probabilidad variables continuas

8/17/2019 Probabilidad Variables Continuas

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Distribución Normal

Diremos que una distribución de probabilidad sigue unadistribución normal de media x ydesviación típicaσ , y lo representaremos por N ( x; σ ) cuando la representación gráfica de sufunción de densidad es una curva positiva continua, simétrica respecto a la media, de

máximo en la media, y que tiene 2 puntos de inflexión, situados a ambos lados de la media( x − σ y x + σ respectivamente) y a distancia deσ ella, es decir de la forma:

Figura 1 : Distribución normal N ( x; σ ). El máximo está en2

2

1,πσ

x

Su importancia se debe fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas variablesasociadas a fenómenos naturales y cotidianos siguen, aproximadamente, esta distribución.

Dependiendo de los valores que tomen x y σ , la gráfica de esta función puede ser más omenos alargada, achatada, etc.…, pero en cualquier caso siempre tiene las mismascondiciones de simetría, continuidad, etc., reseñadas anteriormente. En el caso de ladistribución normal de parámetros x y σ , la función de densidad viene dada por:

( )2

2

222

1)( σ πσ

x x

e x f −−

=

• El área encerrada bajo la curva normal N ( x; σ ) siempre es 1.• Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.• La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es

igual a una desviación típica (σ ). Cuanto mayor seaσ , más aplanada será la curva de ladensidad.

• El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dosdesviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo( )σ σ 96.1,96.1 +− .

Figura 2 : Distribuciones normales con a) izquierda, distinta desviación estándar y mismamedia; b) derecha, diferentes medias e igual desviación estándar.


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De entre todas las curvas normales N ( x; σ ), la más sencilla, usada y conocida es aquellaque tiene por media 0 y por desviación típica 1, N (0, 1). Esta normal estándar se suelerepresentar por Z . La gráfica de esta curva se denomina campana de Gauss y se puedeobservar en la figura:

Figura 3 : Distribución normal N (0; 1). El máximo está en ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

π 21,0

Para un valor cualquiera k, definimos la probabilidad de que la distribución Z , N (0;1) , seamenor o igual que k como: p( Z ≤ k )= “Área encerrada bajo la curva normal N (0,1) desde

−∞ hasta k” (es decir la parte rayada de la figura siguiente).

Figura 4 : Área encerrada por la curva normal desde−∞ hasta k

Si k es positivo y queremos calcular p( Z ≥ k ), es decir el área rayada:

Figura 5 : p( Z ≥ k ).

Basta pasar al complementario, es decir: p( Z ≥ k ) = 1− p( Z ≤ k ) y esta última probabilidadya se encuentra tabulada.

Si k es positivo y queremos calcular p( Z ≤ − k ), es decir el área: por simetría, p( Z ≤ − k ) = p( Z ≥ k ) y esta se calcula como en el caso anterior.

Probabilidades comprendidas entre dos valores, p(k 1 ≤ Z ≤ k 2) ,es decir el área rayada en lafigura:

Apuntes de Estadística Aplicada – Ing. Eder Vicuña, FQIQ – UNMSM - 2009 2


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se calcula restando las áreas:

Esto es, p( Z ≤ k 2) − p( Z ≤ k 1).

Si no tenemos una distribución N (0;1), sino una N ( x; σ ) cualquiera, ¿cómo calcular probabilidades, si no tenemos tabla salvo para N (0;1)? El siguiente resultado nos da larespuesta.

Propiedad:

Si X sigue una distribución N ( x; σ ), entonces la variable Z =σ

x X − sigue una distribución

N (0,1). (El paso de la variable X → N ( x; σ ) a la Z → N (0;1) se denominatipificación de lavariable X).

Estimación por Intervalos

Es preferible remplazar las estimaciones puntuales por estimaciones con intervalos, puesno se puede esperar que las estimaciones puntuales coincidan con las estimaciones que se busca hallar. Así se podrá esperar con un grado razonable de certeza que contengan al parámetro en cuestión.

Intervalo de confianza para la media de una poblaciónDe una población de media μ y desviación típicaσ se pueden tomar muestras den elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrarque la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:

μ = x

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, las mediasmuestrales tienden a una distribución normal (o gaussiana) con dicha media y unadesviación típica dada por la siguiente expresión:

nn

σ

σ

σ

σ == 22

2

2 ; Si estandarizamos:

)1,0(~ N

n

x x

z

x

σ μ

σ

μ −=−

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde seencontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con unaconfianza determinada.α . Habitualmente se manejan valores de confianza del 95% y 99%.



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A este valor se le llamará 1− α (debido a queα es el error que se cometerá, un términoopuesto).

Si σ no es conocida yn es grande (por ejemplo≥ 30): ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−

n s

Z xn

s Z x 2/2/ , α α , donde

s es la desviación típica de una muestra. Estos vienen a ser los límites de confianza paraμ .

Distribución t de StudentLa distribución-t o distribuciónt de Student es una distribución de probabilidad que surgedel problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando eltamaño de la muestra es pequeño. Esta es la base del popular test de lat de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción delintervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

La distribuciónt surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando ladesviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos

de una muestra.Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X 1,..., X n son variables aleatorias independientes distribuidasnormalmente, con mediaμ y varianzaσ2. Sea

( ) n X X X nn /...1 ++= la media muestral y

( )∑=

−−

=n

i

i x x

n

x s1

22

1

1)(

la varianza muestral. Entonces, está demostrado que

n

X Z n

/σ μ −=

se distribuye según una normal de media 0 y varianza 1.

Gosset estudió una expresión relacionada,

nS

X T

n

n

/μ −=

y mostró queT tiene la siguiente función de densidad

( )[ ]( ) 2/)1(2 /1)2/(

2/1)( +−+Γ+Γ= ν ν

ν νπ

ν t t f

Conν igual an − 1. DondeΓ es la función gamma definida por:Apuntes de Estadística Aplicada – Ing. Eder Vicuña, FQIQ – UNMSM - 2009 4


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∫∞ −−=Γ0

1)( dt et z t z

La distribución deT se llama ahora ladistribución- t .

El parámetroν se llama convencionalmente el número degrados de libertad . Ladistribución depende deν, pero no de μ o σ ; la independencia de μ y σ es lo que hace a ladistribuciónt tan importante en la teoría como en la práctica.

Para efectos de cálculo el procedimiento es similar a la de la distribución normal, perousando las tablas det de Student correspondiente.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en lat de Studentconsiste en estimar la desviación típica de los datos s y calcular el error estándar de lamedia. Este estadístico es aplicable cuandon < 30.

n

st x

n

st x 2/2/ α α μ +


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DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X 2)

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea, que si seextraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calculasu varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer elestadístico X2. Si se elige una muestra de tamañon de una población normal con varianzaσ 2, el estadístico:

2

2)1(σ

sn −

tiene una distribución muestral que es unadistribución ji-cuadrado con grados de libertad= n - 1 y se denota χ 2 ( χ es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadradoestá dado por:

2

22 )1(

σ χ sn −=

donden es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral yσ 2 la varianza de la poblaciónde donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrado también se puede dar con lasiguiente expresión:

2

22 )(

σ χ ∑ −= x x

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

1. Los valores de χ 2 son mayores o iguales que 0.2. La forma de una distribución χ 2 depende del gl =n-1. En consecuencia, hay un número

infinito de distribuciones χ 2.3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.4. Las distribuciones χ 2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la

derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.5. Cuandon>2, la media de una distribución χ 2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).6. El valor modal de una distribución χ 2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones χ 2

. Note que el valor modal aparece en elvalor (n-3) = (gl-2).



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La función de densidad de la distribución χ 2 esta dada por:

( )212

2

2

)2/1()( x

e x x f −−

Γ=

ν ν

ν ν , para x > 0 y f ( x) = 0α para x ≤ 0

La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística deWalpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales deα. Paradenotar el valor crítico de una distribución χ

2α χ

2 con gl grados de libertad se usa el símbolo(gl); este valor crítico determina a su derecha un área deα bajo la curva χ 2α χ 2 y sobre el

eje horizontal. Por ejemplo para encontrar χ 20.05 (6) en la tabla se localiza 6 gl en el ladoizquierdo yα = 0.05 a o largo del lado superior de la misma tabla.

Cálculo de Probabilidad

El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para sabercomo se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene deuna distribución normal.

Ejemplos:

1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de susdestinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándarσ = 1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad deque la varianza muestral sea mayor que 2.

Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

22

22

)1(

)2)(117()1( −=−=σ

χ sn

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y seencuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, elvalor de la probabilidad es P( s2>2)



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2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianzaσ 2 = 6, tenga una varianza muestral:

a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745

Solución.a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

4.366

)1.9)(125()1(2

22 =−=−=

σ χ

sn

Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de0.05. Por lo que la P( s2 >9.1) = 0.05 b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:

( ) ( ) 847.136

462.312512

22 =−=−=

σ

χ sn , ( ) 98.42

6

745.101252 =−= χ

Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscarel valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área ala derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el áreade 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.

Por lo tanto la P(3.462≤ s2 ≤ 10.745) = 0.94

Estimación de la Varianza

Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.

( )2

22 1

σ χ

sn −=

Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:

( )2

22 1

χ σ

sn −=



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Los valores de χ 2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos 1 -α.Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:

Aquí se ha desarrollado implícitamente el intervalo de confianza para la varianza, demanera completa:

22/1

22

22/

2 )1()1(α α χ

σ χ −

−


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( ) 135.0023.19

286.01102min =

−=σ

Gráficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. Lainterpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con unnivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de lavariabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidadde calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizóseis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultadosen partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de losresultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.

Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.

Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obteniéndosedos resultados. Para χ 2(0.95,5)= 1.145 y para χ 2(0.0,5)= 11.07.

Entonces el intervalo de confianza esta dado por:

( ) 1246.0145.1

286.0162max =

−=σ y ( ) 0129.007.11

286.0162min =

−=σ



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Teorema. Si U y W son dos variables aleatorias independientes, cada una con distribuciónChi Cuadrado con ν1 y ν2 grados de libertad, respectivamente, entonces la distribución dela siguiente variable aleatoria

2

1

//ν ν

W U

F =

está dada por:

( )212

1

121.

2

112

2

1

21

21

1

22

2)(ν ν

ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν ν

+−

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Γ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Γ

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +Γ

= f f f g , f > 0

y se denomina "distribución F con ν 1 y ν 2 grados de libertad" (ν 1 grados de libertad en elnumerador yν 2 grados de libertad en el denominador).

Notación . Usaremos la notación para denotar el valor de la distribución F con ν P F 21,ν ν 1 grados de libertad en el numerador,ν 2 grados de libertad en el denominador y una probabilidad acumulada de P hacia la derecha (o una probabilidad de 1 - P hacia la

izquierda). Puede demostrarse que P

P F F

−=

1,,

21

21

1ν ν

ν ν , si se invierte la definición de la

distribución F .

La aplicación principal para la cual se desarrolló la distribución F es la comparación de dosvarianzas (de poblaciones normales).

Sea una muestra aleatoria (n111211 ,...,, n X X X 1) tomada de una población normal convarianza , y sea otra muestra aleatoria (n21σ 222221 ,...,, n X X X 2) tomada de una poblaciónnormal con varianza . Si queremos realizar alguna inferencia sobre la igualdad o no de22σ las varianzas, nos podemos basar en el hecho que las siguientes relaciones

( )21

2112

11

σ χ

sn −= y ( )22

2222

21

σ χ

sn −=

son variables aleatorias con distribuciones Chi cuadrado con ν 1 y ν 2 grados de libertad,respectivamente, y con las cuales podemos construir la distribución F . El siguiente teorema

Teorema. Si y son las varianzas muestrales de dos variables aleatorias21 s 22 sindependientes de tamañosn1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas y,entonces, la relación

21

22

22

21

22

22

21

21

//

σ σ

σ σ

s s

s s

F ==

tiene una distribución F conn1 -1 yn2 -1 grados de libertad.



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Esta distribución de probabilidad se usa como estadística prueba en varias situaciones. Seemplea para probar si dos muestras provienen de poblaciones que poseen varianzasiguales. Esta prueba es útil para determinar si una población normal tiene una mayorvariación que la otra y también se aplica cuando se trata de comparar simultáneamentevarias medias poblacionales. La comparación simultánea de varias medias poblacionales

se conoce comoanálisis de varianza (ANOVA) . En ambas situaciones, las poblacionesdeben ser normales y los datos tener al menos la escala de intervalos.

Características de la distribución F1. Existe una "familia" de distribuciones F. Un miembro específico de la familia se

determina por dos parámetros: los grados de libertad en el numerador y en eldenominador. Existe una distribución F para la combinación de 29 grados de libertaden el numerador y 28 grados en el denominador. Existe otra distribución F para 19grados en el numerador y 6 en el denominador.

2. La distribución F es una distribución continua.3. F no puede ser negativa4. La distribución F tiene un sesgo positivo5. A medida que aumentan los valores, la curva se aproxima al eje x, pero nunca lo toca.

En el caso particular de queσ 12 = σ 22, también se puede usar la prueba F para 22

21

s s .

Problemas

1. El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuyadistribución es aproximadamente normal conμ = 12.9 yσ = 2.0 minutos. ¿Cuáles sonlas probabilidades de que el ensamblado de tal pieza mecánica tardea) al menos 11.5 minutos; b) entre 11.0 y 14.8 minutos?

2. El tiempo de ignición de un cohete experimental es una variable aleatoria que tiene ladistribución normal conμ = 4.76 yσ = 0.04 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de queel tiempo de ignición de tal cohete seaa) menor que 4.66 segundos; b) mayor que 4.80 segundos;c) entre 4.70 y 4.82 segundos?

3. Una máquina troqueladora produce tapas de latas cuyos diámetros están normalmentedistribuidos, con una desviación estándar de 0.01 pulgadas. ¿En qué diámetro“nominal” (promedio) debe ajustarse la máquina de tal manera que no más del 5% delas tapas producidas tengan diámetros que excedan las 3 pulgadas?

4. Ciertos bastoncillos plásticos moldeados por inyección son cortados automáticamentecon longitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes reales están distribuidasnormalmente alrededor de la media de 6 pulgadas y su desviación estándar es de 0.06 pulgadas,a) ¿Qué proporción de los bastoncillos rebasan los límites de tolerancia, que son de

5.9 a 6.1 pulgadas?



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b) ¿A qué valor es necesario reducir la desviación estándar si el 99% de los bastoncillos debe estar entre los límites de tolerancia?

5. Un proceso para fabricar ciertos cojinetes está bajo control si los diámetros de loscojinetes tienen una media de 0.5000 cm. ¿Qué podemos decir de este proceso si una

muestra de 10 cojinetes tiene un diámetro medio de 0.5060 cm y una desviaciónestándar de 0.0040 cm?

6. Un fabricante de fusibles asegura que, con una sobrecarga del 20%, sus fusibles sefundirán al cabo de 12.40 minutos en promedio. Para probar esta afirmación, unamuestra de 20 de los fusibles fue sometida a una sobrecarga de un 20%, y los tiemposque tardaron en fundirse tuvieron una media de 10.63 minutos y la desviación estándarde 2.48 minutos. Si se supone que los datos constituyen una muestra aleatoria de una población normal, ¿tienden a apoyar o refutar la afirmación del fabricante?

7. La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente conuna mediaμ y una varianza desconocidaσ2. Se seleccionaron al azar 6 segmentos dealambre de un rollo grande; encuentre la probabilidad de que la media muestral esté a

lo sumo a 2,015n

s de la verdadera media poblacionalμ .

8. Una óptica adquiere cristales para montarlos en anteojos, y sabe por experiencia que lavarianza del índice de refracción de esta clase de cristales es 1.26×10-4. Como esimportante que los cristales tengan un índice de refracción muy parecido, la empresarechaza uno de tales cargamentos si la varianza muestral de 20 cristales escogidos alazar excede 2.00×10-4. Suponiendo que los valores muestrales pueden considerarsecomo una muestra aleatoria de una población normal, ¿cuál es la probabilidad de queun cargamento sea rechazado a pesar de queσ2 = 1.26×10-4?

9. Una fábrica productora de alimentos envasa mermelada de frutas por medio de un proceso automático. El peso neto de un frasco se considera una variable aleatoria conun promedio de 420 gr. Y una desviación estándar de 15gr. El peso neto de cada frascono afecta ni es afectado por el peso neto de los otros. Una vez llenos los frascos seempacan en cajas de 72 frascos cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que una cajacontenga menos de 30 Kg. de mermelada?

10. Una empresa firma un contrato para la entrega de 1290 unidades de un producto en unmes. La empresa tiene 64 obreros, el número de unidades producidas por obrero pormes es una variable aleatoria con media de 20 unidades y desviación estándar de2..¿Cuál es la probabilidad de que el contrato sea cumplido?

11. Se tiene una máquina de llenado para vaciar 500 g de cereal en una caja de cartón.Supóngase que la cantidad de cereal que se coloca en cada caja es una variablealeatoria normalmente distribuida con media de 500 g y desviación estándar igual a 20g. Para verificar que el peso promedio de cada caja se mantiene en 500 g, se toma unamuestra aleatoria de 25 de éstas en forma periódica y se pesa el contenido de cada caja.El gerente de la planta ha decidido detener el proceso y encontrar la falla cada vez que



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