distribuciones discreta-continuas

8/18/2019 DISTRIBUCIONES DISCRETA-CONTINUAS

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Material de Clases © German Pomachagua Perez 11-ene-16

Germán Elías Pomachagua Pérez

[email protected]

CLASE: DISTRIBUCIONES DISCRETAS

-

CONTINUAS


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TIPOS DE DISTRIBUCIONES

a) DISCRETAS: La variable toma un número entero

Distribución binomial

Distribución hipergeométrica Distribución Poisson

Distribución Geométrica

Binomial Negativa (Pascal)

b) CONTINUAS: La variable puede tomar cualquier valor dentrode un intervalo dado.

Distribución Uniforme Distribución Exponencial

Distribución normal Z Distribución t

Distribución Ji-cuadrada 2

Distribución F


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LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Un experimento es llamado de Bernoulli, si satisface las

siguientes características:

El experimento consta de un número n de pruebasindependientes

Cada prueba del experimento tiene solo dos resultadosllamados éxito o fracaso

La probabilidad de éxito se denotada por p quepermanece constante y no varia de una prueba a otra.La probabilidad de fracaso por q=1-p


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La distribución de probabilidad de x éxitos en n pruebas es:

Dónde:n: número de ensayos

x : número de éxitos en cada ensayo.n - x : número de fracaso en el ensayo

: número de maneras de obtener exactamente xéxitos en n pruebas

p: probabilidad de éxito en cualquier pruebaq = 1-p probabilidad de fracaso en cualquier prueba

!)!(

!

x xn

n

x

n

n , ........ , , xq p

x

n x X P

xn x 210 )(

E(X) = n p V(X) = n p q


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Ejemplo 1: La morosidad en el pago de los clientes que hacen uso de tarjetas decrédito es alrededor del 20%. Si se escogen al azar los estados de cuenta de 10clientes, hallar la probabilidad de que:a) Dos de ellas correspondan a clientes morosos.

SOLUCIÓN :Sea X: Número de personas morosasDatos: p =0.2 probabilidad de personas morosas

q = 0.8 probabilidad de personas no morosas (están al día en sus pagos)

b) Mas de tres correspondan a clientes morosos.

> 3 1 ≤ 3 1 0.8791 0.1209

c) Al menos una persona sea morosa

≥ 1 1 < 1 1 0 1 0.1074 0.8926

2 102 0.20.8 0.301989


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f) Cuál es el valor esperado y la desviación estándar del numero declientes morosos? E(x), V(x)

d) Ocho personas estén al día en sus pagos

Es semejante a decir que dos personas sean morosas

p=0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p=0.8 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8 108 0.80.2 0.301989e) Por lo menos seis sean de clientes al día en sus pagos.

≤ 4 =

10 0.2

0.8− 0.9672

2 10

2 0.2

0.8

0.301989

d) Si al menos una persona es morosa. ¿Cuál es la probabilidad de encontrarmenos de 4 personas morosas


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En Excel la distribución Binomial



En SPSS la distribución Binomial ir a Transformar / Calcular variable

Para la probabilidad puntual PDF.Binom(x,n,p)

Para la probabilidad acumulada CDF.Binom(x,n,p)En SPSS la distr ibu ción

Binomial

Para Generar números aleatorios RV.Binom(n,p)



En Minitab ir a Cal / Distribuciones de probabilidad / Binomial



Ejemplo2: AMD Corp. Fabricante de chips para PC, tiene un índice de defectos del5% en sus chips de microprocesador. La firma IBM uno de sus principales clientesencarga 500 chips de los cuales hay que elegir una muestra de 12. Si hay más de 2defectuosos en la muestra se devolverá a AMD el lote de 500.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el lote entero sea devuelto?Solución: Sea X: número de chips defectuososSí N= 500, p= 0.05, n=12,Si X>2 entonces Devuelto

9804.00988.03413.05404.0)(

)2()1()0()(

)(1)(

)2(1)2(

Aceptado P

X P X P X P Aceptado P

Aceptado P Devuelto P

X P X P

> 2 1 0.9805 0.0196

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 chip buenos?



• Calculando así para diferentes valores de p, se puede establecer unaFunción de Probabilidad de Aceptación, esto indica la probabilidad deaceptación de un lote para distintos índices de defectos



Ejemplo3:Las máquinas A y B producen, en promedio, 5% y 10% de productos

defectuosos, respectivamente Si se extrae 4 piezas de la producción de cada una.

¿Cuál es la probabilidad que en la muestra obtenida de A tenga exactamente un

producto defectuoso; mientras que en la muestra B tenga exactamente dos

productos defectuosos?

Solución: Definimos como variables aleatorias a

X = { Número de productos defectuosos en la muestra de A }

Y = { Número de productos defectuosos en la muestra de B }

Los rangos correspondientes son: RX = { 0, 1, 2, 3, 4} RY = { 0, 1, 2, 3, 4}

En este caso, cada producto extraído es un ensayo; esto es, las probabilidades de

éxitos son: = 0.05 = 0.10

Luego, probabilidad que se pide calcular esta dada por:

1 2 41 0.050.95x 42 0.1

0.9 0.0083



Ejemplo 4: Se sabe que los discos producidos en una empresa salen defectuososcon probabilidad, independiente unos de otros de 0.02. La compañía vende losdiscos en paquetes de 10 y garantiza el reembolso del dinero si más de 1 de 10discos sale defectuoso.a) ¿Cuál es la probabilidad de paquetes que se devuelven?b) Si alguien compra 3 paquetes ¿Cuál es la probabilidad de que devuelvan

exactamente uno de ellos?

Ejemplo 5: El gimnasio Gold Gym ha comprobado que el 20% de sus alumnosabandona durante el primer mes y el 80% restante permanecen todo el año.Supongamos que este año se inscribieron 20 alumnos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 abandonen durante el primer mes?b) Al hacer la inscripción se realiza un único pago anual de 600 dólares. Cada

alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 150 dólares.¿Cuál es el beneficio anual esperado?



Ejemplo 6: En una tienda de alquiler de autos, cada vez que un cliente alquile unautomóvil debe pagar como mínimo $20, Si alquila un auto tipo A debe pagar $15más, y si alquila un auto de otro tipo debe pagar $5 más. Se sabe que laprobabilidad de que un cliente alquile un auto tipo A es de 0.8. De 20 clientes quealquilan auto en esta tienda:

a) Determine la distribución de probabilidades de los clientes que alquilanautomóviles tipo A

b) Determine la utilidad y la utilidad esperada que producen a la tienda los20 clientes que alquilan automóviles Rpta: $660



LA DISTRIBUCIÓN HPERGEOMÉTRICA

Se aplica al muestreo sin reposición de una población finita, cuyos elementospueden ser clasificados en dos categorías: Defectuosos (r) y no defectuosos (N-r).

r N - r

x n-x

Las aplicaciones de la distribución hipergeométrica se encuentran en muchoscampos, sobre todo en el muestreo de aceptación, las pruebas electrónicas y loscontroles de calidad. Evidentemente, en muchos de estos campos el muestreo serealiza a expensas del artículo que se prueba; es decir, el artículo se destruye, por

lo que no se puede reemplazar en la muestra

Ó É



LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

CARACTERÍSTICAS

Se toma una muestra de tamaño n sinreemplazamiento de un conjunto finito de tamañoN.

Cada ensayo puede ser calificado por un éxito oun fracaso. La probabilidad de éxito no permanece

constante de un ensayo a otro (no sonindependientes)



donde:

N : tamaño de la poblaciónr : es el número total de defectuosos en la poblaciónn : tamaño de la muestra

x : es el número de defectuosos en la muestra

),min(,.......1,0 )( r n x

n

N

xn

r N

x

r

x X P

np x E )(

1)(

N

n N npq xV

N r p

La distribución de probabilidad de x éxitos en n pruebas es

Ej l 1 S b t l t d 50 A t d t l t



Ejemplo1: Se embarcan motores en lotes de 50. Antes de que tal cargamento seaaceptado, un inspector elige 5 motores y los revisa. Si ninguno de los motores probados esdefectuoso, el lote es aceptado. Si se encuentra que uno o más son defectuosos, seinspecciona el cargamento completo. Supongamos que, en realidad hay 3 motoresdefectuosos en el lote

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesaria una inspección de todo el cargamento?

Solución: Sea X : número de motores defectuosos.Se necesita una inspección al 100% sí X 1

N = 50r = 3 motores defectuososN-r = 47 motores no defectuosos

n = 5 tamaño de la muestra X 1

28.0

5

50

5

47

0

3

1)1(

)0(1)1(

X P

X P X P

b) ¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos 2 motores buenos?

),min(,.......1,0 )( r n x

n

N

xn

r N

x

r

x X P



En Excel la distribución Hipergeométrica



Ejemplo2: Un fabricante de puestas de metal señala que en un despacho de 6000puertas enviadas a una ferretería, 300 estas ligeramente dañadas. Si un compradoradquiere 9 de estas puestas, seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de queexactamente 4 estén dañadas?

Distribución Hipergeométrica Distribución Binomial

X: números de puertas defectuosas en

una muestra de 9 puertas

3006000 0.05

4 94 0.050.95

0.000609352

X: números de puertas defectuosas

r:= 300 número de puertas defectuosas

N-r=5,700 n=9

4 3004

57005

6000

9

0.00059978



Ejemplo 3 : Dos de cada 10 objetos que se fabrican en una línea de producciónresultan ser defectuosos, hecho fácil de apreciar con una simple prueba. ¿Cuál de lossiguientes casos es más probable?a) Encontrar los dos objetos defectuosos eligiendo al azar, sin reemplazamiento, 4

de ellosb) No encontrar ningún objeto defectuoso entre 2 elegidos al azar, con

reemplazamiento

Ejemplo 4: Para evitar que lo descubran en el aeropuerto de Lima, un viajero hacolocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras devitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de policía selecciona 3tabletas aleatoriamente para analizarlas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión denarcóticos?. Rpta: 0.815385

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión denarcóticos?. Rpta: 0.184615



Ejemplo 5: Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptaciónde los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas.Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 paraverificar si tienen algún articulo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se

regresa para verificarla al 100 %. Si no se encuentra ningún articulo defectuoso,la caja se embarca.a) ¿Cual es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos

defectuosos?b) ¿Cual es la probabilidad de que una caja que contiene solo un articulo

defectuoso se regresa para verificación?



Distribución de Probabilidad de Poisson

• El número promedio de ocurrencias de un evento por unidad de

medida (tiempo, espacio o volumen) es un valor conocido como

.

• Las ocurrencias de eventos en unidades de medida contiguasson independientes.

Se utiliza en situaciones donde una variable aleatoria es discreta de

tal modo que se adecua a un proceso de Poisson. Esto es:

Ejemplos:

Nº de clientes atendidos por cada 20 minutos.

Nº de defectos por metro de una tela.

Nº de automóviles por hora que pasan por un cruce, …

i ib ió d i



Distribución de Poisson

0 210 ,!

)(

... , , , x x

e x X P

x

Donde:

x : número de veces que ocurre un suceso= número promedio de ocurrencias del suceso por unidad detiempo o espacioe :2.718 )( )( xV x E

Si el numero esperado de ocurrencias en el intervalo es , entonces laprobabilidad de que haya exactamente x ocurrencias es:

NOTA: y X deben estar expresadas en las mismas medidas


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Ejemplo1: El número de accidentes por semana en una fabrica sigue unadistribución de Poisson con un promedio de 2 accidentes por semana.a) ¿Calcular la probabilidad de que en una semana haya algún accidente?b) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 4 accidentes?c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya mas de 2 accidentes?d) ¿Calcular a la probabilidad de que haya dos accidentes en una semana y dos

en la siguiente semana?e) Si sabemos que ha habido por lo menos un accidente. Hallar la probabilidad de

que en esa semana no haya más de tres accidentes

f) Es lunes y ha habido un accidente, hallar la probabilidad de que en aquellasemana no haya mas de 3 accidentes

Solución:

a) 0,8646b) 0,1954c) ?d) 0,0733e) 0,8348


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Ejemplo2: Los automóviles llegan a una garita de peaje aleatoriamente con un

promedio de 300 autos por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen por lo menos 8 durante 3 minutos?

b) Hallar la probabilidad de que en medio minuto lleguen más de 4 autos.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en 12 minutos lleguen a lo más 75 autos?d) Calcule la media y la varianza del número de autos que llegan cada 10

minutos.

Ejemplo3 : Suponga que en un establecimiento de comida rápida se atienden a 50

clientes por hora siguiendo una variable de Poisson.a) ¿Cuál es la probabilidad que se tenga que atender a menos de ocho clientes

entre las 5:00 p.m. y las 5:15 p.m.?b) Hallar la probabilidad de que entre las 4:00. y 4:30 p.m. se atiendan a más de

20 clientesc) Hallar la probabilidad de que entre las 4:00. y 4:10 p.m. se atiendan a 20

clientes


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Ejemplo 3: El numero de llamadas que llegan a cierta Central telefónica endeterminado periodo de tiempo sigue un proceso de Poisson de tasa 180llamadas la hora. La capacidad de la Central Telefónica permite atender unmáximo de 5 llamadas por minuto.

Calcular:

a) La probabilidad de que en un minuto determinado se reciban mas llamadasde las que se pueden atender.

b) La probabilidad de que en un intervalo de 5 minutos se produzcan mas de 10llamadas

c) La probabilidad de que en 2 minutos se produzcan exactamente 4 llamadas.d) El número medio de minutos por hora en que la Central Telefónica podrá

atender todas las llamadas recibidas


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Distribución geométricaConsideremos el siguiente experimento ε, con solo dos posibleseventos éxito y fracaso, se repite el experimento hasta obtener el

éxito por primera vez.Definimos la variable aleatoria X , como el número de pruebasindependientes que debe repetirse un experimento hasta que seobtiene el primer éxito

Entonces:......... , x pq x) P(X x 21 1

2)( 1

)( p

q xV p x E

1

1.

1

1

q

q p

nn

x

x pq


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Ejemplo 1. Los registros indican que una cierta vendedora tiene éxito en formular una venta en el 30% de sus entrevistas. Supóngase que una venta en unaentrevista es independiente de una venta cualquier otro momento.a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta vendedora tenga que tratar con 10

personas antes de hacer su primera venta?

b) ¿Cuál es la probabilidad que la primera venta se realice antes o en la décimaentrevista

Solución:x = 10 entrevistas antes de hacer su primera venta.p=0.3

− 1,2,3, . . .

10 0.70.3 0.0121061

≤ 10 =

0.7−0.3 0.971752


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Solución:X: numero de bits trasmitido hasta que ocurra el primer error

p=0.01a) Sea

b) La respuesta es

Ejemplo 2: La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal detransmisión digital y este se se reciba con error es de 0.01. Suponga que lastransmisiones son eventos independientesa) Cuál es la probabilidad de que el primer bit erróneo sea el 5to?

b) ¿Cuál es el numero promedio de transmisiones de bits hasta que ocurra el primererror?

c) Calcular P(µ-2α


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Ejemplo4: El costo de efectuar un experimento es de $1,000. Si el experimento falla,se ocurre en un costo adicional de $300 debido a ciertos cambios que se debenefectuarse antes de que se intente un nuevo ensayo. Sí la probabilidad de éxito encualquiera de los ensayos es 0.2 si los ensayos aislados son independientes y losexperimentos continúan hasta que se obtiene el primer resultado exitoso.

a) ¿Cuál es el costo esperado del procedimiento completo?Solución:Si C es el costo

X es el número de ensayos para obtener éxito X-1 es el número de ensayos fallados

x

x

pqqqqqqqq

1

.........

3600,3

2300,2

1000,1

cqqp x

cqp x

c p xSi

200,6300

2.0

11300)(

300)(1300)(

3001300

)1(3001000

C E

x E C E

X C

X X C

Costo del experimento$1,000

Costo adicional de $ 300 b) ¿Cuál es la probabilidad de que elexperimento cueste mas de $2,600?Rpta: 0.64

LA PASCAL)


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LA DISTRIBUCIÓN B INOMIAL NEGATIVA ( PASCAL)

Es una generalización de la distribución geométrica, donde la

variable aleatoria X es el numero de ensayos Bernoulli requeridos,hasta obtener r éxitos, con una probabilidad constante de éxito p

La distribución de X es

,.....1,

1

1)(

r r xq p

r

x x X P

r xr

Donde: X : número de ensayos hasta que ocurra el r éxitos.r : número de éxitos

X-r : número de fracasos

1

1

r

x:número de maneras de encontrar r éxitos en x ensayos

p

r x E )( 2)(

p

rq xV


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Ejemplo 1: Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que laprobabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en eltérmino de un año es de 0.20.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía

en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?

X: Número de pozos construido hasta que el 2do pozo requiera reparacionesr: 2 pozos requieren reaparicionesp=0.2

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta compañíaen un año dado sea el tercero en requerir reparaciones en un año?.

,.....1, 1

1)(

r r xq p

r

x x X P

r xr

08192.08.02.01216

)6(

42

X P

Ejemplo2: Si la probabilidad es de 0 4 de que un niño expuesto a una


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Solución:,.....1,

1

1)(

r r xq pr

x x X P r xr

0644.06.04.013

110)10(

73

X P

X: Número de niños expuestos hasta que el tercero contraiga la enfermedadr: 3 niños contagiados

p=0.84X-r :7 niños no contagiados

Ejemplo2: Si la probabilidad es de 0.4 de que un niño expuesto a unaenfermedad contagiosa la contraiga. ¿Cuál es la probabilidad de que el décimoniño expuesto a la enfermedad será el tercero en contraerla?


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Ejemplo 3: La ONPE cuenta con tres servidores idénticos para sus procesoselectorales. Se utiliza únicamente solo un servidor para operar las eleccionespresidenciales, las dos restantes se activan en caso de que el sistema primario falle.Durante una hora de funcionamiento la probabilidad de falla en el servidor primario

(o cualquiera de los servidores de respuesta activados) es 0.0005Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente.a) ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen los tres servidores?b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres servidores fallen durante 5 horas de

funcionamiento?

a) Sea X numero de horas de funcionamiento hasta que los 3 servidores fallenr=3 servidoresX-3:

Solución:

En el proceso el tercer servidor falla x = r, r+1……

.

000,60005.0

3)(

p

r x E


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)5()4()3()5( X P X P X P X P b) Como

P(x=3) Probabilidad de que en la tercera hora falle el tercer servidorP(x=4) Probabilidad de que en la cuarta hora falle el tercer servidor

P(x=5) Probabilidad de que en la quinta hora falle el tercer servidor

233333 )9995.0()0005.0(13

15)9995.0()0005.0(

13

14)9995.0()0005.0(

13

13)5(

X P

9

2333

10249.1

)9995.0()0005.0(6)9995.0()0005.0(3)0005.0(

,.....1, 1

1)(

r r xq p

r

x x X P

r xr

EJEMPLO 4: El lanzamiento de un cohete se considera seguro después de que se


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EJEMPLO 4: El lanzamiento de un cohete se considera seguro después de que sehan realizado tres pruebas exitosas. La probabilidad de una prueba con éxito es de0.8.a) Que probabilidad hay de obtener 3 éxitos en 6 pruebas del cohete? R: 0.08192b) Cual es la probabilidad de que el primer éxito se obtenga en la tercera prueba?

R: 0.032c) Al completar las tres pruebas con éxito, el cohete es lanzado. Este lanzamiento

proporciona una información que obtiene ingresos por $200,000 y para cadaprueba se invierten $10,000. Cual es la ganancia esperada en cadalanzamiento de un cohete? R: 162,500

Solución a) No interesa el ordenX = # de éxitos en "n" pruebas entonces D. Binomial

b) Interesa el orden

X = # de pruebas hasta obtener el "primer" éxito entonces D. Geométrica

c) Puesto que no se conoce X= el # de pruebas necesarias para conseguir las 3pruebas exitosas, entonces D. Binomial negativa

200,000 10,000

l ó l d d l d d f


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Ejemplo 5: La Dirección General de Transporte Terrestre del MTC pretende modificarla normativa de circulación de manera que un conductor pierda su permiso deconducir si recibe 3 multas por exceso de velocidad. Cada vez que el conductorconduce su coche, tiene una probabilidad igual a 0.001 de ser sancionado por

exceso de velocidad.a) ¿Calcule la probabilidad de que un conductor reciba su primera multa porexceso de velocidad la décimo quinta vez que conduzca su coche tras laaplicación de la nueva normativa? Rpta: 0.000986091

b) ¿Cuál es el número esperado de veces que conducirá el coche hasta que recibala primera multa por exceso de velocidad?. Rpta 1000

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor maneje su coche al menos 3veces hasta que reciba la primera multa?. Rpta 0.980

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor pierda su permiso de conducir lanovena vez que maneje su coche?. Rpta 2.7832E-8

e) ¿Calcule el número esperado de veces que manejará el coche un conductor

hasta que le sea retirado el permiso de conducir y su desviación típica?. RptaE(x)=3.000

f) Si un conductor ha salido ya 3 veces con su coche y todavía no ha sido multadopor exceso de velocidad, ¿cuál es la probabilidad de que conduzca al menosuna vez más antes de recibir la primera multa? Rpta ( ≥ 5/ ≥4)=0.99899

LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL


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LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL

La distribución exponencial es utilizadapara modelar tiempos de vida útil o desobrevivencia, como el tiempo

transcurrido hasta que falle uncomponente.

La distribución exponencial tiene funciónde densidad.

0 0

0 )(

x

xe x f

x

kx

x x

t

e x X P tanto Por lo

edt e x X P x F

)(

1)()(

1

1

Función de densidad exponencial


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1) Si X es el tiempo, entonces R(t)=P(X>t) es la CONFIABILIDAD que durante un

período t, la probabilidad de funcionar en forma apropiada un sistema en unperíodo de tiempo establecido.

2) La distribución Exponencial tiene la propiedad de falta de memoria, estoquiere decir que es la probabilidad de fallar es independiente del pasado, elsistema no envejece. Aunque pueda parecer algo irreal, no es descabelladopor ejemplo suponer que un fusible es “tan bueno como uno nuevo”mientras esté funcionado.

CONFIAB IL IDAD (FIAB IL IDAD )

t

t

s

t s

et X P s X t s X P

e

e

e

s X P

t s X P s X t s X P

)()/(

:tantoloPor

)(

)()/(

)(

l ió l di ib ió d i ó l i l


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Si la variable de interés es X: Número de ocurrencias por unidad de tiempo t, entonces

dicha variable tiene una distribución de Poisson con parámetro Si la variable de interés es Y: Tiempo transcurrido hasta la primera ocurrencia, ó tiempo

transcurrido entre dos ocurrencias consecutivas, entonces dicha variable tiene una

distribución exponencial con parámetro

Relación entre la distribución de Poissón y la Exponencial

Ejemplo: Si la tasa promedio de ocurrencia de los accidentes por mes en una mina es de4. La variable X: numero de accidentes diarios tiene una distribución de Poisson con

parámetro λ

. accidentes por día la variable Y: tiempo que transcurre entre un

accidente y el siguiente tiene una distribución exponencial con parámetro =7.5 días

Ej l 2 L l d i d l h it l Al ti d di


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Ejemplo2: La sala de emergencia del hospital Almenara, atiende en promedio aun asegurado que ha sufrido un accidente cada 15 minutos. Calcular laprobabilidad de que:a) Se atiendan al menos 10 asegurados en 2 horas Rpta 0.2834

b) Sean atendidos como máximo 8 asegurados en hora y media Rpta: 0.8432

c) De que la atención a un asegurado requiera mas de 30 minutos Rpta : 0.1353

d) De que la atención a un asegurado requiera mas de 2 horas Rpta : 0.000335462

R l ió t l di t ib ió d P i ó l E i l


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Ejemplo1: En una red de computadoras de una gran empresa, el acceso de usuarios al sistemapuede modelarse como un proceso Poisson con una media de 25 accesos por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en 6 minutos?

En este problema hay 2 variables X: Nº de usuarios que entra al sistema en un periodo de 6minutos (Poisson) t25 60´=1h2.5 6´=0.1h

08208.0!0

)5.2()0(

5.20

e X P

T: el primer acceso ocurra después de 6minutos(0.1 horas)λ=25/hora

6min=0.1 horaE(x)=1/25=0.04horas

08208.025)1.0( 1.0

)1.0(2525

edxeT P x

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer acceso que el primer acceso ocurra despuésde 6 minutos?

T: Tiempo que transcurre entre un acceso y el siguiente (el primer acceso ocurra despuésde 6 minutos (Exponencial)

donde 2.4 minutos en promedio por acceso.

08208.04.2

1)6(

6

)6(4.2

14

4.2

1

edxeT P x

Relación entre la distribución de Poissón y la Exponencial

Ejemplo1: El tiempo de vida de un transistor tiene una distribución exponencial con


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tiempo medio de vida de 600 horas. Si X representa el tiempo de vida del transistor.a) Muestre la función de densidad y la función de distribución acumulada de esta

variable aleatoria.b) ¿Cuál es la probabilidad de que se malogre antes de 400 horas? Rpta 0.4866

c) ¿Cuál es la probabilidad de que dure por lo menos 1,200 horas? Rpta 0.1353d) Si un transistor ha durado más de 400 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que dure

mas de 1,600 horas? Rpta: 0.1353

Ejemplo2: Durante el programa de mantenimiento anual que realiza una empresa sehan recogido los datos de las fallas de un conjunto de 50 válvulas mecánicas habiendofallado 2 de ellas. Para reprogramar el programa de mantenimiento preventivo que selleva actualmente en la empresa se desea saber:a) Tasa de fallos anual para dichas válvulas. Rpta: 0.04b) Qué probabilidad tiene una válvula de fallar antes de alcanzar un tiempo de

funcionamiento de 4 meses. Rpta: 0.01324

c) Cuál será la probabilidad de que la una válvula esté en funcionamiento al cabo de6 meses. Rpta :0.9802

d) Cuál será la probabilidad de que el tiempo de vida esté comprendido entre 4 y 6meses Rpta: 0.006569645

Ejemplo3: Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo


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Ejemplo3: Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyotiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria, distribuidaexponencialmente con tiempo promedio de falla es 5. Si 5 de estos componentes seinstalan en diferentes sistemas, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2

continúen funcionando después de 8 años? Rpta 0.2666

Ejemplo4 El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en unacafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con unamedia de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes

de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes? Rpta: 0.3968

Ejemplo5 La duración en horas de cierto circuito electrónico puede ser modeladapor la distribución exponencial con un promedio de 100 horas. El vendedor da alcomprador la siguiente garantía: si el circuito que compra le dura menos de 20 horas,le devolverá el dinero. El costo de fabricación de cada circuito es de $100 y el preciode venta es $200.a) Obtenga la ganancia esperada Rpta: 63.74b) Si el vendedor quiere incrementar la ganancia esperada en un 20% modificando

la garantía ¿Cómo quedara esta entonces? Rpta: 12.51

DISTRIBUCION UNIFORME


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Se dice que una variable aleatoria X esta distribuida uniformemente en a ≤X≤ b susi su distribución de probabilidad es

otro caso

b xaab x f

0

1)(

12

)()(

2

)(2

ab xV

ba x E

1

0

)(

b x

b xaab

a x

a x

X F


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Ejemplo 2: Los buses del Metropolitano llegan al paradero de la Vía Expresa enintervalos de 15 minutos a partir de la 7 de la mañana. Es decir llegan a las 7.00,7.15, 7.30, etc. Si un pasajero llega al paradero en un tiempo que está distribuidouniformemente entre las 7.00 y 7.30. Encuentre la probabilidad de que espere elbus.

a) Menos de 5 minutos R: 0,33b) Por lo menos 12 minutos R=0,20c) Si se seleccionan 10 pasajeros al azar . ¿Cuál es la probabilidad de mas de 2

esperen menos de 5 minutos R: 0,6930

Ejemplo 1: Sea x el tiempo entre dos pausas, en la pantalla de edición de unterminal (esto es el tiempo necesario para que la terminal procese un comandode edición y haga las correcciones en pantalla). Si la variable aleatoria sedistribuye uniformemente entre 0.5 y 2.25 segundos.

a) Calcular la media y la varianza.b) Calcular:P(μ-2σ≤X≤ μ+2σ)P(I X-μ l >2.5)


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Ejemplo 3: El tiempo que tardan los alumnos de la FIIS en realizar un examen deEstadística varia uniformemente entre 30 y 90 minutos.a) ¿Qué proporción de alumnos tardan más de 50 minutos en realizar el examen?b) Tomando al azar 10 alumnos, calcúlese la probabilidad de que al menos 4 de

ellos tarden menos de 50 minutos en realizar el examen.

Ejemplo 4: Una empresa tiene una curva de costos dada por la función C =1,000+2x ; siendo X el número de artículos. En el mercado vende cada unidad a $5. Lademanda de artículos es uniforme entre 25.000 y 30.000 unidades. Cuál es el

beneficio esperado? Rpta :$81,500

distribuciones discreta-continuas

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