Distribución de ProbabilidadVariables continuas

Álvaro José Flórez

1Escuela de Ingeniería Industrial y EstadísticaFacultad de Ingenierías

Febrero - Junio 2012

Distribuciones de probabilidad continuas

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces una función dedensidad de X es una función f(x) tal que para dos númeroscualesquiera a y b con a ≤ b,

P (a ≤ X ≤ b) =∫ b

af(x)dx

Es decir, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo (a,b)es el área bajo la curva de la función de densidad. Además f(x) debecumplir:

f(x) ≥ 0

∫ ∞−∞

f(x)dx = 1

Ejemplo

Sea X la variable aleatoria continua que denota el diámetro de unorificio perforado en una pieza de un componente metálico. Los datoshistóricos muestran que la distribución de X (en mm) puede sermodelada por la siguiente función de densidad:

f(x) = 20e−20(x−12,5)

x ≥ 12,5

12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13.0

05

1015

20

mm

Den

sida

d

Si una pieza con un diámetro superior a 12.6 mm se desecha, ¿Cuáles la probabilidad de que una pieza sea desechada?

Valor esperado y varianza

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x).La media o el valor esperado de X, denotado como µ o E(X), es:

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx

La varianza de X, denotada como V (X) o σ2, es:

V (X) =

∫ ∞−∞

(x− E(X))2f(x)dx =

∫ ∞−∞

x2f(x)dx− E(X)2

La desviación estándar de X es igual a√V (X)

Ejercicio

La proporción de cierto aditivo en la gasolina determina su pesoespecífico, lo que, a su vez, determina el precio. Suponga que enla producción de gasolina la proporción de aditivo es una variablealeatoria X con función de densidad:

f(x) = 6x(1− x), 0 ≤ x ≤ 1

Si X < 0,5 se tendrá gasolina del tipo I a $1800 el litro, si 0,5 ≤X ≤ 0,8 se tendrá gasolina de tipo II a $2000 el litro; y, si X > 0,8se tendrá gasolina de tipo III a $2200 el litro.

• Calcule el valor esperado y la varianza de la proporción deaditivo.

• Cual es el porcentaje de producción de cada tipo de gasolina.• Calcular el precio medio por litro.

Distribuciones de probabilidad

Existen varias distribuciones especificas de probabilidad que seha demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversosproblemas prácticos. La elección de la distribución de probabilidadpara representar un fenómeno de interés debe ser motivada tantopor la comprensión de la naturaleza del fenómeno, como por laverificación de la distribución seleccionada a través de la evidenciaempírica.

En el caso discreto algunas de estas distribuciones son:

• Exponencial• Normal• Weibull• Uniforme• Gamma

Distribución exponencial

La variable aleatoria X que describe la distancia entre dos suceso sucesivosde un proceso poisson es una variable aleatoria exponencial con parámetroλ. La función de densidad X esta dada por:

f(x) = λe−λx

0 ≤ x <∞

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Den

sida

d

λ=2λ=1λ=0.5

Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetroλ, entonces:

E(X) =1

λV (X) =

1

λ2

Ejemplo

En una oficina de reclamos de una empresa de servicio público, setiene que el tiempo (en minutos) que dura el empleado en atenderun reclamo de un usuario, es una variable aleatoria con distribuciónexponencial con media 15 minutos. Si usted llega a la oficina dereclamos y en ese momento no hay cola de espera, pero el empleadoestá atendiendo a un usuario ¿Cuál es la probabilidad de que tengaque esperar menos de 5 minutos en ser atendido?

Suponga que el número de kilómetros que puede recorrer unautomóvil antes de que se le acabe la batería está distribuidoexponencialmente con un valor promedio de 10000km. Si unapersona quiere realizr un viaje de 5000km, ¿Cuál es la probabilidadde que llegue al final de su viaje sin tener que cambiar la batería?

Distribución Normal

La distribución normal es una de las distribuciones más importantesy de uso más frecuente en la estadística, puesto que gran partede la teoría fue desarrollada inicialmente para variables con estadistribución.

La gran mayoría de variables aleatorias que se estudianen experimentos físicos (alturas, pesos) son aproximadamentemodelados por una distribución normal.

Muchas distribuciones de probabilidad, incluyendo discretas, puedenser aproximadas por esta distribución (si se cumplen ciertascondiciones).

Aunque una variable no se distribuya normal, las sumas y promediosde las variables, si se cumplen ciertas condiciones, tendrán unadistribución normal aproximada (Teorema Central del Límite)

Distribución Normal

Una variable aleatoria X tiene distribución normal con parámetros µ(media) y σ2 (varianza) si su función está dada por:

f(x) =1√2πσ2

e−1

2σ2 (x−µ)2

σ > 0, −∞ < x <∞

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Den

sida

d

N(0,1)N(0,2)N(3,1)

Ejemplo

La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede sermodelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2

y una desviación estándar de 100Kg/cm2. ¿Cuál es la probabilidadde que la resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a6250Kg/cm2?

P (X < 6250) =

∫ 6250

−∞

1√2π(100)2

e− 1

2(100)2(x−6000)2

dx

Ninguna de las técnicas estándar se pueden usar para evaluar la expresiónanterior. En vez de eso, para µ = 0 y σ = 1 (normal estándar) se hanevaluado numéricamente y tabulado ciertos valores. A partir de estas tablasse puede usar para calcular probabilidades para cualquier µ y σ

Ejemplo

La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede sermodelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2

y una desviación estándar de 100Kg/cm2. ¿Cuál es la probabilidadde que la resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a6250Kg/cm2?

P (X < 6250) =

∫ 6250

−∞

1√2π(100)2

e− 1

2(100)2(x−6000)2

dx

Ninguna de las técnicas estándar se pueden usar para evaluar la expresiónanterior. En vez de eso, para µ = 0 y σ = 1 (normal estándar) se hanevaluado numéricamente y tabulado ciertos valores. A partir de estas tablasse puede usar para calcular probabilidades para cualquier µ y σ

Distribución normal

SiX tiene una distribución normal con media µ y desviación estándarσ, entonces:

Z =X − µσ

Tiene una distribución normal estándar. Así,

P (a ≤ X ≤ b) = P (a− µσ≤ Z ≤ b− µ

σ)

= P (Z <b− µσ

)− P (Z <a− µσ

)

Al estandarizar, cualquier probabilidad en la que interviene X sepuede expresar como una probabilidad asociada a una variablealeatoria Z (Normal Estándar)

Ejercicio

Una prestigiosa universidad de la región tiene como estrategia deselección la aplicación de una prueba de conocimientos, sobre cuyosresultados escoge al 20% de los estudiantes, quienes deben tenerlos mayores puntajes en dicho examen. Si las calificaciones de esteexamen siguen una distribución normal con media 65 y desviaciónestándar 20. Determine:

• La calificación mínima que debe obtener un estudiante para serseleccionado.

• Si se decide otorgar una beca a los estudiantes que presentanun puntaje superior a 98 puntos, que proporción de estudiantesserian becados?

• ¿Cuál es la probabilidad de que una calificación se encuentrealejada de su media en mas de dos desviaciones estándar?

EjemploUna empresa productora está interesada en conocer el gasto promediosemanal en cierto tipo de alimento de las familias de estratosocioeconómico medio, con el fin de diseñar una estrategia de mercadopara promover la demanda en el mercado. Para ello toma una muestra detamaño 30 y observa el gasto semanal del tipo de alimento.

gasto (miles de pesos)

dens

idad

30 40 50 60 70 80 90

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

EjemploUna empresa productora está interesada en conocer el gasto promediosemanal en cierto tipo de alimento de las familias de estratosocioeconómico medio, con el fin de diseñar una estrategia de mercadopara promover la demanda en el mercado. Para ello toma una muestra detamaño 30 y observa el gasto semanal del tipo de alimento.

gasto (miles de pesos)

dens

idad

30 40 50 60 70 80 90

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04 Normal(µ=61.73,σ=10.3)

Ejemplo

Una empresa productora está interesada en conocer el gasto promediosemanal en cierto tipo de alimento de las familias de estratosocioeconómico medio, con el fin de diseñar una estrategia de mercadopara promover la demanda en el mercado. Para ello toma una muestra detamaño 30 y observa el gasto semanal del tipo de alimento.

Si se supone que el gasto promedio semanal en cierto tipo de alimentode las familias de estrato socioeconómico medio se distribuye Normal conmedia 61.73 y desviación estándar 10.3.

¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste más de $75000 en esetipo de alimento?

Si la empresa quiere determinar el valor de su producto teniendo encuenta que mínimo el 60% de la población tenga capacidad de comprarlo.Basandose en la distribución de probabilidad de los datos ¿Cuál deberíaser el valor del nuevo producto?

Aproximación Binomial-Normal

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 n=10, p =0.1

x1

y1

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n=10, p =0.5

x1

y1

0 10 20 30 40 50

0.00

0.05

0.10

0.15

n=50, p =0.9

x1

y1

0 10 20 30 40 50

0.00

0.04

0.08

n=50, p =0.5

x1

y1

para valores de p cercanos a 0.5 y para valores de n más o menos grandes,las probabilidades acumuladas de una binomial se parezcan mucho a losvalores que se obtendrían si se usa una distribución normal

Aproximación Binomial-Normal

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 n=10, p =0.1

x1

y1

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n=10, p =0.5

x1

y1

0 10 20 30 40 50

0.00

0.05

0.10

0.15

n=50, p =0.9

x1

y1

0 10 20 30 40 50

0.00

0.04

0.08

n=50, p =0.5

x1

y1

para valores de p cercanos a 0.5 y para valores de n más o menos grandes,las probabilidades acumuladas de una binomial se parezcan mucho a losvalores que se obtendrían si se usa una distribución normal

Aproximación Binomial-Normal

Si X se distribuye binomial con n grande y p ≈0.5. Entonces sepuede hacer la siguiente aproximación:

X ∼ Normal(µ = np, σ2 = np(1− p))

Estadísticas publicadas por un periódico local muestran que en unanoche de fin de semana, en promedio, el 20% de los conductoresestá ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria lasiguiente noche de sábado, ¿Cuál es la probabilidad de que el númerode conductores ebrios sea:

1 Menos de 70?2 Más de 97?3 Entre 70 y 97?

Aproximación Binomial-Normal

Si X se distribuye binomial con n grande y p ≈0.5. Entonces sepuede hacer la siguiente aproximación:

X ∼ Normal(µ = np, σ2 = np(1− p))

Estadísticas publicadas por un periódico local muestran que en unanoche de fin de semana, en promedio, el 20% de los conductoresestá ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria lasiguiente noche de sábado, ¿Cuál es la probabilidad de que el númerode conductores ebrios sea:

1 Menos de 70?2 Más de 97?3 Entre 70 y 97?

Aproximación Poisson-Normal

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

λ=1

x1

y1

0 2 4 6 8 10

0.00

0.10

0.20

λ=2

x1

y1

0 5 10 15 20

0.00

0.04

0.08

0.12

λ=10

x1

y1

20 30 40 50 60 70 80

0.00

0.02

0.04

λ=50

x1

y1

El histograma de la distribución Poisson tiende a ser simétrico cuando λcrece

Aproximación Poisson-Normal

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

λ=1

x1

y1

0 2 4 6 8 10

0.00

0.10

0.20

λ=2

x1

y1

0 5 10 15 20

0.00

0.04

0.08

0.12

λ=10

x1

y1

20 30 40 50 60 70 80

0.00

0.02

0.04

λ=50

x1

y1

El histograma de la distribución Poisson tiende a ser simétrico cuando λcrece

Aproximación Poisson-Normal

Si X se distribuye poisson con λ grande. Entonces se puede hacer lasiguiente aproximación:

X ∼ Normal(µ = λ, σ2 = λ)

Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, suponiendo queel número de cheques falsos sigue una distribución Poisson,

¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 40 cheques falsosen una semana?

Aproximación Poisson-Normal

Si X se distribuye poisson con λ grande. Entonces se puede hacer lasiguiente aproximación:

X ∼ Normal(µ = λ, σ2 = λ)

Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, suponiendo queel número de cheques falsos sigue una distribución Poisson,

¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 40 cheques falsosen una semana?

Bibliografía

Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones ymétodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition.

Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería yciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.

Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadísticaaplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.