distribuciones continuas importantes

ESTADÍSTICAAlgunas distribuciones

importantes de variablesaleatorias continuas

Vladimiro Contreras [email protected]

26 de septiembre de 2013

Índice

Índice 1

1. Distribución normal 2

2. Distribución normal estándar o tipificada 3

3. Distribución uniforme continua 4

4. Distribución exponencial 5

5. Distribución gamma 6

6. Distribución beta 7

7. Tablas 11

1

1 DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Distribución normalLa "distribución normal" o distribución de Gauss es sin duda la más impor-

tante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribu-ción es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos dedatos que ocurren en la naturaleza y la industria. Así pues para los siguientesconjuntos de datos, se puede considerar adecuada la distribución normal:

Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas, lluvias, etc.

Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud.

Las alturas de individuos de una edad y sexo dado.

Las medidas físicas de productos manufacturados.

La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc.

Definición 1.1. Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigueuna distribución normal de parámetros µ y σ si su función de densidad es:

f(x) =1

σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2 −∞ < x < +∞

Abreviadamente lo indicamos por X ∼ N(µ, σ2) en donde µ es la media y σ2

es la varianza.

Figura 1: grafica de la función de densidad f(x) = 1σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2

NOTA 1.1.

Se verifica que ∫ ∞

−∞

1

σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2dx = 1

Veamos ahora la representación gráfica de la función de densidad f(x) de laN(µ, σ2). Para ello veremos que se cumplen las siguientes propiedades:

V. Contreras T. Página 2

2 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR O TIPIFICADA

1. f(x) es continua en toda la recta real.

2. f(x) es simétrica respecto de x = µ es decir es simétrica respecto delparámetro µ.

3. f(x) tiene como asíntota horizontal el eje de abscisas.

4. f(x) es estrictamente creciente cuando x < µ, y estrictamente decrecientecuando x > µ.

5. f(x) presenta un máximo cuando x = µ, ese máximo vale f(µ) = 1σ√

2π

6. El área total que encierra la curva f(x) con el eje X es igual a 1.

2. Distribución normal estándar o tipificada

Veamos que la expresión f(x) =1

σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2 nos da la función de densi-

dad de una familia de distribuciones normales para los diferentes valores de losparámetros µ y σ. Dentro de esta familia de distribuciones normales hay una muyimportante, que corresponde a los valores de los parámetros µ = 0 y σ = 1, esdecir la distribución N(0, 1) y recibe el nombre de distribución tipificada oestándar, cuya correspondiente función de densidad se obtiene haciendo µ = 0

y σ = 1 en la expresión f(x) =1

σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2 .

Definición 2.1. Si la variable aleatoria X ∼ N(µ, σ2), entonces la variablealeatoria estándar Z = X−µ

σ, tiene distribución normal N(0, 1). En efecto, la

v.a.estándar Z tiene media E(Z) = 0 y varianza V (Z) = 1.

Además la probabilidad:

P [X ≤ x1] =

∫ x1

−∞

1

σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2dx

y estandarizando se tiene:

P [X − µ

σ≤ x1 − µ

σ] =

∫ x1

−∞

1

σ√

2πe−

12(x−µ

σ)2dx

Luego

P [Z ≤ z1] =

∫ z1

−∞

1√2π

e−12z2

dz

La función de densidad y la función de distribución acumulada de la normalestándar son respectivamente:

φ(z) =1√2π

e−12z2


3 DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA

Φ(z) =

∫ z

−∞

1√2π

e−12t2dt

Figura 2: grafica de la función de densidad φ(z) = 1√2π

e−12z2

Ejemplo 2.1. Supongamos que la demanda mensual de un bien de consumo sedistribuye normalmente con una media 650 kg y una desviación estandar de 100kg.

1. ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg?

2. ¿Qué cantidad de bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la de-manda en el 89,8% de los meses?

SoluciónX: demanda mensual de un bien de consumo.µ = 650 kg , σ = 100 kg

1. P [X ≤ 500] = P [X−µσ≤ 500−650

100] = P [Z ≤ −1, 5] = 1 − P [Z ≤ 1, 5] =

1− 0, 9332 = 0, 0668.

2. P [X < k] = 0, 898 ⇒ P [X−µσ

< k−650100

] = 0, 898 ⇒ P [Z < k−650100

] =0, 898 ⇒ k−650

100= 1, 27⇒ k = 777 kg

3. Distribución uniforme continuaEsta es la más sencilla de las distribuciones continuas. Surge al considerar

una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito y sunombre se debe al hecho de que la densidad de la probabilidad de esta variablealeatoria es uniforme en todo su intervalo de definición.

Sea un experimento aleatorio cuya variable aleatoria asociada toma valores enun intervalo finito, de manera que puede tomar cualquier valor de ese intervalo,entonces si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cadasubintervalo de la misma longitud es la misma, diremos que la variable aleatoriaestá distribuida uniformemente en ese intervalo.


4 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Definición 3.1. Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigueuna distribución uniforme en el intervalo real [a, b], con −∞ < a < b < +∞, sisu función de densidad es:

f(x) =

{1

b−aa ≤ a ≤ b

0 en el resto

Abreviadamente lo indicamos por X ∼ U(a, b) en donde a y b son los parámet-ros.

La función de distribución de una X ∼ U(a, b) está dado por:

F (x) =

0 x < ax−ab−a

a ≤ a ≤ b

1 x > b

Teorema 3.1. Si X ∼ U(a, b) entonces

E(X) =b + a

2y V (X) =

(b− a)2

12

4. Distribución exponencialDefinición 4.1. Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigueuna distribución exponencial de parámetro β, siendo β > 0,y se denota por X ∼Exp(β), si su función de densidad es

f(x) =

{β e−β x x ≥ 00 x < 0

Esta distribución está relacionada con la de Poisson, así pues si el númerode sucesos que ocurren en un determinado intervalo sigue una distribución dePoisson, entonces la variable aleatoria que representa el tiempo entre ocurrenciade sucesos sigue una distribución exponencial. Así, por ejemplo, si el númerode ventas semanales de un cierto modelo de autos sigue una distribución dePoisson, entonces el tiempo transcurrido entre las ventas seguirá una distribuciónexponencial.

También se pueden modelizar mediante la distribución exponencial las sigu-ientes situaciones: - la duración de la prestación de un servicio. - el tiempo entrellegadas sucesivas a una cola o punto de servicio. - el tiempo de duración de al-gunos equipos, etc.

La función de distribucion de una v.a. X ∼ Exp(β) esta dada por

F (x) = P [X ≤ x] =

{1− e−β x si x ≥ 00 si x < 0


5 DISTRIBUCIÓN GAMMA

Teorema 4.1. Si X ∼ Exp(β)) entonces

E(X) =1

βy V (X) =

1

β2

Observación 4.1.

Notemos que P [X > x] = 1− P [X ≤ x] = e−β x , 0 ≤ x <∞

5. Distribución gammaPreviamente vamos a definir la función gamma como una función del análisis

matemático y que después utilizaremos en varios modelos o distribuciones prob-abilísticas de tipo continuo.

Así definimos la función gamma de α denotado por Γ(α) como:

Γ(α) =

∫ ∞

0

xα−1 e−x dx

donde α es un número real positivo.

Propiedades

1. Si α > 1, entonces Γ(α) = (α− 1) Γ(α− 1).

2. Γ(1) = 1

3. Γ(12) =

∫∞0

x−12 e−x dx =

√π.

4. Si α ∈ N, entonces Γ(n) = (n− 1)!

Una vez que hemos definido esta función gamma, la vamos a aplicar paradefinir la distribución de probabilidad gamma, pues son muchas las aplicacionesde esta distribución a experimentos o fenómenos aleatorios que tienen asociadasvariables aleatorias que siempre son no negativas y cuyas distribuciones son ses-gadas a la derecha, es decir, el área bajo la función de densidad disminuye amedida que nos alejamos del origen.

Definición 5.1. Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigueuna distribución gamma de parámetros α y β representado por X ∼ Γ(α, β), sisu función de densidad es :

f(x) =

{ βα

Γ(α)xα−1 e−β x si x ≥ 0

0 si x < 0


6 DISTRIBUCIÓN BETA

Esta distribución se aplica para representar las siguientes distribuciones:

1. Intervalos de tiempo entre dos fallos de un motor.

2. Intervalos de tiempo entre dos llegadas de automóviles a un grifo.

3. Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc.

La función de distribución de la v.a. X ∼ Γ(α, β) esta dada por:

F (x) =

{ βα

Γ(α)

∫ x

0tα−1 e−β tdt si x ≥ 0

0 si x < 0

Teorema 5.1. Si X ∼ Γ(α, β) entonces

E(X) =α

βy V (X) =

α

β2

6. Distribución betaPreviamente vamos a definir la función beta de p y q,denotado por β(p, q)

como :

β(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx p > 0 , q > 0

Se verifica también : β(p, q) = Γ(p) Γ(q)Γ(p+q)

Definición 6.1. Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigueuna distribución beta de parámetros p y q, siendo p, q > 0, X ∼ β(p, q), si sufunción de densidad es :

f(x) =

{ 1β(p,q)

xp−1 (1− x)q−1 si 0 < x < 1

0 en otros casos

Observemos que esta función de densidad está definida en el intervalo (0,1), locual nos indica que esta familia de distribuciones beta es muy útil para representarmodelos probabilísticos que representan proporciones, tales como:

1. La fracción de tiempo que un equipo está en reparación.

2. La proporción de piezas defectuosas de un lote.

3. La proporción del gasto de una familia en alimentación con respecto a losingresos totales.

4. La participación de la producción de una empresa con respecto al total delo producido en ese sector, etc.



La función de distribución de la v.a. X ∼ β(p, q) esta dada por:

F (x) =

0 si x ≤ 0∫ x

01

β(p,q)tp−1 (1− t)q−1dt si 0 < x < 1

1 si x ≥ 1

Teorema 6.1. Si X ∼ β(p, q) entonces

E(X) =p

p + qy V (X) =

p q

(p + q + 1) (p + q)2

Ejemplo 6.1.

Una comunidad de vecinos dispone de un depósito que contiene una canti-dad fija de combustible para la calefacción central y que es rellenado cada mes.La experiencia acumulada durante muchos meses permite representar la propor-ción de reserva utilizada cada mes mediante un modelo de distribución Beta conparámetros p=4 y q=2. Calcule la probabilidad de que un mes determinado seutilice más del 75 % de la reserva de combustible.

SoluciónSu función de densidad será: f(x) = 20x3(1 − x) si 0 < x < 1 y f(x) = 0 en

otro caso. Luego P (x > 0, 75) = 0, 3672.

EJERCICIOS

1. De la parada del autobús que recorre la línea Algeciras-San Roque saleun autobús cada 15 minutos. Un viajero llega de improviso en cualquiermomento. Obtener:

a) La función de distribución de la v.a. tiempo de espera hasta que salgael próximo autobús.

b) Probabilidad de que el viajero espere menos de 5 minutos.

c) La media y la varianza de la v.a. tiempo de espera.

d) Probabilidad de que el viajero espere exactamente 10 minutos.

2. El tiempo que tarda un alumno para ir de su domicilio a la facultad varíaentre 30 y 40 minutos. Diariamente debe llegar a clase a las 9 horas. De-seamos saber:

a) El tiempo medio que tarda en ir a clase y la varianza.

b) A qué hora debe salir de su casa para tener una probabilidad de 0,8de no llegar tarde a clase.



3. Sea una v.a. X distribuida según una normal con media µ = 50 y desviacióntípica 8. Obtener:

a) Probabilidad de que X tome valores entre 38 y 58.

b) Probabilidad de que X tome un valor mayor que 66.

4. Supongamos que la demanda semanal de un artículo sigue una distribuciónnormal de media µ = 100 y desviación típica σ = 20. ¿Qué existenciasdeben tener al principio de la semana para poder satisfacer la demanda conuna probabilidad de 0,95?

5. Una determinada compañía dedicada a la exportación de frutas y hortalizasha observado que el peso de los melones que cultiva para ser exportadossigue una distribución normal con media µ = 1, 7 kgs. y desviación típicaσ = 100 grs. Se desea conocer:

a) La proporción de melones que pesan menos de 2 kgs.

b) Sabiendo que son rechazados para la exportación aquellos melonescuyo peso difiere en más de 300 grs. del peso medio, determinar laproporción de melones que se rechazan.

6. El "tiempo de duración en horas" X de una pieza de un cierto equipo sedistribuye según una distribución gamma de parámetros α = 3 y β = 0, 2.Determinar:

a) Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas.

b) Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas.

7. En un parking público se ha observado que los coches llegan aleatoria eindependientemente a razón de 360 coches por hora:

a) Utilizando la distribución exponencial encontrar la probabilidad deque el próximo coche no llegará en los próximos 30 segundos.

b) Utilizando la distribución de Poisson obtener la misma probabilidadanterior.

8. Si consideramos una v.a. X que representa la proporción de personas queconsumen una determinada marca de aceite de oliva y que sigue una dis-tribución beta de parámetros p = 1 y q = 1, determinar la probabilidad deque dicha proporción esté comprendida entre el 10 % y el 50%.

9. El depósito central de agua potable de un determinado municipio se llenauna vez por semana, los domingos. Observando el consumo de agua deaños anteriores se llegó a la conclusión de que la proporción de agua deldepósito que se distribuye durante la semana se podía representar por una



distribución beta de parámetros p = 3 y q = 2. Determinar la probabilidadde que se distribuya al menos el 80 % de agua del depósito central duranteuna semana.

10. Un transportista tiene una avería en su camión de forma aleatoria y uni-forme a lo largo del trayecto de 100 kms. desde el origen al destino. Calcular:

a) Probabilidad de que el lugar donde se avería diste más de 2 veces delorigen que del destino.

b) Distancia media desde el destino al punto en que se produce la avería.

11. El sistema de control de calidad de una planta industrial consta de 3 subsis-temas que deben funcionar simultáneamente para efectuar el control com-pleto. Si los tiempos de funcionamiento, de los 3 subsistemas, son inde-pendientes y se distribuyen (en horas) respectivamente N(45,5), N(47,3) yN(50,6), se pide calcular la probabilidad de que el sistema funcione las 40horas laborables de una semana, si al comienzo de la semana se renuevanlos subsistemas.

12. Un sistema electrónico está compuesto por dos circuitos cuyos tiempos devida son independientes y se distribuyen Γ(6, 2) y Γ(8, 4) respectivamente,en miles de horas. El sistema funciona mientras funcione alguno de los doscircuitos. Se pide:

a) Probabilidad de que el sistema funcione más de 4.000 horas.

b) Vida esperada de cada circuito

13. Sea X la v.a. "tiempo de duración hasta su adquisición de cierto productoen el escaparate de un comercio", y se distribuye Exp(0, 2) en días. Obtener:

a) Tiempo esperado del producto en el escaparate.

b) Desviación típica del tiempo de exposición.

14. Un supermercado está interesado en controlar la calidad de los servicios quepresta a sus clientes y comprueba que el tiempo que una cajera emplea enatender a un cliente sigue una distribución Gamma con media de 6 minutosy varianza 12 minutos2.

a) Calcule la probabilidad de que una persona sea atendida durante másde 10 minutos en una caja.

b) Si dos amigos, que han comprado de forma independiente, se dirigenjuntos a la caja para pagar sus respectivas compras, ¿cuál es la prob-abilidad de que el tiempo total que la cajera emplea en atender a losdos sea inferior a 6 minutos?


7 TABLAS

7. Tablas


7 TABLAS


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