xsen

x

xecsenxx

xecxecx

22

22

22

2

2

22

2

2

222

222

coscos

cos1

coscos

.cos

1

cos1

.cos

1

cos11

.cos

1

cos)1.(cossec

=

=

=

=

−

=

−

=−


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TRABAJANDO CON LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Problema Directo y Problema Inverso

Problema Directo: A partir de un determinado ángulo α, determinar el valor de

las razones trigonométricas.

Ejemplo:

Si determine el valor del

La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG)

Problema Inverso: Conocido el valor de una razón trigonométrica, queremos

calcular el valor del ángulo.

Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ángulos de un

triángulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente

situación.

EJEMPLO

Uno de los extremos de una escalera de 6 m de longitud se apoya sobre un

edificio mientras que el otro extremo lo hace sobre un muro distante 3m de la base

del edificio. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la escalera?

Se tiene entonces que 2

1

6

3cos ==

m

mα

Por lo tanto , según los valores de la tabla de la pag. 108, rad3

πα =

3m

6m

α


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REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

El estudio que sigue se basa en la simetría de los puntos de los distintos cuadrantes,

respecto a los ejes de coordenadas y al centro.

• El ángulo se encuentra en el segundo cuadrante

Ejemplos

a) Determinar cos 150º

Como entonces

b) Encontrar los ángulos menores de un giro tal que sen x = 0,342

Despejando x se tiene x = arc sen 0,342 = 20º (valor obtenido usando la calculadora)

Pero como sen(180º-x) = sen x , entonces el otro ángulo que tiene el mismo seno que

20º es 160º

Las soluciones son º160º20 21 == xyx

sen(180-x) = sen x cos(180º-x)= - cos x tg(180º-x)= - tgx

cosec(180º-x)= cosec x sec (180º-x)= - sec x cotg(180º-x)= - cotg x


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El ángulo se encuentra en el tercer cuadrante

Ejemplos

a) Determinar tg 235º

b) Encontrar los ángulos menores a un giro tal que tg x = 11,43

Despejando x se tiene que x = arctg 11,43 = 85º (valor obtenido usando la

calculadora)

Pero como tg(x+180º)= tg x se tiene que el otro ángulo que tiene la misma tangente

es 85º + 180º = 265º


sen(x-180º) = - sen x cos( x-180º)= - cos x tg( x-180º)= tg x

cosec(x-180º)= - cosec x sec (x-180º)= - sec x cotg(x-180º)= cotg x


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• El ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante

Ejemplos

a)Determinar sen 300º

b) Encontrar los ángulos menores a un giro tal que cos x = 0,656

Despejando x se tiene x = arccos0,656 = 49º

Pero hay otro angulo con el mismo coseno, cos(360º -x )= cos x, entonces 360º – 49º = 311º


sen(360º -x )= - sen x cos(360º -x )= cos x tg(360º -x )= - tg x

cosec(360º -x )= - cosec x sec (360º -x )= sec x cotg(360º -x )= - cotg x


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TRIÁNGULOS OBLÍCUOS (oblicuángulo ó no rectángulos)1

Para la resolución de estos triángulos se emplean los siguientes teoremas:

Teorema del Seno

En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de

los ángulos opuestos correspondientes.

∧=

∧=

∧C sen

c

B sen

b

A sen

a

Se emplea cuando se conocen un lado y dos ángulos ó dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos

lados.

EJEMPLO

Calcula a qué altura está la estrella.

1 TRIÁNGULOS OBLÍCUOS son los triángulos que no tienen ningún ángulo recto

A

B

C

a

b

c

.

9,451 d

55

msen65º

500.sen55º;

55º sen

65º sen500

65º D ;º-70º-180ºD ;180º55º70ºD

≅→==

=∧

=∧

=∧

+∧

+∧

dd

424,7mm 70º sen 451,9.70º d.sen H ;dH

sen70º ≅===

70º 55º 500 km

H d


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Teorema del Coseno

En cualquier triángulo ABC se tiene:

∧+=

∧+=

∧+=

C cos b. . a 2.- 2b 2a 2c

B cos c. . a 2.- 2c 2a 2b

A cos c. . b 2.- 2c 2b 2a

En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido pero también

puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean calcular los ángulos

del triángulo.

EJEMPLO

A

B

C

a

b

c

Se desea construir un túnel a

través de una montaña.

Un topógrafo realizó las

mediciones que se muestran en

el dibujo. Determine la longitud

del túnel.

84 m 136 m 78,5º


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Una aplicación del Teorema del Coseno es la fórmula de Herón

Fórmula de Herón2

El área de un triángulo ABC está dad por:

c)(p . b)(p . a).(p p S −−−=

con: 2

cbap

++=

Se aplica cuando se conocen los tres lados del triángulo.

EJEMPLO

Los vecinos de un barrio cerrado de Yerba Buena

proponen la construcción de un Parque Familiar

Recreativo en sus adyacencias. El terreno sugerido

para tal fin es de forma triangular y los frentes del

mismo en las tres calles adyacentes son de 125m,

104m y 156m. Determine el área del lote.

Desarrollo

determine p:

aplique la fórmula de Herón, el área del parque es:

2 Herón (o Hero) de Alejandría (aproximadamente año 10 dC. - alrededor de los años 70) fue un ingeniero griego, que se destacó en Alejandría (provincia romana de Egipto).

A

B

C

a

b

c


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TRABAJANDO CON ÁNGULOS Y ARCOS

1- Une con una flecha la 1º y 2º columna según corresponda. Considera π = 3,14

Sistema Sexagesimal Sistema Circular

42º 29’ 36’’ 2,54 rad

150º 2,61 rad = π

6

5

36º 18’ π9

5

270º 0,63 rad

146º 36’ 4,71 rad= π

2

3

100º 0,74 rad

2) Se desea construir un cantero rectangular coronado

en un extremo por un arco de circunferencia con centro en A ,

tal como se muestra en la figura. Determine la longitud del arco si

∧α =120º.

3) En la figura, la medida del segmento AB es:

A αααα

a) 32 +

b) 32 − c) 2 d) 1

2m

TRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICO


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TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS

6) En la figura siguiente, la medida del lado x puede hallarse aplicando………………….

a) Teorema de Pitágoras

b) Definición de seno

c) Teorema del coseno

d) Teorema del seno

Justifica tu respuesta

7) En el triángulo de la figura siguiente, el valor de h es…………………..

3

2.15 )

3 . 15 )

2

3.15 )

3

3.15 )

d

c

b

a

Justifica tu respuesta. 8) Para hallar el valor del ángulo α de la figura siguiente, debemos aplicar……………

a) definición de tangente

b) teorema del coseno

c) definición de secante

d) definición de seno

Justifica tu respuesta

9) La altura de una torre es de 35m. Calcule la distancia entre las dos posiciones

sucesivas de un observador, de 1,80 m de altura si : α = 50° y β = 32°.

a) b)


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10) Desde un punto situado en una línea horizontal a 452m de la base de un edificio

se encuentra que el ángulo de elevación de la terraza del mismo es de 32º10'.

Calcule la altura del edificio.

11) La distancia entre dos edificios A y B es de 120 mts. Si el edificio A mide 98 mts

de altura y el ángulo de elevación desde el punto más alto del edificio A al punto

más alto del edificio B es de 31º, halle la altura del edificio B.

12) Un helicóptero viaja de una ciudad hacia otra, distantes entre si 40 km. En un

determinado momento, los ángulos que forman las visuales, desde el helicóptero

hacia las ciudades, con la horizontal son de 14º y 26º respectivamente.

a) A que altura esta el helicóptero

b) Qué distancia hay entre el helicóptero y cada una de las ciudades?

13) Desde el extremo más lejano del patio de una escuela, los ángulos de elevación

para observar el pie y el extremo de un mástil, colocado sobre el edificio son de

60º y 65º respectivamente. Calcular la altura del edificio sabiendo que la longitud

del mástil es de 3 metros.

14) Resuelva los siguientes triángulos oblicuángulos y calcular sus áreas

Sugerencia: Considere para la resolución, que los ángulos γβα , , son opuestos a los lados a, b, c,

respectivamente.

a) b) c)

15) Calcule CM

; ;

16) Para construir un túnel en una montaña que una las localidades P y T se

α γγγγ A C

B

M

C


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desea determinar su longitud. Para ello se elige un punto C desde donde pueden

verse ambas localidades , midiéndose : TC = 370m , PC = 442 m y el ángulo

TCP = 108° Calcule la longitud del túnel.

17) Se desea calcular la altura de la torre, para ello

se miden los ángulos de elevación desde los puntos

A y B. Con los datos de la figura tenemos que:

18) Al instalar una antena sobre un

terreno inclinado, como muestra la figura

siguiente, los cables que la sostienen

forman un ángulo de 40º con el mástil.

Halle las longitudes x y y de los cables,

teniendo en cuenta que la antena es

vertical

19) Tres pueblos A,B y C, están unidos por carreteras rectas. La distancia entre A y C

es de 10 Km; a los pueblos B y C los separa 9 Km. El ángulo que forman las

carreteras que unen A con B y B con C es de 120°. Calcula la distancia entre A y B.

20) En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 70 m, 85 m y 40 m.

Determina la amplitud de los ángulos que determinan las esquinas de la misma.


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PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMAS DE APLICACIÓN

a la INGENIERÍA y ARQUITECTURAa la INGENIERÍA y ARQUITECTURAa la INGENIERÍA y ARQUITECTURAa la INGENIERÍA y ARQUITECTURA

21) Determine el valor de las componentes horizontal y vertical de cada fuerza:

F1

F2

60º 50º

F3

F4

F1 = 60 kg

F2 = 40 kg

F3 = 80 kg

F4 = 50 kg

22) Halle la magnitud de la fuerza mínima F

necesaria para subir por un plano inclinado 20º

respecto a la horizontal, un cajón con herramientas

que tiene un peso P= 300 Kg. No considere rozamiento

entre el cuerpo y el plano.

Como ayuda te damos la figura de análisis y el siguiente dato: F = - FH

P

F

20º

F

α= 20º

FH

P


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23) Se desea construir un puente sobre

un río, que mide 10 m de ancho, de

manera que quede a una altura de 2 m

sobre el agua y que las rampas de acceso

tengan una inclinación de 20º. ¿Cuál debe

ser la longitud de la baranda?, ¿a qué

distancia del cauce se situará el

comienzo de la rampa?

24) La siguiente figura muestra el detalle de una unión de vigas de la cubierta de un

techo de dos aguas. Se considera que la misma recibe, en el nudo, un peso P= 80 kg

el que deberá ser soportado por los tirantes A y B que forman ángulos de 50º con la

vertical. Determine la fuerza que soportan ambos tirantes.

25) En el contrafrente de una vivienda, a 40m de la línea municipal, se proyecta la

construcción de un departamento. Determine cuánto habrá que levantar el terreno

en esa zona para tener una adecuada evacuación de las aguas pluviales y cloacales.

Considere un ancho de vereda de 3m y recuerde que la pendiente aconsejada de los

desagues es del 2%.

A B

3m 40m


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26) Termas de Río Hondo tiene una población de 27838 habitantes. Allí se

proyecta la construcción de un parque en un predio de forma triangular de

1590m, 1680m y 1770m.

Según códigos urbanísticos, cada 100 habitantes debe haber 0,405 hectáreas3 de

espacio libre.¿ Es suficiente este parque para la población de Termas?

27) En el parque construido en Termas,

se van a colocar juegos infantiles. El

encargado de hacerlos necesita conocer la

longitud que van a tener las escaleras de

los toboganes si sabe que los mismos

tendrán 5 m de bajada y que formarán un

ángulo de 20º con la horizontal. ¿Lo

ayudas?

28)En un estudio de arquitectura está realizando

la remodelación del salón auditorio de un Centro

Cultural. Una persona ubicada en la butaca central

de la primera fila está a 11 m de la pantalla de 16m

de largo y la ve bajo un ángulo α.

d

11m

Determina a que distancia “d” deberán ubicar la primera fila para mejorar la

visibilidad si se sabe que para ello el ángulo debe ser el doble que el anterior.

3 Recuerda que 1 ha = 10.000 m2. ¡Repasar Sistemas de Medición!


Página 124

29) Para iluminar la pista de tenis de un club, se va a colocar una fila de tubos

fluorescentes (en la figura comienza en O) protegidos por un portalámparas

longitudinal.

¿Con qué ángulo deberá colocarse el portalámparas para que los rayos de luz

iluminen exactamente la pista.

7m

3m

10m

A

0

B

C

α


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2)-180º.(náng.int Suma =

αααα ββββ

δδδδ ωωωω

Para resolver la situación planteada al iniciar el capítulo,

como tantas otras que se presentan en la vida diaria,

vamos a repasar algunos conceptos:

ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

“La suma de los ángulos interiores de un polígono se calcula así:

n = número de lados del polígono

θθθθ En este caso:

540º180º.32)180º.(5ωθδβα ==−=++++

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

EJEMPLO

Determine la medida de los ángulos α y β del triángulo que se indica.

Entonces, αααα = 2x - 68º = 2. 37º - 68º = 6º ; ββββ = 3x + 13º = 3. 37º + 13º = 124º

β=3x+13º

50º

α=2x - 68º ( ) ( )

37ºx185º5x

180º5º5x

180º50º133x68º2x

180º50ºβα

=→=

=−

=+++−

=++

APÉNDICEAPÉNDICEAPÉNDICEAPÉNDICE


Página 126

TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C.,

residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de

Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación

(teorema) que hoy lleva su nombre.

“ En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos”

EJEMPLO

El viento ha quebrado un árbol como se indica en

la figura. Si la longitud del tronco (AB) es 2m y

la longitud de la parte con ramas (BC) es 4 m,

determine a que distancia de la base toca la

punta del árbol el suelo. Los tramos AB y BC forma un ángulo de 90º.

4,47mAC20 AC

24222

BC2

ABAC2

BC2

AB2

AC

≅→=

+=+=→+=

A

B

C

+=→+=

+=→+=

+=→+=

22AC

222

22AB

222

22

BC 222

BCABBCABAC

BCACBCACAB

ACABACABBC

:deduce se que lo de


Página 127

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1) Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son congruentes

2) Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales

3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo

comprendido entre ellos congruente.

c´

b´

a´

b´ b


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TEOREMA DE TALES

Tales de Mileto (h. 639 ó 624 a.C - h. 547/6 a.C) fue el

iniciador de la indagación racional sobre el universo, por lo

cual se le considera el primer filósofo de la historia. Fue el

primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio

astrónomo) y tuvo como discípulo y protegido a Pitágoras

TEOREMA DE TALES.

Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las

medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual

a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es

decir, son proporcionales.

Aplicación:

Si consideramos las siguientes medidas de los segmentos:

PQ=2.5cm ; QR=3cm

UV=3.75cm ; V W=4.5cm

Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:

; es decir

es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.

Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema

P

Q

R

U

V

W


Página 129

fundamental de SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en

segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.

En los triángulos PQR y SQT, los ángulos correspondientes son congruentes y sus

lados homólogos proporcionales, por lo tanto los triángulos mencionados son

semejantes.

P

Q R

S

T

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