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  • Mariano Benito Trigonometra 1 Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonomtricas Relaciones entre las razones trigonomtricas Valores de las razones trigonomtricas de algunos ngulos principales Representacin en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonomtricas Relacin entre las razones trigonomtricas de algunos ngulos: opuestos, complementarios, Resolucin de tringulos rectngulos Teorema del Seno Teorema del Coseno Resolucin de tringulos cualesquiera Departamento de Matemticas
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  • Mariano Benito a b c RAZONES TRIGONOMTRICAS Y sus inversas:
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  • Mariano Benito RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS a b c
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  • Mariano Benito VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS PRINCIPALES 030456090180270360 sen0100 cos1001 tg0100 cosec1 sec11 cotg100
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  • Mariano Benito RAZONES TRIGONOMTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el primer cuadrante 0 90 180 270
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  • Mariano Benito RAZONES TRIGONOMTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el segundo cuadrante 0 90 180 270
  • Diapositiva 8
  • Mariano Benito RAZONES TRIGONOMTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el tercer cuadrante 0 90 180 270
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  • Mariano Benito RAZONES TRIGONOMTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el cuarto cuadrante 0 90 180 270
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  • Mariano Benito SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS Seno y Cosecante Coseno y Secante Tangente y Cotangente + _ + _ + + + + _ _ _ _
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  • Mariano Benito RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS OPUESTOS Dos ngulos a y b son opuestos si a + b = 0 (o 360). Son a y -a. a -sen a cos a -tg a -a sen (-a) = cos (-a) = tg (-a) = EJEMPLO: sen 330 = sen (-30) = -sen 30 cos 330 = cos (-30) = cos 30 tg 330 = tg (-30) = -tg 30 cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a cotg (-a) = -cotg a Calcula las dems razones trigonomtricas
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  • Mariano Benito RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ngulos a y b son complementarios si a + b = 90. Son a y 90-a. a cos a sen a cotga 90-a sen (90-a) = cos (90-a) = tg (90-a) = EJEMPLO: sen 60 = cos 30 cos 60 = sen 30 tg 60 = tg30 cosec(90-a) = sec a sec(90-a) = cosec a cotg(90-a) = tg a Calcula las dems razones trigonomtricas
  • Diapositiva 13
  • Mariano Benito RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ngulos a y b son suplementarios si a + b = 180. Son a y 180-a. a sen a -cos a -tg a 180-a sen (180-a) = cos (180-a) = tg (180-a) = EJEMPLO: sen 150 = sen 30 cos 150 = -cos 30 tg 150 = -tg 30 cosec (180-a) = cosec a sec (180-a) = -sec a cotg (180-a) = -cotg a Calcula las dems razones trigonomtricas
  • Diapositiva 14
  • Mariano Benito RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS QUE DIFIEREN EN 180 Dos ngulos a y b difieren en 180 si b - a = 180. Son a y 180+a. a -sen a -cos a tg a 180+a sen (180+a) = cos (180+a) = tg (180+a) = EJEMPLO: sen 210 = -sen 30 cos 210 = -cos 30 tg 210 = tg 30 cosec (180+a) = -cosec a sec (180+a) = -sec a cotg (180+a) = cotg a Calcula las dems razones trigonomtricas
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  • Mariano Benito Resolucin de tringulos rectngulos Casos que pueden presentarse: I. Conocer un cateto y la hipotenusa II. Conocer un cateto y un ngulo agudo III. Conocer los dos catetos IV. Conocer la hipotenusa y un ngulo agudo a b cAB C 90 Resolver un tringulo rectngulo es hallar todos sus lados y sus ngulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos.
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  • Mariano Benito I. Conocer un cateto y la hipotenusa a b cAB C 90 Datos: a = 25 cm., b = 16 cm. Teorema de Pitgoras: Definicin de seno:
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  • Mariano Benito II. Conocer un cateto y un ngulo agudo a b cA C 90 Datos: C = 35, b = 16 cm. B Los ngulos B y C son complementarios: B = 90 - C = 90 - 35 = 55 Definicin de seno y coseno de C:
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  • Mariano Benito III. Conocer los dos catetos a b cA C 90 Datos: b = 16 m. c = 12 m. B Teorema de Pitgoras: Definicin de tangente:
  • Diapositiva 19
  • Mariano Benito IV. Conocer la hipotenusa y un ngulo agudo a b cA C 90 Datos: a = 30 m. C = 25 B Los ngulos B y C son complementarios: B = 90 - C = 90 - 25 = 65 Definicin de seno y coseno de C:
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  • Mariano Benito Teorema del Seno A B C c ba h mn Igualando la h en ambas ecuaciones Y en general se tiene: TEOREMA DEL SENO: En todo tringulo la razn entre cada lado y el seno del ngulo opuesto es constante
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  • Mariano Benito Teorema del Seno y dicha constante es el dimetro de la circunferencia circunscrita al tringulo. A B C 90 D En el tringulo ABC: En el tringulo ADC: Los ngulos B y D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco de circunferencia. a b c 2R Por lo tanto:
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  • Mariano Benito Teorema del Coseno A B C c ba h mn H Para cualquier lado queda: Si el tringulo es rectngulo queda el Teorema de Pitgoras.
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  • Mariano Benito Resolucin de tringulos cualesquiera Resolver un tringulo es hallar todos sus lados y sus ngulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos. a b c A B C Casos que pueden presentarse: I. Conocer los tres lados II. Conocer dos lados y el ngulo comprendido III. Conocer dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos IV. Conocer un lado y los dos ngulos adyacentes
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  • Mariano Benito I. Conocer los tres lados Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. a b c A B C Con el teorema del Coseno: Volver a resolucin de tringulos cualesquiera
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  • Mariano Benito II. Conocer dos lados y el ngulo comprendido Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30. a b c A BC Con el teorema del Coseno calculamos c: Con el teorema del Seno hallamos B: Como el nico ngulo obtuso es A, B = 41 36 20: y A = 180- 30 - B = 108 23 40 Volver a resolucin de tringulos cualesquiera
  • Diapositiva 26
  • Mariano Benito III. Conocer dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos Conocemos los lados a y b y el ngulo A. En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro tringulo. Puede ocurrir: h ba A h b a A h b a A h b a A h b a A h b a A III.1 a < h III.2 a = h III.3 a > h III.3.1 a > h y a < b III.3.2 a > h y a > b Volver a resolucin de tringulos cualesquiera
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  • Mariano Benito Ejemplo III.1 a
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  • Mariano Benito Ejemplo III.2 a=h Resuelve el tringulo del que se conoce: a = 10 m., b = 20 m. y A = 30 Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 10 = 10 = h, TRINGULO RECTNGULO. 10=h 20=b a=10 A=30 cB CB = 90, C = 90-A = 60 cosA = c/b = c/20 c = 20.cosA = 17.32 m. Volver al caso III Volver a resolucin de tringulos cualesquiera
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  • Mariano Benito Ejemplo III.3.1 a > h y a < b Resuelve el tringulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30 Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. Volver al caso III h=10 20=b a=15 A=30 h=10 20=b 15=a A=30 B B B agudo C = 180-A-B = 1081123 c=(a.senC)/senA= 28.50 m. B obtuso C = 180-A-B = 114837 c=(a.senC)/senA= 6.14 m. cc Volver a resolucin de tringulos cualesquiera
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  • Mariano Benito Ejemplo III.3.2 a > h y a > b Volver al caso III Resuelve el tringulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 30 Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIN. h b a A Resuelve el tringulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 150 Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIN. h b a A B Bc c C C Volver a resolucin de tringulos cualesquiera
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  • Mariano Benito IV. Conocer un lado y los dos ngulos adyacentes a b c A B C Datos: a = 10 dm., B = 45, C = 30. Calculamos A = 180 B C = 105 Con el teorema del Seno: Volver a resolucin de tringulos cualesquiera

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