Los nmeros irracionales

Presentado a:Sonia BravoPresentado por: Saray Daniela CndeloGrado: 8CLos nmeros irracionales

INTRODUCCION

que son nmeros irracionales?Clasificacin de nmeros irracionalespropiedades de los nmeros irracionalessuma,resta,multiplicacion,divicion,potenciacion,radicacion.ejemplos de nmeros irracionales

Qu son los nmeros irracionales?Nmero irracionalEn matemticas, un nmero irracional es un nmero que no puede ser expresado como una fraccin \frac{m}{n}, donde m y n son enteros y n es diferente de cero. Es cualquier nmero real que no es racional.

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasion una convulsin en el mundo cientfico antiguo. Provoc una ruptura entre la geometra y la aritmtica de aquella poca, ya que esta ltima, por entonces, se sustentaba en la teora de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstculo distinguiendo entre el concepto de nmero y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos ltimos como elementos bsicos para sus clculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrn de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los nmeros irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos nmeros.3

No existe una notacin universal para indicarlos, como {I}, que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Nmeros Irracionales no constituyen alguna estructura algebraica, como s lo son los Naturales ({N}), los Enteros ({Z}), los Racionales ({Q}), los Reales ({R}) y los Complejos ({C}), por un lado, y que la {I} es tan apropiada para designar al conjunto de Nmeros Irracionales como al conjunto de Nmeros Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusin.

Clasificacin de nmeros irracionales

Tras distinguir los nmeros componentes de la recta real en tres categoras: (naturales, enteros y racionales), podra parecer que ha terminado la clasificacin de los nmeros, pero an quedan "huecos" por rellenar en la recta de los nmeros reales. Los nmeros irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacos que dejan los nmeros racionales.

Los nmeros irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperidicas. De este modo, puede definirse al nmero irracional como una fraccin decimal aperidica infinita.4 En general, toda expresin en nmeros decimales es solo una aproximacin en nmeros racionales al nmero irracional referido, por ejemplo, el nmero racional 1,4142135 es solo una aproximacin a 7 cifras decimales del nmero irracional raz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no peridicas.

Entonces, decimos con toda propiedad que el nmero raz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jams terminaramos de escribir.

Debido a ello, los nmeros irracionales ms conocidos son identificados mediante smbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

\pi (Nmero "pi" 3,14159...): razn entre la longitud de una circunferencia y su dimetro.e (Nmero "e" 2,7182...): \lim _{n \to +\infty} \left( 1 + \frac {1}{n}\right) ^{n}\Phi (Nmero "ureo" 1,6180...): \frac{1 + \sqrt{5}}{2}las soluciones reales de x2 - 3 = 0; de x5 -7 = 0; de x3 = 11; 3x = 5; sen 7, etc5Los nmeros irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Nmero algebraico: Son la solucin de alguna ecuacin algebraica y se representan por un nmero finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese nmero, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuacin algebraica de cierto grado. Todas las races no exactas de

cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el nmero ureo es una de las races de la ecuacin algebraica \ x^{2}-x-1=0, por lo que es un nmero irracional algebraico.

2.- Nmero trascendente: No pueden representarse mediante un nmero finito de races libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonomtricas, logartmicas y exponenciales, etc.) Tambin surgen al escribir nmeros decimales no peridicos al azar o con un patrn que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

\ 0,193650278443757...\ 0,101001000100001...Los llamados nmeros trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solucin de ninguna ecuacin algebraica. Los nmeros pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los nmeros irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyeccin con el conjunto de los nmeros naturales. Por extensin, los nmeros reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

Propiedades de los nmeros irracionalesLa suma y la diferencia de un nmero racional y de un nmero irracional es un nmero irracional.El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un nmero irracional.El cociente de un racional ( 0) entre un irracional es un nmero irracional.El inverso de un nmero irracional es nmero irracional.Sea un binomio, formado por un racional ms un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonomtricas, la inmensa mayora no numerable, son irracionales.El nmero de Gelfand ( 2 elevado a la raz cuadrada de 2 ) es un nmero irracional trascendente6la raz cuadrada de un nmero natural no cuadrado perfecto es un nmero irracional; tambin lo es la raz ensima de un natural p que no es potencia ensima.Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un nmero irracional7Las razones trigonomtricas de un ngulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del tringulo rectngulo sean racionales.8

Nmeros irracionalesUn nmero irracional es un nmero que no se puede escribir en fraccin - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un nmero irracional. El valor de Pi es3,1415926535897932384626433832795 (y ms...)Los decimales no siguen ningn patrn, y no se puede escribir ninguna fraccin que tenga el valor Pi.Nmeros como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razn (o fraccin),no porque est loco!Racional o irracionalPero si un nmero se puede escribir en forma de fraccin se le llama nmero racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fraccin as19/2 = 9,5as que no es irracional (es un nmero racional)Aqu tienes ms ejemplos:

Nmeros En fraccin Racional oirracional?5 5/1 Racional1,75 7/4 Racional.001 1/1000 Racional2(raz cuadrada de 2) ? Irracional!

Ejemplo: La raz cuadrada de 2 es un nmero irracional?Mi calculadora dice que la raz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los nmeros se repitan.

No se puede escribir una fraccin que sea igual a la raz de 2.

As que la raz de 2 es un nmero irracional

Nmeros irracionales famosos

Pi es un nmero irracional famoso. Se han calculado ms de un milln de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El nmero e (el nmero de Euler) es otro nmero irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningn patrn. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

phi La razn de oro es un nmero irracional. Sus primeros dgitos son:

1,61803398874989484820... (y ms...)

sbolo radical Muchas races cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos:

3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero 4 = 2, y 9 = 3, as que no todas las races son irracionales.

Nmeros IrracionalesEl concepto de nmeros irracionales proviene de la Escuela Pitagrica, que descubri la existencia de nmeros irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llam en primer lugar nmeros inconmensurables.

Definicin de nmeros irracionales

Qu son nmeros irracionales? Los nmeros irracionales tienen como definicin que son nmeros que poseen infinitas cifras decimales no peridicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos nmeros pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado segn el Teorema de Pitgoras, siendo el resultado el nmero

2

, o raz cuadrada de dos, el ejemplo de nmeros irracionales ms claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una racin o varias raciones o fracciones.Para distinguir los nmeros irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los nmeros racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un nmero racional a diferencia de la raz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito nmero de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Podras intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y segn el nmero de decimales con la cual la tengas programada, obtendrs algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de 2 con siete decimales, pero la cifra se ir alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los nmeros irracionales como un decimal infinito no peridico, es decir que cualquier representacin de un nmero irracional, solo es una aproximacin en nmeros racionales.

Notacin de los nmeros irracionales

La representacin grfica de los nmeros irracionales se la hace con la letras maysculas as: R - Q. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los nmeros imaginarios, cuya representacin es la i minscula. Pero el smbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusin, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representacin de nmeros irracionales por definicin.

Existen algunos casos especiales de nmeros irracionales famosos que tienen su propia notacin y simbologa, estos casos sern tratados posteriormente.

Propiedades de los nmeros irracionales

Adems de ser un nmero infinito decimal no peridico, los nmeros irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicacin se cumple la propiedad conmutativa segn la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, + = +; as como en la multiplicacin, =.

Propiedad asociativa: donde la distribucin y agrupacin de los nmeros da como resultado el mismo nmero, de manera independiente a su agrupacin, siendo (+)+e=+ (+e); y de la misma manera con la multiplicacin, () e= (e).

Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicacin, divisin o potenciacin de un nmero irracional, siempre ser un nmero irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicacin.

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de nmeros irracionales, es decir que para cada nmero tiene su negativo que lo anula, por ejemplo -=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir 1/=1.

La multiplicacin es distributiva en relacin a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) =3+2=5.

Clasificacin de los nmeros irracionales

Dentro de la recta real numrica existen varios conjuntos de nmeros, pero dentro de los nmeros irracionales hay ms tipos para clasificar, estos son:

Nmero algebraico.- se les llama as a los nmeros irracionales que surgen de resolver alguna ecuacin algebraica y se escribe con un nmero finito de radicales libres o anidados. En general, las races no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las races cuadradas, cbicas, etc.

Nmero trascendente.- este es un nmero irracional que no puede ser representado a travs de un nmero finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometra, logaritmos, exponenciales, etctera. Aunque tambin pueden surgir de la simple accin de escribir nmeros decimales al azar sin periodicidad y sin un patrn determinado, podemos decir que son decimales infinitos.

Este ltimo tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuacin algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificacin porque no tienen una representacin con un nmero radical.

Nmeros irracionales famosos

Como se mencionaba anteriormente, existen nmeros irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones especficas, algunos de ellos son:

Pi, o como se lo conoce mejor con su smbolo , este es el ms conocido de los nmeros irracionales, y se utiliza en su mayora para matemticas, fsica e ingeniera. Su valor es el cociente entre la longitud o permetro de la circunferencia y la longitud de su dimetro. De l se han calculado millones de cifras decimales y an sigue sin ofrecer un patrn. La aproximacin de su nmero es 3.141592653589...

Numero Irracional Pi

e es otro nmero irracional famoso, utilizado en clculo ms que nada, es llamado tambin nmero de Euler, y de l tambin se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repeticin peridica. Sus primeros decimales son 2,718281828459

El nmero ureo o razn de oro, representado con la letra griega o phi tambin es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximacin es 1,618033988749

Ejemplos de nmeros irracionales

En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados nmeros irracionales algebraicos con ejemplos, ya habamos hablado de 2 o raz cuadrada de dos que resulta de una ecuacin algebraica, pero tambin tenemos otros ejemplos que podran resultar son:

1+32y

1+34

Por otro lado, tenemos a los nmeros irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no peridicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaramos escribiendo nmeros durante toda la eternidad, as:0,19613254548981613768132687437819376934987490,01001000100001000001000000100000001000000001

suma,resta,multiplicacin,divicin,radicacin y potenciacin en nmeros irracionales

sumaPara definir el nmero uno es una tarea bastante difcil, pero todos tenemos un buen sentido intuitivo de lo que la "unidad" es. La unidad es la propiedad de tener o pensar de una cantidad nica. Por ejemplo, piensa en cuando usted tiene un dlar, un Kilogramo de papas, o un ao luz. Desde aqu se puede definir recursivamente los nmeros naturales mediante la asignacin de un nuevo nombre para cada nuevo nmero de unidades que tenemos:

1unidaduno21 + 1dos31 + 1 + 1tresn1 + 1 + + 1enes

tenemos:

Ahora que hemos nombrado los nmeros podemos definir adems el proceso de contar el nmero de unidades que tenemos. Por ejemplo,

RestaSustraccin igualmente puede ser definida como recuento de la cantidad inicial de unidades y la eliminacin de una cierta cantidad. Por ejemplo:

significa, teniendo 5 unidades quitarle 3 unidades, dejando un resultado de 2 unidades.

MultiplicacinLa multiplicacin es una forma abreviada de adicin repetida. Por ejemplo: Lo que esto significa es sumar tres cinco veces, o sumar cinco en tres ocasiones.

Tenga en cuenta que en algunas regiones y de los casos, es mejor usar el smbolo de la cruz o la letra "x" en lugar del punto.

DivisinDivisin es la operacin opuesta a la multiplicacin.

El problema de divisin superior se pregunta si seis es 1 +1 +1 +1 +1 +1, y tres es 1 +1 +1, entonces en cuntos juegos de tres podemos separar a seis? La respuesta es, por supuesto 2, ya que

En la divisin es en la primera operacin en la que surge un problema. En todas las operaciones previamente definidas (adicin, sustraccin y multiplicacin) podramos realizar la operacin en cualquier par de nmeros que elegimos. Sin embargo, en la divisin no se puede dividir por cero. Mucho se dijo sobre este hecho a lo largo de la historia, e incluso a travs de sus estudios en toda la matemtica.

PotenciacinLas potencias son una abreviatura utilizada para lamultiplicacin repetida. Recuerde que cuando se introdujo por primera vez la multiplicacin, era como una abreviatura de adicin repetida. Por ejemplo, usted aprendi que:4 5 = 5 + 5 + 5 + 5. La expresin" 4", nos cont las veces que tuvimos que aadir. Los exponentes son el mismo tipo de taquigrafa para la multiplicacin. Los exponentes se escriben en superndice despus de un nmero de tamao normal. Por ejemplo:23= 2 x 2 x 2. El nmero en letra ms grande se llama la base. El nmero en superndice (es decir, el nmero ms pequeo escrito anteriormente) es el exponente. El exponente nos dice cuantas veces la base se multiplica por s mismo. En este ejemplo, la base es2y el exponente es3.

La expresin23se lee en voz alta como"2 elevado a la tercera potencia", o simplemente"2 al cubo".

En general, un exponente de un nmero a la potencia den:; a x a x a ...= La base es"a"y es multiplicado por s mismonveces

stos son algunos otros ejemplos:6 6 = 62(Esto se leera en voz alta como "seis veces seis es seis elevado a la segunda potencia", o ms simplemente "seis veces es seis al cuadrado.) "7 7 7 7 = 74(Esto se leera en voz alta como "siete veces siete veces siete veces siete es igual a siete elevado a la cuarta potencia." No hay alternativa para la expresin elevada a la cuarta potencia. Slo los poderes segunda y tercera que por lo general reciben abreviado porque vienen ms a menudo. Cuando est claro lo que se est hablando, la gente suele dejar caer las palabras "elevadas" y "potencia" y podra simplemente decir "siete a la cuarta".

RacesLas races son la operacin inversa para exponentes. Es fcil, aunque tal vez tedioso, para calcular los exponentes dados una raz. por ejemplo7*7*7*7 = 49*49 = 2401. Por lo tanto, sabemos que la raz cuarta de2401es7, y la raz cuadrada de2401es49.Cul es la raz tercera de 2401?Encontrar el valor de una raz en particular es difcil. Esto se debe a la exponenciacin es un tipo diferente de la funcin de suma, resta, multiplicacin y divisin. Cuando nosotros, graficamos funciones veremos que los polinomios que utilizan curvas exponenciales de uso en lugar de lneas. Usando lgebra veremos que no todos estos polinomios son funciones, que saber cundo un polinomio es una relacin o una funcin nos puede permitir hacer ciertos tipos de supuestos, y podemos utilizar estos supuestos para construir modelos mentales de los temas que de otra manera imposible de entender.Por ahora nos ocuparemos de races, al convertirlos de nuevo en exponentes.La raz n-sima positiva de se representa como . Nos deshacemos de la raz, elevando nuestra respuesta a la ensima potencia quedando La nocin denmeroes una de las ms fundamentales en matemticas. Su origen se remonta a la antigedad y a travs de los siglos ha pasado por un proceso de extensin y de generalizacin de los nmeros reales...

En el campo de laaritmtica, cada nmero tiene un valor definido, as 30 siempre va a valer treinta, el smbolo del valor absoluto de un nmero se representa as:siendo n cualquier nmero entero, negativo o positivocabe resaltar que el valor de un nmero, est precedido por el signo ms o el signo menos, siempre ser el mismo:de esto se deduce que:esto es porque el valor absoluto indica la distancia que hay en la recta numrica entre cualquier nmero y 0, y sea el nmero positivo o negativo, la distancia es la misma.Como ya vimos en la clasificacin de las cantidades, los Nmeros Racionales, que sern estudiados a profundidad en este captulo, se clasifican en ENTEROS y FRACCIONARIOS. Un nmero entero es, por ejemplo, 2, mientras que 0,5 12 es un nmero fraccionario, que se puede escribir de esas dos maneras.

ejemplos de nmeros irracionales1. 31 = 5.56776436283002192211947129891852. 999 = 31.6069612585582165452042139856993. 2 = 1. 41421356237309504880168872420969807856964. 3 = 1.73205080756887729352744634150595. = 3,141592653589793238466. = 1.6180339887498948482045868347. El nmero e (el nmero de Euler) 2,71828182845904523536028747135278. 5 = 2.23606797749978969640917366873139. 7 = 2.645751311064590590501615753639310. 11 = 3.3166247903553998491149327366707

11. 13 = 3.605551275463989293119221267470512. 122 = 11.04536101718726077421091384334413. 15 = 3.872983346207416885179265399782414. 17 = 4.123105625617660549821409855974115. 21 = 4.58257569495584000658804719372816. 22 = 4.690415759823429554565630113544517. 23 = 4.795831523312719541597438064162718. 101 = 10.0498756211208902702192649127619. 500 = 22.36067977499789696409173668731320. 999 = 31.606961258558216545204213985699

21. 1000 = 31.62277660168379331998893544432722. 1001 = 31.63858403911274914310629158480123. 9 = 2.08008383051904114530056824357924. 6 =1.81712059283213965889121175637325. 5 = 1.709975946676696989353108872543926. 7 = 1,912931182772389101199116839548827. 3 = 1,442249570307408382321638310780128. 12 = 2,289428485106663735616084423879429. 13 = 2,351334687720757489500016339956930. 33 = 3,2075343299958264875525151717195