t_s2_razones trigonométricas de Ángulos agudos

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  • 1192

    TEMATRIGONOMETRASAN MARCOS REGULAR 2009 - III

    RAZONES TRIGONOMTRICASDE NGULOS AGUDOS

    I. CONCEPTOS PREVIOSTringulo ABC (recto en B)

    B A

    C

    a b

    c

    a y c (catetos) b ab c

    b (hipotenusa)

    II. DEFINICINLa razn trigonomtrica de un ngulo agudo se definecomo el cociente que se obtiene al dividir las medidasde las longitudes de sus lados del tringulo rectnguloque lo contiene con respecto a este ngulo agudo.De esta manera, con respecto a un mismo nguloagudo, podemos obtener seis distintos cocientes, paralos que se define:

    Cateto opuesto aSen AHipotenusa b

    Cateto adyacente cCos AHipotenusa b

    Cateto opuesto aTan ACateto adyacente cCateto adyacente cCot ACateto opuesto a

    Hipotenusa bSec ACateto adyacente c

    Hipotenusa bCsc ACateto opuesto a

    TRIGONOMETRA - TEMA 2

    III. PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS

    AB

    C

    c

    a b

    Aplicando definiciones:

    Se incluy en los exmenes de SAN MARCOS 2000, 2001, 2004 y 2007.

    En todo ABC (recto en B), se cumple elteorema de Pitgoras:a2 + c2 = b2

    a2 = b2 c2

    La trigonometra fue inventada como un medio para medirindirectamente las partes de un tringulo rectngulo. De hecho,la palabra trigonometra significa 'medicin de tres ngulos'.Actualmente la trigonometra tiene muchas aplicaciones que

    nada tienen que ver con tringulos, pero los conceptos bsicosse entienden mejor todava en relacin con el tringulorectngulo. Iniciamos nuestro estudio de la trigonometra conun breve anlisis del tringulo rectngulo.

  • 120TRIGONOMETRA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III2

    TEMA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS

    120

    A. Razones recprocas

    Sen A Csc A 1Cos A Sec A 1Tan A Cot A 1

    Comprobacin

    a bSen A Csc A 1 1 1 1b a

    B. Razones complementarias (Co-razones)De las definiciones, en (III) se observa:

    Sen A Cos C Tan A Cot C

    Sec A Csc C

    m A m C 90

    Ejemplo:

    Sen 70 = Cos 20

    Sec (30+x) = Csc(60 - x)

    Tan 70 = Cot 20

    Tan (50+ 50+ ) = Cot (40 - ) Cos (90 )= Sen Csc (x y) = Sec (90 x + y)

    En general:

    RT( ) CO RT(90 )

    C. El valor de una razn trigonomtrica solodepende de la medida del ngulo de referencia

    Sabemos:

    C.O.TanC.A.

    a mTanb n

    IV. TRINGULOS PITAGRICOSTringulos en que las longitudes de los lados sonnmeros enteros positivos.

    V. TANGENTE Y COTANGENTE DELNGULO MITAD

    A B

    C

    b a

    c

    ATan Csc A Cot A2

    ACot Csc A Cot A2

    Demostracon:

    A/2

    A/2

    A

    b

    b

    B

    C

    D

    a

    cA

    Se prolonga la base BA hasta el punto (D) de manera

    que AD = AC.

    Unimos el punto D y el punto C.

    El tringulo DAC es issceles.

    A b c b cCot2 a a a

    En el tringulo ABC:

    ACot Csc A Cot A2

    En todo ABC (recto en B)m A m C 90

    Si a y b son PESI, entonces m = ak ; n = bk .

  • 121SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRA2

    TEMA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS

    121

    Problema 1

    Si4Cosx5

    , calcula el valor de:E = 9 ( C o t

    2x + Csc2x)es:

    San Marcos 1997

    Nivel fcil

    A) 27 B) 41 C) 81/41D) 9/41 E) 41/9

    ResolucinUbicacin de incgnitaCalcula el valor de razonestrigonomtricas.

    Anlisis de los datos Sabemos:

    C.A.CosH

    C.A.CotC.O.

    HCotC.O.

    Operacin del problema:En el tringulo, reemplazando en E:

    4 5 16 25 41E 9 9 93 3 9 9 9

    2 2

    E = 41

    Respuesta: B) 41

    Problema 2De la figura QM y MR estn en la raznde 3 a 4. Calcula Tan .

    San Marcos 2003

    Nivel intermedio

    A)35 B)

    2 27

    C)25

    D)45 E)

    27

    Resolucin

    Ubicacin de la incgnitaCalcula el valor de una razntrigonomtrica (Tan)

    Anlisis del grfico

    VI. TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLESa. Exactos

    45

    45

    1 k

    1 k

    k 2

    60

    30

    2 k1 k

    k 3

    b. Aproximados

    37

    53

    3 k

    4 k

    5 k74

    16

    25 k7 k

    24 k

    VII.TABLA DE VALORES NOTABLES

    30 60 45 37 53

    Sen 1/2 3 /2 2 /2 3/5 4/5

    Cos 3 /2 1/2 2 /2 4/5 3/5

    Tan 3 /3 3 1 3/4 4/3

    Cot 3 3 /3 1 4/3

    Sec 2 3 /3 2 2 5/4 5/3

    Csc 2 2 3 /3 2 5/3 5/4

    Operacin del problema Trazamos MN perpendicular al

    lado PR.

    Tringulo rectngulo RNM(de 45)

    Dato:QM 3KMR 4K

    QM 3K Sea K 2MR 4K

    QM 3 2MR 4 2

    Tringulo rectngulo PQR(de 45)

    PQ = QR = 7 2 PR 14

    Conclusiones

    Graficando:

    4 2Tan10 5

    Respuesta: C)25

  • 122TRIGONOMETRA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III2

    TEMA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS

    122

    NIVEL I1. En un tringulo rectngulo, el

    coseno de uno de sus nguosagudos es 0,96. Si su hipotenusamide 50 m, hallar el permetro dedicho tringulo.A) 112 m B) 224 m C) 96 mD) 52 m E) 412 m

    2. Si 6Sen Csc 1 y es agudo,calcula 2 2A Cos Cot A) 1,7 B) 2,7 C) 3,7D) 4,7 E) 5,7

    3. ABCD es un cuadrado dondeBC = 5CE. Calcula Cos .

    A) 5/4 B) 41 /5

    C) 41 /4 D) 17 /5

    E) 17 /9

    4. Si F x Csc Tan 2Cos3n 2n n 1

    Calcula: F(2)A) 2 B) 2C) 22 D) 23

    E) 0

    NIVEL II5. En la figura, hallar "Tan "

    A) 2 B) 2

    C) 3 D) 3 /2

    E) 5

    6. Si Senx.Secy = 1, "x" e "y" sonngulos agudos.Calcula:

    x y x yE Tan .Cot .Tanx.Tany

    2 3

    A) 1 B) 2

    C) 3 D) 5

    E) 6

    7. Si: 3

    Sen 2x y Tanx 1

    2

    El valor de "q" es:

    2

    21 Tan x

    q1 Cot x

    A) 2 B) 2/3

    C) 3 D) 1/2

    E) 1/3

    8. Siendo "x" un ngulo agudo, secumple que:

    Sen Cot Secx . Csc Tan Secx 18 3

    Calcula: Tanx.

    A) 22 /11 B) 23 /11

    C) 2 6 /11 D) 26 /11

    E) 29 /11

    Problema 3En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.

    San Marcos 2008

    Nivel dficil

    A) 2sen cm B) 2ctg cmC) 2cos cm D) 2tg cmE) 2sec cm

    ResolucinUbicacin de incgnitaDeterminar la longitud del lado BC

    Anlisis de los datos o grficos

    Operacin del problema* Desde el punto E, trazamos una

    perpendicular al segmento CF.* BC // EH tambin BC = EH.* Graficamos:

    x

    2E

    H

    F

    Por resolucin:x = cos2x = 2cos

    Conclusiones

    En el sombreado:

    x =2cos

    Mtodo prctico

    Sabemos:

    Respuesta: C)2cos c m

  • 123SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRA2

    TEMA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS

    123

    9. Si

    2 2

    2 2ab Sen101 a b Cos80

    Mab Cos80 1 a b Sen10

    Simplifica:

    1 M1M

    A) b/a B) 2C) 2a/b D) 3b/aE) a/b

    10.En un tringulo rectngulo ABC(C = 90), se cumple:

    TanA + TanB =23

    (SecA + CscB)

    Hallar el valor de: E = SenA + CosBA) 3/2 B) 2/3C) 4/3 D) 3E) 5/3

    11.En un tringulo rectngulo (C = 90)se cumple:SenA . TanB SecB.TanA = 2Calcular: T = 2TanB.CscA 3A) 5 B) 1C) 1/2 D) 2E) 3

    12.Del grfico mostrado, determine elvalor de sabiendo que

    AB = BC = AC

    A) 1/2 B) 3 /8 C) 3 /4

    D) 2/5 E) 3 /6

    NIVEL III

    13.A partir del grfico, halla:

    P 1 Tan , siendo AB = BC = CD.

    A) 2 3 B) 4 3

    C) 6 3 D) 3 2

    E) 2 2

    14.Del grfico, calcula: " Tan "(T y C son puntos de tangencia).

    A) 1/3 B) 1/4C) 1/6 D) 1/8E) 1/16

    15.En el cuadrado ABCD, calcula:K 3Tan 9Tan ; A es un centrode EC.

    A) 3 B) 4C) 5 D) 6E) 7

    1. Completa (razones recprocas):Sen50 _______________Tan3x _______________Cos(y + 10) _______________

    2. Completar:

    3. Completa:I. Tan45 + 2Sen30 = ____________II. Csc30 + Sec245 = ____________III. 5Sen37 + Tan260 = ____________

    4. Completa (tringulo de Pitgoras):

  • 124TRIGONOMETRA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III2

    TEMA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS

    124

    5. Completa (razones complementarias)Sec50 = _____________

    Tan(25 + ) = _____________Sen = _____________

    6. De la figura:

    a = _________

    x = _________

    7. Completa:

    3Tan

    5

    Permetro = __________

    Cot 2,4

    rea = __________

    8. Completa:

    Cot __________2

    Tan __________2

    9. Sabiendo que 0 < x < 90

    Tan7xCot x 10 1 x ________

    Sen2x Cosx x ________

    10.Seala si los siguientes enunciados son verdaderos (V)o falsos (F):

    I. Cot1830' = Sec60 + Tan45 ( )

    II. Cot2630' = Sen30 + Cos60 ( )

    III. Tan2230' + 2Sen30 = Csc30 ( )

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