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  • Distribuciones Continuas

    Distribuciones Continuas

    Luz Marina Moya MoyaPontificia Universidad Javeriana

    Junio - 2013

    Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas

  • Distribuciones Continuas

    Distribucion Normal

    La curva normal cumple las siguientes propiedades:

    1 El maximo de la curva coincide con la media.

    2 Es perfectamente simetrica a la media.

    3 Sus colas son asintoticas al eje X

    4 La curva tiene dos puntos de inflexion situados a unadesviacion estandar de la media.

    Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas

  • Distribuciones Continuas

    Distribucion Normal

    La distribucion mormal o tambien llamada de Gauss es la masimportante. Muchas variables de interes se distribuyen normal.Una variable aleatoria X se distribuye normal con media X yvarianza 2X si su funcion de densidad de probabilidad esta dadapor:

    fX (x) =1

    X

    2pie 1

    2

    [xXX

    ]2

    Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas

  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Un abogado va todos los das de su casa en las afueras de laciudad a su oficina en el centro de la misma. El tiempo promediopara un viaje de ida es 24 minutos, con una desviacion estandar de3,8 minutos, suponga que la distribucion de los tiempos de viajeesta distribuida normalmente.Cual es la probabilidad de que un viaje dure por lo menos mediahora?

    Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas

  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Solucion.

    P(x 30) = 0, 057174Distribuciones continuas, distribucion normal.Valor de la variable 30, media 24, desviacion tpica 3,8, coladerecha

    Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas

  • Distribuciones Continuas

    Aproximacion de la Binomial a la Normal

    Una distribucion binomial se puede aproximar a la distribucionnormal si N es suficiente grande y p no esta ni muy proximo a 0 nia 1. Sea X una variable aleatoria con media np y varianza npq.entonces

    Z =X np

    npq

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Segun la experiencia, se sabe que aproximadamente el 20% de losestudiantes del curso de probabilidad de esta universidad pierden elexamen final. Si este semestre se seleccionan al azar 60 estudiantesque toman esta asignatura, cual es la probabilidad de que:

    1 10 pierdan probabilidad

    2 Entre 10 y 15 pierdan probabilidad.

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  • Distribuciones Continuas

    Solucion.

    1 P(x = 10) = 0, 110188 dbinom(10, size=60, prob=0.2).

    2 P(10 < x < 15) = P(x < 15) P(x < 10) =,x = np = 60 ? 0, 20 = 12, =npq =

    60 ? 0, 20 ? 0, 80 =

    9, 6 = 3, 0983

    =0.833546-0,2592967=0.5742493. Valor de variable 15,media 12 desviacion tpica 3.0983, cola izquierda.

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  • Distribuciones Continuas

    Distribucion exponencial

    Se dice que una variable aleatoria X que toma todos los valores nonegativos tiene una distribucion exponencial con parametro deescala > 0, la funcion de densida es:

    fX (x) =

    {ex si x 00 si x < 0

    E (X ) = 1 , V (X ) =12

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  • Distribuciones Continuas

    La distribucion exponencial rige los tiempos de vida, de falla otiempos de sobrevivencia. Cuado esta ligada con un distribucion dePoisson es el equivalente continuo de la distribucion geometrica, enel sentido que rige el tiempo de espera o tiempo transcurrido hastaque ocurra un primer suceso de Poisson, o tiempo de espera entreacontecimientos (sucesos) consecutivos de Poisson, en este caso elparametro es el promedio de acontecimeintos de Poisson porunidad de tiempo.

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    El numero de automoviles que circulan a alta velocidad durante unlapso de una hora en una cierta autopista es una variable aleatoriaPoisson con = 8, 4. Cual es la probabilidad de tener un tiempode espera menor de 10 minutos entre automovilistas sucesivos quecirculan a alta velocidad?

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Solucion.

    que corren a alta velocida por hora, como 10 minutos es 1/6 dehora, en tonces P(x < 1/6) = 0, 753403 Valores de la variable 1/6,parametro de la exponenecial 8,4, cola izquierda.8,4 numero de autos

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Segun las estadsticas de Bogota, en esta ciudad se registran enpromedio cuatro asaltos bancarios cada 20 das. Si el numero deasaltos se considera una distribcucion de Poisson, calcule laprobabilidad de que transcurran entre cuatro y siete das entre dosasaltos bancarios consecutivos registrados en Bogota.

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  • Distribuciones Continuas

    Solucion

    Considerar los asaltos bancarios como sucesos independientes depoisson. Cuatro asaltos cada 20 das equivalen en promedio a unasalto cada cinco das. el parametro exponencial es el numero deasaltos que ocurren por unidad de tiempo. Si se toma la unidad detiempo en das, entonces = 15 representa el equivalenteproporcional al numero de asaltos por unidad de tiempo elegida.

    fT (t) =1

    5e1/5t , P(4 T 7) = 1

    5

    74e1/5tdt = 0.2027

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  • Distribuciones Continuas

    Distribucion Gamma

    La distribucion exponencial es un caso especial de la Gamma. Deesta forma, la distribucion Gamma es una distribucion flexible paramodelizar las formas de la asimetra positiva, de las masconcentradas y puntiagudas, a las mas dispersas y achatadas.Como ejemplos de variables que se comportan as:

    Numero de individuos involucrados en accidentes de trafico enel area urbana: es mas habitual que la mayora de partesabiertos den la proporcion de 1 herido por vehculo, que otrasproporciones superiores.

    Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de formamas habitual precipitaciones iniciadas a una altura baja, queiniciadas a gran altitud.

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  • Distribuciones Continuas

    Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos quesiguen una distribucion de Poisson.

    Distribucion de la finura de fibras de lana: la mayorapresentan una menor finura que unas pocas fibras masgruesas.

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  • Distribuciones Continuas

    La funcion Gamma es:

    () =

    0

    x1exdx , > 0

    La funcion de distribucion de probabilidad es:

    fT (t) =

    {1

    () (t)1e

    t t 0

    0 en otro caso

    Con parametro de forma y de escala.

    E (X ) = , V (X ) =

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  • Distribuciones Continuas

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    En una ciudad se observa que el consumo diario de energa (enmillones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria que sigue unadistribucion gamma con parametros = 3 y = 2. Si la planta deenerga que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria degenerar un maximo de 12, cual es la probabilidad de que haya unda donde no se pueda satisfacer la demanda?

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Solucion.

    P(x < 1) = 0.01438, pgamma(1,3,scale=2,lower.tail=T)

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratas expuestas a undeterminado toxico es una variable aleatoria que sigue unadistribucion Gamma (5, 10), cual es la probabilidad de que unarata no supere las 60 semanas de vida?

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  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Solucion.

    P(x < 60) = 0.7149437, pgamma(60,5,scale=10,lower.tail=T)

    Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas

  • Distribuciones Continuas

    Ejemplo

    Suponga que las llamadas que entran a un computador siguen unproceso de Poisson, con un promedio de cinco llamadas porminuto. Cual es la probabilidad de que pase mas de un minutohasta que lleguen dos llamadas al conmutador?

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  • Distribuciones Continuas

    Solucion

    Sea T el tiempo transcurrido hasta que lleguen dos llamadas. T sedistribuye Gamma con = 2 y = 1/5

    P(T > 1) = 1 P(T < 1) = 1(

    11

    k=o

    e55k

    k!

    )= 6e5

    Solucion.

    = llamadasminutos , =15minutosllamadas P(x > 1) = 0.04042768,

    pgamma(1,2,scale=1/5,lower.tail=F)

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  • Distribuciones Continuas

    Grados De libe