UNIDAD 4

OBJETIVOS DE LAUNIDADQUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE:

1.- ENUMERAR LAS CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-2.- DEFINIR Y CALCULAR VALORES Z.-3.- PARAMETROS DE LA DISTRIBUCION NORMAL Y NORMAL ESTANDARIZADA.-4.- DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN VALOR DE LA VARIABLE ALEATORIA SE ENCUENTRE ENTRE DOS PUNTOS EN UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-5.- DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN VALOR DE LA VARIABLE ALEATORIA SE ENCUENTRE SOBRE (O DEBAJO) DE UN PUNTO EN UNA DISTRIBUCION NORMAL.-6.- ENCONTRAR EL VALOR O LOS VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA CONOCIENDO LA PROBABILIDAD DEL AREA DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL.-7.- APLICAR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL PARA APROXIMAR LA DISTRIBUCION BINOMIAL.-8.- USAR EL PLANO DE DISTRIBUCION NORMAL PARA DETERMINAR SI UN CONJUNTO DE DATOS SE DISTRIBUYE NORMALMENTE.-

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIALES ALEATORIAS CONTINUAS

Cuando una variable aleatoria X es discreta, se puede asignar una probabilidad positiva a cada valor que puede tomar X y obtener la distribucin de probabilidad para X.- La suma de todas las probabilidades asociadas con los valores diferentes de X es 1.- Sin embargo, no todos los experimentos producen variables aleatorias que son discretas.- Las variables aleatorias continuas, como la altura, peso, montos de ventas de un comercio, sueldo de los empleados, tiempo de realizacin de una tarea, velocidad de un automvil, tiempo de vida de una lmpara, etc, pueden asumir la cantidad infinita de valores que correspondan a los puntos en un intervalo de la recta.- Si se intenta asignar una probabilidad positiva a cada uno de estos incontables valores, las probabilidades ya no sumaran 1, como las variables aleatorias discretas.-

Por consiguiente, se debe usar un mtodo diferente para generar la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria continua.-Suponga que tiene un conjunto de mediciones para una variable aleatoria continua y elabora un histograma de frecuencias relativas para describir su distribucin.- Para un pequeo nmero de mediciones, podra usar un nmero pequeo de clases (intervalos); entonces a medida que se renan ms y ms mediciones, se podrn usar ms clases y se puede reducir la amplitud de las clases.- El contorno del histograma cambia ligeramente, por lo general, se vuelve menos irregular, como vemos en la Figura 4.1.- Cuando el nmero de mediciones se vuelve muy grande y se reducen las amplitudes de clase, el histograma de frecuencias relativas aparece cada vez ms como la curva uniforme mostrada en la Figura 4.1 (d).-

Esta curva uniforme describe la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria continua.-Figura 4.1a)b)

c)d)

Cmo se puede crear un modelo para esta distribucin de probabilidad?.-Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de un nmero infinito de valores en la recta real, algo as como el nmero infinito de granos de arena en una playa.- La distribucin de probabilidad se crea al distribuir una unidad de probabilidad a lo largo de la recta, as como se podra distribuir un puo de arena.-La probabilidad - granos de arena o mediciones -, se apilar en ciertos lugares y el resultado es la distribucin de probabilidad que se muestra en la Figura 4.2.- La densidad de la probabilidad, que varia con X, se puede describir mediante un frmula matemtica f (x), llamada distribucin de probabilidad o funcin de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X continua.-

abLa distribucin de probabilidad f (x): P ( a < X < b) es igual al rea sombreada bajo la curva.-xFigura 4.2

Varias propiedades importantes de las distribuciones de probabilidad continua se asemejan a las de las distribuciones discretas.- As como la suma de probabilidades discretas (o la suma de las frecuencias relativas ) es igual a 1, y la probabilidad de que X se encuentre en un cierto intervalo se puede encontrar al sumar las probabilidades de ese intervalo, las distribuciones de probabilidad continua tienen las siguientes caractersticas que se enumeran a continuacin: El rea bajo la curva en una distribucin de probabilidad continua es igual a 1.-La probabilidad de que x se encuentre en un intervalo particular; por ejemplo de a a b. es igual al rea bajo la curva entre dos puntos a y b.- Esto es el rea sombreada en la Figura 4.2.-

Hay tambin una diferencia importante entre las variables aleatorias discretas y continua.-Considere la probabilidad de que X sea igual a algn valor particular, por ejemplo a).- Puesto que no hay rea sobre un solo punto; por ejemplo x = a, en la distribucin de probabilidad para una variable aleatoria continua, nuestra definicin implica que la probabilidad es 0.- Entonces: P (x = a) = 0 para variable aleatoria continua.-Esto implica que P (x a) = P (x> a) y P (x a) = P( x< a)Esto no es cierto en lo general para las variables aleatorias discretas.-

Cmo se elige el modelo, es decir, la distribucin de probabilidad f(x), apropiada para un experimento dado?.-Se dispone de muchos tipos de curvas continuas para el modelado.- Algunas tienen forma de campana, como la de la Figura 4.1 (d), pero otras no.- Por lo general, intente elegir un modelo que cumpla con estos criterios: Que se ajuste al conjunto acumulado de datos.- Que permita hacer las mejores inferencias posibles usando los datos.-

Es posible que el modelo no siempre se ajuste perfectamente a la situacin experimental, pero se debe intentar elegir el modelo que se ajuste lo mejor posible al histograma de frecuencia relativa de la poblacin.-Cuanto ms se aproxime el modelo a la realidad, mejores sern las inferencias.-Afortunadamente, muchas variables aleatorias continuas tienen distribuciones de frecuencias en forma de campana, como los datos de la Figura 4.1 (d).- La distribucin de probabilidad normal proporciona un buen modelo para describir este tipo de datos.- Esta distribucin de probabilidad es la que veremos a continuacin.-

LA DISTRIBUCION NORMAL

Dentro de las distribuciones de probabilidad continuas, tenemos la distribucin normal que es una de las ms importante de la estadstica. La importancia no se debe a su forma ya que muchas distribuciones tienen esa forma y no se distribuyen normalmente.- La distribucin normal tiene una serie de propiedades matemticas que la hace tan deseable, que muchos de los profesionales que se dedican a la investigacin y otros que no, han solucionado situaciones tcnicas solo con suponer que las observaciones de la poblacin se distribuyen normalmente.-Fue descubierta por el matemtico francs De Moivre en 1733.- Desafortunadamente su trabajo se perdi por algn tiempo y Karl Gauss desarrollo, de manera independiente, la distribucin normal casi cien aos despus, y son los trabajos que ms se dieron a conocer, de all que se la conozca como la Distribucin Normal de Gauss.-

La distribucin de probabilidad normal se utiliza muy a menudo en economa, en las aplicaciones empresariales y en todas las ciencias.- Son muchas las razones por la que se la usa frecuentemente:1) La distribucin normal es una aproximacin muy buena de las distribuciones de probabilidad de una amplia variedad de variables aleatorias continuas.- Por ejemplo;a) La distribuciones de las piezas y el peso de los paquetes de alimentos siguen una distribucin normal, por lo que tiene muchas aplicaciones en el control de calidad.- b) Las ventas o la produccin a menudo siguen una distribucin normal, por lo que tiene una gran cantidad de aplicacin en el marketing y en la gestin de la produccin.-

c) Las pautas de los precios de las acciones y de los bonos a menudo se analizan utilizando la distribucin normal en grandes modelos informticos de contratacin financiera.- Los modelos econmicos utilizan la distribucin normal para algunas medidas econmicas.-2) Las distribuciones de las medias muestrales siguen una distribucin normal, si el tamao de la muestra es grande.-3)El calculo de probabilidad es directo y muy ingenioso.-4) La razn mas importante es que la distribucin normal ha llevado a tomar muy buenas decisiones empresariales en algunas aplicaciones.-

Para poder usarse la distribucin normal para calcular probabilidades es necesario conocer sus caractersticas principales.- Estas son:1.- Tiene forma de campana y esta centrada en el valor de la media poblacional, .- Por ejemplo si = 70, ser:

2.- Su funcin de densidad es,

Donde, es la media poblacional.- es la desviacin estndar de la poblacin.- , la constante 3,1416.- e la constante 2,71282 (base del logaritmo neperiano).-

3.- El rea total comprendida bajo la curva y por encima del eje horizontal es igual a 1,00 de probabilidad.-

4.- La distribucin es simtrica respecto a su media, es decir que la media es igual a la mediana y al modo.- Tenemos un 50 % de probabilidad a cada lado.-

5.-La distancia que hay desde el punto de inflexin de la curva, que es donde deja de ser cncava hacia abajo y empieza a ser cncava hacia arriba, hasta una perpendicular levantada sobre la media es igual a 1 .-6.- La curva de la distribucin normal se extiende de - a +

7.- Es asinttica al eje de abscisa X, la curva se extiende sobre el pero nunca llega a tocarlo.-

8.- La distribucin normal es realmente una familia de distribuciones, como sus parmetros son la media y la desviacin estndar , para cada valor diferentes de ellos existe una distribucin normal.- Si tenemos iguales pero distintos ser:

xi123xixi

Para igual medias 1 = 2 = 3 pero distintos , tendremos:xi

9.- La regla emprica estableca que :El rea comprendida entre 1 es igual al 68 % de probabilidad.-El rea comprendida entre 2 es igual al 95 % de probabilidad.-El rea comprendida entre 3 es igual al 99 % de probabilidad.-

10.- Funcin de acumulacin de la distribucin normal.-Supongamos que X es una variable aleatoria normal de media y de variancia , en este caso la funcin de acumulacin es: F (x) = P ( X x)Entonces: Podemos calcular:P (X a) = F (a) P (X b) = 1 F(b) P ( a X b)= F(b) F(a)

ab

LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARIZADA

Se caracteriza por tener de parmetro una media = 0 y una desviacin tpica = 1.Las probabilidades de sus reas estn tabuladas, lo que agiliza enormemente el clculo,Simbolizamos a la variable aleatoria estandarizada con Z.- Cuando en una investigacin, la variable de inters est normalmente distribuida o por lo menos aproximadamente, utilizamos en su anlisis el conocimiento que tenemos de la distribucin normal, es decir que si una variable aleatoria X, se distribuye normalmente con media y desviacin tpica , podemos calcular probabilidades aplicando la normal estandarizada. Para ello debemos transformar los valores de la variable X, en valores de la variable aleatoria estandarizada Z con =0 y = 1.La transformacin en valores estndar Z, lo hacemos por medio de la formula: Xi - Z =

La distribucin normal estandarizada, ser:

Una vez que hemos estandarizados los valores que toma la variable aleatoria X, podemos buscar la probabilidad del rea establecido, usando la tabla de John Freund y Willians J, como veremos en la prctica o usar un programa estadstico de computacin.-A continuacin explicaremos como se usa la tabla.- Para ello, es importante entender el cabezal de la misma, ya que me dice a que rea corresponde los valores de probabilidad que estn dentro del cuerpo de la misma.-Z

La tabla para valores negativos de Z, me da probabilidad de reas que van de - a valores negativos de Z,

-5,00-2,500,002,505,00

Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09-3,40,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,0002-3,30,00050,00050,00050,00040,00040,00040,00040,00040,00040,0003-3,20,00070,00060,00060,00060,00060,00060,00060,00050,00050,0005-3,10,00100,00090,00090,00090,00080,00080,00080,00080,00070,0007-3,00,00130,00130,00130,00120,00120,00110,00110,00110,00100,0010-2,90,00190,00180,00180,00170,00160,00160,00150,00150,00140,0014-2,80,00260,00250,00240,00230,00230,00220,00210,00210,00200,0019-2,70,00350,00340,00330,00320,00310,00300,00290,00280,00270,0026-2,60,00470,00450,00440,00430,00410,00400,00390,00380,00370,0036-2,50,00620,00600,00590,00570,00550,00540,00520,00510,00490,0048-2,40,00820,00800,00780,00750,00730,00710,00690,00680,00660,0064-2,30,01070,01040,01020,00990,00960,00940,00910,00890,00870,0084-2,20,01390,01360,01320,01290,01250,01220,01190,01160,01130,0110-2,10,01790,01740,01700,01660,01600,01580,01540,01500,01460,0143-2,00,02280,02220,02170,02120,02070,02020,01970,01920,01880,0183-1,90,02870,02810,02740,02680,02620,02560,02500,02440,02390,0233

La tabla para valores positivos de Z, me da probabilidad de reas que van de - a valores positivo de Z,

-5,00-3,33-1,670,001,673,335,00Variable

Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,53590,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,57530,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,61410,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,65170,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,68790,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,72240,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,75490,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,78520,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,81330,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,83891,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,86211,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,88301,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,90151,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,91771,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,93191,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,94411,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,95451,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,96331,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,97061,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,97672,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,98172,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857

Supongamos que una empresa del Parque Industrial tiene 1200 empleados en reas de produccin.- Se sabe que los salarios por quincena se distribuyen normalmente con una media = 300 $ y una desviacin estndar = 20 $.- Se necesita hacer un trabajo especial y se decide seleccionar de entre esos obreros a uno.- Cul es la probabilidad de que este cobre:Veremos el uso de la distribucin normal mediante un ejemplo.-

Ms de 340 $.- b) Menos de 289 $.- c) Entre 300 y 330 $.- d) Entre 285 y 300 $.- e) Entre 305 y 330 $.-f) Entre 275 y 292 $.-g) Menos de 328 $.-h) Mas de 276 $.-i) Entre 268 y 358 $.-j) Menos de 273 $ o mas de 321 $.-Solucin

a) Ms de 340$.

300340P (X 340) = P ( Z 2,0) = 1 - F ( 2,0) = = 1 - 0,9772 = 0,0228 2,28 %X

Menos de 289$.- P (X 289) = P ( Z - 0,55) = F ( - 0,55) = 0,2912

29 %- 0,55300289 0ZX

c) Entre 300 y 330 $.-P (300 X 330) = P ( 0 Z 1,5) = = F (1,50) - 0,50 = 0,4332 43 % 330 1,5300 0ZX

d) Entre 285 y 300 $.-P ( 285 X 300) = P ( - 0,75 Z 0) =

= 0,50 - F ( - 0,75) =

= 0,50 - 0,2266 = 0,2734 27 %285 - 0,75300 0ZX

e) Entre 305 y 330 $.-P (305 X 330) = P ( 0,25 Z 1,5) =

= F (1,5) - F (0,25) =

= 0,9332 - 0,5987 = 0,3345

33,45 %305 0,25 330 1,5300 0ZX

f) Entre 275 y 292 $.P ( 275 X 292) = P (- 1,25 Z - 0,4) =

= F ( - 0,4) - F ( - 1,25) =

= 0,3446 - 0,1251 =

= 0,2199 22 %275 292- 1,25- 0,4300 0ZX

g) Menos de 328 $.-P ( X 328) = P ( Z 1,4) = F (1,4) = = 0.9192 92 % 3281,4300 0ZX 3281,4300 0ZX

h) Ms de 276 $.- - 1,2 276 P ( X 276) = P ( Z - 1,2) = 1 - F (- 1,2) =

= 1 - 0,1151 = 0,8849

88,49 %300 0ZX

Entre 268 y 358 $.- P ( 268 X 358) = P ( - 1,6 Z 2,9) =

= F (2,9) - F ( - 1,6) =

= 0,9981 - 0,0548 = 0,9433

94 %268- 1,63582,9300 0ZX

j) Menos de 273$ o ms de 321$ P ( X 273) + P (X 321) = P ( Z - 1,35) + P ( Z 1,05) =

= F ( - 1,35) + { 1- F (1,05)} = 0,0855 + ( 1 - 0,8531) =

= 0,0855 + 0,1469 = 0,2324 23 % 273 - 1,35 3211,05300XZ

OTROS USOS DE LA DISTRIBUCIN NORMAL.-

Recordemos que la distribucin Z, normal estandarizada, nos expresa la desviacin de una observacin con respecto a su media expresada en unidades de la desviacin estndar.-1.- Si se desea comparar el desempeo de un alumno por ejemplo en un Parcial de Estadstica respecto a su grupo, conviene transformar su puntaje a valores Z.- Si usted saco 70 puntos y el promedio del grupo fue 60 puntos con una = 5 puntos, al levarlo a valor Z ser: 70 - 60 Z = ------------------ = 2,0 5 Esto nos indica que usted esta colocado a 2 desviaciones del por encima del alumno con puntaje promedio.-

2.- Siguiendo con las notas del Parcial de Estadstica, supongamos que la cantidad de alumnos sean 200 los que rindieron.- Nos preguntamos cuantos alumnos sacaron menos de 70 puntos.-

P ( X 70) = P ( Z 2,0) = F (2,0) = 0,9772 0,9772 * 200 = 190,98 191 alumnos.-

60702,00XZ

3.- Como determinamos un valor de la variable aleatoria X, conociendo los valores de probabilidad.-Supongamos seguir analizando las notas del parcial de Estadstica.- Ahora nos preguntamos, Cul es el puntaje del parcial que deja tras de el, el 80 % de los alumnos, si sabemos que las notas se distribuyen normalmente con una media = 60 puntos y una = 5 puntos?.-

80%

Despejamos de la frmula del Z al valor de X, y nos queda: Xi = + Z * = 60 + 0,84 * 5 = 64,2 64 puntos El 80% de los alumnos sacaron 64 puntos o menos.-60X 0,84 Z0

EJERCICIO PARA HACER EN CLASEUn empresario del calzado dice pagar muy bien a sus empleados ya que paga un salario promedio de 8,0$ por hora y una desviacin estndar de 3,2$ por hora.- Los montos se distribuyen normalmente y la empresa tiene 400 empleados.-a) Que porcentaje de empleados cobran entre 6,5 y 10,0 $ por horas.-b) Cuantos empleados cobran ms de 10,5$ por horas de trabajo.-c) Que porcentaje de empleados cobra menos de 12,5 $ por horas de trabajo.-

d) Que porcentaje de empleados cobra menos de 4,80 $ por horas de trabajo.-e) Cuantos empleados cobran entre 9,5 y 13,5 $ por horas de trabajo.-f) Que porcentaje de empleados cobran entre 5,6 y 8,0 $ por horas de trabajo.-g) El 16,6 % ms alto de los salarios por horas de los empleados es mayor a que monto.-h) Que porcentaje de empleados cobran entre 3,5 y 7,5 $ por horas de trabajo.-i) Cuantos empleados cobran entre 8,0 y 15,0 $ por horas de trabajo.-j) El empresario insiste que solo un 4 % de los empleados cobran salarios por horas bajo.- Cul es ese monto?.-

VEAMOS EL CALCULO DE APLICACIN DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL MEDIANTE UN EJEMPLO USANDO PROGRAMA MINITAB

La empresa Firestone acaba de desarrollar un neumtico radial con banda de acero que vender a travs de una cadena nacional de negocios con descuentos.- Como ese neumtico es producto nuevo, la direccin de Firestone cree que la garanta de kilmetros recorrido que se ofrece con el neumtico ser un factor importante en la aceptacin.- Antes de formalizar esa poltica, la direccin desea contar con informacin acerca de los kilmetros que duran los neumticos.- En pruebas reales en carreteras, el grupo de ingeniera de Firestone ha estimado que el promedio de distancia recorrida es de 36500 kilmetros y que la desviacin es de 5000 km.-

Adems, los datos reunidos indican que la adopcin de la distribucin normal es una hiptesis razonable.-Qu porcentaje de neumticos se puede esperar que duren ms de 40000 kilmetros? Ahora suponga que Firestone planea una garanta segn la cual el usuario recibir un descuento en sus neumticos de repuesto si los neumticos no rebasan la distancia en kilmetros especificada en la garanta.- Cules deben ser los kilmetros recorridos para que no haya ms de 10% de los neumticos que aprovechen el descuento de la garanta?.-

Solucin

a) Antes de usar Minitab, se debe teclear la constante especificada en una columna de la hoja de clculo.- Para Firestone, capturamos 40000 en la columna A1.-A continuacin describiremos los pasos para calcular probabilidades acumuladas de que la variable aleatoria normal asuma un valor menor que o igual a 40000 kilmetros.-Paso 1: seleccione el men Calc.Paso 2: Seleccione Distribuciones de probabilidad.-Paso 3:seleccione la opcin Normal.-

Paso 4: Cuando aparezca el cuadro de dialogo, seleccione Probabilidad Acumulada Teclee 36500 en el cuadro de media Teclee 5000 en el cuadro de desviacin Teclee en el cuadro de Imputar columna, C1 (es la columna que contiene 40000) Seleccione Aceptar.- Minitab indicar que esa probabilidad es de 0.7580.- Como nos interesa la probabilidad de que la duracin en kilmetros sea mayor 40000, la probabilidad que buscamos ser: 1 - 0.7580 = 0.2420 24 %

b) Para resolver este inciso se debe proceder de la siguiente manera en Minitab.-Coloque en la columna C1, 0,10 que es la probabilidad acumulada que se busca.-Paso 1, 2, y 3 igual que antes.-Paso 4: seleccione inversa probabilidad acumulada.-A continuacin el programa le va a mostrar que la garanta de duracin debe ser de 30100 kilmetros.-

EVALUACIONDE LANORMALIDAD

Ya hemos visto que muchas de las variables que trabajamos en las distintas disciplinas, se asemejan a la distribucin normal.- Sin embargo, podemos encontrarnos con variables importantes que ni siguiera se aproximan a la distribucin normal.- Vamos a ver ahora dos mtodos para ver si un conjunto de datos pueden ser aproximados por una distribucin normal.-1.- Compare las caractersticas del conjunto de datos con las propiedades de la distribucin normal.-2.- Construccin de un plano de probabilidad normal

1.- Evaluacin de las propiedades.-La distribucin normal tiene varias propiedades tericas importantes: Es simtrica, por lo tanto, la media y la mediana son iguales.- Tiene forma de campana, por lo que se aplica la regla emprica.- El rango intercuartil es igual a 1,33 desviaciones estndar.- El rango es infinito.-En la prctica, algunas variables continuas tienen caracterstica que se acercan a las propiedades tericas.-

Sin embargo, muchas variables continuas no son distribuidas normalmente, ni tampoco distribuidas aproximadamente.- Para tales variables, las caractersticas descriptivas de los datos no corresponden bien con las propiedades de la distribucin normal.- Un enfoque para verificar la normalidad consiste en comparar las caractersticas de los datos actuales con las propiedades correspondientes que subyacen a la distribucin normal, como sigue: Construya grficas y observe su apariencia.- Para conjuntos de datos pequeos o de tamao moderado, disee un diagrama de tallo y hoja o una grfica de caja y bigote.- Para conjuntos ms grandes elabore una distribucin de frecuencia y trace el histograma o polgono de frecuencia.-

Calcule medidas numricas descriptivas y compare las caractersticas de los datos con las propiedades tericas de una distribucin normal.- Compare la media y la mediana.- El rango intercuartil es aproximadamente 1,33 veces la desviacin estndar?.- es el rango aproximadamente 6 veces la desviacin estndar?.- Evalu como se distribuyen los datos.- Determine si aproximadamente dos tercio de los valores caen entre la media 1 desviacin estndar.- Determine si aproximadamente cuatro quinto de los valores caen entre la media 1,28 desviaciones estndar.- Determine si aproximadamente si 19 de cada 20 valores caen entre la media 2 desviaciones estndar.- Veamos todo esto mediante un ejemplo.-

Los datos siguientes corresponde al costo de la electricidad durante el mes de julio del 2006 para una muestra de 50 departamentos de dos ambientes en una determinada ciudad.

96171202178147102153197127821571859011617211114821313016514114920617512312814416810916793163150154130143187166139149108119183151114135191137129158

Variable N Mean SE Mean StDev Variance CoefVar SumCosto energa 50 147,06 4,48 31,69 1004,34 21,55 7353,00

Variable Minimum Q1 Median Q3 Maximum Range IQRCosto energa 82,00 126,00 148,50 168,75 213,00 131,00 42,75

Variable Skewness KurtosisCosto energa 0,02 -0,54De esta tabla y del grfico se desprende que:La media es menor que la mediana.- La grfica de caja y bigote aparece ligeramente sesgada hacia la izquierda y no hay aparentemente valores atpicos.- El rango intercuartlico de 42,75 est aproximadamente a 1,33 desviaciones estndar.-

d) El rango de 131,0 es igual a 4,13 desviaciones estndar de la media.-e) El 68% de los datos estn dentro de 1 desviacin estndar.-f) El 75% de los datos estn dentro de 2 desviaciones estndar.- Podemos concluir que a pesar de que el diagrama de caja presenta una pequea asimetra a izquierda y todo lo dicho anteriormente que los costos de energa de los 50 departamentos, estn aproximadamente distribuidos de forma normal.-

2.- Construccin de un plano de distribucin normal.-Se realiza mediante algn paquete de computacin, (veremos esto en Minitab).- Transforma el eje Y de una manera un poco complicada que va ms all del objetivo de esta Unidad.- Una vez ms, si los datos se distribuyen de forma normal, los puntos se trazarn aproximadamente a lo largo de una lnea recta.-%%%a)b)c)Sesgada a izquierdaNormalSesgada a derecha

Si los datos estn sesgados hacia la izquierda, la curva se elevar ms rpidamente al inicio y despus disminuir.- Si los datos estn sesgados hacia la derecha, los datos se elevarn lentamente al inicio y despus se elevarn a una tasa ms rpida para los valores ms altos de la variable a trazar.-Si los puntos caen casi totalmente sobre la lnea recta, diremos que los datos se distribuyen normalmente.-Para determinar mediante Minitab, si los datos tienen una distribucin normal, cargaremos los datos individualmente y luego buscamos en Estadsticas, el Probability Plot.- En muestro caso ser:

EJERCICIOS

1.- Un cliente tiene una cartera de inversin cuyo valor medio es de $500000 y cuya desviacin estndar es de 15000$.- Le han pedidlo que calcule la probabilidad de que el valor de su cartera este entre 485000 y 530000$.-2.- Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de textos en un ao en una universidad sigue una distribucin normal que tiene una media de 380$ y una desviacin estndar de 50$.-Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de 400$ en libros de textos en un ao?.- Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste mas de 360$ en libros de textos en un ao?.-

c) Explique grficamente por que las respuestas de los incisos a) y b) son iguales?.-d) Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre 300 y 400$ en libros de textos en un ao?.-e) Quiere hallar un intervalo de gasto en libros de textos que incluya el 80 por ciento de todos los estudiantes de esta universidad.- Explique por que podra encontrarse cualquier numero de intervalos que lo incluya y halle el mas corto.-3.- La demanda de consumo de un producto prevista para el prximo mes puede representarse por medio de una variable aleatoria normal que tiene una media de 1200 unidades y una desviacin estndar de 100 unidades.-

Cul es la probabilidad de que las ventas superen las 1000 unidades?.- Cul es la probabilidad de que las ventas se encuentren entre 1000 y 1300 unidades?.- Cual es el valor de probabilidades de ventas en unidades si lo supera solo el 0,10?.- 4.- La duracin de una determinada marca de neumticos sigue una distribucin normal que tiene una media de 35000 kilmetros y una desviacin estndar de 4000 kilmetros.-Qu proporcin de estos neumticos tiene una duracin de mas de 38000 kilmetros?.- Qu proporcin de estos neumticos tiene una duracin de menos de 38000 kilmetros?.-

c) Qu proporcin de estos neumticos tiene una duracin de entre 32000 y 38000 kilmetros?.-d) Represente grficamente la funcin de densidad de las duraciones mostrando: i) Por que las respuestas de los apartados a) y b) son iguales ii) Por que las respuestas de los apartados a), b) y c) suman uno.-5) Una cartera de inversin contiene acciones de un gran numero de empresas.- El ao pasado, las tasas de rendimiento de estas acciones siguieron una distribucin normal que tenia una media de 12,2 por ciento y una desviacin estndar de 7,2 por ciento.-

De que proporcin de estas empresas fue la tasa de rendimiento de mas del 20 por ciento?.- De que proporcin de estas empresas fue la tasa de rendimiento menos del 17 por ciento?.- De que proporcin de estas empresas fue la tasa de rendimiento de entre el 5 y el 15 por ciento?.-6.- Una empresa produce sacos de un producto qumico y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen.- Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue una distribucin normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviacin estndar de 2,6 gramos.- Se elige aleatoriamente un saco;a) Cul es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?.-

b) Cul es la probabilidad de que contenga mas de 15 gramos de impurezas?.-c) Cul es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?.-d) Es posible deducir, sin realizar los clculos detallados, cual de las respuesta a los apartados a) y b) es mayor.- Cmo?.-7.- Un contratista considera que el costo de cumplir un contrato es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal que tiene una media de 500000$ y una desviacin estndar de 50000$.-a) Cul es la probabilidad de que el costo de cumplir el contrato este entre 400000 y 540000$?.-

b) La probabilidad de que el costo de cumplir el contrato cueste menos de . Es 0,20.-c) Halle el intervalo mas corto tal que la probabilidad de que el costo de cumplir el contrato este en este intervalo sea de 0,95.-8.- Los chferes del Sindicato de mnibus de Larga Distancia, gana un salario promedio de 17,15$ por hora.- Suponga que los datos disponibles indica que los sueldos promedio se distribuyen normalmente con una desviacin estndar de 2,25$.-a) Cual es la probabilidad de que los salarios estn entre 15 y 20$ por hora.-b) Cual es el salario por hora correspondiente al 15% mejor pagado de los chferes del Sindicato.-c) Cual es la probabilidad de que los sueldos sean menores de 12$ por hora.-

9.- Muchos problemas de produccin se relaciona con la unin exacta de partes de maquinarias, como flechas, que caben en el orificio de una vlvula.- Un diseo en particular requiere de una flecha con un dimetro de 22,00 mm, pero las flechas con dimetros entre 21,900 mm y 22,010 mm son aceptables.- Suponga que el proceso de manufactura fabrica flechas con dimetros que se distribuyen normalmente con una media de 22,002 mm y con una desviacin estndar de 0,005 mm.- Para este proceso, Cul es:La proporcin de flechas con un dimetro entre 21,90 mm y 22,00 mm.- La probabilidad de que una flecha sea aceptada? el dimetro si solo el 2% de las flechas excedern? Que pasa en los incisos a) y c) si el = 0,004mm?.-

10) El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se distribuye normalmente con 80 minutos de media y 10 minutos de desviacin estndar.- Con este dato conteste lo siguiente:a) Cual es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos.-b) Cual es la probabilidad de que un alumno termine un examen en ms de 60 minutos pero en menos de 75 minutos.-c) Suponga que en el grupo hay 60 alumnos y que el tiempo de examen es de 90 minutos.- Cuntos alumnos espera que no puedan terminar el examen en el tiempo indicado?.-

11) El tiempo de espera X en un Banco tiene una distribucin normal con una media de 3,7 minutos y una desviacin estndar de 1,4 minutos.a) Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido al azar, haya tenido que esperar menos de 2,0 minutos?b) Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido en forma aleatoria haya tenido que esperar ms de 6 minutos?c) Encuentre el valor del percentil 75 % para X?12.- El dimetro del eje de una unidad de almacenamiento ptico tiene una distribucin normal con una media igual a 0,2508 pulgadas y una desviacin estndar de 0,0005 pulgadas. Las especificaciones del dimetro del eje son 0,2500 0,0015 pulgadas-Que proporcin de ejes cumplen con este requisito?

14.- La resistencia de un medidor de deformacin est distribuido normalmente con una media igual a 120,0 ohm. y una desviacin estndar de 0,4 ohm..Los lmites de especificacin estn dados por 120,0 0,5 ohm.Que porcentaje de medidores estar defectuoso?13) Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tiene una distribucin normal con promedio 200 horas y una variancia de 400 horas.- a) Calcular la probabilidad de que el mes prximo, el ausentismo total por enfermedad sea menor de 150 horas.-b) Para planear el programa del mes prximo. Cunto tiempo debe suponer darse al ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad sola se debe superar con una probabilidad de tan solo 0,10?

15.- La cantidad semanal que una Ca. Gasta en mantenimiento y reparaciones tiene una distribucin normal aproximada cuyo promedio es de 400 $ y su desviacin estndar de 20 $. Si el presupuesto para cubrir los gastos de reparacin para la semana siguiente es de 450 $.a) Cul es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad supuesta?b) De cuanto debe ser el presupuesto semanal para mantenimiento y reparaciones para que tan solo lo supere con una probabilidad de 0,1?

16.- Estoy considerando dos inversiones distintas.- No estoy seguro de ninguno de los dos casos del rendimiento porcentual, pero creo que mi incertidumbre puede representarse por medio de distribuciones normales, que tienen las medias y las desviaciones estndar mostradas en la siguiente tabla.- Quiero hacer la inversin que tenga ms probabilidad de generar rendimiento de al menos un 10 por ciento.- Cual debo elegir?.-

InversinMediaDesviacin A10,41,2B11,04,0

17.- Una empresa puede comprar una materia prima a dos proveedores y les preocupa la cantidad de impurezas que contiene.- El examen de los datos de cada proveedor indica que los niveles porcentuales de impurezas de los envos de la materia prima recibidas siguen una distribucin normal que tienen las medias y desviaciones que se muestran en la tabla.- La empresa tiene especial inters en que el nivel de impurezas de un envo no supere el 5 por ciento y quiere comprar al proveedor que tenga ms probabilidades de cumplir esa condicin.- Qu proveedor debe elegir?.-

ProveedorMediaDesvoA4,40,4B4,20,6

APROXIMACION NORMAL A LADISTRIBUCION BINOMIAL.-

Cuando nos encontramos con un experimento que cumple con las condiciones de ser un problema binomial, donde el nmero de ensayos n es mayor de 20 intentos, los clculos son muy engorrosos, en estos casos recurrimos a la distribucin de probabilidad normal, donde sabemos que para n p 5,0 y tambin n (1 p) 5,0, la distribucin normal da como resultado una aproximacin a las probabilidades binomiales y es fcil de calcular.-Lo primero que debemos hacer es calcular los parmetros de la normal en funcin de la binomial, entonces ser: = n p = n p (1 - p)

Como estamos usando una distribucin de probabilidad continua para aproximar a una distribucin discreta como es la binomial, debemos usar lo que llamamos factor de correccin por continuidad, que consiste en sumar o restar al valor que toma la variable aleatoria X, 0,5 segn corresponda.- Veamos algunos ejemplos.-1) Un Laboratorio de medicamentos realiza pruebas clnicas con 100 nuevos frmacos potenciales.- Cerca del 20 % de las sustancias que alcanzan esta etapa reciben finalmente la aprobacin para su ventas.- Cul es la probabilidad de que se aprueben al menos 15 de los 100 medicamentos?.- Suponga que se satisfacen las hiptesis de la distribucin binomial .-Solucin

= n p = 100 * 0,20 = 20

= n p (1 p) = 100 * 0,20 * 0,80 = 16 = 4Como se pide la probabilidad de que al menos 15 se aprueben este es el valor mnimo que puede tomar, entonces debo restar el factor de correccin.-

14,5 20 X - 1,38 0 Z

P (X 15) = P ( X 14,5) = P ( Z - 1,38) = 1 - F ( - 1,38) = = 1 - 0,0838 = 0,9162 92%

2) Un proceso de fabricacin de chips produce 2 % de chips defectuosos.- Suponga que los chips son independientes y que un lote contiene 1000 de ellos.- a.- Cul es la probabilidad de que el lote contenga entre 20 y 30 chips defectuosos?.- b.- Cual es la probabilidad de que el lote contenga exactamente 20 chips defectuosos?.-Solucin

= n p = 1000 * 0,02 = 20 = n p (1 - p) = 1000 0,02 0,98 =

= 19,6 = 4,43

b.-Exactamente 20 chips defectuosos.-

19,5 20 20,5 X - 0,11 0 0,11 Z

P ( 19,5 X 20,5) = P ( - 0,11 Z 0,11) = = F ( 0,11) - F ( - 0,11) = = 0,5438 - 0,4562 = 0,0876 9 %

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE1.- Una vendedora se pone en contacto por telfono con posibles clientes en un intento de averiguar si es probable que merezca la pena ir a su casa a verlos.- Su experiencia sugiere que en el 40 por ciento de los contactos iniciales acaba yendo a casa del cliente.- Si se pone en contacto con 100 personas por telfono, Cul es la probabilidad de que vaya a ver entre 45 y 50 clientes?.-2.- Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una gran empresa para saber que piensan de un nuevo plan de trabajo propuesto.- Si el 60 por ciento de todos los obreros es partidario del nuevo plan, Cul es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra son partidario del plan?.-

EJERCICIOS DEAPROXIMACION

1.- Una compaa de alquiler de automvil ha observado que la probabilidad de que un automvil necesite una reparacin en un mes cualquiera dado es 0,2.- La compaa tiene 900 automviles:Cul es la probabilidad de que mas de 200 automvil necesiten una reparacin en un mes determinado?.- Cul es la probabilidad de que menos de 175 automviles necesiten una reparacin en un mes determinado?.-2.- Se sabe que el 10 por ciento de todos los artculos que salen de un determinado proceso de produccin tiene un defecto.- Se eligen aleatoriamente 400 artculos de un elevado volumen de produccin de un da.-

Cul es la probabilidad de que al menos 35 de los artculos seleccionados tengan un defecto?.- Cul es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los artculos seleccionados tenga un defecto?.- Cul es la probabilidad de que entre 34 y 48 de los artculos seleccionados tenga un defecto?.- Sin realizan los clculos, indique cual de los siguientes intervalos de artculos defectuosos tiene la probabilidad mas alta: 38 39, 40 41, 42 43, 44 45, 46 47 ?.- 3.- Un hospital observa que el 25 por ciento de sus facturas tienen al menos un mes de retraso.- Se toma una muestra aleatoria de 450 facturas:

Cul es la probabilidad de que menos de 100 facturas de la muestra tenga al menos un ao de retraso?.- Cul es la probabilidad de que el numero de facturas de la muestra que tiene al menos un ao de retraso este entre 120 y 150 inclusive?.-6.- La duracin de una marca de neumticos puede representarse por medio de una distribucin normal que tiene una media de 35000 kilmetros y una desviacin estndar de 4000 kilmetros.- Se toma una muestra de 100 neumticos, Cul es la probabilidad de que mas de 25 tenga una duracin de mas de 38000 kilmetros?.-7.- Los sacos de un producto qumico de una empresa tienen un peso de impureza que puede representarse por medio de una distribucin normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviacin estndar de 2,8 gramos.-

Se toma una muestra aleatoria de 400 de estos sacos.- Cul es la probabilidad de que al menos 100 contengan menos de 10 gramos de impurezas?.-8.- La tasa real de desempleo es de 4,6 %.- Suponga que se seleccionan a al azar 100 personas en posibilidad de trabajar.-a) Cul es la media de desempleados?.-b) Cul es la variancia y desviacin estndar de los desempleados?.-c) Cul es la probabilidad de que exactamente 6 estn desempleados?.-d) Cul es la probabilidad de que al menos 4 estn desempleados?.-

9.- Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crdito a nivel nacional dejan en cero sus saldos para no incurrir en intereses moratorias.- Use la aproximacin de la distribucin binomial para contestar las siguientes preguntas para un grupo de 150 poseedores de esa tarjeta.-a) Cul es la probabilidad de que de 40 a 60 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses?.- Esto es, determine P( 40 X 60).-b) Cul es la probabilidad de que 30 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir en pago de intereses?.-

10.- La empresa de Asuntos Fiscales Rosales SRL se especializa en las devoluciones de importes de impuestos federales.- Una reciente auditoria de sus declaraciones indic que se cometi un error en 10% de las que manifest el ao pasado.- Suponiendo que tal tasa continua este ao y elabor 60 declaraciones.- Cul es la probabilidad de que se realice?:a) Ms de nueve errores?.-b) Por lo menos 9 errores de ellos?c) Exactamente nueve errores?.-

11.- El Contador de la compaa Forrest Paint, Julio Soria, tiene fama de cometer errores en el 6% de las facturas que procesa.- La compaa proces 400 facturas el mes pasado.-a) En cuantas facturas se espera que haya errores.-b) Determine la probabilidad de que Julio haya cometido menos de 20 errores.-c) Determine la probabilidad de que Julio haya cometido ms de 30 errores.-

12.- Una casa comercial de tabaco pide que se realice un estudio a nivel del Estado espaol sobre el consumo diario de cigarrillos. La distribucin nacional del consumo de cigarrillos da una media de 15 con una desviacin estndar de 2,5. Se supone que la distribucin es normal.a) Cul es el porcentaje de sujetos que fuman menos de 11 cigarrillos?b) Ms de 20 cigarrillos.-c) Menos de 17 cigarrillos.-d) Ms de 14 cigarrillos.-e) Ms que 8 y menos de 12.-f) Ms que 8 y menos de 20.-

13.- En una encuesta que realiz el Departamento de Trabajo se pregunta a mujeres que trabajan que las preocupaban ms.- Se menciono con mayor frecuencia los bajos salarios, la tensin en el trabajo y las prestaciones mdicas y al 60% les preocupa ms el bajo salario.- De esta poblacin se tiene una muestra de 500 mujeres que trabajan:a) Cul es el valor esperado de mujeres que respondieron que les preocupo el bajo salario?.-b) Cul es la variancia y el desvi estndar de las mujeres que expresan preocupacin por el bajo salario?.-c) Cul es la probabilidad de que entre 290 y 320 mujeres les preocupe los bajos salarios?.-d) Cul es la probabilidad de que a 325 mujeres o ms les preocupe los bajos salarios?.-

14.- La Empresa Descartes Marketing, una compaa de ventas por telfonos, considera la posibilidad de adquirir una mquina que selecciona al azar y marca automticamente los nmeros telefnicos.- Esa compaa realiza la mayora de sus llamadas durante la noche, por lo que se desperdician.- El fabricante de la mquina asegura que est programada de manera que reduce a 15 % la tasa de llamadas a negocios.- Como prueba, se examin una muestra de 150 nmeros que la mquina seleccion.- Si lo que asegura el fabricante es cierto, cul es la probabilidad de que ms de 30 de los nmeros telefnicos seleccionados sean de un establecimiento comercial?.-

15.- Un estudio realizado por la Compaa aseguradora San Cristobal, revel que los propietarios no recuperaron bienes robados, en 80% de los hurtos reportados por la aseguradora.-a) Durante cierto tiempo en el que ocurrieron 200 robos, cul es la probabilidad de que no se recuperen bienes objetos de robos en 170 o ms de los actos?.-b) En un perodo en el que sucedieron 200 robos, cul es la probabilidad de que no se recuperen los bienes en 150 o ms de los delitos?.-

16.- Cierta empresa de telfono asigna tarifas bajas a los clientes que prefieren las horas de menos consumo.- El 30% de sus clientes aprovecha estos ahorros.- El Departamento de Asuntos del Consumidor ha sometido a estudio a un grupo de inters y esta preparando una entrevista por telfono aleatoriamente de 500 clientes.- El Departamento supervisor quiere asegurarse de que el grupo contenga una proporcin suficiente de usuario de tarifa baja.- a) Cul es la probabilidad de obtener menos de 150 usuarios de tarifas baja en la entrevista telefnica?.-b) Cul es el nmero ms pequeo de usuarios de tarifas bajas que probablemente se incluyan en esta muestra?.- (Sugerencia: utilice tres desviaciones estndar por debajo de la media).-

17.- La empresa automecnica Roma Service anuncia que puede cambiar un silenciador en 30 minutos o menos.- Sin embargo, el departamento de normas de trabajo de la compaa recientemente hizo un estudio y hallo que el 20% de los silenciadores no fueron instalados en 30 minutos o menos.- Una filial instal 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la empresa es correcto:a) Cuntos de los trabajos de montaje de la filial se esperara que tomasen ms de 30 minutos?.-b) Cul es la probabilidad de que menos de ocho trabajos requieran ms de 30 minutos?.-c) Cul es la probabilidad de que ocho o menos montajes tomen mas de 30 minutos?.-d) Cul es la probabilidad de que exactamente ocho de los 50 montajes tomen ms de 30 minutos?.-