mariano benito trigonometría 1º bachillerato c.n.s. y t. razones trigonométricas relaciones entre...

Mariano Benito

Trigonometría1º Bachillerato C.N.S. y T.

•Razones trigonométricas•Relaciones entre las razones trigonométricas

•Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales

•Representación en la circunferencia unidad•Signo de las razones trigonométricas

•Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, …•Resolución de triángulos rectángulos

•Teorema del Seno•Teorema del Coseno

•Resolución de triángulos cualesquiera

Departamento de Matemáticas

Mariano Benito

ab

c

a

bsen

a

ccos

costan

sen

c

b

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Y sus inversas:

tgb

cg

c

a

senb

aec

1cot

cos

1sec

1cos

Mariano Benito

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

ab

c

1a

a

a

cb

a

c

a

bcosαsenα

2

2

2

222222

222

2222 sec

cosα

1

cosα

senαcosα

cosα

senα1tanα1

222

2222 cos

senα

1

senα

cosαsenα

senα

cosα1cotg1 ec

Mariano Benito

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES

0º

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360 º

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 1 0 0

cosec

1 -1

sec 1 -1 1

cotg 1 0 0

2

1

2

2

2

12

3

2

3

2

2

3

33

α

2 2

2

3

32

3

322

33

3

Mariano Benito

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1

senα

cosα

tgα

α

α en el primer cuadrante

90ºα0º

0º

90º

180º

270º

cotgα

secα

cosecα

Mariano Benito


senβ

cosβ

tanβ

β en el segundo cuadrante

180ºβ90º

β

0º

90º

180º

270º

cosec

sec

cotg

Mariano Benito


senγ

cosγ

tanγ

γ en el tercer cuadrante

270ºγ180º

0º

90º

180º

270º

γ

sec

cosec

cotg

Mariano Benito


senδ

cosδ

tanδ

δ

δ en el cuarto cuadrante

360ºδ270º

0º

90º

180º

270º

cotgδ

secδ

cosecδ

Mariano Benito

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Seno y Cosecante

Coseno y Secante

Tangente y Cotangente

+_+

_

+

+

+

+

__

__

Mariano Benito

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS

Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a.

a

-sen a

cos a

-tg a

-a

sen (-a) =

cos (-a) =

tg (-a) =

EJEMPLO:

sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º2

1

2

3

3

3

cos 330º = cos (-30º) = cos 30º

tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º

cosec (-a) = -cosec a

sec (-a) = sec a

cotg (-a) = -cotg a

Calcula las demás razones trigonométricas

Mariano Benito

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.

a

cos asen a

cotga

90º-a

sen (90º-a) =cos (90º-a) =

tg (90º-a) =

EJEMPLO:sen 60º = cos 30º

2

3

2

1

3

cos 60º = sen 30º

tg 60º = tg30º

sena

cosa

a)cos(90º

a)sen(90º

cosec(90º-a) = sec a

sec(90º-a) = cosec a

cotg(90º-a) = tg a


Mariano Benito

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.

a

sen a

-cos a

-tg a

180º-a

sen (180º-a) =

cos (180º-a) =

tg (180º-a) =

EJEMPLO:sen 150º = sen 30º

2

1

2

3

3

3

cos 150º = -cos 30º

tg 150º = -tg 30º

cosec (180º-a) = cosec a

sec (180º-a) = -sec a

cotg (180º-a) = -cotg a


Mariano Benito

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.

a

-sen a

-cos a

tg a

180º+a

sen (180º+a) =

cos (180º+a) =

tg (180º+a) =

EJEMPLO:

sen 210º = -sen 30º2

1

2

3

3

3

cos 210º = -cos 30º

tg 210º = tg 30º

cosec (180º+a) = -cosec a

sec (180º+a) = -sec a

cotg (180º+a) = cotg a


Mariano Benito

Resolución de triángulos rectángulos

Casos que pueden presentarse:I. Conocer un cateto y la hipotenusa

II. Conocer un cateto y un ángulo agudo

III. Conocer los dos catetos

IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo

ab

cA B

C

90º

Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos.

Mariano Benito

I. Conocer un cateto y la hipotenusa

cm.19.21369c

3691625bac 22222

a

b

cA B

C

90º

Datos: a = 25 cm., b = 16 cm.

Teorema de Pitágoras:

Definición de seno:

'29'12'50ºB90ºC

'31'47'39º4)arcsen(0.6B

0.6425

16

a

bsenB

Mariano Benito

II. Conocer un cateto y un ángulo agudo

.cm19.53cos35º

16

cosC

ba

a

bcosC

ab

cA

C

90º

Datos: C = 35º, b = 16 cm.

B

Los ángulos B y C son complementarios:

B = 90º - C = 90º - 35º = 55ºDefinición de seno y coseno de C:

cm11.20sen35º19.53senCaca

csenC

Mariano Benito

III. Conocer los dos catetos

ab

cA

C

90º

Datos: b = 16 m. c = 12 m.

B

m.20400a

4001216cba 22222

Teorema de Pitágoras:

Definición de tangente:

'12'52'36ºB90ºC

'48'7'53º)arctg(1.33B

1.3312

16

c

btgB

Mariano Benito

IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo

ab

cA

C

90º

Datos: a = 30 m. C = 25º

B

Los ángulos B y C son complementarios:

B = 90º - C = 90º - 25º = 65º

.m19.27º25cos30Ccosaba

bcosC

Definición de seno y coseno de C:

m.12.68sen25º03senCaca

csenC

Mariano Benito

Teorema del Seno

b

hsenA

a

hsenB

senAbh

senBah

A B

C

c

b ah

m n Igualando la h en ambas ecuaciones

senB

b

senA

a

senAbsenBa

Y en general se tiene: senC

c

senB

b

senA

a

TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante ……

Mariano Benito

Teorema del Seno

senC

c

senB

b

senA

a

º90sen

R2

senD

b

senB

b

…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

A B

C

90º D En el triángulo ABC:

En el triángulo ADC:

Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco de circunferencia.

ab

c

2R

Por lo tanto: R2º90sen

R2

senC

c

senB

b

senA

a

Mariano Benito

Teorema del Coseno

Acosbmb

mAcos

mcn A B

C

c

b ah

m nH

cosAb2cAcosbcAcosbbnmbnha

cosAb2cAcosbc2cmmcm)(cn222222222222

2222222

Para cualquier lado queda:

Ccosba2bac

Bcosca2cab

Acoscb2cba

222

222

222

Si el triángulo es

rectángulo queda el Teorema de Pitágoras.

Mariano Benito

Resolución de triángulos cualesquiera

Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos.

a

b

c

A

B

C

Casos que pueden presentarse:I. Conocer los tres lados

II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido

III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes

Mariano Benito

I. Conocer los tres lados

Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m.

a

b

c

A

B

C

Con el teorema del Coseno:

'34'28'50º364)arccos(0.6C0.636422152

172215

2ab

cbacosC

'45'37'86º588)arccos(0.0B0.058817152

221715

2ac

bcacosB

'43'53'42º326)arccos(0.7A0.732617222

151722

2bc

acbcosA

222222

222222

222222

Volver a resolución de triángulos cualesquiera

Mariano Benito

II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido

dm27.5cº30cos7102710Ccosba2bac 22222

Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º.

a

b c

A

BCCon el teorema del Coseno

calculamos c:

Con el teorema del Seno hallamos B:

'40'23'138º

'20'36'41º64)arcsen(0.6B0.664sen30º

5.27

7senC

c

bsenB

senC

c

senB

b

Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’:

y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’


Mariano Benito

III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Conocemos los lados a y b y el ángulo A.En este caso hemos de contemplar tres posibilidades.Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir:

h

b a

A

h

b

a

A

h

b

a

A

h

b

a

Ah

b a

A

hba

A

III.1 a < hIII.2 a = h

III.3 a > h

III.3.1 a > h y a < b

III.3.2 a > h y a > b


Mariano Benito

Ejemplo III.1 a<h

Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º

Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO

10=h20=b

a=7

30º=A

c

Volver al caso IIIVolver a resolución de

triángulos cualesquiera

Mariano Benito

Ejemplo III.2 a=h


Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

10=h20=b a=10

A=30º c B

C B = 90º, C = 90º-A = 60º

cosA = c/b = c/20

c = 20.cosA = 17.32 m.

Volver al caso IIIVolver a resolución de

triángulos cualesquiera

Mariano Benito

Ejemplo III.3.1 a > h y a < b


Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES.

Volver al caso III

h=10

20=b

a=15

A=30º

h=10

20=b

15=a

A=30ºB B

B agudo

C = 180-A-B = 108º11’23’’

c=(a.senC)/senA= 28.50 m.

B obtusoC = 180-A-B = 11º48’37’’c=(a.senC)/senA= 6.14 m.

''23'11º138

''37'48º41B66.0

15

)2/1(20

a

senAbsenB

senB

b

senA

a

c c


Mariano Benito

Ejemplo III.3.2 a > h y a > b

.m23.40senA

senCac

''19'25º126BA180C''42'34º23B4.025

)2/1(20

a

senAbsenB

senB

b

senA

a

Volver al caso III


Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA

SOLUCIÓN.

h

b a

A

Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 25 m., b = 20 m. y A =

150ºCalculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA

SOLUCIÓN.

hba

A

.m59.5senA

senCac

''18'25º6BA180C''42'34º23B4.025

)2/1(20

a

senAbsenB

senB

b

senA

a

B

B c

c

C

C


Mariano Benito

IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes

a

b

c

A

B

C

Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º.

Calculamos A = 180º – B – C = 105º

Con el teorema del Seno:

.dm18.5º105sen

º30sen10c

.dm32.7º105sen

º45sen10b

º30sen

c

º45sen

b

º105sen

10

senC

c

senB

b

senA

a


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