UNIVERSIDAD INSDUSTRIAL DE SANTANDER

ESCUELA DE FÍSICA

FACULTAD DE CIENCIAS

L10. Momento de Inercia II

Profesor:

Mauricio Suárez Durán

Presentado por:

Marco Stefano Galvis Peña 2130060

Edwin Salcedo Cárdenas 2130958

Grupo B5A

Martes 3 de febrero de 2015

Segundo semestre académico de 2014

Bucaramanga, Santander, Colombia

INTRODUCCION

El siguiente informe muestra los análisis y los resultados de los datos obtenidos

experimentalmente en la práctica sobre momentos de inercia II, en donde la

medición del periodo de oscilación de masas unidas a un eje detorsión, en

función de la distancia al mismo, permite hallar la proporcionalidad del

momento de inercia y la constante del eje de torsión. Es importante lograr el

cálculo de los datos para así comparar los datos teóricos con los experimentales.

OBJETIVOS

* Medir el periodo de oscilación de una varilla transversal delgada con masas

adosadas y unida a un eje de torsión, en función de la distancia de las masas al

eje de rotación y verificar la proporcionalidad del momento de inercia de las

masas respecto del cuadrado de la distancia.

* Determinar la constante del eje de torsión.

* Determinar los momentos de inercia de cuerpos de simetría de rotación en

base a su periodo de oscilación sobre un eje de torsión.

* Comparar los periodos de oscilación de dos cuerpos de distinta masa pero de

igual momento de inercia-

* Comparar los periodos de oscilación para cuerpos huecos de igual masa e

iguales medidas y el periodo de oscilación de dos cuerpos con masas iguales

pero distintas dimensiones.

* Determinar el momento de inercia de un disco para distintas distancias entre

el eje de rotación y el de simetría y verificar el cumplimiento del Teorema de

Steiner (Teorema de los ejes paralelos).

MARCO TEORICO

Fundamentalmente es necesario tener conocimiento pleno de lo que es el

momento de inercia, el cual es una magnitud que da cuenta de cómo es la

distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno

de sus puntos. En el movimiento de rotación, este concepto desempeña un papel

análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo uniforme.

Representa la inercia de un cuerpo al rotar. El momento de inercia (escalar) de

una masa puntual rotando alrededor de un eje conocido se define por

𝐼 = 𝑚𝑟2

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia mínima entre ella y el eje de

rotación. Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la

suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un

sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido.

Matemáticamente se expresa como:

∑𝑚𝑖𝑟𝑖2

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo). Lo anterior se generaliza

como:

∫ 𝑟2𝑑𝑚 = ∫ 𝑝𝑟2

𝑣

𝑑𝑉𝑣

Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de

masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la

resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento

de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación

Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton 𝑎 = 𝐹 𝑚⁄ tiene como equivalente

para la rotación:

𝜏 = 𝐼𝛼

Donde 𝜏 es el momento aplicado al cuerpo. 𝐼 Es el momento de inercia del

cuerpo con respecto al eje de rotación y 𝛼 =𝑑2Ɵ

𝑑𝑡2 es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad 𝑣 es 1

2𝑚𝑣2,

mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad

angular ω es 1

2𝐼𝑤2 . Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de

rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por

equivalente la conservación del momento angular �⃑� .

�⃑� = 𝐼�⃑⃑�

El vector momento angular tiene la misma dirección que el vector velocidad

angular �⃑⃑� .

En esta práctica el momento de inercia queda determinado a partir del periodo

de oscilación de un eje de torsión, en el que se ha insertado el cuerpo de prueba

y que está unido con el soporte mediante un resorte espiral. El sistema es

excitado para obtener oscilaciones armónicas. A partir del periodo de oscilación

T y con el factor direccional angular D se calcula el momento de inercia I del

cuerpo de prueba según la fórmula: 𝐼 = 𝐷𝑇

2𝜋

2

En uno de los experimentos se determina el momento de inercia de una “masa

puntual” en función de la distancia r al eje de rotación. Para ello se usa una

varilla con dos masas situadas simétricamente.

En otro experimento se comparan los momentos de inercia del cilindro hueco,

con el cilindro macizo y la bola maciza.

En un último experimento se realiza la verificación experimental del teorema

de Steiner tomando como ejemplo un disco circular plano. Para ello se miden

los momentos de inercia a diferentes distancias del eje de rotación respecto al

centro de gravedad y se compara con el momento de inercia alrededor del centro

de gravedad.

EQUIPO

- Un eje de torsión.

- Una esfera.

- Un juego de cilindros.

- Un disco para el eje de torsión.

- Un trípode pequeño en forme de v.

- Un cronometro.

- Una balanza.

- Un calibrador.

- Regla.

CALCULOS Y ANALISIS DE DATOS

Parte 1.

30 900 19,86 20,86 20,05 19,76 20,1325 20,1325 ± 0,2885 6,71 ± 0,0962 45,035284

25 625 16,72 16,89 16,82 16,91 16,835 16,835 ± 0,0496 5,61 ± 0,0165 31,4908028

20 400 13,93 13,81 14,04 13,76 13,885 13,885 ± 0,0725 4,63 ± 0,0242 21,4214694

15 225 10,86 10,88 10,93 11,01 10,92 10,92 ± 0,0386 3,64 ± 0,0129 13,2496

10 100 8,33 8,76 8,54 8,43 8,515 8,515 ± 0,1065 2,84 ± 0,0355 8,05613611

5 25 6,7 6,57 6,58 6,39 6,56 6,56 ± 0,7379 2,19 ± 0,0246 4,78151111

Sin masas 0 5,84 5,91 5,82 5,75 5,83 5,83 ± 0,0380 1,94 ± 0,0127 3,77654444

Masa adosada = 240g

Para n = 3 oscilaciones

𝑟 𝑚 𝑟 𝑚2

1 2

=

2 2

2. Grafica de T2 en función de r2, la cual permite comprar los valores

obtenidos de r2 y T2

3. Utilizando la regresión lineal y a partir de la gráfica anterior se calculó el

valor de la pendiente y la ecuación dela recta que mejor se ajusta a los puntos

graficados es:

m= 0.0456 y=0.0456x +3,4256

Se concluyó que el factor de correlación nos proporciona la dispersión de los

datos con respecto a la ecuación y=0.0456x +3,4256 ya que este valor es muy

cercano a 1 y es 0.9993, indica que hay relación entre las variables, es decir,

que tanto se ve afectado el resultado Y al modificar X, por consiguiente, si la

r^2 es baja el modelo no es confiable porque no existe una fuerte relación

entre X y Y. En nuestro análisis tenemos una relación casi perfecta con los

datos.

y = 0,0456x + 3,4256

R² = 0,9993

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

T^2

[s^

2]

r^2 [cm^2]

T^2 vs r^2

= √∑(ti−t )

2

n−1ni=1

= √(19.86 − 20.1325)2 + (20.86 − 20.1325)2 + (20.05 − 20.1325)2 + (19.76 − 20.1325)2

3

= 0.2885

4. A partir de la pendiente de la recta a de la ecuación formulada para hallar la

constante de torsión, se obtuvo el valor de la misma y el error absoluto al

calcularla.

𝑚 =8𝑀𝜋2

𝐷

𝐷 =8𝑀𝜋2

𝑚

𝐷 =8𝑀𝜋2

𝑚

𝐷 =8 ∗ 240𝜋2

0.0456= 415562.2906

PARTE 2.

1

2. Se calculó el momento de inercia I con base a los periodos de oscilación T de

la tabla anterior, utilizando la constante de torsión calculada en el numeral 4 de

la parte 1, este dato se encuentra en la tabla 2.

𝐼𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 𝐷 (𝑇

2𝜋)2

𝐼𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 415562.291 (1. 725

2𝜋)2

𝐼𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 19829.01

𝐼𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 =2

5𝑀𝑅2

𝐼𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 = 20186.04

%𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑖𝑎 = |20186.04 − 19829.01

20186.04| ∗ 100 = 1.76%

Esfera maciza 1029,9 14 4,13 4,19 4,07 4,08 4,1175 4,117 ± 0,0318 1,372 ± 0,0105 19829,01 20186,04 1,768698

Cilindro chato 369,2 22,4 4,64 4,52 4,48 4,35 4,4975 4,497 ± 0,0690 1,499 ± 0,0230 23652,64 23156,22 2,143786

Cilindro alto 356,5 9 2,27 2,3 2,16 2,38 2,2775 2,277 ± 0,0525 0,759 ± 0,0175 6065,6 3609,563 68,04266

Cilindro hueco 350,5 8,5 2,73 2,81 2,98 2,65 2,7925 2,792 ± 0,0814 0,930 ± 0,0271 9119,88 6330.91 44,05322

Soporte vacio 1,37 1,24 1,14 1,33 1,27 1,27 ± 0,0590 0,4233 ± 0,196 1886,13

Para n = 3 oscilaciones

𝑒𝑟𝑝 2R 𝑚

1 2

=

𝐼 𝑚2

𝑀 𝐼𝑀𝑅2⁄ % 𝑟𝑟 𝑟

3. Se calculó los factores adimensionales de los momentos de inercia a partir de

la fórmula para cada cuerpo.

𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 = 𝑀𝑅2

𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 =1

2𝑀𝑅2

𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑎 =2

5𝑀𝑅2

Con los datos que se obtuvieron en el laboratorio practico de momento de

inercia II, se realizaran cálculos que permitirán entender lo que ocurre con el

momento de inercia a partir de la teoría y se registraron en la anterior tabla:

estos datos están relacionados con las formulas vistas anteriormente.

Parte 3.

Cuerpo M(g) 2R[c

m]

T1[

s]

T2[

s]

T3[

s]

T4[

s] 𝛿 [ ]

=

𝛿 [ ]

𝐼[ 𝑚2] 𝐼/𝑀𝑅2

𝐼/𝑀𝑅2

%

Er

ro

r

Esfera

Maciza

959,2 14 4,1

3

4,1

9

4,0

7

4,0

8 4,11 0.0

4

1,37

0,0

1

223

5,5

1880

0,32

2

5𝑀𝑅2

88

.1

Cilindro

Macizo

370,5 2,1 4,6

4

4,5

2

4,4

8

4,3

5 4,49 0,0

8

1,49

0,0

33

264

4.2

2042

3,81

1

2𝑀𝑅2

87

,0

5

Cilindro

macizo alto

357,7 8.5 2,2

7

2,3

0

2,1

6

2,3

8 2.27 0,0

6

0,75

0,0

2

669,

97

3154,

91

1

2𝑀𝑅2

78

,1

2

Cilindro

hueco

352,5 8,5 2,7

3

2,8

1

2,9

8

2,6

5 2,79 0.1 0,93

0,0

4

103

0,15

6218,

1 𝑀𝑅2 83

,4

Soporte

vació

116,6 9,62 1,3

7

1,2

4

1,1

4

1,3

3 1,27 0,0

8

0,42

0,0

33

--- ------ ----

Ahora por otra parte se comprobara el teorema de Steiner el cual permite

calcular el momento de inercia en relación a un eje que es paralelo al eje de

rotación .Teniendo los datos sobre el Disco, obtuvimos unos ciertos datos

registrados a partir de un laboratorio realizado, y por consiguiente se completó

la siguiente tabla de la siguiente manera:

Se registraron los tiempos de acuerdo a tres oscilaciones, se halló un promedio

de los tiempos y se calculó sus respectivos errores de medida:

Masa del disco

Radio disco R:

T1 [s] T2[s] T3[s] T4[s] ̌ 𝛿 [ ]

= ̌

𝛿 [ ]

(

2𝜋) [ 2]

𝐼𝐴[ 𝑚2]

a [cm] 𝑎2[ 𝑚2] N= 3 oscilaciones

O 0 10,36 10,96 10,01 10,65 10,49

3,49 0,14 0,55 14507

,3

2 4 10,83 10,76 10,91 10,98 10,87

3,62 0,03 0,57 15608

,2

4 16 10,86 10,77 11,06 11,07 10,94

3,64 0,05 0,579 15781

,1

6 36 11,59 11,72 10,92 11,80 11,50

3.83 0,13 0,60 17471

,6

8 64 12,92 12,65 12,54 12,11 12,55

4,18 0,1 0,66 20810

,7

16 256 16,20 16,50 16,51 16,59 16,45

5,48 0,05 0,87 35768

,1

Esta grafica representa la relación entre la distancia y la consecuencia de esto,

es decir su momento de inercia y por lo tanto permite calcular el valor de la

pendiente, el factor de correlación y la pendiente de la misma demuestra la

variación del momento de inercia con respecto al eje de torsión indicando la

proporcionalidad existente de acuerdo a la teoría o teorema de Steiner.

y = 82,199x + 14840R² = 0,9967

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 50 100 150 200 250 300

IA [

g^2

]

a^2 [cm^2 ^]

a^2 VS IA

Series1

Lineal (Series1)

Conclusiones:

Se verifico la proporcionalidad del momento de inercia de los cuerpos

respecto a la distancia y así también poder determinar la constante de

torsión.

Los cálculos a partir de los datos obtenidos y las formulas teóricas

permiten ver una vez más los errores al tomar medidas indirectas,

también permiten ver que la teoría en el momento de inercia se cumple.

Se logró determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas

similares y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos

gracias a la distribución de masas.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia

https://www.youtube.com/watch?v=DERoxBMugK0

https://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/Problemas/Momentos_de_i

nercia07.pdf