nÚmeros reales

Download NÚMEROS REALES

Post on 19-Jan-2016

59 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

NÚMEROS REALES. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS. C. . Q. Q `. Z. N. CONJUNTOS NUMERICOS. R. Números Reales. Es el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales. R = Q U Q’. Conjuntos Numéricos. c. Números Complejos. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Diapositiva 1

LOS NMEROSREALES

HistoriaLos primeros nmeros en aparecer en la historia fueron los nmeros que van del 1,2,3,... etc. y por esta razn son conocidos como los nmeros naturales.

El primer registro que se obtiene sobre la utilizacin del cero fue en el ao 36 a.C. por la civilizacin Maya.2Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del ao 1000 a. CAlrededor del 500 a. C. el grupo de matemticos griegos liderados por Pitgoras se dio cuenta de la necesidad de los nmeros irracionales.Los nmeros negativos fueron ideados por matemticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco despus.3

4

5NZQQ`CCONJUNTO DE LOS NMEROSCONJUNTOS NUMERICOSConjuntos Numricos Nmeros RealesREs el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionalesR = Q U Q Nmeros ComplejoscEs la coleccin de nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-17CONJUNTOS NUMERICOSConjuntos Numricos Nmeros RacionalesQEs el conjunto de los nmeros de la forma donde p y q son enteros, con q 0, se representa mediante el smbolo.Q= { ,q Z q 0}Nmeros IrracionalesQEs el conjunto de los nmeros que no pueden ser expresados como el cociente de dos nmeros enteros Q Entre los mas conocidos esta el pq8CONJUNTOS NUMERICOSConjuntos Numricos Nmeros NaturalesNEs la coleccin de Objetos matemticos representados por los smbolos 1, 2, 3, 4, ., etc. Llamados nmeros para contar. N= {1, 2, 3, 4, .}Nmeros EnterosZLos nmeros enteros abarca los nmeros negativos incluyendo eL cero y los nmeros positivos. Y se representa Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .}

LOS NMEROS REALESCOMO UN CAMPO10Nmeros RealesEl concepto de nmeros reales surgi a partir de la utilizacin de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del ao 1,000 a. C. El conjunto de los nmeros reales es representado con la letra: R

En Matemticas, los nmeros reales son los que abarcan a los nmeros racionales y los nmeros irracionales.11Relacin de igualdadExiste una relacin que presenta los nmeros reales que son conocidas como relaciones de igualdad y estas son de utilidad para la demostracin de algunos teoremas, estas relaciones dicen:

Sean a, b, c a) Si a = b, entonces b = ab) Si a = b, y b = c, entonces a = cc) si a + c denota al numero real que resulta de sumar a y c, y ac denota al numero real que resulta de multiplicar a y c, entonces a = b implicar quea + c = b + c y que ac = bc

12AxiomasTradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas verdades evidentes porque permiten deducir las dems formulas.Es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostracin, como punto de partida para demostrar otras frmulas.13En el campo de los nmeros reales son seis los principales axiomas que se toman, y a travs de su uso y postulacin, permiten el desarrollo de los teoremas que estructuran una parte de las matemticas.Axiomas de Nmeros Reales14Axioma 1. Si a, b R, entonces a + b, ab R (Ley de cerradura para la suma y el producto)

Axioma 2Si a, b R, entonces a+b = b+a y ab = ba (Ley de conmutatividad)Axiomas de Nmeros Reales15Axioma 3Si a, b, c R entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)c (Ley de asociatividad)

Axioma 4Si a, b, c entonces a(b + c) = ab + ac (Ley de distributividad)Axiomas de Nmeros Reales16Axioma 5Existen 0, 1 R, con 0 = 1, tales que: si a R, entonces a+0 = a y a1 = a (0 se llamar Neutro aditivo y 1 se llamar Neutro multiplicativo)

Axioma 6Si a R, existe a1 R tal que a + a1 = 0 y si a R con a = 0, entonces existe a2 R tal que a a2 = 1 (Existencia de los inversos)Axiomas de Nmeros Reales17TeoremaEs una afirmacin que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema generalmente posee un numero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusin, una afirmacin matemtica, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. 18CorolariosSe llamar corolario a una afirmacin lgica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.19Teorema Ii) Si a, b, c R y a + c = b + c, entonces a=bii) Si a, b, c R , c 0 y ac = bc, entonces a=b

Demostracin:i) Sea c1 R tal que c + c1 = 0 (Esto por el axioma 6)

Entonces a + c = b + c (a + c) + c1 = (b + c) + c1 (Propiedad de la igualdad) a + (c + c1) = b + (c + c1) (Por axioma 3) a + 0 = b + 0 (Por axioma 6) a = b (Por axioma 5)20ii) Si a, b, c , c0 ac = bc, entonces a=b si c0, el axioma seis garantiza la existencia de un nmero real c2 tal que cc2 = 1. Por lo tanto: ac = bc (ac)c2 = (bc)c2 (Propiedad de la igualdad) a(cc2) = (bc)c2) (Por axioma 3) a 1 = b 1 (Por axioma 6) a = b (Por axioma 5)

21Jerarqua de los operadoresPara desarrollar cualquier operacin aritmtica es necesario utilizar la jerarqua de los operadores aritmeticos.Dentro de una misma expresin los operadores se evalan en el siguiente orden.ExponenciacinMultiplicacin, Divisin (Con decimales)Divisin Entera.Suma y resta

Cuando se encuentran operadores del mismo nivel, estos se desarrollan de izquierda a derecha.

Cuando se encuentran varios parntesis, se empiezan a desarrollar por el ms interno. Un parntesis, slo desaparece, cuando queda un solo trmino en medio de ellosJerarqua de los operadoresEJEMPLOTomaremos como ejemplo la expresin [2 * 5 + 3]. Algunos tendran la duda de cual operacin resolver en primera instancia La multiplicacin o la suma?; otros sumaran y luego multiplicara diciendo que la respuesta es 16Para no cometer errores al momento de resolver una operacin matemtica, tenga en cuenta la jerarqua de los operadores.En nuestro ejemplo: primero se debe realizar la multiplicacin y luego la suma, por lo tanto la respuesta correcta ser:2 * 5 + 310 + 313 Resultado Correcto RESPUESTA CORRECTA40 / 5 + 8 * 3 ----------> 1 es la exponenciacin40 / 5 + 64 * 3 ---------> Primero se resuelve la divisin (de izquierda a derecha)8 + 64 * 3 --------------> Luego divisin (mismo nivel jerrquico de multiplicacin)8 + 192-----------------> Por ltimo se realiza la suma200EJEMPLOEJERCICIOResolver. 51 / 2 + 3 Desarrollo:51 / 2 + 3 ---> La divisin ( / ) indica que se manejan decimales. 51 / 2= 25.525.5 + 3 -----> Luego se realiza la suma de los dos valores 28.5

EJERCICIOResolver : 7 * 10 15 / 3 * 4 + 9

7 * 10 15 / 3 * 4 + 9 1 270 5 * 4 + 9 370 20 + 9 450 + 9 559Desarrollo:EJERCICIOResolver : 9 + 7 * 8 36 / 5Desarrollo:9 + 7 * 8 36 / 5 19 + 56 36 / 5 29 + 56 7.2 365 7.2 4 57.8 Resolver:9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (125 / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (12.5 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + 15 9 + 2 * 12 / 4 + 15 9 + 24 / 4 + 15 9 + 6 + 1515 + 1530Resolver:360 / 2 / 10 / 3 5 * 8 + 38 + 500

360 / 2 / 10 / 3 5 * 8 + 38 + 500180 / 10 / 3 5 * 8 + 38 + 50018 / 3 5 * 8 + 38 + 5006 5 * 8 + 38 + 5006 40 + 38 + 500-34 + 38 + 5004 + 500504