momento de inercia

Mecnica Aplicada I

Cap. 6- Geometria das massas

Captulo 6 -

Geometria das massas

6.1- Centro de massa

As foras infinitesimais, resultantes da atraco da terra, dos elementos infinitesimais P1, P2, P3, etc., so dirigidas para o centro da terra, mas por simplificao so sempre consideradas paralelas.

Para se obter a localizao do ponto G, centride, utiliza-se o teorema de Varignon. (o momento em relao a um ponto O da resultante de vrias foras concorrentes igual soma dos momentos das diversas foras em relao ao mesmo ponto O). Os momentos de P relativamente aos eixos y, x, so iguais s somas dos momentos de cada fora infinitesimal, relativamente aos respectivos eixos.

My Mx

: :

x.P = x1 * 1 + x 2 * 2 P P y.P = y1 * 1 + y 2 * 2 P P

No limite em que o nmero de elementos tende para infinito, ou seja a dimenso de cada elemento muito pequena, a fora total ser dada por:P=co o rp

dP

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Pg. 64

Mecnica Aplicada Ia) xG P =


corpo

xdP

b)

yG P =

corpo

ydP

No caso de corpos lineares, (arames), ser de realar o facto de eventualmente o centro de massa no se situar sobre o corpo.

6.2- Centride centro geomtrico

No caso de um corpo homogneo com caractersticas geomtricas constantes, nomeadamente uma placa com espessura constante, tem-se que: = e P A

com a massa especifica do corpo, e a espessura e A a rea infinitesimal. Somando todos os elementos infinitesimais temos:P = eA

substituindo a expresso em a) e b);

xG = yG =

corpo

xdAA ydA A

Vlidas apenas para corpos com massa especfica constante e espessura constante

corpo

Se a placa for constituda por dois diferentes materiais, ento o centride pode no coincidir com o centro de massa. Para o caso de arames homogneos de seco transversal uniforme, pode-se escrever;P = aL

em a a rea da seco e L comprimento o elementoxG =corpo

xdLL

yG =

corpo

ydLL

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Pg. 65

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6.3- Momentos de primeira ordem (momentos estticos) de superfcies e curvas

O integral

xdAA A

conhecido pelo momento de primeira ordem da superfcie em em relao ao eixo x.Qx = ydAA

relao ao eixo y, e

ydA

Qy = xdAA

Estes parmetros geomtricos sero considerados para o clculo de tenses de corte em vigas (resistncia do materiais).

6.4- Simetria material

Ponto, eixo ou plano, que de simetria geomtrica e cujos partes geometricamente simtricas tm massas especficas iguais. 6.5- Simetria geomtrica Existe simetria geomtrica sse a um ponto P corresponde um ponto P tal que o segmento PPseja ortogonal ao elemento espelho.

Desta forma: um corpo que possua simetria geomtrica ter o centride no elemento espelho. Um corpo que possua simetria material ter o centro de massa no elemento espelho.

6.6- Corpos compostos

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Pg. 66

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Tendo um corpo complexo, possvel decompor o mesmo num conjunto de corpos mais simples em que seja conhecida a localizao do centride e/ou centro de massa. Pela aplicao do teorema de Varignon e decompondo um meio contnuo em vrios:xG =

xPi i

P

yG =

yPi i

P

zG =

zPi i

P

Exemplo:150

Determinar a posio do centro de massa deste corpo, sabendo que:- a aba vertical uma chapa metlica com massa especfica de 25(kg/m^2), enquanto que o material da base possui uma massa especfica de 40 (kg/m^2). O150

150

75 25 50

50

100

veio de comprimento 150 (mm), possui uma massa especfica de 7,83 (g/cm^3).

Soluo: Considerar corpo composto por 5 componentes: 1- placa semi-circular, 2- placa vertical, 3- placa triangular a retirar, 4- placa horizontal, 5- veio circular. Por definio de centro de massa,

PG = ( xG , yG , zG ), onde xG =

x Pi =1 i i

5

P

Ento, para cada corpo deve ser calculado: Corpo 1 2 3 4 5

25(Kg/m^2) 25(Kg/m^2) 25(Kg/m^2) 40(Kg/m^2) 7,8(g/cm^3)

Massa 0,0982 0,562 -0,0938 0,6 1,48

xi(m) 0 0 0 0 0

yi(m) 0 0 0 0,05 0,075

zi(m) Pi (N) 0,021 0,963 -0,075 5,518 -0,100 -0,920 -0,150 5,886 0 14,48 P total= 25,93

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Pg. 67

Mecnica Aplicada I Por existir simetria material, XG=0 YG=0,053 (m) ZG=-0,046 (m) Clculo auxiliar - centride do semi-circulo


yc =

corpo

y.dAA

=

corpo

r.Sin ().r.dr .d.R / 22

=

4.R 3

6.7- Momentos de inrcia ou momentos de 2 ordem

Caracteriza ou quantifica a resistncia dos elementos estruturais. mbito: Mecnica dos materiais (Flexo de vigas,etc.)

O momento de inrcia dado por;I xx = y 2 dAA

I yy = x 2 dAA

[L ]4

6.8- Momento polar de Inrcia

mbito: Mecnica dos materiais (Toro de veios,etc.) O momento polar de inrcia obtido por;J o = r 2 dAA

y

yLus Mesquita

[L ]4

Pg. 68

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6.9- Clculo dos momentos de inrcia por integrao

I xx = y dA =2 A

h/2

h / 2

2 y bdy =

bh 3 4 L 12

[ ]

I yy =

hb 3 4 L 12

[ ]

Relao entre os MomentosJ o = r 2 dA = x 2 + y 2 dA = I xx + I yyA A

(

)

6.10- Raio de Girao

O raio de girao de uma rea A, relativamente ao eixo x, definido como a distncia kx, em que I x = k x A .

ykx = Ix A

ky =

Iy A

kO =

JO A

ALus Mesquita Pg. 69

Mecnica Aplicada I 6.11- Teorema de Steiner ou eixos paralelos


O teorema dos Eixos Paralelos determina que o momento de inrcia I de uma rea relativamente a um eixo arbitrrio AA igual ao momento de inrcia I segundo o eixo que passa no centride da rea (BB) mais o produto da rea pelo quadrado da distncia entre eixos.I AA ' = I BB ' + A d 2

Exerccio:

Determine

os

momentos

de

inrcia

segundos o eixo x e y. a = 20 mm.

Determine

os

momentos

de

inrcia

segundos o eixo x e y, que passam no centride da seco.

Determine

segundos o eixo x e y, que passam no

Bos

momentos

de

inrcia

centride da seco. y =

A

yi Aii

dPg. 70

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Mecnica Aplicada I 6.12- Produto de inrcia


O produto de inrcia de uma superfcie A relativamente ao eixos de coordenadas OXY, obtm-se multiplicando as coordenadas x e y pela superfcie elementar dA integrando ao longo do seu domnio;

Pxy = xy dA

O significado fisico do produto de inrcia relaciona-se com a distribuio geomtrica segundo os eixos. Se um ou ambos os eixos so de simetria, o produto de inrcia nulo.

Teorema dos eixos paralelos: Produto de inrcia Neste caso, o produto de inrcia de uma superfcie elementar dA relativamente ao sistema de eixos x1Oy1 definido pela seguinte relao

Px ' y ' = Pxy + x yA

6.13- Eixos principais de inrcia e momentos principais de inrcia

Considere um novo eixo Oxyque sofreu uma rotao de segundo z relativamente ao eixo xOy. Recorrendo s relaes geomtricas, pode-se definir os momentos de inrcia e o produto de inrcia relativamente ao novo sistema de eixo, o qual toma a forma:

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Pg. 71

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Estas expresses correspondem s equaes paramtricas duma circunferncia centrada em Imd. de raio R, que relaciona os momentos de inrcia com os produtos de inrcia relativamente a um fixo que passa no ponto O. Este designado de Crculo de Mohr para momentos e produtos de inrcia.

Considere a seco;

Aps a representao do criculo de Mohr os momentos principais de inrcia e as direces principais so obtidas por,

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Pg. 72

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I max, min =

Ix + I y 2

Ix Iy 2

2 + I xy

2

tg ( 2m ) =

2 I xy Ix I y

Exerccio: Considere a seco apresentada. Calcule os momentos principais de inrcia e as direces principais.

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Pg. 73

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A figura representa uma seco recta de um elemento estrutural responsvel pelo suporte de cargas. Tendo em considerao a geometria representada, determine: Os momentos de inrcia, relativamente aos eixos 0X e 0Y. Os produtos de inrcia, relativamente aos eixos 0X e 0Y. A orientao dos eixos principais de inrcia da seco na origem. Os valores dos momentos principais de segunda ordem da seco na origem.y1 d3 y2 d4 d2 d1 x1

d1 = (127 12.7) / 2 (44.50 12.7) = 25.35mm d 2 = 44.5 (12.7 / 2) = 38.15mm d 3 = 19.05 (12.7 / 2) = 12.7 mm d 4 = (76 / 2) 19.05 = 18.95mm

x2

a) Momento de inrcia segundo o eixo x.I xx = I1xx + I 2 xx I1 xx = I x1 x1 + A1d12 =

12 .7 * (127 12 .7) 3 + (12 .7 * (127 12 .7)) * 25 .35 2 = 2.51 10 6 mm 4 = 2.51 10 6 m 12 76 * (12 .7) 3 2 I 2 xx = I x 2 x 2 + A2 d 2 = + (76 *12 .7) * 38 .15 2 = 1.42 10 6 mm 4 = 1.42 10 6 m 4 12 I xx = I1xx + I 2 xx = 3.93 10 6 m 4

Momento de inrcia segundo o eixo y.I yy = I1 yy + I 2 yy (127 12.7) * 12.7 3 + (12.7 * (127 12.7)) * 12.7 2 = 0.254 10 6 mm 4 = 0.254 10 6 m 4 12 (12.7) * 763 2 I 2 yy = I y 2 y 2 + A2 d 4 = + (76 * 12.7) * 18.95 2 = 0.811 10 6 mm 4 = 0.811 10 6 m 4 12 I yy = I1 yy + I 2 yy = 1.065 10 6 m 4 I1 yy = I y1 y1 + A1d 32 =

b) Produto de inrcia. Pxy = Pxy + x yA

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Mecnica Aplicada IPxy = P1xy + P2 xy


P1xy = Px1 y1 + x1 y1 A1 = 0 + 12.7 * 25.35 * (12.7 * (127 12.7)) = 0.467 10 6 mm 4 = 0.467 10 6 m 4 P2 xy = Px 2 y 2 + x2 y 2 A2 = 0 + (18.95) * (38.15) * (76 * 12.7) = 0.698 10 6 mm 4 = 0.698 10 6 m 4 Pxy = P1xy + P2 xy = 1.165 10 6 m 4

c) Direco principal de inrcia I med = I xx + I yy 2 Pxy ( I xx I med ) = 3.93 + 1.065 = 2.498 10 6 m 4 2 = 1.165 (3.93 2.498)

tg ( 2 ) =

2 = 39.13 = 19.56 d) Momentos principais de inrcia2 R = Pxy + ( I xx I med ) 2 = 1.846 10 6 m 4

I max = I med + R = 3.278 10 6 m 4 I min = I med R = 0.414 10 6 m 4 Exerccios:A figura 4 representa uma seco recta de um elemento estrutural responsvel pelo suporte de cargas. Tendo em considerao a geometria representada, determine:a) b) c) d)

Os momentos de inrcia, relativamente aos eixos 0X e 0Y. Os produtos de inrcia, relativamente aos eixos 0X e 0Y. A orientao dos eixos principais de inrcia da seco na origem. Os valores dos momentos principais de segunda ordem da seco na origem.

A figura 4 representa uma seco recta de um elemento estrutural responsvel pelo suporte de cargas. Tendo em considerao a geometria representada, determine:e) f) g) h)

Os momentos de inrcia, relativamente aos eixos 0X e 0Y. Os produtos de inrcia, relativamente aos eixos 0X e 0Y. A orientao dos eixos principais de inrcia da seco na origem. Os valores dos momentos principais de segunda ordem da seco na origem.

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Pg. 75

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6.14- Momentos de Inrcia de Massas

Considere-se um corpo de massa total M em rotao em torno de um eixo imaginrio AA. O corpo pode ser considerado como formado por um conjunto de pequenas partculas de massa m situadas distncia r do eixo de rotao. O produto da massa de cada partcula pela quadrado da distncia ao eixo designado de momento de inrcia da massa m.I = r 2 dm

O raio de girao definido por:

k= I

m

Os momentos de inrcia relativamente aos eixos coordenados so;Ix = Iy = Iz =

(y (x (y

2 2 2

+z 2 ) d m +z 2 ) d m +x 2 ) d m

O teorema dos Eixos paralelos tambm aplicvel a momentos de inrcia de massa;I =I +d 2 m

Os momentos de inrcia de placas finas podem ser obtidos pelos momentos de inrcia das suas reas:

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Pg. 76

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I AA =

1 ma 2 12

I BB =

1 mb 2 12

I AA = I BB = I CC = I AA

I CC = I AA + I BB =

1 m(a 2 + b 2 ) 12

1 mr2 4 1 + I BB = m r 2 2

Os produtos de inrcia so:I xy = xy dm I xz = xz dm I yz = yz dm

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