Campo eléctrico:

Distribuciones de

CargaClase 4 30/Enero/15

Calculo del campo eléctrico E

mediante la ley de Coulomb

La figura siguiente muestra un elemento de carga 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉suficientemente pequeño para que podamos considerarle como una

carga puntual. El campo eléctrico 𝑑𝐸 en un punto del campo debido a

este elemento de carga viene dado por la ley de Coulomb:

En donde 𝑟 es un vector unitario que apunta desde el elemento a dicho

punto.

𝑑𝐸 =𝑘𝑑𝑞

𝑟2 𝑟

Calculo del campo eléctrico E mediante la

ley de Coulomb

Un elemento de carga produce

𝑑𝑞 produce un campo 𝑑𝐸 =𝑘𝑑𝑞/𝑟2 𝑟 en el punto 𝑃. El campo

en 𝑃 debido a la carga total se

obtiene integrando esta

expresión para toda la

distribución de carga.

𝑑𝐸 =𝑘𝑑𝑞

𝑟2 𝑟

𝑃𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉

𝑟

Calculo del campo electrico E

mediante la ley de Coulomb

El campo total en 𝑃 se determina integrando esta expresión para la

distribución de la carga completa. Es decir,

En donde 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉. Si la carga esta distribuida sobre una superficie o línea,

utilizaremos 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 ó 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝐿 e integramos para toda la superficie o

línea.

𝐸 =

𝑉

𝑘𝑑𝑞

𝑟2 𝑟

Campo electrico debido a una distribución continua de carga

Problemas

Problema 1

Una barra de 14cm de largo esta cargada uniformemente y tiene una

carga total de −22𝜇𝐶 . Determine la magnitud y dirección del campo

eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36cm de su centro.

Problemas

Solucion

Datos

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = −22𝜇𝐶

𝐿𝑜𝑛𝑔. 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 14𝑐𝑚

14 𝑐𝑚

𝑑𝑥

29; 0 36; 0 43; 0

𝑥

𝑥

0

Problemas

Solucion

Nos piden: 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 0 = ?

𝑑𝐸𝑒𝑛 0 =𝑘𝑒∙𝑑𝑞

𝑥2 𝑖 =𝑘𝑒 𝜆∙𝑑𝑥

𝑥2 𝑖 donde𝑄

𝐿= 𝜆

⟹ 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 0 = 𝑑𝐸𝑒𝑛 0 = 𝑘𝑒 ∙ 𝜆 0.29𝑚

0.43𝑚 1

𝑥2 𝑑𝑥

Problemas

Solucion

⟹ 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 0 = −𝑘𝑒 ∙𝑄

𝑙𝑜𝑛𝑔∙

1

𝑥 0.29𝑚

0.43𝑚

⟹ 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 0 = −8.99×109 22×10−6

0.14𝑚

1

0.43−

1

0.29

∴ 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 0 = 1.6 × 106

Problemas

Problema 2

Tres cilindros plásticos sólidos tienen radio de 2.50 cm y longitud de 6cm.

Uno a) transporta carga con densidad uniforme de 15 𝑛𝐶/𝑚2 por toda su

superficie. Otro b) conduce carga con la misma densidad uniforme solo su

cara lateral curva. El tercero c) tiene una carga de densidad uniforme de

500 𝑛𝐶/𝑚3 en todo plástico. Encuentre la carga de cada cilindro.

Problemas

Solución

6 𝑐𝑚 6 𝑐𝑚 6 𝑐𝑚

𝜎𝐴 = 15 𝑛𝐶/𝑚2 𝜎𝐵 = 15 𝑛𝐶/𝑚2 𝜎𝐶 = 500 𝑛𝐶/𝑚2

𝐴 𝐵 𝐶𝑅𝐴 = 2.50𝑐𝑚 𝑅𝐵 = 2.50𝑐𝑚 𝑅𝐶 = 2.50𝑐𝑚

Problemas

Solución

Nos piden 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 de cada cilindro = ?

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐴 = 𝜎 ∙ á𝑟𝑒𝑎 = 15 × 10−9 2𝜋 2.50 × 10−2 6 × 10−2 = 1.4 × 10−10𝐶

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐵 = 𝜎 ∙ á𝑟𝑒𝑎 = 15 × 10−9 2𝜋 2.50 × 10−2 6 × 10−2 = 1.4 × 10−10𝐶

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐶 = 𝜎 ∙ á𝑟𝑒𝑎 = 500 × 10−9 2𝜋 2.50 × 10−2 6 × 10−2 = 4.7 × 10−9𝐶

Problemas

Problema 3

Ocho cubos plástico solidos, cada uno con 3cm por lado, se unen par formar

cada uno de los objetos siguientes mostrados en la figura 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 .

A) Si cada objeto transporta carga con densidad uniforme de 400 𝑛𝐶/𝑚3 a

través de su volumen, ¿Cuál es la carga de cada objeto?

B)Si a cada objeto se le da una carga con densidad uniforme de 15 𝑛𝐶/𝑚2 en

todas las partes de la superficie expuesta, ¿Cuál es la carga en cada objeto?

Problemas

Problema 3

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚 3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

Problemas

Solución

Inciso a

Donde𝑄

𝑉= 400

𝑛𝐶

𝑚3

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑎) = 400 × 10−9 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑎) = 400 × 10−9 0.06 × 0.06 × 0.06

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑎) = 400 × 10−9 0.000216 = 86.4 × 10−12 = 86.4𝑝𝐶

Problemas

Solución

Como ambas figuras tienen las mismas

dimensiones y la misma densidad de

carga volumetrica se concluye que

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏=𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐=𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑

Problemas

Solución

Inciso b, figura a

Donde σ = 15𝑛𝐶

𝑚2

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑎) = 15 × 10−9 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑎) = 15 × 10−9 6 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 0.06 × 0.06

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑎) = 15 × 10−9 0.0216 = 324 × 10−12

Problemas

Solución

Inciso b, figura b

Donde σ = 15𝑛𝐶

𝑚2

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑏) = 15 × 10−9 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑏) = 15 × 10−9 34 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 0.03 × 0.03

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑏) = 15 × 10−9 0.036 = 459 × 10−12

Problemas

Solución

Inciso b, figura c

Donde σ = 15𝑛𝐶

𝑚2

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑐) = 15 × 10−9 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑐) = 15 × 10−9 34 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 0.03 × 0.03

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑐) = 15 × 10−9 0.036 = 459 × 10−12

Problemas

Solución

Inciso b, figura d

Donde σ = 15𝑛𝐶

𝑚2

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑑) = 15 × 10−9 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑑) = 15 × 10−9 32 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 0.03 × 0.03

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑑) = 15 × 10−9 0.036 = 432 × 10−12𝐶

Carga de línea infinita

Si la carga está distribuida con densidad uniforme 𝜌ℓ 𝐶/𝑚 a lo largo deuna línea recta infinita que escogeremos como eje𝑧, entonces el campo está dado por

Este campo tiene simetría cilíndrica y es inversamente proporcional a laprimera potencia de la distancia desde la línea de carga. Para unaderivación de 𝐸, como se muestra en la siguiente figura.

𝐸 =𝜌ℓ

2𝜋𝜖0𝑟𝑎𝑟

Coordenadas cilíndricas

Carga de línea infinita

𝐸

𝜌𝐿𝑥

𝑦

∞

−∞

Problemas

Problema 0

Sobre una línea descrita por 𝑥 = 2𝑚, 𝑦 = −4𝑚 se distribuyen uniformemente

una carga de densidad 𝜌ℓ = 20𝑛𝐶/𝑚. Determine el campo eléctrico 𝐸 en

−2, −1,4 𝑚.

Problemas

Problema 0

𝑃(−2, −1,4)

𝑅′

𝜌ℓ

𝑃(2, −4, 𝑧)

𝑥

𝑦

𝑧

Problemas

Solución

Calculamos primero el vector dirección el cual es el siguiente:

𝑎𝑟 = −2 − 2, −1 − −4 = −4,3,0 = −4i + 3j

Debido a esto tenemos:

𝐸 =𝜌ℓ

2𝜋𝜖0𝑟𝑎𝑟 =

20 × 10−9

2𝜋𝜖0(5)

−4𝑖 + 3𝑗

5

Problemas

Solución

𝐸 =20 × 10−9

2𝜋 8,8541878176 × 10−12 (5)

−4𝑖 + 3𝑗

5

𝐸 = −57.6𝑖 + 43.2𝑗 𝑉/𝑚

Problemas

Problema 1

Una carga lineal uniforme de densidad 𝜆 = 3.5𝑛𝐶/𝑚 se distribuye desde 𝑥 =0 𝑎 𝑥 = 5𝑚. (a) Cual es la carga total. Determinar el campo eléctrico que se

genera sobre el eje 𝑥 en 𝑏 𝑥 = 6, 𝑐 𝑥 + 9𝑚 𝑦 𝑑 𝑥 = 250𝑚. (e) Determinar el

campo en 𝑥 = 250𝑚 usando la aproximación de que se trata de una

carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido

exactamente. En (d).

Problemas

Solución

Podemos utilizar la definición de 𝜆 para encontrar la carga total de la

carga lineal y la expresión para el campo eléctrico en el eje de una carga

lineal finita para evaluar 𝐸𝑥 en las localizaciones dadas a lo largo del eje 𝑥.

En la parte (d) se puede aplicar la ley de Coulomb para el campo

eléctrico debido a una carga puntual para aproximar el campo eléctrico

en x = 250 m

Problemas

Solución

Utilizamos la definición de una densidad de carga lineal para expresar la

carga en terminos de 𝜆, por lo tanto tenemos:

𝑄 = 𝜆𝐿 ⇒ 𝑄 = 3.5𝑛𝐶/𝑚 5𝑚 = 17.5𝑛𝐶

Problemas

Solución

Expresamos el campo electrico en el eje 𝑥 de una carga lineal finita como:

𝐸𝑥 𝑥0 =𝑘𝑄

𝑥𝑜 𝑥0 − 𝐿

Problemas

Solución Inciso b

Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para 𝑥 = 6𝑚:

𝐸𝑥 6𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 17.5𝑛𝐶

6𝑚 6𝑚 − 5𝑚

𝐸𝑥(6𝑚) = 26.2𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso c

Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para 𝑥 = 6𝑚:

𝐸𝑥 6𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 17.5𝑛𝐶

9𝑚 9𝑚 − 5𝑚

𝐸𝑥(6𝑚) = 4.37𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso d

Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para 𝑥 = 250𝑚:

𝐸𝑥 6𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 17.5𝑛𝐶

250𝑚 250𝑚 − 5𝑚

𝐸𝑥(6𝑚) = 2.57𝑚𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso e

Utilizamos la ley de Coulomb para hallar el campo eléctrico debido a una

carga puntual por lo tanto tenemos la siguiente aseveración:

Sustituimos valores y evaluamos 𝐸𝑥(250𝑚)

𝐸𝑥 𝑥 =𝑘𝑄

𝑥2

𝐸𝑥 250𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙

𝑚2

𝐶2 17.5𝑛𝐶

250𝑚 2= 2.52𝑚𝑁/𝐶

Problemas

Problema 2

Una carga de 2.75𝜇𝐶 esta unifomemente distribuida sobre un anillo de

radio 8.5cm. Determinar el campo eléctrico generado sobre el eje (a)

1.2cm, (b) 3.6cm y (c) 4m del centro del anillo. (d) Determinar el campo a

4m con la aproximación de que el anillo es una carga puntual en el origen

y comparar el resultado con el obtenido en el (c).

Problemas

Solución

La magnitud del campo electrico la cual esta dada por:

𝐸𝑥 𝑥 = 𝑘𝑄𝑥/ 𝑥2 + 𝑎2 3/2, donde 𝑄 es la carga del anillo y 𝑎 es el radio del

anillo. Nosotros usamos esta relación para encontrar el campo eléctrico en

el eje 𝑥 dada la distancia al anillo.

Expresamos el campo electric del anillo como:

𝐸𝑥 =𝑘𝑄𝑥

𝑥2 + 𝑎2 3/2

Problemas

Solución Inciso a

De esta ultima expresion evaluamos para 𝐸𝑥 𝑥 = 1.2cm

𝐸𝑥 1.2𝑐𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 2.75𝜇𝐶 1.2𝑐𝑚

1.2𝑐𝑚 2 + 8.5𝑐𝑚 2 3/2= 4.69 × 105𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso b

De esta ultima expresion evaluamos para 𝐸𝑥 𝑥 = 3.6cm

𝐸𝑥 1.2𝑐𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 2.75𝜇𝐶 3.6𝑐𝑚

3.6𝑐𝑚 2 + 8.5𝑐𝑚 2 3/2= 1.13 × 106𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso c

De esta ultima expresion evaluamos para 𝐸𝑥 𝑥 = 4m

𝐸𝑥 4𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 2.75𝜇𝐶 4𝑚

4𝑚 2 + 0.085𝑚 2 3/2= 1.54 × 103𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso d

Usando la ley de coulomb para calcular el campo electrico tenemos:

Sustituimos y evaluamos en 𝑥 = 4𝑚

𝐸𝑥 =𝑘𝑄

𝑥2

𝐸𝑥 4𝑚 =8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 275𝜇𝐶 4𝑚

4𝑚 2= 1.55 × 103𝑁/𝐶

Problemas

Problema 3

Una carga lineal uniforme se extiende desde 𝑥 = −2.5𝑐𝑚 𝑎 𝑥 = +2.5𝑐𝑚 y

posee una densidad de carga lineal 𝜆 =6𝑛𝐶

𝑚. (a) Determinar la carga total.

Hallar el campo eléctrico generado sobre el eje 𝑦 en (b) 𝑦 = 4𝑐𝑚, 𝑐 𝑦 =12𝑐𝑚 𝑦 𝑑 𝑦 = 4.5𝑐𝑚 (e)Determinar el campo en 𝑦 = 4.5𝑚 suponiendo que

la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido (d).

Problemas

Nosotros podemos usar la definición de 𝜆 para encontrar la carga en un

segmento de carga lineal uniforme

Problemas

Solución

++++++++++++++++++++

++++

𝜃1 𝜃2

𝑦

𝐸

𝑦

𝐿/2 𝐿/2

𝑄 = 𝜆L

Problemas

Si usamos la ecuación que nos describe la component 𝐸𝑥 debida a un

segmento de carga lineal uniforme.

Por lo tanto tenemos

𝐸𝑥 =𝑘𝜆

𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑐𝑜𝑠𝜃1

𝐸𝑥 =𝑘𝜆

𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 −𝜃 ⟹ 𝐸𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

Problemas

Si usamos la ecuación que nos describe la component 𝐸𝑦 debida a un

segmento de carga lineal uniforme.

Por lo tanto tenemos

𝐸𝑦 =𝑘𝜆

𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛𝜃1

𝐸𝑦 =𝑘𝜆

𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 −𝜃 ⟹ 𝐸𝑦 =

2𝑘𝜆

𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃

Problemas

Sustituyendo la función 𝑠𝑒𝑛𝜃 en función de 𝐿 e 𝑦 , de acuerdo a la figura

anterior tenemos lo siguiente

Por lo tanto tenemos

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐶. 𝑂

𝐻=

12

𝐿

12

𝐿2

+ 𝑦2

𝐸𝑦 =2𝑘𝜆

𝑦

12

𝐿

12

𝐿2

+ 𝑦2

Problemas

El vector E viene dado por:

𝐸 = 𝐸𝑥𝑖 + 𝐸𝑦𝑗 =2𝑘𝜆

𝑦

12

𝐿

12

𝐿2

+ 𝑦2

𝑗

Problemas

Solución Inciso a

De acuerdo a la definición para la distribución de una carga sobre una

linea tenemos que:

La densidad de carga la expresamos en terminus de 𝑄 en terminos de 𝜆 y

tenemos que:

𝑄 = 𝜆𝐿 = 6𝑛𝐶/𝑚 5𝑐𝑚 = 0.300𝑛𝐶

𝐸𝑦 =2𝑘𝜆

𝑦

12

𝐿

12

𝐿2

+ 𝑦2

Problemas

Solución Inciso b

Esto implica que podamos evaluar 𝐸𝑦 𝑒𝑛 𝑦 = 4𝑐𝑚:

𝐸𝑦 4𝑐𝑚 =2 8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2

0.04𝑚

12

6𝑛𝐶/𝑚 0.05𝑚

0.025𝑚 2 + 0.04𝑚 2= 1.43𝑘𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso c

Esto implica que podamos evaluar 𝐸𝑦 𝑒𝑛 𝑦 = 12𝑐𝑚:

𝐸𝑦 12𝑐𝑚 =2 8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2

0.12𝑚

12

6𝑛𝐶/𝑚 0.05𝑚

0.025𝑚 2 + 0.12𝑚 2= 183𝑘𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso d

Esto implica que podamos evaluar 𝐸𝑦 𝑒𝑛 𝑦 = 12𝑐𝑚:

𝐸𝑦 4.5𝑚 =2 8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2

4.5𝑚

12

6𝑛𝐶/𝑚 0.05𝑚

0.025𝑚 2 + 4.5𝑚 2= 0.133𝑁/𝐶

Problemas

Solución Inciso e

Usamos la ley de Coulomb para encontrar el campo electric 𝐸𝑦 , tenemos que:

𝐸𝑦 𝑦 =𝑘𝑄

𝑦2

Problemas

Solución Inciso e

Sustituyendo y evaluando tenemos para 𝐸𝑦 𝑒𝑛 𝑦 = 4.5𝑚:

𝐸𝑦 4.5𝑚 =𝑘𝑄

𝑦2=

8.99 × 109𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2 0.3𝑛𝐶

(4.5𝑚)2= 0.133N/C

Problemas 4

Problema 4

Un pedazo de poliestireno de masa 𝑚 tiene una carga neta de −𝑞 y flota

sobre el centro de una lámina de plástico horizontal muy larga, que tiene

una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por

unidad de área de la lámina de plástico?

Problemas 4

Solución

Sea la figura

Nos piden:𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎

á𝑟𝑒𝑎= 𝜎 =?

𝑚 −𝑞

𝑑

𝐸

𝐿á𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑢𝑦 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎

Problemas 4

Haciendo Diagrama de cuerpo libre

𝑞 ∙ 𝐸

𝑚𝑔

𝐹𝑙𝑜𝑡𝑎

Problemas 4

Solución

Suponiendo que la carga flota a una distancia 𝑑; entonces

Luego: 𝑞 ∙ 𝐸 = 𝑚𝑔

⟹𝑞∙𝑘𝑒∙𝑄

𝑑2 = 𝑚𝑔

⟹𝑘𝑒∙𝑞∙𝜎∙á𝑟𝑒𝑎

𝑑2 =𝑘𝑒∙𝑞∙𝜎∙𝑑2

𝑑2 = 𝑚 ∙ 𝑔

∴ 𝜎 =𝑚𝑔

𝑘𝑒∙𝑞

𝑄

á𝑟𝑒𝑎=

𝑄

𝑑2

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜

= 𝜎