funciones continuas

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Presentacion en power point acerca de funciones continuas

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  • 1. Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado M.Sc. Jorge E. Hernndez H.

2. Contenido.

  • Introduccin.
  • Continuidad en un punto.
  • Continuidad en un intervalo.
  • Funciones Continuas.
  • Ejemplos.

3. Introduccin.

  • La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una lnea sin saltos, es decir, el trazo de un lpizsin despegar la punta del papel.

4. Introduccin.

  • Esta idea se traspone algrficode una funcin y de esto se deduce la definicin de continuidad de una funcin.
  • Observemos los siguientes grficos.

5. Continuidad en un punto

  • Definicin:
  • Decimos que una funcinf es continua en un puntox = a , si se cumplen las siguientes condiciones:

6. Continuidad en un puto.

  • La primera condicin

Establece que la funcin debe estar definida en el punto donde se requiere la continuidad, es decir,f(a) debe ser un nmero real. 7. Continuidad en un punto.

  • La segunda condicin

Establece que Los valores de la funcin deben aproximarse a un nico nmero real en la medida de quexse aproxime aa por la izquierda y por la derecha. 8. Continuidad en un punto.

  • La tercera condicin

Establece que Los valores de la funcin deben aproximarse precisamente alnmerorealf(a)en la medida de quexse aproxime aa por la izquierda y por la derecha. 9. Continuidad en un punto.

  • Ejemplo :La funcin definida por medio de
  • es continua en
  • En efecto,

10. Continuidad en un Punto.

  • En el grfico siguiente vemos la continuidad de esta funcin en el punto indicado:

11. Continuidad en un punto .

  • Ejemplo : La funcin definida por medio de
  • no es continua en
  • En efecto,f (1)no existe como valor numrico, puesto que al sustituir x por el nmero 1 obtenemos una divisin por cero. Tan solo el hecho que la funcin no cumpla esta condicin hace que no sea continua.

12. Continuidad en un punto.

  • Veamos el siguiente grfico.

13. Continuidad en un intervalo.

  • Definicin :
  • Decimos que una funcin es continua en un intervaloI, si es continua en cada elemento del interior del intervalo. Es decir, si se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, para cada puntocenint(I).
  • De la grfica del ejemplo anterior observamos que la funcin es continua en cualquier intervalo que no contenga el nmero 1.

14. Funcin Continua.

  • Definicin :
  • Decimos que una funcin es continua, cuando ella es continua en todo punto de su dominio.

15. Ejemplo # 1.

  • Determinar si la funcin
  • es continua.
  • Respuesta:
  • Ya que el dominio de esta funcin es todo el conjunto de nmeros reales, entonces, debemos probar las tres condiciones de continuidad en cada nmero real.

16. Ejemplo # 1.

  • Para hacer esto escogemos un nmero arbitrario, es decir, un nmeroa cualquiera, y verificamos las tres condiciones.

Obviamente los resultados anteriores coinciden, y por lo tanto esta condicin se cumple 17. Ejemplo # 1.

  • La grfica de esta funcin es

18. Ejemplo # 2.

  • Determinar si la funcin
  • es continua.
  • Respuesta : Observamos que la funcin dada posee dos reglas o formas para transformar el argumentox .

19. Ejemplo # 2.

  • la primera de ellas es vlida solo cuando el argumentoxobtiene sus valores en el intervalo,
  • la segunda regla es vlida solo cuando el argumentoxobtiene sus valores en el intervalo
  • Precisamente, cuandox = 2 , hay un cambio de regla.

20. Ejemplo # 2.

  • Estas observaciones nos ayudaran a determinar la continuidad de la funcin dada.
  • Seax = aen el intervalo
  • entonces,

Es claro que los valores anteriores son iguales 21. Ejemplo # 2.

  • Concluimos que la funcin es continua para los valores dexmenores que2.
  • Consideremosx = aen el intervalo con valores mayores que2 .

Es claro que los valores anteriores son iguales 22. Ejemplo# 2.

  • Solo queda estudiar la continuidad cuandox = 2 .

Los lmites laterales son distintos, en consecuencia el lmite no existe 23. Ejemplo # 2.

  • Como consecuencia la segunda condicin falla, lo que nos hace concluir que la funcin no es continua enx = 2 .Por lo tanto, la funcin no es continua. Veamos su grfica.

24. Fin de la presentacin.

  • Gracias por la atencin prestada.
  • M.Sc. Jorge E. Hernndez H.