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Walter Orlando Gonzales Caicedo

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

1.1. NÚMEROS REALESEl conjunto de los números

reales está formado por los llamados números naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. La característica, quizá la más importante, es poder representar cualquier número real sobre una recta y a su vez, saber que cada punto de una recta puede ser designado por un número real. A esta correspondencia se le llama “RELACIÓN BIUNÍVOCA” porque para cada número real hay un punto en la recta y para cada punto en la recta hay un número real.

Denominamos número real a:

Todo número racional (número decimal finito o número decimal infinito periódico), y A todo número irracional (número

decimal infinito no periódico)Observaciones:

Denotaremos el conjunto de los números reales por

Tenemos que:

R = Q U I Q R I R Q I =

A. Axiomas de Igualdad de los Números Reales:Consideremos los siguientes axiomas de igualdad válidos en todo conjunto numérico:

a. Reflexividad: Para todo número real :

b. Simetría: Cualesquiera sean los números reales e :

c. Transitividad: Cualesquiera sean los números reales :

B. Axiomas de la Adición y Multiplicación en R

Veamos los números reales conformando un sistema; es decir, como un conjunto provisto de dos operaciones (adición y multiplicación) y de una relación de orden ( ), que gozan de ciertas propiedades básicas o axiomas, que admitiremos como verdaderas. De los axiomas se deducen o demuestran otras propiedades que denominaremos teoremas. Al emplear un conjunto de axiomas para caracterizar los números reales como sistema, decimos que el sistema de los números reales es construido siguiendo el método axiomático. Escribiremos (R, +; *) cuando tengamos que referirnos al sistema algebraico de los números reales.

C. Axiomas de la Adición

A1. La adición en R goza de la propiedad de clausura:

A2. La adición en R es asociativa:

www.goncaiwo.wordpress.com


A3. Existe en R un elemento neutro aditivo 0 (el cero real) tal que:

A4. Todo número real admite un inverso (aditivo) u opuesto

, que satisface:

A5. La adición en R es conmutativa:

D. Axiomas de la MultiplicaciónM1. La multiplicación en R goza de la propiedad de clausura: M2. La multiplicación en R es asociativa:

M3. Existe en R un elemento neutro multiplicativo 1 (el uno real, diferente de cero) tal que: M4. Todo número real no nulo x admite un inverso (multiplicativo)

o recíproco que satisface:

M5. La multiplicación en R es conmutativa:

E. Axioma de Distributividad

D1. En R, la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, es decir:

1.2. ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES

A. Axiomas de la Relación de Orden

Ley de la Tricotomía: Dados x, y R entonces, se cumple una solamente una de las relaciones: x < y, x = y ó y < x. Ley Transitiva: x, y, z R,

se cumple que: Si x < y ¿ y < z ⇒ x < z Si x < y entonces x+ z < y +

z, para todo z R Si x < y entonces 0 < z

entonces: x.z < y.zObservación: El sistema de números reales es ordenado con respecto a la relación (<), es decir: Si y son números reales cualesquiera, decimos que:

1. es menor que , y escribimos es positivo.

2. es mayor que , y escribimos si es menor que .

1.3. INTERVALOS

Si a,b Є R son tales que , llamaremos intervalo abierto de

extremo al conjunto de números reales, que

representamos por , y definimos por :]a ,b [={x∈R :a<x<b } Nótese que si , entonces ]a ,b [=φ

Si a ,b∈R son tales que , llamaremos intervalo cerrado de

extremos al conjunto de números reales que



representamos por , y se

define por [ a ,b ]={x∈R : a≤x≤b}

Si [ a ,b ]={x∈R : a≤x≤b} son tales que , llamaremos:o Intervalo abierto por la

izquierda de extremos al

conjunto ]a ,b [={x∈R :a<x≤b}o Intervalo abierto por la

derecha de extremos al

conjunto [ a ,b[={x∈R : a≤x<b}o Intervalo infinito abierto por la

derecha en ]−¿ , a[={x∈ R : x<a}o Intervalo infinito cerrado por

la derecha en ]−¿ , a[={x∈ R : x≤a}o Intervalo infinito abierto por la

izquierda en ]a ,+¿ [={x∈R : x>a}o Intervalo infinito cerrado por

la izquierda en [ a ,+¿[={x∈ R: x≥a}

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN

I. Aplicando los axiomas de la multiplicación y adición en R, resolver:

1. Para qué valor de "x" se cumplirá

la igualdad: 5649

= x49

+1

2. Se tiene:a) 3.2 es un número real.b) 1.78205028 es un número

racional.c) Si a R+, entonces - a R+

d) 3+5 es un número irracional.

e) Si a, b R y 0 < a < b entonces 1/b >1/a

Indica cuáles son verdaderos:

a) a, b y c b) a y b c) b, c y e d) c y e e) a, b y d

3. Determinar el número irracional

en:

m=1+ 1

2+ 1

2+ 1

2+ 1. ..

a) 2 b) 5 c) 3 d) 7

e) 8

4. Hallar el valor de "m" si los números racionales:

32; 3m+1 Son iguales ; m ≠0

a) 5 b) 4 c) 3 d)2

e) 6

5. Un número entero “p” se compone de dos dígitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente, entonces el inverso aditivo de “p” es:a) 10a + b b) -10a + b

c) 10b+ a d) -10a - b

e) -10b – a

6. Si m y n son números naturales impares, entonces es (son) siempre un número par: I. m + n II. m - n III. m.n IV. m + 1a) Solo I b) Solo II y IV c) Solo I y IV d) Solo III y IV e) I, II y IV

7. Si se duplica la expresión 24 se obtiene:



a) 25 b) 28 c) 42 d) 45 e) 46

8. Si “n” es un número tal que n Є Z, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) tres números pares consecutivos?I. 2n, 2n + 1, 2n + 2II. 4n, 4n + 2, 4n + 4III. 2n − 4, 2n − 2, 2na) Solo III b) I y II c) I y

IIId) II y III e) Todas

9. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es racional?

a) 30/0 b) 2/6 c) 0.3 d) 2/-5 e) -1/-(-100)

10. Si m = 4(1/3), p = 8(1/6) y q = 6(1/8), entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

a) m > p b) q > m c) p > md) q > p e) m > q

11. Si a = 1/2 y b = 1/3, entonces 1/(a+b), es: a) 1/2 b) 6/5 c)1/6 d) 6 e)5

12. A que es igual: 11 + 22 + 33

a) 25 b) 26 c) 35 d) 39 e) 66

13. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se obtiene:

a) 0 b) -3 c) -1/2d) 3 e)1/2

14. Hallar el valor de:

W= √5+√3√5−√3

+ √5−√3√5+√3

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

15. Simplificar:

P=[1−√√x+√ y (√x−√ y )√√x−√ y .√x− y ]

12

a) y b) 0 c) -1d) 3 e) –x

16. Calcular el valor de :

E=√(1−12 ) (1−1

3 ) (1− 14 ) . .. (1−1

n )(1+ 1

2 ) (1+ 13 ) (1+ 1

4 ) .. . (1+ 1n )

+ n2+n−2n (n+1)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/2

17. Si el numerador de una fracción aumenta en 2, la fracción resultante es 1/4. Si disminuye el denominador en 6, la fracción es 1/6. ¿Cuál es la fracción inicial?

a) 1/12 b) 3/2 c)-2/3 d) 5/6 e) -1/12

18. ¿Cuál es la fracción que dividida por los 2/3 de su inversa de por cociente 24/25?

a) 4/5 b) 6/5 c) 5/4d) 3/8 e) 1/5

19. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) a.0 = 0b) (-a) (-b) = - (a.b)c) a + ( -b + c) = a - b + c

d) a:( b + c) = (a : b) + (a : c) , siendo b+c ≠ 0 ; b≠0 y c ≠0



e) a - ( b + c) = a - b + cf) a.( -b) = a . bg) a.( b -c) = a.b - a.ch) - ( - a ) = a

20. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) A U D b) A ∩ C c) B – C d) A ∩ (B U C) e) B´ (el complemento de B)f) C´(el complemento de C)

21. Si tienes los intervalos: U=<-4,7> A = <3,7> B = [0,6] y C = [-1,6]Determina el intervalo solución de (A’ ∩ C) ∩ B’

22. Teniendo los conjuntos: A = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤8}

B = {x ∈ R / -5 < x ≤ 5} C = {x ∈ R / -7 ≤ x < 2}

Determina el intervalo que indica la intersección de A, B y C.

23. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R / -5 < x ≤ 4} B = {x ∈ R / (-7 ≤ x ≤ 5) ∩ (0 < x 8)} C = {x ∈ R / (-9 < x < -4) ∪

(4 ≤ x < 11)}Determina A ∩ B ∩ C’

ECUACIONES POLINOMIALES

Ecuación:Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las que aparece una o varias incógnitas. Cuando la igualdad entre las dos expresiones se

verifica para cualquier valor numérico de las incógnitas se llama identidad y no se considera una ecuación.

Ejemplo 1:

a) -2x = 8 es una ecuación con una incógnita

b) x2 - 2x = y – 1 es una ecuación con dos incógnitas

c) La igualdad 3x + 6 = 3(x+2) no se considera una ecuación sino una identidad porque se verifica para cualquier valor de la variable x. En concreto, esta igualdad es cierta para cualquier valor de x debido a la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

Asimismo la igualdad (x+1)2 = x2 + 2x + 1 es una identidad.

En toda la unidad se trabaja en el conjunto de los números reales.

Una solución de una ecuación es un valor numérico de cada una de las incógnitas para los que se verifica la igualdad.

Clases de Ecuaciones Las ecuaciones pueden ser:

A. Polinómicas: Cuando las potencias de las variables son números naturales.

Ejemplos:

x – 12 = 23

3x2 – 5x + 13 = 6

5x3 – 6x + 7 = 3x2

x4 – 5x + 6 = 0

B. Racionales. Cuando hay variables en el denominador.

Ejemplos:



2x−3x+2

+12= 12 x+2

3x−1

+ 1x−2

=8

C. Irracionales. Cuando hay variables dentro de radicales.

Ejemplos:

√3 x−2+2x+3=6

√2x−1+ 3x−1

=12

D. Exponenciales. Cuando las bases son números y en los exponentes hay variables.

Ejemplos:

2x=64

2 x2−3 x+4=8

E. Trigonométricas. Cuando en la ecuación hay funciones trigonométricas.

Ejemplos:

sen 2 x−3cos 2 x=4 senx

1−sen2 x=0,5

F. Logarítmicas. Cuando en la ecuación hay funciones logarítmicas.

Ejemplos:

log 2 x−4= log 2 16

1− ln5 x= ln x

Clasificación de las Ecuaciones Polinomiales.

Ecuaciones Polinómicas de Primer Grado o Lineales: Una ecuación de primer grado es siempre reducida a la forma típica: ax + b = 0; cuya solución

es: x = -

ba ; siendo a y b coeficientes

(números reales o expresiones algebraicas que no contienen a x).Si a 0, entonces la solución es determinada y única.

Si a = 0 y b 0, entonces no hay solución; la ecuación es imposible.

Si a = 0 y b = 0, entonces la solución es infinita: cualquier número; la ecuación es indeterminada.

Ejemplo 1.

Resolver la ecuación: 6x – 5 = 2x + 7

Solución:

6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 5

4x = 12 → x =

124

x = 3 → S. = 3

Ejemplo 2. Resolver la ecuación:

3 x2−2=5 x

4+ 3

5

Solución:

Hallando el M.C.M. a los denominadores de cada sumando, siendo el número 20; desarrollando se obtiene:

30x - 40 = 25x+12

30x -25x = 12+40

5x = 52

x =

525 → S. =

525

Ejemplo 3. Resolver 2x+3=2x+5

Solución:

2x-2x = 5-3

0.x = 2 → x =

20


x=

−b+ √b2−4ac2a


No hay solución, debido a que la ecuación es imposible.

Ejemplo 4:

Resolver 9x-2x+16=7x+14+2

Entonces:

9x-2x-7x = 14+2-16

0.x = → x =

00

Tiene infinitas soluciones, la ecuación es indeterminada.

Ejemplo 5. Resolver:

(x+5x)(x+2) – 3(4x-3) = (5-x)2

Solución:

( x+5)( x+2)−3(4 x−3)=(5−x )2

x2+7 x+10−12 x+9=25−10 x+ x2

x2−x2+7 x−12 x+10 x=25−10−9 5x = 6

x = 6/5 → S = 6/5

Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado: Una ecuación de segundo grado puede ser siempre reducida a la forma ax2 + bx + c = 0; donde a es diferente de 0; a, b y c son coeficientes (números reales o expresiones algebraicas que no contienen a x).La resolución de una ecuación cuadrática puede realizarse ya sea por factorización, completando cuadrados o aplicando la fórmula general.

A. Método de Factorización: consideremos el siguiente:Ejemplo

Resolver x2 – 8x + 15 = 0

Solución:

x2 – 8x + 15=0

(x-5)(x-3)=0

x-5= 0 x-3=0

x= 5 x=3

→ S. = 5, 3

B. Método de Completar Cuadrados: consideremos el siguiente:Ejemplo

Resolver: x2-6x+6=0

Solución:

x2-6x+6=0

x2-6x=-6

x2-6x+9=-6+9

(x-3)2=3

x-3= + √3

x=3+ √3Entonces:

x=3+√3 x=3-√3

→ S. = 3+√3 , 3-√3 C. Método de la Fórmula General:

La solución de la ecuación de segundo grado es:

Estudio de las soluciones: ax2 + bx + c = 0, a 0 {a, b, c} R.

Donde:

= b2 - 4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática.

Caso I: Si, = b2 - 4ac = 0; la ecuación tiene dos raíces reales e iguales a (-b/2a) pero tiene una única solución real.

Ejemplo:



Sea x2 - 12x + 36 = 0

Tenemos que su:

= (-12) 2 - 4(1)( 36) = 144 - 144 = 0

Luego: Se tiene sus dos raíces iguales a -12/2(1) = - 6 siendo esta una única solución.

Caso II: Si; = b2 - 4ac > 0 la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

Si el discriminante es cuadrado perfecto entonces existen dos raíces reales racionales.

Ejemplo: x2 - 7x + 12 = 0

Tenemos: = (-7) 2 - 4(1) (12) = 49 - 48 = 1

Luego:

Si el discriminante no es cuadrado perfecto entonces existen dos raíces reales irracionales conjugadas.

Ejemplo: 2x2 - 13x + 10 = 0

Tenemos: = (-13) 2 - 4(2)(10) = 169 - 80 = 89

Luego:

Caso III: Si; = b2 - 4ac < 0 la ecuación tiene dos raíces complejas y conjugadas.

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0

Tenemos: = (1) 2 - 4(1)(1) = - 3 < 0 entonces la ecuación admite 2 raíces complejas conjugadas.

Luego:


I. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS VARIABLES

1. x + 4 = 282. y - 6.5 = 313. 8z = 40 + 3z4. 10x = - 5x + 605. -15y + 3 = - 36 - 18y6. 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 127. -(3x + 2) - 8 = 5(x - 3) +158. 4(-x + 1) + 5 = -(x + 3) + 59. 4(3x + 2) - 8 = 2(2x -7) -110. - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x -

( - 8x + 2)11. -(7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4)

= - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7)12. -18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( -

2x - 2) + 1]13. 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x14. x+3(x-1)= 6-4(2x+3) 15. (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4)

16. 10 x−715 x+3

=3 x+812

−5 x2−420 x+4

17.5(1−x )2−6( x2−3 x−7 )=x ( x−3 )−2 x ( x+5 )−218. {x+ y=14

x− y=6

19. {2x –3 y=−143 x+3 y=39

20. {4 x+5 y=−44−4 x−4 y=30

21. {y – 11=6x3 x+5= y

22. {3 (x – y+1 )=3 y –2 x−94 x−2 y+8=8 y−6 x−2

23.{ 3 y=x+22(x+ y)=3(x− y )

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

24. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

25. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

26. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su


x=−(−7 )±√12

=7±12

→x1=4 , x2=3


triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

27. Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.

28. Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10.

29. La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números.

30. Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es 4; hállense los números.

31. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?

32. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.

33. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?

34. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

35. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen actualmente?

36. La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era de 2, 3 y 4. ¿Qué edad tienen actualmente?

37. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?

38. Una compañía fabrica un producto a un costo variable de S/ 3,50 por unidad. Si los costos fijos son de S/ 10,500, cada unidad se vende a S/ 4.50 ¿Cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de S/ 7,000?

39. El ingreso obtenido al vender x artículos a un precio p es I = x.p Resuelva: En un tienda hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes cuyos precios son S/ 80,00 y S/ 135,00. Si la venta de todos los zapatos produjo ingresos de S/ 96.250 ¿Cuántos pares de cada marca había?

40. El costo total de producción corresponde los costos fijos más los costos variables, es decir: C = CF + CV, aplicando la definición resuelva el problema:Una fábrica de camisas paga S/ 140.000 en arriendo, el costo del material es la mitad de la mano de obra ¿Cuanto paga por materiales y cuánto por mano de obra si el costo total asciende a S/ 500.000?

41. Se define como utilidad a la diferencia entre los ingresos totales recibidos y los costos totales, es decir: U= I - C , Resuelva:Un fabricante produce semanalmente 150 artículos los que vende al doble del costo menos S/ 100,00 ¿Cuánto es el costo de cada artículo si sus utilidades son de S/ 36.000?

42. Un fabricante produce lámparas que vende a US$ 8.200. Los costos de producción son: US$ 130.000 en arriendo y US$ 3.500 en material y mano de obra por cada lámpara producida ¿Cuántas lámparas debe producir para obtener utilidades de US$ 246.000?



III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

1. 25x2 - 1 = 02. x3 + 10x2 + 25x = 03. x3 + x2 - 6x - 6 = 04. x2 + 2x - 5 = 05. x4 + x3 -9x2 - 9x = 06. x2 = 817. 14x2 - 28 = 08. (x + 6)(x - 6) = 139. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 010. (x + 11)(x - 11) = 23 11. x2 = 7x12. 21x2 + 100 = - 513. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x14. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 15. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x

- 1)

IV. Resuelve las siguientes problemas:

1. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

2. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado $14.30. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?

3. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.

4. Una persona compró cierto número de objetos en S/300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado S/ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?

5. Una excursión para bucear costó $300. Si hubieran sido 3

miembros menos en el club, el costo por persona habría sido de $5 más. ¿Cuántos miembros hay en el club?

6. Gabriel Jesús compró cierto número de lapiceros por S/ 24.00. Si cada lapicero le hubiera costado S/ 1.00 menos, pudo haber comprado 4 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántas lapiceros compró y a qué precio?

7. Halla dos enteros consecutivos impares cuyo producto es 255

8. Pedro Antonio compró cierto número de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es ¾ del número de relojes, ¿cuántos relojes compró?

9. Una fábrica de artículos de losas produce platos de tipo “A” y “B”. El costo de producir plato “A” es de S/.2 más que el plato “B”. Los costos de producción de “A” y “B”, son de S/.1 500 y S/. 1 000 respectivamente, y se hacen 25 unidades más de “A” que de “B”. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?

10. El gerente de una fábrica de muebles sabe que el costo de vender “x” juegos de dormitorios es C=20x+60 y el ingreso de vender “x” juegos de dormitorios es I=x2-8x. Encuentre el punto de equilibrio de “x” (igualar los ingresos y los costos).

INECUACIONES

1. DEFINICIÓN: Es una desigualdad.

2. DESIGUALDAD: Es una relación que nos indica que una cantidad o expresión es mayor o menor que otra. Estos se establecen solo en el campo de los números reales.Signos: (Sirven para designar a las desigualdades) diferente a mayor que



menor que

También: mayor o igual que menor o igual que

- +

| | | | | | | |

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Si a es (+) a 0

Si a es (-) a 0

3. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. Sea: a bSi se le suma o resta: c

a c b c (NO VARIA)

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, el sentido de la desigualdad NO VARIA.

Si: a b ac bc

y c 0

ac

bc

3. Si a b c 0

Cumple:

ac<bc ¿ }¿¿¿se invierte

4. Si a b b c

a b c a c

5. Si a b c > d

Se cumple: a + c b + d6. Si a b c d

Se cumple: a – c c - d7. Si a b c d b 0 d

0

Se cumple: ac bdConsecuencias: Si a b siendo b 0

an>bnn√a>+ n√b

8. Si: a b c d siendo b 0 c 0

Se cumple:

ac

bd

4. CLASES DE DESIGUALDADES:

1. Desigualdad condicional o inecuaciones: Son aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros.

Ejemplo: 3x – 2 13

x 5

2. Desigualdad Incondicional: Toman cualquier valor o sistemas de valores.

Ejemplo:a2 + 5 0

“a” toma cualquier valor real.

Solución: a2 -5

Pero como a2 0 0 -5

a2 - 5 es OBVIO


Menores de cero (-)

Mayores de cero (+)

0 2 4+ +


5. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES DE ACUERDO A SUS SOLUCIONES:

1. Inecuación Posible:

a. Inecuación determinada: Sea:

(x – 2) (x – 4) 0

Porque 2 x 4 (ya está determinada)

b. Inecuación Indeterminada: Sea (x – 3)2 + 1 0, cuando satisface para cualquier valor de x.

2. Inecuación Imposible o absurda: Cuando carece de soluciones:

Ejemplo:

X2 -2 (es imposible)

a. Inecuación equivalente: Cuando tiene las mismas soluciones.}

Ejemplo:

3x – 5 2x + 1

5x + 2 4 (x + 2)

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b 0 ó ax + b 0

Si: ax + b 0

x>−ba

Si: ax + b 0

x<−b

a

Si a = 0, la inecuación se reduce a:

b 0

Para todo valor de x; es positivo, lo cual se denomina ecuación indeterminada.

Ejemplo:

Resolver la inecuación:

2x−1

5+ 3x−2

6> 2x+1

2+ 2

3

Solución: MCM (5, 6, 2, 3) = 30

Multiplicando por 30:

30( 2 x−15 )+30( 3 x−2

6 )>30( 2 x+12 )+30( 2

3 )12x – 6 + 15x – 10 30x + 15 +

20

-3x 51

x -17

Graficando:

| |

- -17 +

- x -17 ó x -, -17

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre a:



ax2 + bx + c 0 ; a 0

El conjunto solución: {x R / ax2 + bx + c 0} y dependerá de la naturaleza del discriminante.

= b2 – 4ac

Luego:

Caso 1: Si = b2 – 4ac 0 = ax2 + bx + c, tiene dos raíces reales diferentes, por ejemplo x1, x2, con x1 x2 , entonces:

ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)

1.1) ax2 + bx + c 0 a (x - x1) (x – x2) 0

a) Si a 0 x - , x1 U x2 , b) Si a 0 x x1 , x2

1.2) Ax2 + bx + c 0 a (x – x1) (x – x2) 0

a) Si a 0 x x1 , x2b) Si a 0 a (x – x1) (x – x2) 0

Caso 2: Si = b2 – 4ac = 0 ax2 + bx + c, tiene dos raíces iguales, es decir: x1 = x2, luego:

Sea: ax2 + bx + c = a(x – x1)2

2.1 ax2 + bx + c 0 a (x – x1)2 0

a) Si a 0 x R – {x1} b) Si a 0 x

2.2 Ax2 + bx + c 0. a (x – x1)2 0

a) Si a 0 x b) Si a 0 x R – {x1}

Caso 3: Si = b2 - 4ac 0 ax2 + bx +c, no tiene raíces reales:

3.1. Si a 0 ax2 +bx + c 0, x R

3.2. Si a0 ax2 + bx + c 0 , x R

Ejemplo:

Sea: x2 – 7x + 6 0

(x - 6) (x - 1) 0

x - , 1 U 6,


I. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES

1. 2 ( x+1 )−3 ( x−2 )<x+6

2.

6( x+18

−2x−316 )≥3( 3 x

4−1

4 )−38

(3 x−2 )

3. 7x 2 + 21x − 28 < 0 4. −x 2 + 4x − 7 < 0 5. 4 x2−16≥06. x2+12 x≥07. X 2 – 25x + 144 < 0

8.x2−1

−x2+2 x−1≤0

9. x2−1x2−4

≤0

10.

3x−12

− x−13

<2x−1

11.4 x+9−2 (3 x−5 )≥ x+1

3−1

12.

x−95

− 5x−1315

≤ 4 x3

+ 10

13.

2x−59

− 4 x−16

<−5 x18

14.

3−5 x3

−1−8 x4

−23−10 x12

< 0

15. (3 x+1 )2−5x2+2x ≤ (2 x−1)2

16.−3 < 2x−6 < 5



17. −2 x < 4+5 x ≤ 8

18. |x−5| ≤ 1

19.

|x− 12| < 1

10

20.

|x+53| < 3

21.( x−3 )( x+2 ) ≥ 0

22. ( x−6 ) (x2+1) < 0

23.(2x−1) (3 x+5) ≤ 0

24. x2−4 < 0

25. x2−6 x+8 < 0

26. x2−3x−10 ≥ 0

27.−6 x2−x+1 > 0

28.

3x−12x+5

≤ 0

29.

3x−12x+5

≥ 0

30.

2 xx2+1

< 0

31.

25x2−1

≤ 0

32.

4x2−9 x+18

≥ 0

33.

2 xx2+1

< 1

34.

5−2 x3x−9

< 1

35.

x2+15 x

≤ 12

36.

x−5x

+ 5 ≥ x

37.

x−1x+1

> x+1x−1

38.

x2−62x+3

< 0

39. x (3x−1 ) (x+2 ) < 0

40. x3−6 x2+11 x−6 ≥ 0

41. x4−5 x2+4 ≥ 0

42.

x2−8 x+15x2−4

< 0

II. RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS

43. { ( x+1 )−10+x≤6 (2x+1 )4 ( x−10 )<−6 (2−x )−6x

44.{2x2−3 x > 5x−1 < 3 x+2

45.{ 2−4 x < 87 x+2 > 2x−1

46.{3−2 x ≥ 7 x+12

2x+3 < 3x−15

47.{4−3 (x−1) > 2 x−3

3 ( x−1) +1 ≥−5



48.

{2 (2 x−52 )− 3 (x+ 1

3 )≤ 3−x

− x3+ 7 x−6

6< 1+ x

3

49.

{ 2 x−113

− x+16

≤0

4 x+65

≤ 7 x10

+ x+72


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