momento de inercia
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los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia ydeformación de elementos estructurales tales como vigas y columnas, ya que definen las característicasgeométricas de la forma y tamaño de la sección transversal de los elementos estructurales. Por ello acontinuación se establece la definición y forma de determinar el centroide y los momentos de inercia.Para precisar la ubicación del centroide y valorar los momentos de inercia primero se definen yestablecen para áreas simples, luego se indica la forma de calcularse en áreas compuestas además se definenotras propiedades geométricas que son función del centroide y los momentos de inercia.}
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto y es proporcional ala ubicación del área asociada. Adicional al centroide tenemos el momento de inercia que además depende dela distancia que está el área a un eje dado.
El momento de inercia es una propiedad geométrica (similar al área) de una superficie o área querepresenta cuanta área está situada y que distancia está con respecto a un eje dado. Se define como la suma delos productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tieneunidades de longitud elevada a la cuatro (longitud 4). Es importante para el análisis de vigas y columnas,porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia debido a quedefine la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. (Beer y Johnston, 1977; Das,Kassimali y Sami, 1999; Parker y Ambrose, 1995)
Momento de inercia de áreas compuestasPara establecer los momentos de inercia de áreas compuestas, se debe considerar que el momento deinercia varía según el eje que se considere, por ello previamente se define el teorema de ejes paralelos quevalora el momento de inercia de una sección con respecto a un eje cualquiera una vez conocido el momentode inercia con respecto al eje centroidal.De esta forma se establece el valor de la inercia de un área compuesta al relacionar el momento deinercia centroidal de cada área simple con respecto al centroide del área compuesta.
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Un área compuesta se puede subdividir en varias áreas comunes cuyas expresiones de momento deinercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma de losmomentos de inercia de cada área común, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismoeje; para ello se emplea el teorema de los ejes paralelos.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con
respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada portodas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de
masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i-ésima.6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el
teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:y
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos
anteriores: e
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de uncuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la
inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momentode inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional deberepresentarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes queforman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para elanálisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema departículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende dela geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzasque intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso delmovimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinalde un sólido rígido.
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Círculo de Mohr
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La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Círculo de Mohr, ya que no se
trabaja con un área sino con el perímetro) es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ellamomentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las característicasde una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzocortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia deMohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario
calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, lacircunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posibleobtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo delmomento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos deinercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:
Centro de la circunferencia:
Radio de la circunferencia:
PROBLEMA RESUELTO 9.2
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(a) Determinar el momento polar centroidal de inercia de una área circular por integracióndirecta. (b) Usando el resultado de la parte (a), determinar el momento de inercia de unaárea circular con respecto a su diámetro.
Solución:
Momento polar de inercia. Escogemos un elemento anular diferencial de área. Comotodas las partes de esta área diferencial están a la misma distancia del origen. Escribimos.
dJo = u2dA dA = 2 u du
Jo = /2 ( r4 )
b. Momento de inercia. Debido a la simetría del área circular tenemos Ix = IY , luegoentonces escribimos:
Jo = IX +IY = 2IX /2 (r4) = 2IX
I DIÁMETRO = IX = /4 (r4)
INTRODUCCIÓNEl momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área querepresenta la distancia de unárea con respecto a un eje dado. Se define como lasuma de los productos de todas las áreas elementalesmultiplicadas por el cuadradode las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4).Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamañode estoselementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momentode inerciaIdefine la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural.El centroide representa el puntodonde se ubica la resultante del peso de unobjeto, además esta posición representa un movimiento
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simple de un objeto alcontrario si se analiza el objeto completo donde cada punto presenta un movimientomáscomplejo. El centroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otraparte, tenemos unamedida denominadamomento de inerciaque no dependesolamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado.Este trabajo se
realiza con la finalidad de tener más conocimiento sobre elmomento de inercia la cual se seguiráhablando del mismo.
Momento de InerciaEl momento de inercia o inercia rotacional es una medida de lainerciarotacional deuncuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar querefleja ladistribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación,respecto al eje degiro. El momento de inercia sólo depende de la geometría delcuerpo y de la posición del ejede giro; pero no depende de las fuerzas que intervienenen el movimiento.El momento de inerciadesempeña un papel análogo al de lamasa inercialen elcaso del movimiento rectilíneo y uniforme. Esel valor escalar delmomento angularlongitudinal de un sólido rígido
En la ingeniería: el momento de inercia es la tendencia que tienen los cuerpos a oponersen a laflexion. y se utilizan para calculo de deflexiones en vigas, y tambien para hallar radios de giro, locual me sirve para determinar cargas ultimas para evitar el pandeo en una columna.
la inercia es muy importante en el área de las estructuras, en el diseño estructural, la inercia escon lo que diseñas, la inercia depende de la geometría del material...
Por ejemplo si quieres diseñar una columna de acero, pues la longitud de la misma no la puedescambiar, el material tampoco porque ya sabes que es acero, pero lo que si puedes diseñar es lageometría de esta, y lo mismo pasa con un cable, con una viga, con una armadura, etc...
En cuerpos en reposo se usa principalmente en las materias de Resistencia de Materiales yMecánica en el cálculo de Esfuerzos, Estabilidad etc...También en el Área de Cinemática parte de laFísica, sobre todo en Movimiento Angular.
así como la masa es una medida de lo que te costara mover un cuerpo, el momento de inercia teindica que tan difícil sera para ti hacer que un objeto rote alrededor del eje con respecto al cualcalculaste el momento de inercia, aplica si necesitas rotar un cuerpo con un gasto mínimo deenergía
Un pequeño experimento seria para calcular la deformacion de una viga, entre mayor es la inerci
respecto a un eje de su seccion menos se deformara.
Si colocas una tabla,
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en ese sentido, y alguien se para sobre ella podras notar como se deforma, en cambio si
colocas esa misma tabla de esta forma:
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y se para la misma persona, veras que se deforma menos, xq la inercia con respecto al eje
de la seccion, y perpendicular a la carga su eje es mayor.
P.D. Los dibujitos representan la seccion transversal de la tabla
EJEMPLOS: INTEGRACIÓN
En esta sección se muestran algunos ejemplos típicos de cálculos de momento de inerciapor integración. Si bien los problemas se suelen resolver de muchas formas, en la mayoríade los que mostramos aquí intentamos resolver las integrales de la forma más sencillaposible, de forma que no sea necesario la resolución de estos ejemplos mediante integralesdobles o triples.
En primer lugar mostramos en el EJEMPLO 1 un problema de densidad volumétrica, en elEJEMPLO 2, uno de densidad superficial y en EJEMPLO 3 uno de densidad lineal.
Los ejes X , Y y Z de la esfera coinciden con diámetros de la esfera, por tanto, el momento
de inercia respecto de estos ejes será el mismo que el calculado en el ejemplo.
Los EJEMPLOS 2 y 3 constituyen también una aplicación del Teorema de los ejes
perpendiculares
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El EJEMPLO 4 es similar al EJEMPLO 1, pero con una diferencia fundamental, la esfera
es hueca, es decir, una corteza esférica sin espesor
El EJEMPLO 5 es un problema donde aparece el concepto de densidad lineal de masa
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En este EJEMPLO 5 podemos observar que el momento de inercia respecto del eje X de lavarilla delgada sería nulo, al estar la varilla situada sobre dicho eje.
Muchas veces, como vemos en este EJEMPLO 6, descomponiendo la figura en figurassencillas, la integración resulta muy sencilla.
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Lo mismo ocurre en este EJEMPLO 7.
A veces los problemas de cálculos de momentos de inercia se complica porque aparecenotra serie de conceptos matemáticos. Así, en este EJEMPLO 8 aparece el concepto deSemejanza de Triángulos y el Binomio de Newton.
Para ver la Semejanza de Triángulos se puede consultar la dirección Web:http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej3.htm El binomio de Newton, se puede calcular con esta otra página Web:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/binomio.html
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En este EJEMPLO 9 hemos utilizado la conocida expresisón suma de cuadrados pordiferencia de cuadrados , http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/producto.htm
Bilbiografias:
Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I) por Beer, F. yJohnston, E., 1977. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)
Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá,Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.
Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. México D.F,México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores. MéxicoD.F, México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr