distribuciones continuas. la distribución normal. · cálculo de probabilidades para una v.a.c. 2....

Distribuciones continuas.

La distribución Normal.

Matemáticas CSSS II

Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM

Nombre y apellidos …………………………………………………………………………......

Distribuciones continuas. La distribución normal Página 2


OBJETIVOS

1. Variables aleatorias continuas. Función de densidad.

OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados:

Variable Aleatoria Continua.

Función de densidad de una V.A.C.

Cálculo de probabilidades para una V.A.C.

2. Variables aleatorias continuas con distribución normal. Campanas de Gauss.

OBJETIVO 2. Conocer la expresión analítica, la gráfica y las características de las funciones de densidad de las distribuciones normales.

3. Cálculo de probabilidades en la distribución normal estándar. Tabla tipificada.

OBJETIVO 3. Saber utilizar la tabla tipificada de la distribución N(0 ; 1) para calcular probabilidades de dicha variable.

4. Niveles de confianza y valores críticos en la distribución normal estándar.

OBJETIVO 4. Conocer el concepto de nivel de confianza y saber utilizar la tabla tipificada de la distribución N(0 ; 1) para calcular el valor crítico correspondiente.

5. Cálculo de probabilidades en otras distribuciones normales. Tipificación.

OBJETIVO 5. Conocer el proceso de tipificación de una variable normal para calcular probabilidades y abcisas de dicha variable, utilizando la tabla tipificada.

“Si la variable X sigue una distribución , entonces la variable

sigue una distribución

normal tipificada: ”

6. Ajuste de una variable estadística continua a una distribución normal.

OBJETIVO 6. Utilizar los datos correspondientes a una muestra aleatoria de una variable estadística X, para decidir si la variable se ajusta o no a una distribución normal y en caso afirmativo realizar el ajuste:

7. Aproximación de una binomial por una normal.

OBJETIVO 7. Conocer y saber aplicar el teorema de Moivre (Abraham de Moivre 1667-1754) sobre la aproximación de una variable estadística binomial mediante una normal:

√ cuando


1. Variables aleatorias continuas. Función de densidad.

OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados:

Variable Aleatoria Continua. Recorrido. Función de densidad de una V.A.C. Cálculo de probabilidades para una V.A.C.

Variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria continua es una variable X que toma aleatoriamente cualquiera de los infinitos valores de un

intervalo (a, b). Dicho intervalo se denomina recorrido de la variable X. Para definir la distribución de probabilidad de la

variable X sobre los infinitos valores del intervalo (a, b) se utiliza una función f(x), denominada función de densidad de

X, que cumple los dos siguientes requisitos:

1.

2. El área que encierra la gráfica de sobre el intervalo vale 1.

Con una función de densidad podemos calcular las probabilidades relacionadas con la variable X:

Ejemplo Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=5. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad .

La función f(x) es una función de densidad porque es positiva en el intervalo (0, 5) y el área que encierra con el recorrido de X es 1.

La probabilidad es el valor correspondiente a la superficie sombreada:


Ejercicio 1.1. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=2 y X=4. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad .

1. Justifica si f(x) es una función de densidad. 2. Calcula las siguientes probabilidades:

a. b.

Solución: 1. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 2. y

Ejercicio 1.2. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=5. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad .


a. b.

Solución:

1. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 2. y


Ejercicio 1.3. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=7. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad


a. b.

Solución: 3. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 4. y

Ejercicio 1.4. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=-10 y X=10. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad .


a. b.

Solución:

3. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 4. y


Ejercicio 1.5.

Dada la función {

1. Represéntala gráficamente 2. Comprueba que f(x) es una función de densidad.

3. Halla (

)

Solución


2. Variables aleatorias continuas con distribución normal. Campanas de Gauss.

OBJETIVO 2. Conocer la expresión analítica la gráfica y las características de las funciones de densidad de las distribuciones normales.

Diremos que una variable estadística X, cuantitativa y continua, sigue una distribución normal de media y desviación cuando su función de densidad sea:

√

(

)

En ese caso escribiremos: Estas funciones , denominadas campanas de Gauss, cumplen las siguientes características:

Están definidas en todo R:

Son funciones de densidad, es decir, son positivas y encierran un área total igual a 1.

Son simétricas respecto a la media , punto en el que alcanzan su máximo.

Tienen dos únicos puntos de inflexión, en

En el intervalo se encuentra el 99,9% de la distribución (“las ramas tocan abcisas”)

El aumento de la desviación achata la campana y dispersa los datos respecto a la media.

¿Por qué estudiamos estas funciones de densidad?

Porque muchas variables estadísticas reales del mundo de la economía, la sociología, la medicina y otras ciencias se distribuyen siguiendo un comportamiento similar a las campanas de Gauss. De este modo, podemos aproximar el comportamiento de esas variables reales al modelo matemático que nos ofrecen estas funciones.


Ejercicio 2.1.

1. Escribe la expresión analítica de la función de densidad de la distribución normal 2. Determina la abcisa de su máximo, de sus puntos de inflexión y del intervalo que encierra el 99,9% de la

distribución. 3. Utiliza la calculadora para hallar el valor aproximado que alcanza su máximo. 4. Representa la gráfica de esa función de densidad.

Ejercicio 2.2.

1. Determina qué distribución normal sigue una variable aleatoria continua X cuya función de densidad tiene la

expresión analítica siguiente:

√

(

)

2. Determina la abcisa de su máximo, de sus puntos de inflexión y del intervalo que encierra el 99,9% de la distribución.

3. Utiliza la calculadora para hallar el valor aproximado que alcanza su máximo. 4. Representa la gráfica de esa función de densidad.


Ejercicio 2.3. Cada una de las siguientes gráficas se corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria normal.

1. Determina justificadamente la media de cada una de ellas y su varianza aproximada. 2. Escribe la expresión analítica de cada una de estas funciones de densidad.

A) B) C)

Ejercicio 2.4. Cada una de las siguientes gráficas se corresponde a la función de densidad de una de las siguientes distribuciones normales: Determina justificadamente cuál corresponde a cada una de ellas.

A) B) C)


Ejercicio 2.5.

En una ciudad se estima que la temperatura máxima X en el mes de junio sigue una distribución normal, con media de 23° y desviación típica de 3°. 1. Determina justificadamente cuál de estas funciones de densidad corresponde a esa distribución.

A)

√

(

)

B)

√

(

)

C)

√

(

)

2. Determina cuál es la gráfica de esta distribución y sombrea en ella la superficie correspondiente a la probabilidad de que la temperatura máxima esté entre 25º y 28º.

Ejercicio 2.6.

Las tallas de los recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviación típica de 5 cm.

1. Determina justificadamente cuál de estas funciones de densidad corresponde a esa distribución.

A)

√

(

)

B)

√

(

)

C)

√

(

)

2. Determina cuál es la gráfica de esta distribución y sombrea en ella la superficie correspondiente a la probabilidad de que la talla de un niño recién nacido sea mayor que 56cm.


3. Cálculo de probabilidades en la distribución normal estándar. Tabla tipificada.

OBJETIVO 3. Saber utilizar la tabla valores de la distribución N(0 ; 1) para calcular probabilidades de dicha variable.

La probabilidad para la distribución normal tipificada Z = N(0 ; 1) está tabulada, lo que nos permite realizar cálculos con esta distribución de forma sencilla. Además, cualquier otra distribución normal puede “modificarse” de modo que se pueda utilizar la distribución normal para calcular sus probabilidades (en un proceso denominado tipificación o normalización, que estudiaremos más adelante)

Colas principales: Colas complementarias:

Colas simétricas: Colas complementarias:


Ejercicio 3.1. Colas principales. Para k positivo,

A) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie.

B) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie.

C) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie.


Ejercicio 3.2. Colas complementarias de las principales. Para k positivo,





Ejercicio 3.3. Colas simétricas de las principales. Para k negativo,





Ejercicio 3.4. Colas simétricas de las complementarias. Para k negativo,





Ejercicio 3.5. Intervalos: Para a < b,

A) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.

B) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.


C) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.

D) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.


E) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.

F) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.


4. Cálculo de valores críticos.

OBJETIVO 4. Saber calcular el valor crítico correspondiente a cualquier cola y a cualquier intervalo simétrico.

1. Colas a la izquierda del valor crítico.

Para una probabilidad conocida, queremos calcular el valor crítico que cumple la igualdad ( )

Si la probabilidad p es mayor que 0,5

Si la probabilidad p es menor que 0,5

es positivo y se encuentra e directamente en la tablas. es negativo y encontramos en las tablas el valor positivo que

cumple ( )

2. Colas a la derecha del valor crítico.

Para una probabilidad conocida queremos calcular el valor crítico que cumple la igualdad ( )



es negativo y encontramos en las tablas el valor positivo que

cumple ( )

es positivo y lo encontramos en las tablas cumpliendo que

( )

3. Intervalos simétricos. Para una probabilidad conocida, que este caso se denomina nivel de confianza, queremos calcular el valor crítico

que cumple la igualdad (

)

es positivo y lo encontramos en las tablas cumpliendo que

( )


Ejercicio 4.1. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: ( )

1. La superficie a sombrear está a la izquierda del valor y

mide más de 0,5 luego es un valor positivo.

2. Representamos un valor aproximado y su

correspondiente superficie. Como es una cola principal, buscamos 0,7910 directamente en la tabla:

Por tanto,

Solución:


Solución:



Solución:


Solución:


Ejercicio 4.5. Calcula el valor crítico

que cumple la siguiente igualdad: (

)

Solución:


que cumple la siguiente igualdad:

Solución:




Solución:



Solución:


5. Cálculo de probabilidades y abcisas en otras distribuciones normales. Tipificación.

OBJETIVO 4. Conocer el proceso de tipificación de una variable normal para calcular probabilidades y abcisas de dicha variable, utilizando la tabla tipificada.


sigue una distribución

normal tipificada: ”

Proceso de tipificación.

Las propiedades algebraicas de las variables aleatorias nos permiten asegurar la siguiente afirmación:


sigue una distribución normal tipificada: ”

Este resultado es muy práctico a la hora de calcular probabilidades de una distribución normal puesto que:

(

)

El proceso de restar su propia media a una variable normal y a la variable resultante dividirla por

su propia varianza, para obtener la variable

, se conoce con el nombre de tipificación o normalización de la

variable X.

Ejemplo. (PAU) La duración media de un lavavajillas es de 15 años, con una desviación

típica igual a 0,5 años. Si la vida útil del electrodoméstico se distribuye normalmente,

halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas, este dure más de 16 años.

Solución

P(“El lavavajillas dure más de 16 años”)

(

)

0.0228


Ejercicio 5.1. (PAU)

Una máquina produce recipientes cuyas capacidades siguen una distribución N(10; 0,1). Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,9 y 10,1. ¿Qué probabilidad tiene un recipiente de ser considerado defectuoso?

Solución

Ejercicio 5.2. (PAU) Las precipitaciones anuales en una región son, en media, de 2000 L/m2, con una desviación típica de 300 L/m2 . Suponiendo que el volumen anual de precipitaciones por metro cuadrado sigue una distribución normal, calcula la probabilidad de que un año determinado la lluvia no supere los 1200 L/m2 Solución


Ejercicio 5.3. (PAU) Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviación típica de 5cm. Calcula cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 47 y 52 cm. Solución

Ejercicio 5.4. (PAU) Según las informaciones médicas actuales, el nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal centrada en el valor 192 y con una desviación típica de 12 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol inferior a 186 unidades? Solución


Ejercicio 5.5. (PAU) En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media de 23° y desviación típica de 5°. Calcula el número de días del mes de julio en los que se espera alcanzar máximas entre 21o y 27o. Solución

Ejercicio 5.6. (PAU) Los pesos de los habitantes adultos de una ciudad se distribuyen

normalmente con media de 75 kg y desviación típica de 4 kg.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que el peso de un habitante de esa ciudad

esté entre 61 y 83 kg?

b) ¿Qué probabilidad hay de que una persona de esa ciudad pese más de 105

kg?

Solución


Ejercicio 5.7. (PAU) Las alturas, expresadas en centímetros, de un colectivo de 300

estudiantes se distribuyen según la distribución normal con una media de 160 y

una desviación típica de 20.

a) Calcula cuantos estudiantes del grupo miden menos de 170.

b) ¿Qué porcentaje de alumnos mide más de 140?

Solución

Ejercicio 5.8. (PAU) Las puntuaciones de un grupo de 500 alumnos en una prueba de

razonamiento numérico se distribuyen normalmente con una media de 5 y una

desviación típica de 2.

a) ¿Qué porcentaje de alumnos obtiene una nota inferior a 9? ¿Cuántos

alumnos son?

b) ¿Cuántos alumnos tienen una puntuación mayor de 3?

Solución


Ejercicio 5.9. (PAU) Alfonso es un estudiante de Bachillerato que va andando desde su casa al

instituto todos los días. El tiempo que tarda en recorrer ese trayecto es una variable normal

con media de 14 minutos y desviación típica de 2,5 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde más de 20 minutos en ir desde su casa al centro?

b) Alfonso sale siempre de su casa a las 8:45. ¿Qué porcentaje de días llegará más tarde

de las 9:00.

Solución

Ejercicio 5.10. (PAU) El peso medio de los estudiantes de un colegio es de 60 kg, y la

desviación típica es de 6 kg. Suponiendo que los pesos están normalmente

distribuidos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 64 kg?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o más?

c) Si los estudiantes son 200, ¿cuántos cabe esperar que pesen más de 57 kg

y menos de 64?

Solución


Ejercicio 5.11. Una compañía de autobuses realiza un estudio sobre el número de

veces que semanalmente utilizan el autobús los usuarios. Se sabe que los datos

siguen una distribución normal N(10, 3). Calcula la probabilidad de que un

usuario utilice el autobús:

a) Más de 11 veces.

b) Menos de 8 veces.

Solución

Ejercicio 5.12. Supón que en cierta población pediátrica, la presión sistólica de la sangre

en reposo se distribuye normalmente con media de 115 mmHg y desviación típica de 15

mmHg.

a) Halla la probabilidad de que un niño elegido al azar en esta población tenga

presión sistólica superior a 145 mmHg.

b) ¿Qué porcentaje de los niños tendrá una presión superior a 105 mmHg e inferior

a 125mmHg de los niños?

Solución



Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza 9. 1. Calcula 2. Encuentra un valor tal que

Solución

Solución


La longitud de cierto tipo de peces sigue la distribución normal de la figura, en la que la varianza es de 81 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de esos peces mida entre 82 y 91 mm?

Solución

Solución


6. Ajuste de una variable estadística continua a una distribución normal.

OBJETIVO 5. Utilizar los datos correspondientes a una muestra aleatoria de una variable estadística X, para decidir si la variable se ajusta o no a una distribución normal y en caso afirmativo realizar el ajuste:

Si los datos aleatorios de una variable estadística X continua cumplen las siguientes propiedades:

1. Se distribuyen de forma simétrica en torno a la media . 2. Se distribuyen de forma creciente hasta la media y decreciente a partir de la media, con una desviación .

Entonces, diremos que la variable X sigue una distribución normal y realizaremos el ajuste: , donde son la media y la desviación de la muestra.

Es decir, para que X sea normal, su histograma de frecuencias relativas deberá tener la siguiente forma:

La función de densidad de la variable es la curva que aproxima la distribución empírica de X

El histograma de las frecuencias relativas confirma que los datos se distribuyen de forma simétrica en torno a la media y además lo hacen de forma creciente para datos inferiores a la media y decreciente para datos superiores a la media.

La expresión analítica de la función de densidad de la

variable normal es:

√

(

)


Ejemplo 1. Con el ánimo de conocer la estatura de las chicas adolescentes españolas se realiza un estudio en el que se toma la altura de una muestra aleatoria de 800 chicas. Los datos obtenidos se agrupan en 9 intervalos y se completa una tabla de frecuencias y parámetros. Representamos el histograma de las frecuencias relativas para justificar si la variable

estadística X= “Altura de las chicas adolescentes” sigue una distribución normal o no.

En caso afirmativo, calculamos la media y la desviación de la muestra, para realizar el

ajuste:

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Nº de partidos

8 40 80 176 216 160 80 24 16

El histograma de las frecuencias relativas confirma que los datos se distribuyen de forma simétrica en torno a la media y además lo hacen de forma creciente para datos inferiores a la media y decreciente para datos superiores a la media,

por tanto, X sigue una distribución normal:

Ejemplo 2. Un jugador de baloncesto cree que su regularidad no es “normal” y decide hacer un estudio estadístico. Para ello recoge las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus últimos 40 partidos y los agrupa en 7 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta.

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Nº de partidos

6 6 4 10 8 4 2

La tabla de frecuencias relativas muestra que la variable X NO es normal:


Ejercicio 6.1. Para conocer el peso de los alumnos varones de Educación Secundaria Obligatoria se ha

realizado un muestreo a 500 estudiantes de esa etapa. Los pesos muestreados se agruparon en cinco

intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la siguiente tabla:

Pesos (kg) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 55 100 200 100 45

1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= “Peso de los alumnos varones de ESO” sigue una

distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Solución

1. Tabla de frecuencias. Media y desviación típica.

[ ] x f r % x·f x2·f

[50-54) 52 55 0,11 11% 2860 148720

[54-58) 56 100 0,2 20% 5600 313600

[58-62) 60 200 0,4 40% 12000 720000

[62-66) 64 100 0,2 20% 6400 409600

[66-70] 68 45 0,09 9% 3060 208080

500 1 29920 1800000

2. Histograma de frecuencias relativas.

3. Análisis de la normalidad de la variable X.


Ejercicio 6.2. Se ha preguntado a 300 niños y niñas que cogen el autobús para ir al colegio, cuántos minutos esperan en la parada. Los resultados obtenidos se han agrupado en siete intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la siguiente tabla:

Minutos de espera

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 6 36 66 84 66 36 6

1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas.

3. Justifica si la variable estadística X= “Minutos de espera por el autobús” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 1) 0,5 6 0,02 2% 3 1,5

[1 - 2) 1,5 36 0,12 12% 54 81

[2 - 3) 2,5 66 0,22 22% 165 412,5

[3 - 4) 3,5 84 0,28 28% 294 1029

[4 - 5) 4,5 66 0,22 22% 297 1336,5

[5 - 6) 5,5 36 0,12 12% 198 1089

[6 - 7] 6,5 6 0,02 2% 39 253,5

300 1 1050 4203




Ejercicio 6.3. Se ha realizado una encuesta a 200 personas para conocer las horas diarias de TV que consumen los españoles. Los resultados obtenidos se agruparon en nueve intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadística X= “Horas diarias de TV” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Horas de TV

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 2 8 26 40 44 38 26 12 4

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 0.5) 0,25 2 0,01 1% 0,5 0,125

[0.5 - 1) 0,75 8 0,04 4% 6 4,5

[1 - 1.5) 1,25 26 0,13 13% 32,5 40,625

[1.5 - 2) 1,75 40 0,2 20% 70 122,5

[2 - 2.5) 2,25 44 0,22 22% 99 222,75

[2.5 - 3) 2,75 38 0,19 19% 104,5 287,375

[3 - 3.5] 3,25 26 0,13 13% 84,5 274,625

[3.5 - 4) 3,75 12 0,06 6% 45 168,75

[4 - ) 4,25 4 0,02 2% 17 72,25

200 1 459 1193,5




Ejercicio 6.4. Se ha hecho un estudio sobre la vida media de un lavavajillas estudiando una muestra aleatoria de 400 modelos diferentes. Los resultados obtenidos se agruparon en 11 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadística X= “Años de vida de un lavavajillas” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Años del lavavajillas

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 4 8 24 52 72 84 72 48 24 8 4

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 1) 0,5 4 0,01 1% 2 1

[1 - 2) 1,5 8 0,02 2% 12 18

[2 - 3) 2,5 24 0,06 6% 60 150

[3 - 4) 3,5 52 0,13 13% 182 637

[4 - 5) 4,5 72 0,18 18% 324 1458

[5 - 6) 5,5 84 0,21 21% 462 2541

[6 - 7] 6,5 72 0,18 18% 468 3042

[7 - 8) 7,5 48 0,12 12% 360 2700

[8 - 9) 8,5 24 0,06 6% 204 1734

[9 - 10) 9,5 8 0,02 2% 76 722

[10 - 11] 10,5 4 0,01 1% 42 441

400 1 2192 13444




Ejercicio 6.5. Se han recogido las últimas 100 calificaciones que ha puesto una profesora de Matemáticas a sus alumnos y alumnas. Dichas notas se agruparon en 10 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadística X= “Calificaciones de la profe de mates” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Calificaciones [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 3 5 10 14 20 20 14 8 5 1

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 1) 0,5 3 0,03 3% 1,5 0,75

[1 - 2) 1,5 5 0,05 5% 7,5 11,25

[2 - 3) 2,5 10 0,1 10% 25 62,5

[3 - 4) 3,5 14 0,14 14% 49 171,5

[4 - 5) 4,5 20 0,2 20% 90 405

[5 - 6) 5,5 20 0,2 20% 110 605

[6 - 7] 6,5 14 0,14 14% 91 591,5

[7 - 8) 7,5 8 0,08 8% 60 450

[8 - 9) 8,5 5 0,05 5% 42,5 361,25

[9 - 10) 9,5 1 0,01 1% 9,5 90,25

100 1 486 2749




Ejercicio 6.6. Se han recogido las últimas 200 calificaciones que ha puesto un profesor de Educación Física a sus alumnos y alumnas. Dichas notas se agruparon en 10 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadística X= “Calificaciones del profe de E. F.” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Calificaciones [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 4 6 10 16 16 28 40 30 28 22

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 1) 0,5 4 0,02 2% 2 1

[1 - 2) 1,5 6 0,03 3% 9 13,5

[2 - 3) 2,5 10 0,05 5% 25 62,5

[3 - 4) 3,5 16 0,08 8% 56 196

[4 - 5) 4,5 16 0,08 8% 72 324

[5 - 6) 5,5 28 0,14 14% 154 847

[6 - 7] 6,5 40 0,2 20% 260 1690

[7 - 8) 7,5 30 0,15 15% 225 1687,5

[8 - 9) 8,5 28 0,14 14% 238 2023

[9 - 10) 9,5 22 0,11 11% 209 1985,5

200 1 1250 8830




Ejercicio 6.7. Una empresa fabrica miles de tornillos y tiene que garantizar cierta precisión en el diámetro

de su rosca. Para hacer el control de calidad se toma una muestra aleatoria de 200 tornillos y se mide su

diámetro, en milímetros. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla de frecuencias

absolutas:

Diámetro (mm)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 10 54 72 56 8

1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= “Diámetro de los tornillos” sigue una distribución

normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[11,9-12,1) 12 10 0,05 5 120 1440

[12,1-12,3) 12,2 54 0,27 27 658,8 8037,36

[12,3-12,5) 12,4 72 0,36 36 892,8 11070,7

[12,5-12,7) 12,6 56 0,28 28 705,6 8890,56

[12,7-12,9] 12,8 8 0,04 4 102,4 1310,72

200 1 2479,6 30749,4




Ejercicio 6.8. Para conocer la velocidad de conexión a cierta página web se ha medido el tiempo en segundos que han tardado en conectarse 1000 usuarios que querían acceder a ella. Los datos se muestran en la tabla de frecuencias absolutas:


3. Justifica si la variable estadística X= “Tiempo necesario para conectarse” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Tiempo (segundos)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Nº de usuarios

250 240 200 150 100 50 10

Solución


[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 30) 15 250 0,25 25% 3750 56250

[30 - 60) 45 240 0,24 24% 10800 486000

[60 - 90) 75 200 0,2 20% 15000 1125000

[90 - 120) 105 150 0,15 15% 15750 1653750

[120 - 150) 135 100 0,1 10% 13500 1822500

[150 - 180) 165 50 0,05 5% 8250 1361250

[180 - 210] 195 10 0,01 1% 1950 380250

1000 1 69000 6885000




Ejercicio 6.9. Con el ánimo de conocer la estatura de las chicas adolescentes españolas se realiza un estudio en el que se toma la altura de una muestra aleatoria de 800 chicas. Los datos obtenidos se agrupan en 9 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadística X= “Altura de las chicas adolescentes” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Nº de partidos

8 40 80 176 216 160 80 24 16

Solución 1. Tabla de frecuencias. Media y desviación típica.

[ ] x f r % x·f x2·f

[138 - 142) 140 8 0,01 1% 1120 156800

[142 - 146) 144 40 0,05 5% 5760 829440

[146 - 150) 148 80 0,1 10% 11840 1752320

[150 - 154) 152 176 0,22 22% 26752 4066304

[154 - 158) 156 216 0,27 27% 33696 5256576

[158 - 162) 160 160 0,2 20% 25600 4096000

[162 - 166] 164 80 0,1 10% 13120 2151680

[166 - 170) 168 24 0,03 3% 4032 677376

[170 - 174] 172 16 0,02 2% 2752 473344

800 1 124672 19459840




Ejercicio 6.10. Un jugador de baloncesto cree que su regularidad no es “normal” y decide hacer un estudio estadístico. Para ello recoge las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus últimos 40 partidos y los agrupa en 7 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadística X= “Puntuación en cada partido” sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál.

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Nº de partidos

6 6 4 10 8 4 2

Solución 1. Tabla de frecuencias. Media y desviación típica.

[ ] x f r % x·f x2·f

[0 - 5) 2,5 6 0,15 15% 15 37,5

[5 - 10) 7,5 6 0,15 15% 45 337,5

[10 - 15) 12,5 4 0,1 10% 50 625

[15 - 20) 17,5 10 0,25 25% 175 3062,5

[20 - 25) 22,5 8 0,2 20% 180 4050

[25 - 30) 27,5 4 0,1 10% 110 3025

[30 - ] 32,5 2 0,05 5% 65 2112,5

40 1 640 13250




7. Aproximación de una binomial por una normal.

OBJETIVO 6. Conocer y saber aplicar el teorema de Moivre (Abraham de Moivre 1667-1754) sobre la aproximación de una variable estadística binomial mediante una normal:

√ cuando

Teorema de Moivre (Aproximación de una Binomial por una normal) El matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754) demostró que si una variable estadística discreta X sigue una distribución

binomial y se cumplen las condiciones entonces, se puede realizar una aproximación por

la distribución normal √

Corrección por continuidad.

Como la binomial es discreta y la normal √ es continua, al calcular probabilidades

aproximadas habrá que introducir una corrección por continuidad de que aumente el intervalo:

Ejemplo

Un examen consta de 300 preguntas de tipo test, con cuatro posibles respuestas cada una, de las cuales solo una es correcta. Un opositor, que no ha estudiado nada responde al azar. ¿Qué probabilidad tiene de contestar correctamente 150 preguntas o menos?

Solución

Si llamamos X= “Número de respuestas acertadas” tendremos que y como se cumplen las dos condiciones de Moivre:

podemos aproximar la variable binomial por la variable normal √ ,

es decir, por la normal

Por tanto: P( “Contestar correctamente 150 preguntas o menos”) = (

)

(Es seguro que contesta correctamente menos de la mitad)



En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contestan más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcula la probabilidad de aprobar el examen.

Solución


La probabilidad de que determinadas piezas de una máquina sean defectuosas es del 6%. En un almacén se han recibido 2000 piezas. a) ¿Cuántas habrá defectuosas por término medio? b) ¿Cuál será la desviación típica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 150 piezas defectuosas en esa partida?

Solución



La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es de 0,2. Si hiciera 10000 lanzamientos y su capacidad de acierto se mantuviera (ni aumentara por la práctica ni disminuyera por el cansancio), ¿qué probabilidad habría de que acertase más de 2080 veces?

Solución


Se sabe que la vacuna antitetánica produce fiebre como efecto secundario en el 0,1% de los casos. a) Calcula la probabilidad de que en un conjunto de 3.000 personas vacunadas se produzca fiebre en, al menos, 4 casos. b) Calcula la probabilidad de que en un total de 25.000 personas vacunadas se den más de 20 casos de fiebre.

Solución



Después de realizar varios sondeos sobre cierta población, se ha conseguido averiguar que únicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea saber: a) La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables.

Solución


Se ha realizado una encuesta sobre una población de escasa cultura, de la que solo un 15% ha leído más de tres libros. Elegida al azar una muestra de 60 personas, calcula: a) La probabilidad de que haya más de cinco personas que han leído más de tres libros. b) La probabilidad de que como máximo haya seis personas que han leído más de tres libros. Solución



Se estima que uno de cada cuatro individuos de una zona tiene determinada enfermedad. Si se toma una muestra al azar de 120 individuos, halla: a) El número esperado de individuos enfermos. b) La probabilidad de que existan más de 52 individuos enfermos. c) La probabilidad de que el número de individuos enfermos sea, como máximo, igual a 46.

Solución


Si se extrae una carta al azar 500 veces seguidas de una baraja de naipes españoles, a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un rey en 50 ocasiones o más? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un rey en 20 ocasiones o menos?

Solución

distribuciones continuas. la distribución normal. · cálculo de probabilidades para una v.a.c. 2....

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