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  • Una bailarina tendr ms momento de inercia si extiende los brazos, girando

    ms rpido si los contrae.

    El momento de inercia o inercia rotacional (smbolo I) es una medida de la

    inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia

    puede ser representado como una magnitud escalar, una representacin ms avanzada

    por medio de tensores es necesaria para el anlisis de sistemas ms complejos, como por

    ejemplo en movimientos giroscpicos.

    El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en

    rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la

    posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

    El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento

    rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido.

    Ecuaciones del momento de inercia

    Cul de estos giros resulta ms difcil? El

    momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleracin

    angular.

    Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

    donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotacin.

    Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, se define como la suma de

    los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje.

    Matemticamente se expresa como:

    Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Inertie_balai.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CF46618267_109996904033.gifhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gir%C3%B3scopohttp://es.wikipedia.org/wiki/Masa_inercialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Medios_continuos

  • El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

    Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso

    del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en

    traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por

    ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotacin:

    donde:

    es el momento aplicado al cuerpo.

    es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin y

    es la aceleracin angular.

    La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energa cintica

    de un cuerpo en rotacin con velocidad angular es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje

    de rotacin.

    La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservacin

    del momento angular :

    El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccin que el vector velocidad angular .

    Ambos vectores tienen la misma direccin si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de

    simetra entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento

    angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.

    Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

    El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con

    respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con

    respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre

    los dos ejes:

    donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

    eje es el momento de

    inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los

    dos ejes paralelos considerados).

    http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_de_la_Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Eje_principal_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Steiner

  • La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas

    relativa al centro de masas C inmediata:

    Donde el segundo trmino es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al

    centro de masa es nula, por la propia definicin de centro de masa.

    El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa slo

    depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el

    que est inmerso dicho cuerpo.

    Pasos para calcular el momento de inercia de reas compuestas

    1. Dividir el rea compuesta en varias partes que sean simples

    2. Determinar las reas de las partes, designarlas por .

    3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y

    calcular el cdm de toda la figura formada por todas las reas parciales anteriores.

    4. Calcular las distancias de los cdm de cada rea respecto al cdm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que sern

    paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el rea i-sima.

    6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje

    paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y

    7. Calcular los momentos de inercia del rea compuesta a partir de los momentos anteriores:

    e

    Tensor de inercia de un slido rgido

    Tensor de inercia : El tensor de inercia de un slido rgido, es un tensor simtrico de segundo orden, que

    expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simtrica, cuyas componentes tensoriales son:

    Donde:

    son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor

  • , es la llamada delta de Kronecker definida como:

    A los elementos se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas

    propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas

    cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia

    siguientes:

    Y los tres productos de inercia segn los mismos ejes:

    Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente frmula tensorial:

    Donde y donde .

    El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinacin lineal anterior de las

    anteriores magnitudes:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kronecker

  • Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es el vector paralelo al eje

    segn el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

    Deduccin de momentos de inercia de algunos cuerpos regulares

    Barra delgada uniforme, eje perpendicular a la longitud:

    Escogemos como elemento de masa una seccin corta

    de longitud dx a una distancia x de O. el cociente de la masa

    dm del elemento y la masa total M de la varilla, es igual

    cociente de su longitud dx y la longitud total L.

    Despejamos dm y se sustituye en la expresin general del

    momento de inercia:

    , en:

    Con esta expresin podemos calcular el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por cualquier punto

    de la varilla. Por ejemplo, si el eje esta en el extremo izquierdo, h=0 y

    Calculo del momento de inercia de una varilla alrededor de un eje que pasa por O. el elemento de una masa es

    un segmento de longitud dx.

  • Si el eje esta en el extremo derecho, deberemos obtener el mismo resultado. Haciendo h=L, obtenemos:

    Si el eje pasa por el centro, lo usual es girar el bastn,

    Cilindro hueco o relleno, que gira sobre el eje de simetra.

    Si la longitud es L , el radio interior R , el radio exterior es R, la masa del mismo es

    M y la densidad es .

    Escogemos como elemento de volumen una capa cilndrica delgada

    de radio r, de espesor dr y longitud L, con sus partes prcticamente a la misma

    distancia del eje de giro. Su volumen es casi igual al de una lamina plana de

    espesor dr, longitud L y ancho 2 (la circunferencia de la capa). Entonces.

    El momento de inercia esta dado por:

    Como M=V , entonces el momento de inercia es:

    Ahora bien, si el cilindro no es hueco, entonces R=0. Si designamos al radio exterior solo por R , entonces el

    momento de inercia del cilindro macizo estar dado por:

  • Ahora, si se cambia el eje de giro del cilindro y se sita en uno de los bordes, se tiene:

    I=

    Adems, si la pared del cilindro es muy delgada. Entonces se puede estimar que

    R= R, entonces el momento de inercia, se reduce a :

    = ,

    Podramos haber predicho este resultado considerando un cilindro de

    pared delgada donde toda la masa esta a la misma distancia R del eje de simetra,

    entonces:

    Observe que el momento de inercia de un cilind