4.3 distribuciones continuas

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Vázquez, H. 2009 1 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4.4 Distribuciones de Probabilidad para variables aleatorias continuas 4.4.1. Distribuciones de Probabilidad . Continua 4.4.1.1. Distribución Normal 4.4.1.2. Distribución Exponencial 4.4.1.3. Distribución Weibull 4.4.2. Ejercicios Resueltos 4.4.3 Ejercicios Propuestos

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4.3 Distribuciones Continuas

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Page 1: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 1

4. VARIABLES ALEATORIAS Y

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

4.4 Distribuciones de Probabilidad para

variables aleatorias continuas

4.4.1. Distribuciones de Probabilidad .

Continua

4.4.1.1. Distribución Normal

4.4.1.2. Distribución Exponencial

4.4.1.3. Distribución Weibull

4.4.2. Ejercicios Resueltos

4.4.3 Ejercicios Propuestos

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Vázquez, H. 2009 2

4.4.1 Introducción

Caso Real: Variables Aleatorias Continuas

El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente

con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los

recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión

de agua en México, se especificó un espesor de pulgada para el mortero. Un gran

número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una

desviación estándar de 0.082 pulgadas. Si las mediciones de espesor tenían una

distribución normal, ¿qué porcentaje aproximado fue interior a 7/16 de pulgada?

La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de

un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad

normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que

el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una

distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50.

Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor

estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para

atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores

terminales deberá producir la compañía cada día?

Suponga que usted es el director del programa de entrenamiento diseñado para

mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de la línea

de producción. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores

requieren un número diferente de horas para terminarlo. Usted ha realizado un

estudio de los participantes anteriores y tiene datos que indican que el tiempo

medio que se lleva el programa es de 500 horas, y que está variable aleatoria está

normalmente distribuida con una desviación estándar de 100 horas, además usted

está interesado en determinar cual es la probabilidad de que un supervisor termine

su programa de entrenamiento entre 550 y 650 horas. ¿Cómo calcularía usted esta

probabilidad?. No se preocupe, en está sección usted adquirirá los conocimientos

necesarios para dar solución al problema planteado.

En la sección anterior se consideró sólo distribuciones de probabilidad para

variables aleatorias discretas. En ésta sección se estudiará una familia de

distribuciones para variables aleatorias continuas. Recuerde que éstas surgen de

una medición, pueden tomar un valor infinito de valores dentro de un intervalo

determinado y que por lo tanto pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto

de los números reales. Así como existía, para variables discretas, una función de

probabilidad, también la hay para variables continuas, la cual recibe el nombre de

"Función de Densidad de Probabilidad", recibe este nombre porque calcula el área

bajo la curva o la probabilidad de una variable aleatoria continua dentro de un

intervalo de valores.

Función de Densidad de Probabilidad:

Si f es una función integrable definida para todos los valores de una variable

aleatoria continua "x", se define la probabilidad de que el valor de la variable esté

entre a y b como:

P(a ≤ x ≤ b)

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Vázquez, H. 2009 3

A las funciones se les denomina funciones de densidad de probabilidad,

o simplemente densidades de probabilidad.

Observe y Analice:

La expresión de función de densidad de probabilidad, , se llama "integral definida" y

proviene del cálculo diferencial e integral. Recuerde que la integral definida es una

medida del área bajo la curva f(x). En este caso el área está acotada entre a y b,

y en la parte superior por f(x) y en la inferior por el eje de las abscisas. Recuerde

también que la integral significa, en forma simple, una sumatoria, en este caso en

lugar de sumar la probabilidad de cada valor de la variable continua "x" en el

intervalo de interés, bastará con aplicar la función de densidad de probabilidad e

integrar entre los valores del intervalo deseado.

4.4.1.1. Distribución Normal:

La más importante de las funciones de densidad de probabilidad es la distribución

normal, la cual recibe también el nombre, de distribución Gaussiana, Acampanada o

Monticular (recuerde que esta distribución se trato en la sección tres en el tema de

regla empírica). Aunque existen varios tipos de distribuciones continuas muchas

variables tienen una distribución aproximadamente normal.

En esta sección usted aprenderá a calcular probabilidades, a representarlas

gráficamente y a utilizar la distribución normal en la resolución de problemas.

La función de densidad de probabilidad normal es:

Donde:

σ = Desviación estándar de la población

∏ = 3.1416...

μ = Media aritmética de la población

x = Variable aleatoria continua

e = 2.71828...

Su gráfica es de forma semejante al perfil de una campana :

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Vázquez, H. 2009 4

Así, la probabilidad de que la variable normal x esté entre a y b está dada por:

Esta integral definida es una medida del área bajo la curva de f(x) acotada a la

izquierda por a y a la derecha por b:

Como se puede apreciar en la fórmula anterior, una importante característica de la

distribución normal, es que dependen sólo de dos cantidades, la media poblacional

μ , y la desviación de la población σ .

Las probabilidades relacionadas con la distribución normal, se pueden calcular por

medio de la función de densidad de probabilidad, pero, existe una tabla (Tabla de

Distribución Normal) en donde se encuentran valores tabulados y por lo tanto las

probabilidades asociadas a las variables suelen obtenerse a partir de esta tabla.

Esta tabla corresponde a la distribución normal estándar, dicha distribución se

tratará a continuación.

Distribución Normal Estándar:

En la sección tercera se trató como se puede calcular la distribución de un conjunto

de datos, ya sea a través de Teorema de Tchebysheff o Regla Empírica. Recuerde

que la regla empírica se aplica para distribuciones de forma simétrica y

mesocúrtica, y es precisamente este tipo de distribución el que recibe el nombre de

distribución normal.

Unas de las principales características de la distribución normal estándar:

a) Su forma es acampanada (simétrica y mesocúrtica)

b) Al ser simétrica su distribución, sus medidas de tendencia central son iguales, y

por lo tanto las tres se ubican en la parte central, siendo éstas, entonces, el eje de

simetría de la distribución.

c) El área bajo la curva representa la probabilidad, de aquí que, la suma de toda el

área equivalga al 100%

d) La curva de distribución normal es asintótica respecto al eje de las abscisas, es

decir, nunca llega a tocarla.

e) Al ser simétrica la curva, el área bajo la curva, respecto al eje de simetría, será

del 50% por abajo de ella y el otro 50% por arriba de ella.

f) Su variable aleatoria continua asociada tiene rango infinito ( -∞ < x < + ∞ )

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Vázquez, H. 2009 5

g) Existe una medida que determina el número de desviaciones estándar que una

observación particular, de la variable aleatoria continua, se aleja por debajo o por

arriba de la media. Esta medida recibe el nombre de puntuación estándar o

estandarizada. Si "x" representa una observación, entonces la puntuación estándar,

representada por "z", se calcula a partir de datos poblacionales:

z =

h) En la distribución normal estándar, a la distribución de variable x corresponde

μ= 0 y σ = 1, si se sustituye estos datos en la fórmula de "z", se observa que a

cada observación "x" le corresponde un valor "z".

i) El gráfico para esta distribución normal estándar es:

j) Representando las observaciones con su correspondiente puntuación estándar:

Observe y Analice:

La puntuación "z" es precisamente el número de desviaciones que se aleja una

observación de la media, por ejemplo, cuando z=+1 indica que en esa posición se

encuentra una observación que se aleja de la media +1 desviación estándar. Se

había mencionado, que existe un tabla de distribución normal estándar, por medio

de la cual se pueden calcular las áreas bajo la curva o la probabilidad de una

determinada observación.

Tabla # 10

Tabla de la Función de distribución de la variable Normal(0,1)

A continuación se indicará sus características y como debe usted manejarla.

a) La primera columna (vertical) se indica el valor de "z" , la cual puede tomar

valores de un entero con un decimal.

b) La primera fila (horizontal) indica el segundo valor decimal que puede tomar

"z".

c) Cada celda, que conforma la tabla, indica el "área entre 0 y la z buscada".

d) Para manejar la tabla, usted debe ubicarse en el valor de la "z" que interesa,

posteriormente, obtener el dato que se encuentra en la celda correspondiente, el

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Vázquez, H. 2009 6

cual será precisamente el área entre 0 y la "z" de interés. Analice los siguientes

ejemplos:

Ejemplo 1.- Para una variable aleatoria con distribución normal estándar calcular:

a) P(0< z < 2.57), área o probabilidad entre z=0 y z=2.57

1) Es importante que usted realice una representación gráfica del área

buscada, en el siguiente gráfico se representa la distribución para z:

2) Ubíquese en la primera columna con z = 2.5 ( primer entero con primer decimal)

y en la primera fila con el valor de 0.07 (segundo decimal), posteriormente observe

el dato que se encuentra en la celda que ocupa la posición de z = 2.57, el valor

encontrado es de 0.4949, el cual es el área o probabilidad entre 0 y la z buscada.

Así, P(0< z < 2.57) = 0.4949

b) P(0.87< z < 1.28), el área entre z=0.87 y z=1.28

1) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

2) Como el área buscada es P(0.87< z < 1.28), entonces se tendrá que calcular el

área correspondiente a cada valor límite de z y posteriormente restarlas Para z =

1.28, ubíquese en la primera columna en z=1.2 y en la primera fila en 0.08, el área

Correspondiente a z = 1.28 es P( 0 ≤ z ≤ 1.28) = 0.3810 Para z = 0.87, ubíquese

en la primera columna en z=0.8 y en la primera fila en 0.07, el área

correspondiente a z = 0.87 es P( 0 ≤ z ≤ 0.87) = 0.3078

Por lo tanto: P(0.87< z < 1.28) = P(0 ≤ z ≤ 1.28) - P( 0 ≤ z ≤ 0.87)

=0.3810 - 0.3078 = 0.0732

c) P(z > 1.55), el área a la derecha, o por arriba de z=1.55

1) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

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Vázquez, H. 2009 7

2) Como el área a buscar es la mayor z = 1.55, entonces, al área de 0.50,

correspondiente a la probabilidad de la mitad de la distribución, se le restará el área

encontrada de P ( 0 ≤ z ≤ 1.55 )

El área de z = 1.55 es P( 0 ≤ z ≤ 1.55 ) = 0.4394 (tabla)

P(z > 1.55) = 0.5 - P ( 0 ≤ z ≤ 1.55 )= 0.50 - 0.4394 = 0.0606

d) P(z > -0.65) , el área a la derecha , o por arriba de z= - 0.65

1) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

2) Como el área a encontrar es a la derecha de z = -0.65, es decir, P(z > -0.65),

entonces al área de P(0 ≤ z ≤ 0.65) se le sumará 0.50,

correspondiente a la probabilidad de la área derecha, respecto a z=0

P(z > -0.65) = P(0 ≤ z ≤ 0.65) + 0.50

El área correspondiente a z = -0.65 es P(0 z 0.65)=0.2422 ( tabla)

P(z > -0.65) = P(0 ≤ z ≤ 0.65) + 0.50 = 0.2422 + 0.5 = 0.7422

e) Con base al inciso d) calcule P(z < -0.65), o sea, el área a su izquierda, o

menor a z=-0.65

P(z < -0.65) = 1 - P(z > -0.65)= 1 - 0.7422= 0.2578 ( Por medio de

complemento)

O bien, P(z < -0.65) = 0.5 - P(0 ≤ z ≤ 0.65)= 0.5 - 0.2422=0.2578

Ejemplo 2.- Hallar los valores de z para la distribución normal estándar

mostrada en cada uno de los siguientes diagramas:

a)

Se pide el valor de z si P(0 ≤ z ≤ z) es de 0.4590

1) Buscar el valor de z, en tablas, correspondiente a esta área, por lo tanto usted

tendrá, ahora, que entrar de forma inversa en la tabla, es decir, primero busque el

área y posteriormente la z correspondiente.

El valor del área para la Tabla es de 0.4590

Por lo tanto el valor de z obtenido a partir de la Tabla es z= 1.74

Observe y Analice:

En éste caso el área dada, es entre 0 y la z buscada, por lo que usted puede entrar

directamente a tablas a buscar su z correspondiente, en el caso que no se le esté

dando esta área, usted tendrá primero que encontrarla, para después, entrar en

tabla y buscar su z, analice el siguiente ejemplo.

b)

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Vázquez, H. 2009 8

Se pide el valor de z, si el área a su derecha, o por arriba de ella es de 0.05

1) En éste caso no se puede ir directamente a tabla a buscar el área de 0.05,

puesto que esta área no es entre 0 y la z buscada, por lo tanto se tiene que

buscar primero ésta área:

P ( 0 ≤ z ≤ +z )= 0.5 - 0.05 = 0.45

Buscar en tabla la z correspondiente:

El valor de z obtenido a partir de la Tabla es z= 1.645

c)

El valor a encontrar de z, es teniendo en base que su área a la izquierda es de

0.7673

Recuerde, que hay que calcular primero el área entre 0 y la z buscada:

P ( 0 ≤ z ≤ +z ) = 0.7673 - 0.50= 0.2673

El valor de +z, obtenido a partir de la Tabla es de z =0.73

EJEMPLO 3.- Dado que una variable aleatoria X tiene una distribución normal

con media de 6.4 y desviación estándar de 2.7, encontrar:

a) P(x >2.0)

Este ya es un problema de aplicación, en donde se tiene que aplicar la fórmula de la

puntuación estándar:

μ= 6.4

σ = 2.7

.x = variable aleatoria continua

1) El diagrama para la variable x es

2) El valor de z ( puntuación estándar ) calculado a partir del valor de x es:

z = (2.0 - 6.4)/2.7 = - 1.63

3) El diagrama para la variable z es

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4) Calcular el área bajo la curva:

P(x >2.0) = P(x > -1.63) = 0.5 + P ( -1.63 ≤ z ≤ 0 )= 0.50 +0.4484 = 0.9484

b) P(x < 7.2)

1) El diagrama para la variable x es

2) El valor de z calculado a partir del valor de x es:

z = (7.2 - 6.4)/2.7 = 0.30

3) El diagrama para la variable z es

4) Calcular el área bajo la curva:

P(x < 7.2) = P(z < 0.3) = 0.5 +P( 0 ≤ z ≤ 0.3) = 0.50 + 0.1179 = 0.6179

c) P(4.0 < x < 5.0)

1) El diagrama para la variable x es

2) Los valores de z calculados a partir de cada valor de x son:

Para x1 = 4 :

z1 = (4.0 - 6.4)/2.7 = - 0.89

Para x2 = 5.0:

z2 = (5.0 - 6.4)/2.7 = - 0.52

3) El diagrama para la variable z es

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Vázquez, H. 2009 10

4) Buscando la probabilidad o área bajo la curva:

P(4.0 < x < 5.0) = P(- 0.89< z < - 0.52) = P( -0.87 ≤ z ≤ 0) - P( -0.52 ≤ z ≤ 0

)=0.3133 - 0.1985 = 0.1148

Ejemplo 4.- En una distribución normal con una desviación estándar de 5.0, la

probabilidad de que una observación elegida al azar exceda 21 es de 0.14.

Encontrar la media de la distribución.

SOLUCIÓN:

σ= 5.0

P ( x > 21 )= 0.14

μ= ?

Se aconseja realizar el gráfico de distribución normal, por lo tanto, el diagrama

para la variable x es:

Para determinar el valor z que corresponde a la variable x=21, recuerde que hay

que encontrar primero el área entre 0 y la z buscada:

P( 0 ≤ z ≤ +z )= 0.50 - 0.14 = 0.36

Buscando el valor de +z que corresponde a esta área en tabla: z = 1.08

Para calcular m, bastará con despejarla de la fórmula de puntuación estándar:

z =

1.08 =

5.4 = 21 – μ

μ= 21 - 5.40

μ= 15.60

Ejemplo 5.- El tiempo de espera x en cierto banco está distribuido en forma

normal, aproximadamente con media y desviación estándar iguales a 3.7 y 1.4

minutos, respectivamente. Hallar la probabilidad de que un cliente seleccionado

aleatoriamente tenga que esperar:

a) menos de 2 minutos

b) más de 6 minutos

Solución:

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Vázquez, H. 2009 11

a) menos de 2 minutos

Datos

.x = tiempo de espera ( min )

μ= 3.7 min

σ= 1.4 min

.P (x < 2) = ?

Realizando el diagrama para la variable x es:

Calcular la puntuación estándar que corresponde a la variable

z = (2 - 3.7)/1.4 = -1.21

El diagrama para la variable z es:

Calcular el área o probabilidad

P(x < 2) = P(z < -1.21) = 0.5 - P( -1.21 ≤ z ≤ 0)= 0.5 - 0.3869 = 0.1131

b) más de 6 minutos

P(x > 6) = ?

2) El diagrama para la variable x es:

Calculando la puntuación estándar

z = (6 - 3.7)/1.4 = 1.64

El diagrama para la variable z es:

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Calculando el área bajo la curva:

P(x > 6) = P(z > 1.64) = 0.5 - P( 0 ≤ z ≤ 1.64)= 0.50 - 0.4495 = 0.0505

Ejemplo 6.- Se sabe que el tiempo promedio requerido para terminar un examen

es de 70 minutos con una desviación estándar de 12 minutos. Cuánto tiempo debe

asignarse si se desea que el 90 % de los estudiantes tengan suficiente tiempo para

terminar el examen? (Suponga que el tiempo requerido para terminar el examen

tiene una distribución normal).

Solución:

x = tiempo requerido para terminar el examen ( min )

μ= 70 min

= 12 min

x = ?

En este problema se pide calcular el valor de la variable x, por lo tanto:

El diagrama para la variable x es:

El diagrama para la variable z es:

Calculando z

P( 0 ≤ z ≤ +z )= 0.9 - 0.5 = 0.4

Buscando la z correspondiente en tabla: z = 1.285

Calculando la variable x:

z =

1.285 =

x - 70 = 15.42

x = 15.42 + 70 = 85.42 min

Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal:

Page 13: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 13

En la sección anterior se habló de la distribución binomial como una distribución de

probabilidad para una variable "x" definida como el número de éxitos observados

en "n" ensayos independientes repetidos. Ahora se verá cómo las probabilidades

binomiales pueden ser razonablemente estimadas por medio de una distribución

normal, a pesar de que esta distribución es para variables aleatorias continuas.

En los casos analizados, en distribución binomial, se trató de calcular la

probabilidad para la variable "x" con una "n" pequeña, ¿Pero que pasará si "n" es

grande"?, el cálculo de las probabilidades no sería imposible, pero sí laborioso, es

aquí donde la distribución normal es de gran ayuda. Para poder aproximar una

distribución binomial a normal se tendrá que transformar el cálculo de la

probabilidad de una variable discreta, en una distribución de probabilidad normal

para una variable continua, para esto hay que considerar lo siguiente: En una

distribución binomial en cada ensayo se

observa 0 ó 1 éxito con probabilidad "q " y "p" respectivamente, por lo tanto cada

uno de los "n" ensayos se puede considera como una observación independiente

compuesto de un ensayo, y el número total "x" de éxitos en "n" ensayos vendría a

ser la suma de estas "n" observaciones independientes. Esto es, transformar el

valor de la variable discreta en un intervalo de valores, para sí poderla trabajar

como una variable continua, esto se logra aplicando un factor de corrección de

continuidad, el cual consiste en sumar o restar 0.5 a los límites según sea el caso.

Por ejemplo: Sea "x" una variable y "k" un valor predeterminado, entonces:

Si se busca P(x = k), aplicando el factor: P(k - 0.5 ≤ x ≤ k + 0.5)

Si se busca P(x ≥ k), aplicando el factor: P(x ≥ k - 0.5) ;

Si se busca P(x ≤ k), aplicando el factor: P(x ≤ k + 0.5) ;

Si se busca P(k1 ≤ x ≤ k2 ), aplicando el factor: P(k1 -0.5 ≤ x ≤ k +0.5)

Si se busca P(x < k ), aplicando el factor: P(x ≤ k - 0.5)

Entonces, si "n" es suficientemente grande, la variable binomial "x" tendrá una

distribución aproximadamente normal con:

μ= np y σ =

Si se sustituye estos valores en la fórmula de tipificación de la distribución normal

estándar se tendría lo siguiente:

z=

Esta distribución está definida por la distribución normal estándar, y los parámetros

de dicha distribución son la media y su desviación estándar. En éste caso, esta

media y desviación estándar dependen de los valores de n y p de la distribución

binomial inicial, por lo que de esta manera, la distribución normal es una buena

aproximación a la binomial.

Ejemplo 7.- Para ejemplificar la aproximación binomial a la normal, suponga que

se quiere saber la probabilidad de obtener 5, 6,7, u 8 caras en diez lanzamientos

de una moneda no alterada.

Solución:

Trabajando el problema como distribución binomial y haciendo uso de su tabla para

encontrar esta probabilidad, se tendría:

Donde:

x = cara, x=5, x= 6, x= 7, x= 8

n = 10

Page 14: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 14

p=0.5, q = 1-p = 1 - 0.5 = 0.5

P( x=5 )=P( 5, 10, 0.5)=0.246

P( x=6 )= P( 6, 10, 0.5)=0.205

P( x=7 )= P( 7, 10, 0.5)=0.117

P( x=8 )= P( 8, 10, 0.5)=0.044

P(5 ≤ x ≤ 8) = P(x = 5)+P(x = 6)+P(x = 7)+P(x = 8).

= 0.246+ 0.205+ 0.117+0.044 =0.612

Utilizando la aproximación de la distribución normal a la binomial se tendría:

La media es np = (10)(1/2)=5

La desviación estándar es = = 1.581.

P(5 ≤ x ≤ 8) = P(4.5 ≤ x ≤ 8.5) ( por el factor de corrección de continuidad)

Obteniendo las puntuaciones tipificadas , z, para cada valor del intervalo:

Z1 =( 4.5-5)/1.581 =-0.32

Z2 =( 8.5 - 5) / 1.581 = 2.21

Graficando el área bajo la curva de distribución normal:

Buscando los valores de z en la tabla de distribución normal tenemos que:

P(4.5 ≤ x ≤ 8.5)= P( -0.32 ≤ z ≤ 2.21 ) = P ( -0.32 ≤ z ≤ 0 ) + P ( 0 ≤ z

≤ 2.21 )= 0.1255 + 0.4864 = 0.6116

Si se compara los resultados que se obtuvieron por ambos métodos, se puede

apreciar que el error aproximado es menor del 1%.

Esta aproximación permite resolver el problema que se presenta cuando se tienen

que utilizar grandes tablas de distribución binomial. Cabe hacer notar que ésta

aproximación es bastante buena cuando np ≥ 5 y nq ≥ 5.

Ejemplo 8.- Si el 20% de los diodos fabricados en cierta planta son defectuosos,

¿Cuáles son las probabilidades de que en un lote de 100, aleatoriamente escogidos

para revisión:

a) Por lo menos 15 están defectuosos?

b) Exactamente 15 están defectuosos?

Solución:

p=0.20, n=100, q=0.80

P(x 15)=?

Utilizando la aproximación:

Este experimento tiene una distribución binomial, para resolverlo se deben calcular

los parámetros μ , y σ :

μ = (100) (.20) = 20 y σ = = 4

Page 15: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 15

Tipificando los valores y aplicando el factor de corrección:

P(x ≥ 15)=P(x ≥ 14.5)

Tipificando : z = (14.5 - 20)/ 4 = -1.13.

Graficando:

Calculando el área bajo la curva, según tabla de distribución normal:

P(z ≥ 1.13) = 0.5 + 0.1292 = 0.6292

Por lo tanto la probabilidad de que de 100 diodos por lo menos 15 estén

defectuosos es de 0.6292.

b) La probabilidad de que exactamente 15 estén defectuosos, aplicando el factor de

corrección de continuidad formando un intervalo: P(x=15)=P(14.5 ≤ x ≤ 15.5)

Tipificando ambos valores :

Z1 = (14.5 - 20)/4 = - 1.38 y z2 = (15.5 - 20) / 4 =-1.13.

Buscando en las tablas el área correspondiente para éstos valores:

P(-1.38 ≤ z ≤ 0 ) = 0.4162 y P( -1.13 ≤ z ≤ 0 ) = 0.3708,

La probabilidad buscada es:

P(14.5 ≤ x ≤ 15.5) = P( -1.38 ≤ z ≤ -1.13 )

= P(-1.38 ≤ z 1 0 ) - P( -1.13 ≤ z1 ≤ 0 ) = 0.4162 - 0.3708 = 0.0454.

Ejemplo 9.- Si una variable aleatoria tienen una distribución binomial con n=20 y

p=0.60, con la aproximación normal , determínese las probabilidades de que

asuma:

a) El valor 14

b) Un valor menor que 12

SOLUCIÓN:

El valor de la media y la desviación estándar es:

μ = (60)(.20)= 12

σ = = 1.54

Aplicando el factor de corrección buscamos : P(x = 14)=P(13.5 ≤ x ≤ 14.5) :

Page 16: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 16

Tipificando ambos valores y graficando:

Z1 = (13.5 - 12) / 1.54 = 0.97 y z2 = (14.5 -12) / 1.54 = 1.62

Calculando el área bajo la curva:

P(13.5 ≤ x ≤ 14.5) = P(0.97 ≤ z ≤ 1.62)

Buscando éstos valores en la tabla de distribución normal la probabilidad es :

P( 0 ≤ z ≤ 1.62 ) = 0.4474

P(0 ≤ z ≤ 0.97) = 0.3340

P(0.97 z 1.62)= P( 0 ≤ z ≤ 1.62 ) - P(0 ≤ z ≤ 0.97 ) = 0.1134

b) P(x < 12 ) = P(x ≤ 11.5) (Aplicando el factor de corrección)

Tipificando este valor

z = (11.5 - 12) / 1.54 = - 0.32

Buscando el área de este valor en la tabla de distribución normal :

P(- 0.32 ≤ z ≤ 0 ) =0.1255

P(x < 12 ) = P(x ≤ 11.5)= P(z ≤ -0.32 ) = 0.5 - 0.1255 = 0.3745

Ejemplo 10.- Un fabricante sabe que en promedio, 2% de los tostadores eléctricos

que produce requerirán reparación en los 90 días siguientes a su venta.

Determínese la probabilidad de que entre 1200 tostadores al menos 31 requieran

reparación en los primeros 90 días después de su venta.

Solución:

La media y desviación estándar para ésta distribución son :

μ = np = (1200)(.02) = 24

σ = = = 4.84

P(x ≥ 31) = P(x ≥ 30.5) (Aplicando el factor de corrección)

Tipificando : z = (30.5 - 24) / 4.84 = 1.34.

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Vázquez, H. 2009 17

P(x ≥ 31) = P(x ≥ 30.5) = P(z ≥ 1.34 )

Buscando en la tabla de distribución normal P(0 ≤ z ≤ 1.34) = 0.4099

P(z ≥ 1.34 ) = 0.5 - 0.4099 = 0.0901

La probabilidad buscada es:

P(x < 45 ) =P(x ≤ 44.5 ) =P( z ≤ 0.90) = 0.5 - 0.3159 = 0.1841

4.4.1.2. Distribución Exponencial:

En el estudio realizado sobre la distribución Poisson, se definió una variable

aleatoria como el número de fallas en determinada longitud de un alambre de

cobre. La distancia entre las fallas es otra variable aleatoria que a menudo es de

interés. Sea la variable aleatoria X la longitud desde un punto de inicio de alambre

hasta el sitio donde se encuentra una falla.

Como es de esperarse, la distribución de X puede obtenerse a partir de conocer la

distribución del número de fallas. La clave para obtener esta relación es el siguiente

concepto. La distancia hasta la primera falla es mayor que 3 milímetros si y sólo si

no hay fallas en esos 3 mm -simple, pero suficiente para el análisis de la

distribución de X.

En general, sea la variable aleatoria "N" el número de fallas en "x" mm de alambre,

si el número promedio de fallas es por mm, entonces "N" tiene una distribución

Poisson con media x. Supóngase que la longitud del alambre es mayor que el valor

de "x".

Ahora bien,

La obtención de la distribución de X depende sólo de la hipótesis de que el número

de fallas sigue un proceso Poisson. Asimismo, el punto de partida para medir X no

importa, ya que la probabilidad del número de fallas en un intervalo de un proceso

Poisson depende solo de la longitud del intervalo y no de la posición. El resultado

siguiente se aplica para cualquier proceso Poisson.

Page 18: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 18

Definición:

La variable aleatoria X que es igual a la distancia entre ocurrencias sucesivas de un

proceso Poisson con media >0, tiene una distribución exponencial con parámetro .

La función de densidad de probabilidad de X es

Fx(x; ) = , para 0<= x <α

Para facilitar la aplicación de la fórmula, a continuación se expone las integrales

ya realizadas:

Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro l,

entonces

Es importante utilizar unidades consistentes en el cálculo de probabilidades, medias

y varianzas de variables aleatorias exponenciales. El ejemplo que sigue ilustra la

conversión de utilidades.

Ejemplo:

En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede

modelarse como un proceso Poisson con una media de 25 accesos por hora. ¿Cuál

es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de seis minutos?.

Solución:

Sea X el tiempo en horas desde el inicio del intervalo hasta que se presenta el

primer acceso. Entonces X tiene una distribución exponencial con =25 accesos por

hora. El interés recae en la probabilidad de que X sea mayor que seis minutos.

Dado que el valor de 𝜆 está dado en accesos por hora, es necesario expresar todas

las unidades de tiempo en horas. Esto es 6 minutos =0.1 horas, la probabilidad

pedida:

Page 19: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 19

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso

esté entre 2 y 3 minutos? Después de convertir todas las unidades a horas,

En el ejemplo, la probabilidad de que no haya accesos en 6 min es 0.082, sin

importar el momento en que inicia el intervalo. Un proceso Poisson supone que los

eventos se presentan de manera uniforme en el intervalo observado; esto es, no

hay acumulación de eventos. Si los accesos están modelados mediante un proceso

Poisson, la probabilidad de que el primer acceso (pasado el mediodía) ocurra

después de las 12:06 pm, es la misma que la probabilidad de que ocurra (pasadas

las 3 de la tarde) después de las 3:06 pm. Y si algún usuario se da de alta a las

2:22 pm, la probabilidad de que el siguiente acceso ocurra después de las 2:28 pm

sigue siendo 0.082.

El punto de partida para la observación del sistema no importa. Sin embargo, si

durante el día existen periodos de mucho uso, como justo después de las 8:00 am,

seguidos por periodos de bajo uso, entonces el proceso Poisson no constituye un

modelo apropiado par el cálculo de probabilidades. Tal vez lo más razonable sea

modelar periodos de mucho uso y los de poco uso con proceso Poisson separados,

utilizando un valor grande de 𝜆 para los períodos de gran demanda, y un valor más

pequeño para otras circunstancias. Así esto puede utilizarse una distribución

exponencial con el correspondiente valor de para calcular las probabilidades de

acceso al sistema durante periodos de mucha y poca demanda.

Propiedad de la carencia de memoria:

Una más interesante propiedad de una variable aleatoria exponencial , es la que

tiene que ver con probabilidades condicionales.

Ejemplo:

Sea X el tiempo entre las detecciones de una partícula rara por un contador Geiger;

supóngase que X tiene una distribución exponencial con una media de 1.4 minutos.

La probabilidad de detectar una partícula durante el lapso de 30 segundos que

transcurren desde que se enciende el contador es

En el cálculo anterior se han convertido todas las unidades de tiempo a minutos.

Ahora, supóngase que se enciende el contador Geiger y transcurren tres minutos

sin detectar partícula alguna ¿Cuál es la probabilidad de detectar una partícula en

los 30 segundos siguientes?.

Dado que y han transcurrido 3 minutos, la impresión que se tiene es que "se ha

esperado bastante". Esto es, la probabilidad de detección en los siguientes 30 seg.

debe ser mayor que 0.5. Sin embargo, para una distribución exponencial, esto no

es cierto. La probabilidad pedida puede expresarse como la probabilidad condicional

de que P(X<3.5 | X >3 ). A partir de la definición de probabilidad condicional.

P(X<3.5 | X > 3 ) = P (3 < X < 3.5)/ P(X >3)

Donde

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Vázquez, H. 2009 20

Después de esperar tres minutos sin detectar una partícula, la probabilidad de

detectar una en los 30 segundos siguientes es la misma que la de detectarla 30

segundos después de haber encendido el contador. El hecho de haber esperado 3

minutos sin detectar una partícula no cambia la probabilidad de detección en los 30

seg. siguientes.

Este ejemplo ilustra la propiedad de la carencia de memoria de una variable

aleatoria exponencial. De hecho, la distribución exponencial es la única distribución

continua que tiene esta característica

Propiedad de la carencia de memoria:

Para una variable aleatoria exponencial X,

La propiedad de la carencia de memoria no es sorprendente si se considera el

desarrollo de un proceso Poisson. En dicho desarrollo, se supuso que un intervalo

puede subdividirse en intervalos independientes más pequeños. Estos subintervalos

son similares a los ensayos Bernoulli independientes, característicos de un proceso

binomial; el conocimiento de resultados previos no tiene efecto sobre las

probabilidades de los eventos en subintervalos futuros. Una variable aleatoria

exponencial es el análogo continuo de una variable aleatoria geométrica, y las dos

comparten una similar propiedad de carencia de memoria.

La distribución exponencial se emplea con frecuencia en estudios de confiabilidad

como modelo para el tiempo transcurrido hasta la falla de un dispositivo. Por

ejemplo, el tiempo de vida de un chips puede modelarse como una variable

aleatoria exponencial con una media de 40 000 horas. La propiedad de la carencia

de memoria de la distribución exponencial implica que el dispositivo no se desgasta.

Esto es , sin importar cuanto tiempo haya trabajado el dispositivo, la probabilidad

de que falle en las siguientes 1000 horas es la misma que la probabilidad de que

falle durante las primeras 1000 horas de operación. El tiempo de vida útil "L" de un

dispositivo con fallas provocadas por golpes aleatorios puede modelarse de manera

apropiada como una variable aleatoria exponencial. Sin embargo, la probabilidad de

que el dispositivo, sufra un desgaste mecánico lento (por ejemplo, en los

cojinetes), puede modelarse mejor con una distribución tal que P(L< t + ∆ t | L > t)

aumente a medida que se incremente t. En la práctica a menudo se emplean

distribuciones como la Weibull para modelar el tiempo de falla de este tipo de

dispositivos.

Page 21: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 21

4.4.1.3. Distribución Weibull:

Tal como ya se mencionó, esta distribución se emplea a menudo para modelar el

tiempo hasta presentarse una falla en muchos sistemas físicos diferentes.

Los parámetros de la distribución proporcionan mucha flexibilidad para modelar

sistemas en los que el número de fallas aumenta con el tiempo (por ejemplo, el

desgaste), disminuye con el tiempo (en algunos semiconductores), o permanece

constante (fallas provocadas por causas externas al sistema).

La variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad

Tiene una distribución Weibull con parámetro de escala α ›0 y parámetro de forma

β›0

Donde.

X = Variable tiempo a la falla

α = Parámetro de Escala= refleja el tamaño de las unidades en que se mide la

variable x

β = Parámetro de forma = Su valor determina la forma de la distribución

Facilitando las integrales:

Por otra parte también se tiene lo siguiente:

Si X tiene una distribución Weibull con parámetros d y b, entonces

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Vázquez, H. 2009 22

Ejemplo:

El tiempo de falla (en horas) del cojinete de una flecha está modelado de manera

satisfactoria por una variable aleatoria Weibull con β = ½ y δ = 5000 horas.

Calcúlese el tiempo promedio de falla.

Del resultado anterior

E(X)= 5000 Г [1+ (1/0.5)]

= 5000 Г [3]

=5000 * 2! = 10000 horas

Determínese la probabilidad de que el cojinete dure al menos 6000 horas

En consecuencia, el 30.1 % de todos los cojinetes tendrán una duración al menos

de 6000 horas.

Función de Densidad de Probabilidad:

Si f(x) es una función integrable definida para todos los valores de una variable

aleatoria continua, se define la probabilidad de que el valor de la variable esté

entre a y b como:

A las funciones se les denomina funciones de densidad de probabilidad, o

simplemente densidades de probabilidad.

Esta integral definida es una medida del área bajo la curva de f(x) acotada a la

izquierda por a y a la derecha por b:

Definición:

Una función f(x) es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria

continua X si para cualquier intervalo de números reales [a, b] :

f( x ) ≥ 0

Page 23: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 23

Función de Distribución Acumulada:

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es:

F (x) = P ( X ≤ x) =

Conceptos

Distribución Normal:

La más importante de las funciones de densidad de probabilidad es la distribución

normal. La función de densidad de probabilidad normal es:

Su gráfica es de forma semejante al perfil de una campana:

Así, la probabilidad de que la variable normal x esté entre a y b está dada por:

Aproximación Binomial a Normal:

Características:

a) Cuando "n" es grande

b) np 5 y nq 5.

c) Fórmula de tipificación de la aproximación binomial a la distribución normal:

Page 24: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 24

µ = np

σ =

z=

Factor de corrección de continuidad:

Consiste en sumar o restar 0.5 a los límites del valor buscado, convirtiendo las

probabilidades discretas a continuas.

Si se busca P(x = k), aplicando el factor: P(k - 0.5 ≤ x ≤ k + 0.5)

Si se busca P(x ≥ k) , aplicando el factor : P(x ≥ k - 0.5) ;

Si se busca P(x ≤ k) , aplicando el factor: P(x ≤ k + 0.5) ;

Si se busca P(k1 ≤ x ≤ k1 ), aplicando el factor: P(k1 -0.5 ≤ x ≤ k2 +0.5)

Si se busca P(x < k ), aplicando el factor: P(x ≤ k - 0.5)

Distribución de Probabilidad Exponencial:

Aplicaciones:

Confiabilidad: Tiempo transcurrido hasta la falla de un dispositivo, tiempo

promedio entre la primera falla y la siguiente, TIEMPO DE GARANTIA DE

ARTÍCULOS, ETC.

Objetivo:

Calcular el tiempo o espacio indeterminado entre dos eventos consecutivos:

Tiempo de espera entre dos aviones para aterrizar

Tiempo de que una unidad opere sin fallar

Tiempo entre fallas de un artículo

Tiempo de espera en un taller de reparación de máquinas

Tiempo de espera de clientes en un cajero automático

Definición:

El tiempo o espacio indeterminado entre dos eventos consecutivos en un PROCESO

POISSON, se denomina variable aleatoria exponencial con λ > 0 ,

cuya función de densidad de probabilidad con parámetro λ es:

f(x) =

X= variable

λ= Número promedio o valor esperado de eventos en una unidad determinada

(Proceso Poisson)

e = 2.71828

λ = l /µ

µ = tiempo promedio entre eventos

f (x) =

Valor esperado y varianza

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Vázquez, H. 2009 25

E(x) = µ = 1 / λ

σ 2= 1 / λ 2

• Cálculo de Probabilidades:

P ( X, λ)=

NOTA: UTILIZAR UNIDADES CONSISTENTES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

( IGUALES UNIDADES ).

Propiedad de Carencia de Memoria:

Para una variable exponencial X:

Distribución de Probabilidad de Weibull

Aplicaciones:

Confiabilidad: (tiempo de envejecimiento de dispositivos, sistemas, artículos, etc.

)

Objetivo:

Modelar el tiempo hasta la presentación de falla, es decir, detectar el tiempo de

falla en diversos sistemas (tiempo de vida útil, tiempo de caducidad, tiempo de

garantía, etc.)

Esta distribución considera que el tiempo de falla de un dispositivo puede

modelarse en función al tiempo, por ejemplo, un dispositivo que sufra un desgaste

mecánico tendrá un número de fallas que aumentará con el tiempo.

Definición:

La variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad

_Tiempo a la falla

Tiene una distribución Weibull con parámetro de escala α > 0 y parámetro de

Forma β > 0

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Vázquez, H. 2009 26

Donde

X = Variable tiempo a la falla

α = Parámetro de escala= refleja el tamaño de las unidades en que se mide la

variable x

β = Parámetro de forma = Su valor determina la forma de la distribución

• Valor Esperado (Promedio) y Varianza:

• Cálculo de Probabilidades:

4.4.2 Ejercicios Resueltos

1.- Calcular el área o probabilidad entre z= -0.34 y z = 0.62

Solución:

El área pedida es:

P(-0.34 < z < 0.62)

Representación gráfica del área deseada para la distribución z

Page 27: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 27

Como el área buscada es P(-0.34< z < 0.62), entonces se tendrá que calcular el

área correspondiente a cada valor límite de z y posteriormente sumarlas

El área correspondiente a z = -0.34 es P ( -0.34 ≤ z ≤ 0 )= 0.1331

El área correspondiente a z = 0.62 es P ( 0 ≤ z ≤ 0.62 )= 0.2324

P(-0.34 < z < 0.62) = P ( -0.34 ≤ z ≤ 0 ) + P ( 0 ≤ z ≤ 0.62 )= 0.1331 +

0.2324 = 0.3655

2.- Calcular el área o probabilidad a la izquierda de z=1.30

Solución:

El área pedida es:

P(z < 1.30)

El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

El área buscada es P(z < 1.30), por lo tanto al 0.50 se le sumará el área de

P(0 ≤ z ≤ 1.30)

P(0 ≤ z ≤ 1.30) = 0.4032 ( tabla )

P(z < 1.30)= 0.5 + P(0 ≤ z ≤ 1.30) = 0.50 + 0.4032 = 0.9032

3.- Calcular el área a la izquierda de z= -2.57

P(z < -2.57)

El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

El área buscada es a la izquierda de -2,57, es decir, P(z < -2.57), por lo tanto

al 0.50 se le restará el área P(-2.57 ≤ z ≤ 0)

El área correspondiente a z = -2.57 es P(-2.57 ≤ z ≤ 0) =0.4949 (tabla)

P(z < -2.57) = 0.5 - P(-2.57 ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.4949 = 0.0051

4.- Hallar el valor de -z si el área entre -z y 0 es de 0.3980

Se pide el valor de -z si P(-z ≤ z ≤ 0) es de 0.3980

Buscar el valor de z, en tablas, correspondiente a esta área

El valor del área para la Tabla es de 0.3980

Por lo tanto el valor de z obtenido a partir de la Tabla es z= -1.27

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Vázquez, H. 2009 28

5.- Hallar el valor de z si su área a la izquierda es de 0.25

Se pide el valor de -z, si su área a la izquierda en de 0.25

Recuerde que primero tiene usted que buscar el área entre la z buscada y cero:

P ( -z ≤ z ≤ 0 ) = 0.5 - 0.25 = 0.475

Una vez calculada el área, buscar la z correspondiente a esta área:

El valor de z obtenido a partir de la Tabla es de z = -1.96

6.- Calcular z si su área a la derecha, o por arriba de ella es del 0.7190

Piden calcular -z si su área a la derecha, o por arriba de ella es del 0.7190

Calculando el área P ( -z ≤ z ≤ 0 ) = 0.7190 - 0.50= 0.2190

El valor de -z obtenido a partir de la Tabla es z= - 0.58

7.- Los promedios de aprovechamiento de una población de estudiantes

universitarios tienen una distribución normal con media igual a 6.5 y desviación

estándar igual a 1.7. Si los estudiantes que tienen un promedio de

aprovechamiento menor o igual que 1.9 deben abandonar la universidad, qué

porcentaje de los estudiantes deben irse?

Solución:

Datos

x = tiempo de espera ( min )

μ = 6.5 min

σ = 3.1 min

P(x ≤ 1.9) = ?

Graficando el diagrama para la variable x es:

Calculando la puntuación estándar para la variable dada

z = (1.9 - 6.5)/3.1 = - 1.48

El diagrama para la variable z es:

Page 29: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 29

Obteniendo el área o probabilidad:

P(x ≤ 1.9) = P(z ≤ -1.48) = 0.50 - P(-1.48 ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.4306 = 0.0694

Por lo tanto el porcentaje de alumnos que deben irse de la universidad es:

0.0694 x 100 = 6.94 %

8.- Los salarios anuales de los ejecutivos de mandos medios en una compañía

están distribuidos normalmente, con una desviación estándar de 1200 dólares.

Se tiene programado un recorte de personal que implica el despido de aquellos que

ganen menos de 18,000 dólares. Si tal medida representa el 10% de los ejecutivos

de mandos medios, cuál es actualmente el salario medio de este grupo de

funcionarios?

Solución:

x = salarios anuales (dólares)

σ= $ 1200

μ= ?

La representación gráfica para la variable x es:

El diagrama para la variable z es:

Determinación de z:

Para encontrar el valor de z, recuerde que tiene que encontrar primero el área

entre 0 y la z buscada:

P (-z ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.10= 0.40

Buscando en tabla: z = -1.285

Determinación de μ :

z =

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Vázquez, H. 2009 30

-1.285 =

-1542 = 18000 - μ

μ = 18000 + 1542

μ = $19542

9.- Una máquina llena frascos con cierto producto, y se tiene como resultado un

peso promedio de 16 onzas por recipiente. Si no más del 5% de los frascos deben

pesar menos de 15.8 onzas , a qué debe ser igual la desviación estándar de los

pesos? (Suponga que hay normalidad).

Solución:

x = peso ( onzas )

μ = 16 onzas

σ = ?

El diagrama para la variable x es:

El diagrama para la variable z es:

Determinación de z:

Calculando el área entre 0 y la z buscada:

P( -z ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.05 = 0.45

Según tabla: z = -1.645

Calculando σ

z =

-1.645 =

σ=

σ = 0.122 onzas

10.- La probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000

horas de uso continuo es 0.25. Encuentre la probabilidad de que entre 200 de tales

componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo. Utilice

la aproximación binomial a la normal.

Solución:

n = 200

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Vázquez, H. 2009 31

p= 0.25

q= 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75

Calculando la media y desviación estándar:

μ = np = (200)(0.25) = 50

σ = = 6.12

P (x < 45 ) =P(x ≤ 44.5 ) ( Por factor de corrección de continuidad)

Calculando la puntuación tipificada:

z= (44.5 - 50) / 6.12 = 0.90

Buscando en la tabla de distribución normal la probabilidad es:

P(x < 45 ) =P(x 44.5 ) =P( z 0.90) = 0.5 - 0.3159 = 0.1841

11.- Un ingeniero de seguridad industrial cree que 30% de todos los accidentes

industriales en su planta se deben a que los empleados no siguen las disposiciones

de seguridad. Si esta apreciación es correcta, calcúlese aproximadamente la

probabilidad de que, entre 84 accidentes, de 20 a 30 se deban a eso. Aplique la

aproximación de la distribución binomial a la normal.

Solución:

n = 84

p= 0.30

q= 1 - p = 1 - 0.30 = 0.70

Calculando la media y desviación estándar:

μ = np = (84)(0.30) = 25.2

σ = = 4.2

P (20 ≤ x ≤ 30) = P (19.5 ≤ x ≤ 30.5) (por factor de corrección)

Tipificando los valores:

Z 1 = ( 19.5 - 25.2) / 4.2 = - 1.35 y z2 = ( 30.5 - 25.2) / 4.2 = 1.26

La probabilidad buscada en base a tabla de distribución normal:

P ( 20 ≤ x ≤ 30 ) = P( 19.5 ≤ x ≤ 30.5) = P (-1.35 1.26)

P (-1.35 1.26) = P( -1.35 ≤ z ≤ 0 ) + P(0 ≤ z ≤ 1.26) = 0.4115 + 0.3962 =

0.8077.

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Vázquez, H. 2009 32

12.- Si 62 % de todas las nubes impregnadas con yoduro de plata muestran un

crecimiento espectacular, ¿cuál es al probabilidad de que entre 40 nubes

impregnadas con yoduro de plata a los sumo 20 muestren un crecimiento

espectacular. Resuelva el ejercicio aplicando la distribución normal como

aproximación a la binomial.

Solución:

n= 40

p= 0-62

q= 1 - 0.62 = 0-38

Por lo tanto:

μ = np = (40)(0.62) = 24.8

σ = =1.49

P(x ≤ 20) = P(x ≤ 20.5)

Encontrando la puntuación tipificada:

z = (20.5-24.8) / 1.49 = -2.88

Calculando la probabilidad o área bajo la curva:

P(x ≤ 20.5) = P(z ≤ -2.88) = 0.5 -0.4973 = 0.0027.

13.- En el hangar 1 del Aeropuerto Internacional Benito Juárez de la ciudad de

México llegan en promedio 4 aviones por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos de más de un cuarto de hora entre

llegadas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos menores a un décimo de hora

entre llegadas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos entre un décimo y un cuarto de

hora entre llegadas?

d) Calcular el valor esperado y la varianza.

Solución:

Integrando la función de densidad:

P ( X, 𝜆 ) =

a) = 4 aviones por hora.

P (X > ¼)

P (x > 1/4)=

b) P ( X < 1/10)=

Page 33: 4.3 Distribuciones Continuas

Vázquez, H. 2009 33

c) P(1/10<X<¼)=

d) E(x) =μ = 1 / 𝜆 = 1/ 4 = 0.25

σ 2= 1 / 𝜆 2= 1/ 4 2 = 0.0625

14.- La vida útil de un semiconductor ( en horas) es una variable que tienen

distribución Weibull con =1600 y =0.5 ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor

esté funcionando después de 4000 horas?

Solución:

α=1600 y =0.5

p(X>4000) =

4.4.3. Ejercicios Propuestos

Distribución Normal:

1.- Encuentre el área bajo curva normal estándar que cae:

a) entre z=0 y z= 0.87

b) entre z=-1.66 y z=0

c) a la derecha de z=0.48

d) a la derecha de z=-0.27

e) a la izquierda de z= 1.30

f) a la izquierda de z=-0.79

2.- Encuentre el área bajo curva normal estándar que cae:

a) entre z=-0.70 y z=0.92

b) a la derecha de z=1.15

c) a la izquierda de z=0.22

d) entre z=0.24 y z=1.82

e) a la izquierda de z=-1.14

f) a la derecha de z=-0.76

g) entre z=-1.82 y z=-0.79

3.- Encuentre z si el área bajo curva normal estándar

a) entre 0 y z es 0.1915

b) a la izquierda de z es 0.8078

c) a la izquierda de z es 0.0132

d) entre -z y z es 0.8502

4.- El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente

con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los

recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión

de agua en California (Transportation Engineering Journal, noviembre de 1979) se

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Vázquez, H. 2009 34

especificó un espesor de de pulgada para el mortero. Un gran número de

mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación

estándar de 0.082 pulgadas. Si las mediciones de espesor tenían una distribución

normal, ¿qué porcentaje aproximado fue interior a de pulgada?

5.- Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida normalmente con

una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un

competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se

puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor

asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida normalmente

con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas.

a) ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor

que 9,000 horas?

b) ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000

horas?

6.- La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo)

de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad

normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que

el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una

distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50.

a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores?

b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?

c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su

mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para

atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores

terminales deberá producir la compañía cada día?

7.- La comisión de aeropuertos metropolitanos está considerando establecer límites

para el nivel de contaminación por ruido cerca de un aeropuerto local. En la

actualidad el nivel de ruido por despegue de jets en una zona residencial cercana la

aeropuerto tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 100

decibeles y una desviación estándar de 6 decibeles.

a) ¿Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar generará un nivel de ruido

mayor que 108 decibeles en esta zona residencial?

b) ¿Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar generará un nivel de ruido

de por lo mucho 100 decibeles?

8.- En una tienda de descuento la demanda diaria de acumuladores por automóvil

se calcula mediante una distribución normal con media de 50 acumuladores que

tienen una desviación estándar de 10. En dos días consecutivos se venden 80 y 75

acumuladores respectivamente. Si estos días son típicos, ¿qué tan probable es,

bajo las suposiciones dadas, vender 80 o más y 75 o más acumuladores?

9.- Se encontró que un grupo de calificaciones de exámenes finales en un curso de

estadística elemental estaba normalmente distribuido con una media de 73 y una

desviación estándar de 8.

a) ¿Cuál es la calificación del examen final si sólo el 5% de los estudiantes que

pasaron la prueba tuvieron calificaciones más altas?

10.- La directora de una pequeña subestación postal está tratando de cuantificar la

variación en la demanda semanal de cilindros postales. Ha decidido suponer que

esta demanda está distribuida normalmente. Ella sabe en promedio se adquieren

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Vázquez, H. 2009 35

100 cilindros semanalmente y que el 90% de las veces la demanda semanal esta

por debajo de 115. ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución?

11.- El tiempo necesario para dar servicio a un automóvil en la estación de

servicios Miller está distribuido normalmente con media de 4.5 minutos y

desviación estándar s = 1.1 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil seleccionado aleatoriamente

requiera

a.1) Entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio?

a.2) Cuando mucho 3.5 minutos de servicio?

b) ¿Cuál es el tiempo de servicio de modo que sólo el 5% de todos

los automóviles requieran más tiempo?

12.- Una máquina puede regularse de manera que sirva un promedio determinado

de onzas de refresco por vaso. Si las onzas que vacía por vaso están distribuidas

normalmente con una desviación estándar de 0.2 onzas, obtenga la media que

asegura que el 99% de las veces la máquina llene vasos de 6 onzas sin que se

derrame líquido.

13.- Suponga que una distribución normal en particular tiene una media igual a 70

y que el 90º centil es igual a 84. Calcule la desviación estándar.

a) Si el fabricante está dispuesto a reponer sólo el 0.5% de los refrigeradores,

¿Cuál es el periodo de garantía que debe ofrecer?

14.- Se cree que el tiempo necesario para terminar un examen de

aprovechamiento académico es de 150 minutos, y que su desviación estándar es

igual a 20 minutos. Si se desea dar el tiempo suficiente para que lo termine el 80%

de los examinados, ¿Cuándo debe darse por concluido el examen? (Suponga que

los tiempos necesarios para terminar el examen están distribuidos normalmente.)

15.- El departamento de mantenimiento de un gran complejo industrial tiene

instrucciones de sustituir las lámparas eléctricas antes de que se fundan. Se sabe

que la vida útil de éstas está distribuida normalmente con duración media igual a

900 horas y una desviación estándar igual a 75 horas . ¿Cuándo deben ser

reemplazadas las lámparas de modo que no más del 10% se fundan estando en

uso?

16.- El fabricante de un medicamento asegura que sólo el 5% de los pacientes que

lo utilizan experimentan efectos colaterales. Los doctores de un gran hospital

universitario han utilizado el producto en el tratamiento de 250 pacientes. ¿Cuál es

la probabilidad de que 15 o menos de ellos experimenten efectos colaterales?

17.- Suponga que 5% de los ladrillos de adobe que un fabricante embarca tiene

imperfecciones. Use la distribución normal para obtener una aproximación de la

probabilidad binomial de que entre 150 ladrillos embarcados por este fabricante por

lo menos ocho tengan imperfecciones.

a) Calcule la media aritmética

b) Calcule la desviación estándar.

18.- Los registros de servicio señalan que el 50% de automóviles nuevos de una

sola marca requerirán algún tipo de reparación durante el periodo de garantía de 90

días. Para una muestra aleatoria de n=12 de automóviles nuevos, use la

distribución binomial para determinar la probabilidad de que durante el periodo de

garantía requieran reparaciones

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Vázquez, H. 2009 36

a) 8 ó 9;

b) no más de 2

Use la aproximación binomial a la distribución normal para determinar la

probabilidad aproximada de que requerirán reparación dentro del periodo de

garantía de 90 días

c) 8 ó 9;

d) no más de 2

Distribución Exponencial:

1.- El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración

tiene una distribución exponencial con media de 400 horas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de

100 horas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas

antes de que falle?

c. Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿Cuál es la

probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas?

2.- Suponga que X tiene una distribución exponencial con = 2. Calcule lo siguiente.

a. P(X<= 0)

b. P(X>=2)

c. P(X<=1)

d. P(1 < X < 2)

e. Encuentre el valor de x tal que P(X <x) = 0.05

3.- El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a una computadora tiene una

distribución exponencial con media de dos horas.

a. ¿ Cuál es la probabilidad de que la computadora no reciba mensajes en un

periodo de dos horas?

b. Si la computadora no ha recibido ningún mensaje en las últimas

cuatro horas, Cuál es la probabilidad de recibir un mensaje en las dos horas

siguientes?

c. ¿Cuál es el tiempo esperado entre el quinto y sexto mensaje?

4.- El tiempo entre arribos de los taxis a un cruce muy concurrido tiene una

distribución exponencial con media de 10 min.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que

esperar más de una hora para tomar un taxi?

b. Suponga que la persona ya espero una hora; ¿Cuál es la probabilidad de que

llegue uno en los siguientes 10 min?

5.- La distancia que hay entre dos grietas grandes en una autopista tiene una

distribución exponencial con media de 5 millas

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10

millas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que hay dos grietas en un tramo de 10 millas?

c. Cuál es la desviación estándar de la distancia ente las grietas?

Distribución Weibull:

1.- Suponga que X tiene una distribución Weibull con =0.2 y =100 horas.

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Vázquez, H. 2009 37

Calcule lo siguiente:

a. P(X< 10 000 )

b. P(X > 5000)

2.- Suponga que la vida útil de cierta clase de baterías (en horas) es una variable

aleatoria que tiene una distribución Weibull con α = 100 y β = 0.5.

Calcular:

a) La probabilidad de que la batería dure más de 300 horas

b) La probabilidad de que la batería dure menos de 300 horas

c) La probabilidad de que la batería dure entre 250 y 350 horas

d) La vida promedio de esa batería

3.- El tiempo de falla (en horas) del cojinete de una flecha está modelado

satisfactoriamente por una variable aleatoria Weibull, con α = 5000 y β= 0.5.

a) Determinar la probabilidad de que el cojinete dure al menos 6000 horas

b) Calcular el tiempo promedio de falla

4.- La duración en horas de una broca de taladro que se emplea en una operación

de fabricación tiene una distribución Weibull α = 100 y β = 2.

Calcule la probabilidad de que una broca de taladro fallará antes de 8 horas de uso.