Distribuciones Continuasde Probabilidad

ContenidoDistribucin uniforme de probabilidadDistribucin Normal de probabilidadAproximacin normal a la distribucin binomialDistribucin exponencial de probabilidad

Distribucin Uniforme de ProbabilidadEn las distribuciones discretas la funcin de probabilidad toma valores especficos, sin embargo, cuando es continua se habla de una funcin de densidad que entrega slo un valor evaluadoEs el rea bajo la curva, definida por un intervalo, la que determina la probabilidad de una variable aleatoria continua. Una distribucin uniforme de probabilidad es una distribucin continua en la que la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor en cualquier intervalo es igual para todo intervalo de igual longitud

Distribucin uniformeSiempre que la probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable tiene distribucin uniforme

ejemploEjemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el prximo ao se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. Podra ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.Su funcin de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por: f(x) = 1/(b-a)Donde:b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)Por lo tanto, la funcin de distribucin del ejemplo sera:F(x)= 1/(160-140) = 0.05

ejemploEl valor medio de esta distribucin se calcula: E(x)= (a+b)/2En el ejemplo: E(x) = (140 +160) /2 = 150Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el prximo ao es de 150 ptas.Veamos otro ejemplo:El volumen de precipitaciones estimado para el prximo ao en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la funcin de distribucin y la precipitacin media esperada:F(x)= 0.01 Es decir, que el volumen de precipitaciones est entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que est entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.E(x)=450 Es decir, la precipitacin media estimada en Sevilla para el prximo ao es de 450 litros.

De acuerdo a lo anterior se presentan 2 diferencias principales entre el manejo de variables aleatorias discretas y continuas:Ya no se habla de un valor dado, en su lugar aparece el trmino un valor dentro de un intervaloLa probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro del intervalo se definen como rea bajo la curva. Esto implica que la probabilidad de que esta variable asuma exactamente un valor es 0.

Para este tipo de distribucin se define las siguientes medidas descriptivas:

EjercicioSe sabe que x es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 10 y 20.Trace la grfica de la funcin de probabilidadDetermine P(x

Distribucin Normal de ProbabilidadAbraham de Moivre public en 1733 la Doctrina de las Probabilidades y dedujo la distribucin normal de probabilidad Es la distribucin continua ms importante de probabilidad.En casos puntuales se puede aplicar como una aproximacin en el empleo de variables discretas

La funcin de densidad normal de probabilidad se expresa como:mx

Caractersticas de esta distribucin:Hay familias de distribuciones normales. Cada una se identifica por su media y su desviacin estndarEl punto ms alto es la mediaLa media puede ser cualquier valor numricoLa distribucin de probabilidad normal es simtrica. Las colas se prolongan hasta el infinito (nunca tocan el eje de las x)Las desviaciones estndares determinan el ancho de la curvaEl rea total es 1

Regla emprica

La altura de una distribucin normal vara por lo cual en el clculo del rea se debe recurrir al clculo infinitesimalCuando tenemos una distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1 se habla de una distribucin normal estndarEl valor de z indica la variable aleatoria normal

EjemploDetermine la probabilidad de que neumticos fabricados por Goodyear puedan superar las 40.000 millas, si se tiene un promedio de 36.500 millas y una desv. estndar de 5.000.

P(x40000)=?

Aproximacin Normal a distribucin BinomialLa distribucin binomial consiste en la sucesin de n intentos independientes idnticos que tienen 2 posibilidades:xito o fracaso.Cuando tenemos n mayores de 20, np5, y n(1-p) 5 la distribucin normal da como resultado una aproximacin a la distribucin binomialEn este caso se iguala en la definicin de la curva normal:

Sin embargo, se debe aplicar un factor de continuidad de 0.5 ya que la evaluacin de un valor en una distribucin normal es 0.

En una empresa se ha visto que en un 10% de sus facturas se cometen errores y se desea calcular la probabilidad que de 100 facturas, 12 de ellas los contengan z2z1

Distribucin exponencial de probabilidadEs una distribucin continua de probabilidad que se aplica para determinar las probabilidades de ocurrencias de un evento en el tiempo y espacioLa funcin de densidad de esta distribucin es:

De acuerdo a sta la distribucin exponencial de probabilidad (rea bajo la curva) corresponde a:

FuncinDistribucinTiempoTiempo

EjemploDeterminar la probabilidad de que un camin que llega a un puerto sea cargado en 6 minutos o menos. Se sabe que en promedio se demoran 15 minutos 6Tiempo(min)0

Se puede llegar a establecer una relacin entre la distribucin exponencial y la distribucin de Poisson considerando que ambas incluyen intervalos de tiempo

EjerciciosEl tiempo necesario para terminar una operacin de ensamblaje se distribuye uniformemente entre 30 y 40 minutosCalcule la ecuacin de la funcin de densidad de probabilidadCalcule la probabilidad de que la operacin requiera ms de 38 minutosDetermine el valor esperado y la varianza

Una mquina llena recipientes con determinado producto. Se sabe que la desviacin estndar de pesos de llenado, de acuerdo a datos histricos, es de 0.6 onzas. Si slo el 2% de los recipientes contienen menos de 18 onzas, Cul es el peso promedio de llenado de la mquina?. Suponga distribucin uniforme.

El tiempo, en minutos, que tarda cada llamada telefnica en entrar a una oficina de corredores de seguros tiene la siguiente distribucin:

Cul es la media del tiempo entre llamadas?Cul es la probabilidad de tener 30 segundos o menos entre llamadas telefnicas?Cul es la probabilidad de tener 5 minutos o ms sin una llamada?

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