DOC: ING. IRMA CAPUÑAY CAPUÑAY

MOMENTO DE INERCIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA

CURSO:

DOCENTE: ING. IRMA CAPUÑAY CAPUÑAY

INTEGRANTES:

LAMBAYEQUE, MARZO DEL 2014

MOMENTO DE INERCIA

FUNDAMENTO TEORICO

INERCIA

Es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de movimiento, mientras no se aplique sobre ellos alguna fuerza.

Como consecuencia, un cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento uniforme en línea recta si no hay una fuerza actuando sobre él.

En resumen, la inercia es la resistencia que opone la materia al modificar su estado de reposo o movimiento. En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo

MOMENTO:

El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).

Se define como:

MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a aceleraciones angulares.

DEMOSTRACION DE LA FORMULA :

Definición del Momento de Inercia

Se define momento de inercia como el producto de la masa del elemento por el cuadrado de la distancia más corta del eje al elemento. Por ejemplo como se

indica en la figura rx=¿√ y2+ z2¿ por lo que el momento de

inercia de masa del elemento con respecto al eje x es:

El momento de inercia Ix del cuerpo se calcula integrando esta ecuación sobre la masa total del cuerpo. Por lo tanto, para cada uno de los ejes podemos escribir,

Ix=∫r 2 x dm=∫(Y 2¿+Z2)dm¿

Iy=∫ r2 y dm=∫(X2¿+Z2)dm¿

Iz=∫r 2 z dm=∫( X2¿+Y 2)dm¿

Donde “r” es el brazo de momento, o distancia perpendicular del eje que se tome al elemento arbitrario dm. Como la formulación involucra a r, el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se formula. El eje que generalmente se elige para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y es

dI xx=r x2dm=( y2+z2 ) dm

siempre perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia calculado con respecto a este eje es denotado por IG.

Si el cuerpo está constituido de material con densidad variable ρ=ρ (x , y . z ), su masa elemental dm puede ser expresada en términos de su densidad y volumen como dm= ρdV . Sustituyendo dm en la ecuación entonces el momento de inercia del cuerpo es calculado usando elementos de volumen en la integración, es decir:

I=∫V

❑

r2 ρdV SEE

Eje de Rotación:

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Radio de giro:

Es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto, sin cambiar su momento de inercia.Es siempre medido desde el centro de gravedad (CG).

I=m k2donde , k=√ Im

→radio de giro .

Momento de Inercia de una distribución continua de masa (Cuerpo Rígido)

La fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación 

Momento de inercia de una varilla  

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

 

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

 

 Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y brespecto del eje que pasa por la placa.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

 

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable

x=R·cosθy=R·senθ

Llegamos a la integral

 Momento de inercia de una esfera

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

 

 

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

 Momento de inercia de un paralepípedo

Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es

CUADRO DE RESUMEN DE MOMENTO DE INERCIA DE CUERPO RIGIDO

ESFERA

 

 

Hemisferio

  Cilindro

  Bloque rectangular

 Placa rectangular delgada

 Barra delgada

  

 

Disco circular delgado

  

  

 Anillo delgado

  

  Cono

    

  

PRODUCTO DE INERCIA

Concepto:

En el estudio del movimiento de los cuerpos rígidos, se encuentran a veces expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por las distancias a un par de planos de coordenadas ortogonales. Este producto, se denomina Producto de Inercia del elemento. Por ejemplo el Producto de inercia del elemento representado de la figura respecto a los planos xz e yz, es por definición:

d I xy=xydm

La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los planos ortogonales mencionados es, por definición, el producto de inercia del cuerpo. Los tres productos de inercia representados en la figura son:

I xy=∫m

❑

xydm I yz=∫m

❑

yzdm I zx=∫m

❑

zxdm

Los Productos de Inercia, como los Momentos de Inercia, tienen las

dimensiones de masa multiplicada por el cuadrado de una longitud M L2. La unidad

de medida de los productos de inercia en el sistema S.I. es el kg .m2. En el U.S.

Customary System es el slug. ft2

El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo, ya que las dos distancias coordenadas tienen signos independientes.

El producto de inercia será positivo cuando las coordenadas sean de igual

signo.

El producto de inercia será negativo cuando sean de signos contrarios.

El producto de inercia será nulo cuando uno de los dos planos sea un plano

de simetría, ya que los elementos a uno y a otro lado de éste se podrán

emparejar de manera que sus productos de inercia respectivos sean uno

positivo y otro negativo, siendo nula su suma.

Los métodos de integración que se utiliza para determinar momentos de inercia son igualmente aplicables a la determinación de productos de inercia. Según como se hayan tomado los elementos, podrá ser necesario calcular una integral simple, doble o triple.

Los momentos de inercia de placas delgadas estaban relacionados con los momentos segundos de las placas. Análogamente los productos de inercia se pueden relacionar con los momentos segundos mixtos de las placas.

Si la placa tiene una densidad uniforme ρ, un grosor uniforme t y un área de

la sección recta A, los productos de inercia serán por definición:

I xym=∫m

❑

xydm=¿∫v

❑

xyρdV=¿∫A

❑

xyρtdA=¿ ρt I xyA ¿¿¿

I yzm=∫m

❑

xydm=0 I zxm=∫m

❑

zxdm=¿0¿

Donde el subíndice m corresponde a productos de inercia másicos y el subíndice A corresponde a momentos segundos mixtos de superficie. Los productos

de inercia I yzm e I zxm de una placa delgada son nulos ya que se supone que los ejes

x e y se hallan en el plano medio de la placa (plano de simetría)

El TEOREMA DE ESTEINER

Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos:

En física, el teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del Momento de Inercia de un Solido Rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del Centro de Masa y de la distancia perpendicular (h) entre ejes.

El Teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Donde:

I eje ( z )=:Es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro

de masa.

I eje(CM )(x) : Es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa

por el centro de masa.

M: Masa Total.

h: Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

Demostración:

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la

descomposición de coordenadas relativa al centro de masas: r=rc+h inmediata:

En efecto consideremos el sistema de ejes coordenados X ' Y ' Z ' que pasa por el centro de masa de un cuerpo de masa m, (el centro de masa lo supondremos localizado en O), y sea otro sistema coordenado XYZ cuyos ejes son paralelos al primero como se muestra en la fig.

Entonces se tiene que el vector posición de elemento de masa dm con respecto al centro de masa es:

r⃗ '=x ' i⃗+ y ' j⃗+z ' k⃗

Y el vector de posición del centro de masa del cuerpo con respecto al punto O es:

r⃗ cm=xc i⃗+ yc j⃗+zc k⃗

De tal manera que la posición del elemento de masa con respecto a O es:

R⃗=r⃗cm+r⃗ '=(x¿¿c+x ') i⃗+( yc+ y ') j⃗+(z¿¿c+z ') k⃗ ¿¿

Entonces:

El momento de inercia al eje X es:

I xx=∫ ¿¿

La que después de desarrollarla tenemos:

I xx=∫( yc2+zc

2)dm+∫( y ' 2+z ' 2)dm+2 yc∫ y ' dm+2 zc∫ z ' dm

Por otro lado puesto que el centro de masa existe y solamente existe un centro de masa para cualquier cuerpo se sigue que:

X '

Z '

Y '

Z

Y

X

O

O '

r⃗ cm

r⃗ '

∫ y ' dm=0 ,∫ z ' dm=0

Entonces, tenemos:

I xx=∫( yc2+zc

2)dm+∫( y ' 2+z ' 2)dm

Pero podemos escribir ahora:

d x2= yc

2+zc2

Es el cuadrado de la distancia entre los ejes X’ y X respecto a los cuales se está calculando el momento de inercia.

I xc xc=∫( y ' 2+z ' 2)dm

Es el momento de inercia con respecto del eje X’ que pasa por el centro de masa del cuerpo.

De manera que es definitivamente:

I xx=I xc xc+md x

2

El momento de inercia con respecto al eje Y es:

I yy=I y c yc+m d y

2

Dónde:

I yc yc=∫(x '2+z ' 2)dm d y

2=xc2+zc

2

El momento de inercia con respecto al eje Y es:

I zz=I zc zc+m dz

2

Dónde:

I zc zc=∫( x '2+ y '2)dmd z

2=xc2+ y2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO N°01 (Libro: “Mecánica”, Autor: Ausberto R. Rojas Saldaña; problema 1, página 672):Determinar el momento de inercia de una barra homogénea de longitud L con respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa

a) través de un extremo izquierdob) a través de su centro.

Solución:a)

I yy=∫ x2dm=ρS∫0

L

x2dx

I yy=ρS L3

3

Pero la masa de la barra es:

m=ρSL

Entonces:

I yy=ρ L2

3

b)

I yy=∫ x2dm=ρS ∫−L2

L2

x2dx=m L2

12

EJERCICIO N°02 (Libro: “Estática”, Autor: R.C. Hibbeler; página 552):

El péndulo que se muestra en la figura consiste en dos barras delgadas cada una con un peso de 10lb. Determine el momento de inercia de masa del péndulo con respecto a un eje que pase por a) el pasador en O, y b) el centro de masa G del péndulo.

Solución:

a) El momento de inercia de la barra OA con respecto a un eje perpendicular a la

pág. Y que pasa por el punto O de la barra, es I 0=13

m l2. Por consiguiente:

(IOA)O=13

m l2=13 ( 1032.2 )22=0.414 slug . pie2

Observe que este mismo valor puede calcularse con IG=112

m l2 y el teorema de

Steiner, es decir,

(IOA)O=112

ml2+m d2= 112 ( 1032.2 )22+( 1032.2 )12

(IOA)O=0.414 slug . pie2

Para la barra BC tenemos

(IBC )O=112

ml2+m d2= 112 ( 1032.2 )22+( 1032.2 )22

(IBC )O=1.346 slug. pie2

El momento de inercia del péndulo con respecto a O es, por tanto

IO=0.414+1.346=1.76 slug . pie2

b) El centro de masa G se localizará con respecto al pasador situado en O. Si

suponemos que esta distancia es y, usamos la fórmula para determinar el centro

de masa tenemos:

y=∑ y̌

∑m=1( 1032.2 )+2( 1032.2 )( 1032.2 )+( 1032.2 )

=1.5 pies

El momento de inercia IG puede calcularse de la misma manera que IO, lo cual

requiere aplicaciones sucesivas del teorema de Steiner para transferir los momentos de inercia de la barras OA y BC. Sin embargo, una solución más directa

significa aplicar el teorema de Steiner con el resultado de IO determinado

anteriormente, es decir:

IO=IG+m d2

1.76=IG+( 1032.2 )1.52

IG=0.362 slug. pie2

EJERCICIO N°03 (Libro: “Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber; problema 9.11, página 521):Determine el Momento de Inercia de un cono circular recto con respecto a:

a) Su eje longitudinalb) Un eje que pasa a través del ápice del cono y que es perpendicular a su eje

longitudinalc) Un eje que pasa a través del centroide del cono y que es perpendicular a su

eje perpendicular.

Solución:Se selecciona el elemento diferencial de masa mostrado en la figura:

r=axh

dm=ρπ r2dx= ρπa2

h2x2dx

a) Momento de inercia I x: calculamos el momento de inercia de masa del elemento

diferencial con respecto al eje x.

dI x=12

r2dm=12 (a x

h )2(ρπ

a2

h2x2dx )=12 ρπ

a4

h4x4dx

Integrando desde x = 0 hasta x = h, se obtiene

I x=∫ d I x=∫0

h12

ρπa4

h4x 4dx=1

2ρπ

a4h5

h45= 110

ρπ a4h

Como la masa total del cono es m=13

ρπ a2h, se puede escribir

I x=110

ρπ a4h= 310

a2( 13 ρπ a2h)= 310

m a2

I x=310

m a2

b) Momento de inercia I y: utilizando el mismo elemento diferencial, aplicando el

teorema de Steiner y usando la expresión para un disco delgado:

d I y=d I y '+x2dm= 14

r 2dm+x2dm=( 14 r2+x2)dm

Si se sustituyen las expresiones para r y para dm en la ecuación anterior, se obtiene

d I y=( 14 a2

h2x2+x2)( ρπ

a2

h2x2dx)=ρ π

a2

h2 ( a2

4h2+1)x4dx

I y=∫d I y=∫0

h

ρπa2

h2 ( a2

4 h2+1)x 4dx=ρπ

a2

h2 ( a2

4 h2+1) h5

5

Con la introducción de la expresión para la masa total del cono m, se reescribe I y

de la forma siguiente:

I y=35 ( 14 a2+h2) 13 ρπ a2h

I y=35

m( 14 a2+h2)c) Momento de inercia I y , , : se aplica el teorema de Steiner y se escribe

I y=I y , ,+m x2

Resolviendo para I y , ,

I y , ,=I y−m x2=35

m( 14 a2+h2)−m( 34 h)2

I y , ,= 320

m(a2+ 14 h2)

EJERCICIO N°04 (Libro: “Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber; problema 9.12,página 522):

Una pieza de acero consta de un prisma rectangular de 6 x 2 x 2 in y dos cilindros de 2 in de diámetro y 3 in de longitud, como se muestra en la figura. Si se sabe que el peso específico del acero es de 490 lb/ft3. Determine los momentos de inercia de la pieza con respecto a los ejes coordenados.

Solución:

Calculo de las masas:

Prisma

V=¿

W =(24¿3) (490 lb

ft3 )¿¿

m= 6.81 lb

32.2 ft / s2=0.211 lb . s2/ ft

Cada uno de los cilindros

V=π ¿¿

W =(9.42¿3 )(490 lb

ft3 )¿¿

m= 2.67 lb

32.2 ft / s2=0.0829 lb . s2/ ft

Momentos de inercia: se obtendrán basándonos en las tablas de momento y producto de inercia de casa pieza de la figura. Observe que todas unidades deben estar expresadas en pies.

Prisma

I x=I z=112

(0.211 lbs2

ft)[( 612 ft )

2

+( 212 ft)2]

I x=I z=4.88∗10−3lb . ft . s2

I y=112

(0.211 lbs2

ft)[( 212 ft )

2

+( 212 ft )2]

I y=0.977∗10−3lb . ft . s2

Cada uno de los cilindros

I x=12

m a2+m y2=12

(0.0829 lb . s2/ ft )( 112 ft )2

+(0.0829 lb . s2/ ft )( 212 ft )2

I x=2.59∗10−3 lb . ft . s2

I y=112

m(3a2+L2)+m x2

I y=112

(0.0829 lb . s2/ ft )[3( 12 ft)2

+( 312 ft )2]+(0.0829 lb . s2/ ft )( 2512 ft)

2

I y=4.17∗10−3lb . ft . s2

I z=112

m(3a2+L2)+m(x2+ y2)

I z=112

(0.0829 lb . s2/ ft ) [3 (12 ft )2

+( 312 ft)2]+(0.0829lb . s2/ ft ) [(2512 ft )

2

+( 212 ft )2]

I z=6.48∗10−3lb . ft . s2

Pieza completa, con la suma de los valores obtenidos, (respuestas):

I x=4.88∗10−3+2 (2.59∗10−3 )

I x=10.06∗10−3lb . ft . s2

I y=0.977∗10−3+2 (4.17∗10−3 )

I y=9.32∗10−3 lb . ft . s2

I z=4.88∗10−3+2 (2.48∗10−3 )

I z=17.84∗10−3 lb . ft . s2

EJERCICIO N°05 (Libro: “Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber; problema 9.14, página 538):Considere un prisma rectangular de masa m y lados a, b y c. determine:Los momentos y productos de inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados.

Solución:

Momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados: al introducir los ejes centroidales x’, y’ y z’, respecto a los cuales están dados los momentos de inercia en las tablas dadas, se aplica el teorema de los ejes paralelos.

I x=I x'+m ( y2+z2 )= 112

m (b2+c2 )+m( 14 b2+ 14

c2)I x=

13

m (b2+c2 )

En forma similar para I y y I z

I y=13

m (c2+a2 )

I z=13

m ( a2+b2 )

Productos de inercia con respecto a los ejes coordenados: debido a la simetría, los productos de inercia con respecto a los ejes centroidales x’, y’ y z’, son iguales a cero y dichos ejes son ejes principales de inercia.

I xy=I x' y '+m x y=0+m( 12 a)(12 b)I xy=

14

mab

En forma similar para I yz y I zx

I yz=14

mcb

I zx=14

mca

BIBLIOGRAFÍA

“MECÁNICA”, Autor: Ausberto R. Rojas Saldaña; Editorial Publicaciones Moshera S. R. L Lima – Perú

“ingeniería Mecánica - Dinamica”, decimosegunda Edición, Autor: R.C. Hibbeler;

“ingeniería Mecánica - Estatica”, decimosegunda Edición, Autor: R.C. Hibbeler;

“Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, octava Edición; Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber

Web:

http://es.wikipedia.org/htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/htm