5. distribuciones continuas

Download 5. Distribuciones continuas

Post on 15-Dec-2015

143 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

muy buen documento

TRANSCRIPT

Presentacin de PowerPoint

Distribuciones continuasDistribucin uniformeDistribucin uniforme de probabilidad,Una variable aleatoria uniforme tiene igual oportunidad de tomar cualquier valor dentro de un intervalo especificado a lo largo de una escala continua,Una funcin de densidad de probabilidad f(x) para una variable aleatoria, que es igualmente probable que tome cualesquiera de los valores dentro de un intervalo dado, se denomina distribucin uniforme de probabilidad,

0,25rea de probabilidadf(x)xintervaloabLa altura precisa de la funcin de densidad de probabilidad uniforme, f(x), para diferentes valores, x, de la variable aleatoria uniforme,

f(x)xintervaloab0,25f(x) =1b - asia < x < bf(x) = 0de otra formaf(x) =13 - 1f(x) =12Calcular la altura

f(x)xintervaloab0,25La probabilidad se mide una vez ms por el rea arriba del intervalo de valores x que es de inters, Si se acumular valores x de izquierda a derecha, se obtiene la frmula:P(X < x) =x - ab - axP(X < x) =1,5 - 13 - 1=0,52= 0,25Calculo de la media y la desviacin estndar de la distribucin uniforme,

f(x)xintervaloab0,25xx = a + b21 + 3=2=42= 2x2 = (b a)212=(3 1)212= 0,333x = 0,333= 0,5774,Media:Varianza:Desviacin estndar:Distribucin exponencialDistribucin exponencialRecuerda que la distribucin de poisson proporciona informacin de probabilidades de acontecimientos en, espacio o tiempo, como: las llegadas de camiones a una caseta de cobro, las personas que llegan a un banco, el nmero de defectos por metro cuadrado en una tela de alambre,

Pero no todas las personas estn interesadas en los tiempo de llegadas, como los clientes que consideran el tiempo en que tardan ser atendidos; a estos, se les provee un tiempo de servicio, con distribucin exponencial.

La probabilidad de encontrar intervalos especificados de, tiempo o espacio, entre acontecimientos consecutivos se puede describir por la distribucin de probabilidad exponencial.Las frecuencias mas grandes de los intervalos de los tiempos de entre llegadas, o el nmero de fallas en una rea especificada, estn ubicadas en los primeros intervalos de la grfica exponencial.

En la medida que los intervalos de, tiempo o espacio, se van alejando hacia el infinito (+), la frecuencia de los acontecimientos van disminuyendo conforme una funcin exponencial.

+Estos intervalos de valor menor, son ms probables que sucedanLos intervalos de mayor valor, son ms probables que no sucedanLos valores X de los intervalos son positivos hasta el infinitoLa funcin densidad f(x), es una asntota que tiende acercarse al eje horizontal; va hasta el infinito, y jams lo toca.La frmula:Funcin de densidad de probabilidad exponencialf(x) = *e-x es la taza rapidez del proceso, cuando mayor sea , menor ser x = x y menos dispersa la distribucin, es decir:

= 0,5

= 1

= 2

= 3Donde x > 0 y > 0x = 1La frmula:Funcin de densidad de probabilidad exponencialf(x) = *e-x es la taza o rapidez del proceso, cuando mayor sea , menor ser x = x y menos dispersa la distribucin, es decir:Donde x > 0 y > 0 y x, ambas deben estar expresadas en las mismas unidades: minutos, segundos, horas, metros cuadrados, o unidades lineales, etc,Si las unidades de x est definida en 100,000 horas, las unidades de tambin debe definirse igual, por ejemplo:x = 15 x 105 horas = 0,25 x 105 horas,La constantee=2,71828x = 1x = 25 x m2 = 2 x m2,

La frmula:Funcin de densidad de probabilidad exponencialf(x) = *e-x es la taza o rapidez del proceso, cuando mayor sea , menor ser x = x y menos dispersa la distribucin, es decir:Donde x > 0 y > 0x = 1El rea total bajo la funcin de densidad f(x), desde 0 hasta + , es igual a 1,1+

La frmula:Funcin de densidad de probabilidad exponencialf(x) = *e-x es la taza o rapidez del proceso, cuando mayor sea , menor ser x = x y menos dispersa la distribucin, es decir:Donde x > 0 y > 0x = 1+ Se pueden encontrar varias probabilidades en reas bajo la curva, para diferentes lmites de la variable aleatoria exponencial X:Encontrar el rea bajo la funcin densidad de probabilidad exponencial, a la izquierda de un valor dado por la variable aleatoria exponencial x, con la siguiente frmula:P(X < x) = 1 e-xoP(X < x) = 1 e-x/xxP(X < x)

La frmula:Funcin de densidad de probabilidad exponencialf(x) = *e-x es la taza o rapidez del proceso, cuando mayor sea , menor ser x = x y menos dispersa la distribucin, es decir:Donde x > 0 y > 0x = 1+ Se pueden encontrar varias probabilidades en reas bajo la curva para diferentes lmites de la variable aleatoria exponencial X,Encontrar el rea bajo la funcin densidad de probabilidad exponencial, a la derecha de un valor dado por la variable aleatoria exponencial x, con la frmula (complemento):P(x < X) = e-x=P(x < X) = e-x/xxP(x < X)

Encontrar la probabilidad exponencial indicada por el rea bajo la curva dentro del intervalo especfico (x1 < X < x2) P(x1 < X < x2) = F(x2) F(x1)Probabilidad de densidad acumulada desde 0 hasta la variable aleatoria x1P(X < x2) = 1 e-xF(x2) = 2P(X < x1) = 1 e-xF(x1) = 1

x2F(x2)F(x1)x1F(x2) F(x1) = P(x1 < X < x2)Se restan ambas probabilidades acumuladas para encontrar la probabilidad que ocurra un evento entre el intervalo especfico,1 e-x (1 e-x ) = e-x + e-x 2211F(x2) F(x1)Probabilidad de densidad acumulada desde 0 hasta la variable aleatoria x2Ejemplo:Sea X = el tiempo entre dos llegadas sucesivas a la ventanilla de autopago de un banco local; y si X tiene una distribucin exponencial con = 1, calcule lo siguiente:Tiempo de llegada entre dos llegadas sucesivas,b) La desviacin estndar del tiempo entre dos llegadas sucesivas,x = x = 1/ = 1/1 = 1c) P(X 4)P(X 4) = 1 e-4/1 = 1 0,01832 = 0,98168, = 1, taza o razn de entre llegadas,x = 1/ = 1/1 = 1Promedio de entre llegadas,

x = 4c) p(2 X 5)F(5) F(2) = - e-5+ e-2=0,1286

25F(5) F(2) F(5)F(2)

c) p(2 X 5)Usando las tablas:F(-x)F(-5,00) = 0,9933F(-2,00) = 0,8647Se restan:0,9933- 0,86470,1286p(2 X 5) =

En excel est la funcin EXP()EXP() se la restas a 1F(x): = 1 EXP(-x) = 1/x = 1/1x = 1Distribucin gammaLa funcin Gama,Para definir la familia de distribuciones gama, primero se tiene que introducir la funcin,Con > 0, la funcin gama () se define como:() = 0x 1 e-x dxLas propiedades ms importantes:1) Con cualquier > 1, () = ( 1)*( 1) **integracin por partes**2) Con cualquier entero positivo, n, (n) = (n 1)!3) (1/2) = ()1/2Ejemplo: = n = 4(4) = 0x4 1 e-x dx= x3e-x - 3x2e-x - 6xe-x - 6e-x0= 3e- - 32e- - 6e- - 6e--03e-0 3*02e-0 6-0e-0 - 6e-0[]0000000-6= 6(4) = (4 1)! = 3! = 3*2*1 = 6Se multiplican lo signos: - * - = +Se derivaSe derivaSe derivaSe integraSe integraSe integraSe integraSe copiaEjemplos:Otros valores > 0En excel se calcula () con las dos funcionesGAMMA,LN,EXACTO() Y EXP(), con el siguiente formato:=EXP(GAMMA,LN,EXACTO(1/2))

=EXP(GAMMA,LN,EXACTO(3/2))=EXP(GAMMA,LN,EXACTO(5/2))=EXP(GAMMA,LN,EXACTO(7/2))

O bien, primero calcula con GAMMA,LN,EXACTO() y despus usa EXP(), como te indico:Distribucin gamma,Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribucin gama si la funcin densidad de probabilidad de X es:f(x; , ) =1 ()x-1 e-x/ Donde los parmetros y satisfacen 0 y 0,La distribucin estndar gama tiene = 1La distribucin exponencial se deriva de considerar = 1 y = 1/,

Para varios pares (, )=1La media y varianza de una variable aleatoria X que tiene la distribucin gama estndar,E(x) = = *V(x) = 2 = *2Cuando X es una variable aleatoria gama estndar, la funcin de distribucin acumulada de X,F(x; ) =0xy -1e-y()dy=1 e-x K = 0 - 1xkk!Con esta frmula se elabora la tablaTe anexo la hoja electrnica de la tabla, da click aqu con el ratn para verla, Tabla de la distribucin Gama estndar,Calculada en excel,

Ejemplo:Suponga que el tiempo de reaccin X de un individuo seleccionado al azar a un estmulo tiene una distribucin gama estndar con = 2, Como:P(3 X 5) = F(5;2) F(3; 2)F(5;2) = 0,960F(3; 2) = 0,801F(5;2) = 0,960F(3; 2) = 0,801Se restan:0,159Es la probabilidad de tiempo de reaccin de entre 3 y 5 segundos,Calculada en excel,

Cul es la probabilidad de que el tiempo de reaccin sea de ms de 4 segundos?P(4 < X) = 1 P(X 4) = 1 F(4; 2)F(4; 2) = 0,908P(4 < X) = 1 0,908 = 0,0902xP(X x)5120,959572323120,80085173Se restan:0,15872059En excel est la funcin DISTR,GAMMA:

La distribucin estndar gama tiene = 1Si X tiene una distribucin gama con parmetros y , entonces con cualquier x > 0, la funcin de distribucin acumulativa de X es:P(X x) = F(x; ; ) = F(x/; )Suponga que el tiempo de sobrevivencia de un ratn macho seleccionado al azar expuesto a 240 radiaciones gama tiene una distribucin gama con = 8 y = 15, El tiempo de sobrevivencia esperado:E(x) = = *= 8 * 15 = 1202 = *2La desviacin estndar:= 8 * 152 = 1800= 42,43Cual es la probabilidad que viva entre 60 y 120 semanasP(60 X 120) = P(x 120) P(x 60) = F(120/; ) F(60/; ) = F(120/15; 8) F(60/15; 8)Calculada en excel,

P(60 X 120) = F(120/15; 8) F(60/15; 8)F(8; 8)F(4; 8)F(8; 8) = 0,547F(4; 8) = 0,051F(8; 8) = 0,547F(4; 8) = 0,051Se restan:0,496Es la probabilidad que el ratn viva entre 60 y 120 semanas,Calculada en excel,

La probabilidad de que por lo menos viva 30 semanas,P(30 X) = 1 P(X < 30) F(x/; )F(30/15; 8)F(2; 8)F(2; 8) = 0,001P(30 X) = 1 0,001 = 0,999En excel est la funcin DISTR,GAMMA:xP(X x)1201580,54703919601580,05113362Se restan:0,49590557

Distribucin WeibullDistribucin WeibullSe dice que una variable aleatoria X tiene una distribucin Weibull con parmetros y ( > 0, > 0) si la funcin probabilidad de X es:f(x; , ) = x 1 e-(x/)Datos observadosSe relacionan con datos particulares de y Cuando = 1 la funcin de probabilidad se r

Recommended

View more >