6

CAPÍTULO

Objetivos

En este capítulo:

Aprenderás a clasificar números

reales de acuerdo al tipo que

pertenecen

Sabrás ubicar números reales en

la recta numérica y compararlos

Comprenderás las propiedades de

la igualdad

Reconocerás las propiedades de

las operaciones con números

reales

Resolverás operaciones con

números reales

Usarás los números reales para

resolver problemas y representar

datos

LOS NÚMEROS REALES

Datos curiosos donde se utilizan distintos tipos de números:

El vuelo más largo conocido que haya hecho una gallina duró 13 segundos.

De los asteroides clasificados, el que más cercano pasó a la tierra en el año 2006 fue el 2004 XP14 , su diámetro se

ubica entre 320 m y 870 m y estuvo a tan solo 1.1 veces la distancia que hay a la Luna.

En un cuadrado de 1 unidad de lado la diagonal mide 2 , esta medida es ubicable en la recta numérica.

Hasta el año 2002 se habían calculado 1 242 100 000 000 cifras decimales del número .

La división de un número natural entre 7 produce decimales periódicos: 5

0.714285714285714285...7

Más de 1

10 de la producción anual de sal del mundo se utiliza para descongelar los caminos en los Estados Unidos

de Norteamérica.

Es posible predecir (sin hacer más cálculos) los demás dígitos del resultado de una división cuyo período se

conozca pero no así con los decimales de una raíz cuadrada inexacta, para estos habría que continuar operando.

El Mar Muerto se ubica a 400 m respecto al nivel del mar y es el punto natural más bajo del planeta.

Valora la utilidad de los diferentes tipos de números usados en estos datos. ¿Has empleado alguna forma de ellos en tu

experiencia diaria? Procura recordar el nombre de cada uno de ellos.

7

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

REALES

¿Sabías que los números que se parecen al 59 804, 3 , 25 , 5

8, 0.25, 3.333…, 19.7, ―28, 0, etc.,

tienen una utilidad muy frecuente en la vida cotidiana? Estos números sirven para expresar medidas como la

temperatura, la longitud, el volumen, las ganancias, las deudas, el tiempo, etc., entre muchas otras magnitudes.

Toda cantidad que se pueda representar en la recta numérica se llama número real y es útil para expresar la

magnitud de algo.

El conjunto de los números reales es extenso y como tal, agrupa subconjuntos de números que se distinguen

entre ellos por características únicas y muy evidentes.

A continuación se muestra un esquema que nos da una mejor idea del asunto:

NUMEROS REALES

NEGATIVOS: (―) CERO POSITIVOS: (+)

RACIONALES (Q) RACIONALES (Q)

a) enteros a) enteros

b) fracciones b) fracciones

c) decimales c) decimales

IRRACIONALES (I) IRRACIONALES (I)

Los números reales positivos se distinguen de los reales negativos en que estos últimos llevan el signo menos (―) en

su lado izquierdo, si un número no tiene signo en su lado izquierdo, se le considera positivo.

Números racionales. Un número real será racional si se puede representar a través de una fracción N

M, siempre que

N ≠ 0. (N es distinto de cero). Así las fracciones por sí mismas son números racionales ( la palabra racional deriva de la

palabra razón, que en matemáticas significa comparación de dos cantidades a través de un cociente). Los enteros también

son números racionales, pues 1

MM , igual ocurre con los números decimales que guardan mucha relación con las

fracciones, por ejemplo 0.333… es lo mismo que 1

3 o bien 0.142857142857… =

1

7. Todos estos, por poder

representarse de modo fraccionario se clasifican como números racionales.

Números irracionales. Un número irracional es un número real, como 2 , 3 y π, cuyo resultado exacto solo

puede expresarse en la forma como ellos mismos aparecen. Se puede decir que en n , si n no es un cuadrado, entonces

n es irracional, entonces 5 , 6 , 7 , 8 son irracionales (en tanto que 9 , que es igual a ±3, es

racional). El concepto es extensible a todas las raíces inexactas.

El cero. El número real cero es un elemento de separación entre los números negativos y positivos, por su ubicación en

la recta es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. El cero es la ausencia de

cantidad, así, representar el estado económico de una persona con el cero equivale a decir que no tiene haber ni deudas. El

criterio no es aplicable al caso de las temperaturas, pues 0 0C no significa ni frío ni caliente, esto es muy relativo !!!.

Lo que aprenderás Identificar los números reales

por nombre de acuerdo al tipo

al que pertenecen

Por qué es importante Se utilizan a menudo en la vida

diaria y saber identificarlos ayuda a

su empleo de modo más eficiente

La diagonal de un cuadrado de una

unidad por lado.

Los números inconmensurables

como 2 (que no se pueden

medir) significaron un problema

para escuelas tan antiguas que

Platón informa que tales

situaciones sacudieron a los

matemáticos griegos en la fe

que proponía la escuela

pitagórica en los números

enteros.

8

Otras agrupaciones de números reales. Sin duda, anteriormente has manejado el concepto de número entero, se

trata del número real que no está fraccionado. Los números enteros son tanto positivos como negativos incluyendo el cero,

por ejemplo: -31, -5, -1, 0, 8, 20, 27, etc.

Un conjunto de números también muy conocido es el de los números naturales (N), son los enteros

positivos a partir del 1 y no se acaban al llegar al diez! (como se pudo aprender alguna vez). Los números naturales son un

subconjunto de los números enteros pero hay un conjunto de números que incluye al cero y los naturales, es el de los

números completos.

EJERCICIOS

1. Reflexiona cada afirmación y luego escribe una F (falso) o V (verdadero) según sea lo correcto.

a) Todos los números reales son positivos _____

b) Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica _____

c) Las medidas son expresables utilizando números reales _____

d) Las raíces cuadradas no son números reales _____

e) El cero es un número racional _____

f) Todas las raíces inexactas son números irracionales _____

g) Todos los decimales periódicos son racionales _____

h) es irracional porque no existe fracción numérica para representarlo _____

i) Existen más números positivos que negativos _____

j) 3 27 es un número racional _____

2. Coloca una palomita en la celda cuya descripción se aplique al número dado.

número Entero Racional irracional positivo Negativo

a) 12

b) 0

c) 7

2

d) 2

2

e) ― 9

f) 2π

g) 5

3

h) π + 1

i) 22

j) 24

k) -0.999…

l) 1000

CORRIGIÓ: _______________________________ CALIFICACIÓN = #

2

ACIERTOS _______

“Adivino quien soy”. En este juego el instructor colocará en la espalda de un jugador un papel con un número real

cualquiera. El jugador solo puede lanzar preguntas a la fila que pertenece, buscando pistas para dar con el número que

trae consigo. La fila solo puede contestar con un “si” o un “no”, el fin es aprender a utilizar los nombres y clasificaciones

de los números reales. Gana la fila cuyos jugadores hayan dado con el número en menos tiempo.

ACTIVIDAD 1

10 minutos

ACTIVIDAD 2

15 minutos

9

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS

NÚMEROS REALES

Es útil considerar los números reales desde un punto de vista geométrico. Una recta horizontal l , que se

prolonga indefinidamente por sus dos extremos. Se escoge un punto arbitrario O que corresponderá al entero 0 (cero) y

otro punto arbitrario P (sobre l ) a la derecha de 0 que corresponde al 1. La parte de la recta l comprendida entre O y P

se llama segmento de recta y se simboliza como OP . La longitud del segmento de recta OP determina la unidad de

distancia básica o escala. Así el 2 estará a una distancia similar del 1 que el 1 del 0. Lo mismo ocurrirá por el lado de los

reales negativos, que estarán ubicados a la izquierda del cero y por lo tanto son menores que el cero. Ver figura.

Para representar el número racional 4

3, se divide el segmento comprendido entre 0 y 1 en 4 partes, pues el

denominador de toda fracción (en este caso el 4) indica las partes en que hay que dividir cada unidad. Luego se toman 3

partes contando de izquierda a derecha y esa es la ubicación del racional 4

3.

Para representar 3

2 , se divide del 0 al -1 en tres partes en conformidad con el denominador y luego se

cuentan dos partes partiendo del cero hacia la izquierda, por ser negativo el racional y listo!!!

Para representar el racional 4

9 , se divide del 0 al -3, cada unidad en cuatro partes, y luego contando 9 de

ellas, hacia la izquierda del cero, por ser racional negativo.

Para representar el racional –0.3 que está comprendido entre –1 y 0, dividimos la unidad en diez partes y

luego contamos de derecha a izquierda tres de ellas.

Lo que aprenderás Ubicar números reales en la

recta numérica

Por qué es importante Facilita las comparaciones de

cantidades

10

Tocante a los números que son decimales, se puede decir que mientras más dígitos tengan después del punto

decimal, el entero se fracciona en más partes. Por ejemplo el número 0.345 se lee “trescientos cuarenta y cinco milésimos”

y la palabra milésimos, que habla del orden del decimal, también indica el número de partes en que se divide el entero, es

decir en mil partes, de las cuales hay que tomar 345. En otro caso el decimal 0.31 se lee “treinta y un centésimos” y el

entero se parte en cien pedazos debido a “centésimos”, de los cuales hay que considerar 31 de ellos.

EJERCICIOS

1. Ubicar sobre la recta numérica real los números 0.9, -0.9, -1.05, 5

2, 2

1,

3

1 . Utilizar las posiciones señaladas con

los puntos A, B, C, D, E y F.

2. Sobre la recta l , escribir la ubicación de los siguientes números reales.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1 f)-2 g) 4

1 h)

4

3 i)

2

11 j)

5

7

k) π l) 1.6 m) -1.2 n) 2.9

3. Escribir en las líneas si los resultados respectivos de cada operación son positivos, negativos o cero. No usar

calculadora.

a) _________________ 3 – π b) _________________ 2

32

c) _________________ 32 d) _________________ 3110

e) _________________ 222 f) _________________ 532

g) _________________ 36 100 25 121

h) _________________ 1 2 3 4

1 2 3 4

i) _________________ 10 2

2 10 j) _________________

2 23 2

3 2

CORRIGIÓ: ________________ CALIFICACIÓN = #

3

aciertos _______

ACTIVIDAD 1

15 minutos

11

COMPARACIÓN DE NÚMEROS REALES

Si a y b son dos números reales, al momento de compararlos ocurre alguna de las tres situaciones siguientes:

a > b se lee “„a‟ mayor que „b‟”

a < b “„a‟ menor que „b‟”

a = b. “„a‟ igual que „b‟”

esta cualidad de los números reales se conoce como tricotomía y consiste en que puede ocurrir una y solo una de las tres

situaciones anteriores al comparar dos números reales.

Tocante al orden de los números reales, para cualquier par de números, el que se ubique a la derecha sobre la

recta numérica, es el mayor.

Una manera de emplear los números reales es a través de intervalos. Un intervalo de números reales puede

verse también como un “pedacito” de la recta, definido en sus extremos por dos números dados, así surge el extremo

izquierdo y el derecho. En efecto, los números que quedan definidos por el intervalo son mayores que el número dado del

extremo izquierdo y menores que el del extremo derecho.

¿Cuáles son los reales comprendidos en el intervalo de la figura siguiente

Contestaríamos que todos los que estén a la derecha del 2 y a la izquierda del 3.5, y esto ha sido muy fácil. El problema

sería escribirlos, por eso en matemáticas se cuenta con una notación simbolizada que termina por sacarnos del apuro: en

este caso, escribiríamos (2, 3.5) que se lee “todos los números mayores que 2 y menores que 3.5”. Como puede verse se

escriben los dos números extremos en paréntesis y separados por una coma. A esto se le conoce como un intervalo

abierto. Es muy importante comprender que en este grupo de números no podemos incluir al 2, ni al 3.5, porque los

extremos de un intervalo abierto no están en él y cuando se dibuja esto en la recta numérica, los extremos llevan círculos

vacíos (ver figura anterior).

Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya a sus extremos. Por ejemplo si queremos referirnos al

conjunto de números formado por el 2 y el 5 y todos los reales que están entre los dos, escribimos [2, 5]. Se leerá “todos

los reales ubicados entre el dos y el cinco, incluyendo el dos y el cinco”. En el intervalo cerrado usamos corchetes en vez

de paréntesis y la forma de representarlo gráficamente es como sigue:

[2, 5]

A continuación se presenta una tabla que nos muestra un resumen de lo que se ha dicho respecto a intervalos y otras

extensiones del mismo tema.

Lo que aprenderás Comparar números reales y

ubicarlos en cierto intervalo

Por qué es importante Ayuda a tener una idea precisa de

las cantidades

Intervalos de números

reales

12

Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalo abierto por la

derecha

Intervalo abierto por la

izquierda

Representación

en símbolos (a, b) [a, b] [a, b) (a, b]

Representación

gráfica

Contiene

A todos los números

mayores que a y

menores que b. Los

extremos a y b no

pertenecen al intervalo

A los números a, b y a

todos los que son

mayores que a y

menores que b. Los

extremos a y b

pertenecen al intervalo

Al número a, y a todos

los que son mayores

que a y menores que b.

El extremo a pertenece

al intervalo, b no

pertenece a él.

A todos los números

mayores que a y menores

que b y al número b. El

extremo a no pertenece al

intervalo, b sí pertenece a

él.

x pertenece al

intervalo si

x > a

x < b

x a

x b

x a

x < b

x > a

x b

1. El sastre cortador.

Un sastre corta cada minuto un metro de una tela que mide diez metros. ¿Cuánto tardará en tenerla completamente

cortada? _______________________

2. De un cuadrado, cuadritos.

Se recorta un papel de 1 m2 en cuadritos que miden 1 cm2. Si se acomodan los nuevos cuadritos a lo largo de una línea

recta, ¿Cuánto medirá la línea? ___________________

EJERCICIOS

1. Contesta el siguiente acertijo, si fuera necesario auxíliate de dibujos.

En un juego de mesa, Alejandra tiene más puntos que Fernando, pero menos que Jessica. La marca de

Jessica es mejor que las de Kenya y Alberto, y los puntos de Alberto son menos que los de Kenya, aunque

más que los de Fernando y los de Alejandra. ¿Quién de los cinco tiene menos

puntos?_________________ ¿Quién tiene más? _____________________________

2. En cada ejercicio coloca “P” o “NP” después de verificar si el número de la izquierda pertenece o no pertenece al

intervalo propuesto a la derecha.

a) 0.9 __________ (1.7 , 2.3) i) –1.56 ___________ (–1.5 , 1.5)

b) 1.31 __________ (1.3 , 2) j) 2.08 ___________ (2.079, 2.081)

c)–3.5 __________ (–5 , 5) k) –0.00001 ________ (0 , 0.5)

d) 9.0001 _________ (–15 , 9.01) l) ___________ (3.1 , 3.2)

e)– __________ (–4 , 2) m) ___________ (– , )

f) 2 __________ (0 , ) n) –2.38 __________ (–2.3 , –1.8)

g) 5 __________ (5 , 10] o) 8 __________ [8 , 24]

h) –6 __________ [–6 , 0) p) 0 __________ [–6 , 0)

q

Prende el

foco

ACTIVIDAD 1

35 minutos

13

q) –3.28__________ (–3 , 3) x)2

1 __________ [0 , 1]

r)2

5 __________ (–1 , 0) y)3.5 __________ [3 , 3.5)

s) –2.7 __________ (–3 , –2)

t) 1.799 __________ (1 , 1.8)

u) 3.0001_________ (3 , 4)

v) –128.16________ (–345.12 , –128.17)

w) 80.45 _________ (80.3, 80.45]

3. Usa la línea de la derecha para ordenar de mayor a menor la serie de números que aparece a la izquierda respectiva,

(p, x, f y h son números naturales).

Serie de números Números ya ordenados de mayor a menor

a) 9.02, 9.2, 9.002, 9.0002

b) 2.8, 2.851, 2.08, 2.185, 2.086

c) 7

3,

2

3,

4

3,

21

3

d) 1

5 ,

2

3,

2

7,

3

4

e) p – 11, p + 1, p – 9

f) 88 + f, 88 – f, 88 – (f +2),

88 + (f + 2)

g) h + 5, h – 10, h – 20, h – 5

h)114 x , 114 5x ,

114 3x , 114 5x

i) p2, p5, p3, p, p4. (considerar que p ≠ 1)

j) 5m

h

,

4m

h

,

10m

h

k) 4 f

p,

f

p,

2 f

p,

6 f

p

l) 1

x,

1

5x,

1

3x,

1

10x

m) 1

1x ,

1

5x ,

1

8x ,

1

x

CORRIGIÓ: ___________________________ CALIFICACIÓN = #

4

aciertos _______

Notas:

14

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

CON NÚMEROS REALES

¿Resulta lo mismo 2 10 que 10 2 ?

¿Se obtienen diferentes resultados con (5)(– 8) que con (– 8)(5)?

En ocasiones surgen dudas respecto a la verdad de un resultado al hacer una operación con números reales, en

muchos casos esas dudas se disipan si se mantienen conceptos claros respecto a las propiedades de las operaciones con los

números. Ahora busca comprender cada una de ellas.

Esta propiedad establece que las operaciones con números reales siempre dan un número real. Por ejemplo:

5 + 7 = 12 Tanto los sumandos como la suma son números reales

20 5 4 Dividendo y divisor reales tienen como cociente un número real

La palabra conmutar significa “cambiar de lugar”. Hay conmutatividad si después de intercambiadas las

posiciones de los valores de una operación, los resultados aun se mantienen inalterados.

Si en 5 – 3 + 9 = 11 conmutamos los términos en todas las formas posibles, obtenemos 5 + 9 – 3 = 17

5 – 3 + 9 = 17

– 3 + 5 + 9 = 17

– 3 + 9 + 5 = 17

9 + 5 – 3 = 17

9 – 3 + 5 = 17

Si en 2 4 3 24 conmutamos los factores, obtenemos 2 3 4 24

3 4 2 24 , etc.

Asociar debe entenderse como la manera de agrupar números reales que estén sujetos a un mismo tipo de

operación. Por ejemplo:

la agregación 3 – 4 + 5,

si usamos paréntesis para asociar 3 y –4, tenemos: (3 – 4) + 5 = –1 + 5 =4.

A continuación probamos otra manera de asociar, por decir, el –4 con el +5, tenemos 3 + (–4 + 5) = 3 +1 =4.

En el caso de las multiplicaciones: 4 2 10 4 2 10 8 10 80

O bien, asociando de otro modo: 4 2 10 4 2 10 4 20 80

Se observa que es posible hacer distintas asociaciones en las operaciones de agregación y multiplicación con

reales y de todos modos obtenemos el mismo resultado.

La propiedad asociativa hace posible las reducciones en las operaciones, por ejemplo 2 + 5 = 7 por asociación

ó (5)(9) = 45 también por asociación.

Lo que aprenderás Reconocer las propiedades de

las operaciones para hacer

cálculos correctos

Por qué es importante Da seguridad al operar

Propiedad de

cerradura

Propiedad conmutativa

Propiedad Asociativa

15

Esta propiedad tiene una aplicación muy útil en la multiplicación y la división, pues establece que si a, b y c

son números reales distintos de cero y se tuviera a(b + c), entonces el producto se podría obtener multiplicando a con b y

luego a con c. Así:

a(b + c) = ab + ac. y a(b – c) = ab – ac

(b + c)a = ab + ac (b – c)a = ab – ac

También se les conoce como elementos neutros de las operaciones. Con esto nos referimos a un número “a”

(el elemento neutro), tal que cuando tengamos otro número y los operemos, el resultado siga siendo este último número.

Por ejemplo 5 + 0 = 5 y 23 × 1 = 23. Se observa que en la adición, el elemento neutro es el 0, mientras que en la

multiplicación es el 1.

Son los números “R” tales que al operarlos en una suma o resta, el resultado es cero. Por lo tanto, el elemento

inverso en la adición es el respectivo número con signo contrario, por ejemplo:

a) 6 + (–6) = 0 el inverso aditivo de 6 es el –6

b) –12 + (12) = 0 el inverso aditivo de –12 es el 12

Mientras que en la multiplicación se dice: dado un número real, su inverso multiplicativo o recíproco será el

número real que cuando lo multiplique el resultado sea uno. Por ejemplo:

a) 8 × 1

8 = 1 el inverso multiplicativo de 8 es

8

1

b) 3 5

15 3 el inverso multiplicativo de

3

5 es

5

3

“Propiedades al suelo”. Agrupados en equipos de 12 jugadores, el instructor dirá una definición o un ejemplo de alguna

propiedad estudiada en el texto y cada equipo, utilizando paliacates, formará con letras y en el piso el nombre de la

propiedad referida. Gana el equipo que termine primero y esté correcto.

EJERCICIOS

1. Conmuta los sumandos y los factores de todas las formas posibles y comprueba la igualdad.

a) 4 + 2 + 7 = 13 b) 5 + 3 + 4 = c) (7)(5)(3) =

2. Primero resuelve las operaciones, después en un segundo renglón aplica una asociación y compara los resultados (deben

ser iguales).

a) 3 + 4 + 6 = b) 7 + 3 + 5 + 2 + 4 + 6 = c) 8 + 5 + 2 + 15 =

d) (2)(4)(3) = e) (5)(6)(2)(3) = f) (4)(10)(8) =

Propiedad Distributiva

Elementos de identidad

Elementos inversos

Actividad 1

10 minutos

Actividad 2

30 minutos

16

3. Aplica la propiedad distributiva. Usa el formato del ejemplo:

a) 8 (2 + 3) = 8(2) + 8(3) = 16 + 24 = 40 b) 3(4 + 6) =

c) a(b + c) = d) (a + b)(c + d) =

e) 6(3m – 5n + 8) = f) 4b2(3ab3 + 3b4) =

4. Evalúa cada una de las siguientes proposiciones con falso (F) o verdadero (V); justifica tu respuesta sobre la base del uso

de las propiedades que has estudiado. Observa el ejemplo.

[(2)(3)]4 = [(4)(3)]2 V Propiedades asociativa y conmutativa

a) 8 ÷ 2 = 2 ÷ 8 _____ ________________________

b) 4 + 2 = 2 + 4 _____ ________________________

c) 6 – 3 = 3 – 6 _____ ________________________

d) (20 + 2) + 4 = 20 + 4 + 2 _____ ________________________

e) (2)(3)(6) = [(2)(3)]6 _____ ________________________

f) 3(2 + 4) = (3)(2) + 4 _____ ________________________

g) 4(2) + 4(3) = 4(2 + 3) _____ ________________________

h) (3)(4) + 2 = 2 + (3)(4) _____ ________________________

i)

8

90

8

9 _____ ________________________

j) n

m

y

x

y

x

n

m _____ ________________________

k)

4

368

4

368 _____ ________________________

l) a + (b + y) = (a + b) + y _____ ________________________

m) 6(1) = 6 _____ ________________________

n) xx

1 _____ ________________________

o) (a + b)(a + b) = a2 + b2 _____ ________________________

CORRIGIÓ: ________________ CALIFICACIÓN = 3

ACIERTOS _______

Notas:

17

OPERACIONES ARITMÉTICAS

FUNDAMENTALES

Las operaciones que llamamos aritméticas son consideradas también como operaciones fundamentales de la

matemática y son la suma, la resta, la multiplicación, la división.

Las operaciones aritméticas a menudo utilizan símbolos de agrupación, los más usuales, apareciendo en orden a prioridad,

son:

Paréntesis ( )

Corchetes [ ]

Llaves { }

La funcionalidad de estos signos toma alguna o algunas de las siguientes utiidades:

Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo: 3 × 7 = 3(7) = (3)7 = (3)(7).

Para considerar una expresión-operación como número único. Por ejemplo, en la expresión 5(12 ÷ 4)

podemos considerar que (12 ÷ 4) es un número único, ya que esta expresión puede ser sustituida por el valor de su

operación, que es 3.

Para definir o modificar el orden en las operaciones. Por ejemplo, en la expresión 10 + 8 ÷ 2, si queremos

primero sumar y después dividir, se colocan los paréntesis de la siguiente manera: (10 + 8) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9.

Cuando una expresión carece de signos de agrupación, la forma de solucionarla está en conformidad con los pasos que

precisa la jerarquía de operaciones:

PRIMERO: Resolver todas las potencias y las raíces.

SEGUNDO: Resolver todas las multiplicaciones y divisiones

TERCERO: Resolver todas las sumas y las restas.

En todo caso se prefiere buscar las operaciones y resolverlas en el orden propuesto, comenzando en el lado

izquierdo de la expresión y avanzando hacia el derecho.

Aplicando la jerarquía de operaciones, verificaremos la exactitud y el error de los siguientes ejemplos:

Lo que aprenderás Resolver operaciones con

números reales

Por qué es importante Desarrolla la capacidad de operar

correctamente

Símbolos de

agrupación

Jerarquía de

operaciones

18

EXPRESIÓN SOLUCIÓN CORRECTA SOLUCIÓN INCORRECTA

5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13 7 × 4 = 28

Porque va primero la multiplicación

7 × 2 + 5 = 14 + 5 = 19 7 × 7 = 49

Porque va primero la multiplicación

10 ÷ 5 + 8 × 4 = 2 + 32 = 34

2 + 8 × 4 = 10 × 4 = 40

Porque se resuelven la división y la multiplicación por

separado y luego se hace la suma

15 – 5 + 8 ÷ 2 = 15 – 5 + 4 = 14

10 + 8 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9

Porque se resuelve primero la división, luego la resta y

finalmente la suma, considerando que se opera de

izquierda a derecha en caso de operaciones de una misma

jerarquía.

En caso de que la expresión incluya uno o varios símbolos de agrupación, la prioridad de estos símbolos establecida en el

listado de la página anterior, indica el orden en que se debe resolver las operaciones. Si existe un signo de agrupación

dentro de otro, siempre debemos “eliminar” (resolver primero) el que está “más adentro”.

¿Cómo resolverías la siguiente expresión?: 100 ÷ [10(3 + 2)]. Escribe tu forma de solucionarla sobre la línea

de abajo, finalmente compara con tu compañeros.

EJERCICIOS

1. Coloca correctamente los signos de agrupación en las siguientes expresiones para que el resultado sea el escrito. Toma

en cuenta la jerarquía de operaciones, eso implica que en algunos casos no serán necesarios los símbolos de agrupación.

Ejercicio: 10 ÷ 2 + 3 = 2

Solución: 10 ÷ (2 + 3) = 10 ÷ 5 = 2

a) 40 ÷ 2 + 8 = 4 b) 30 ÷ 3 + 8 × 2 = 36

c) 20 ÷ 2 + 3 = 13 d) 30 ÷ 3 + 8 × 2 = 26

e) 6 + 3 – 2 = 7 f) 25 × 2 – 12 ÷ 3 = 46

g) 5 × 8 – 6 = 10 h) 10 + 5 × 3 × 2 = 90

i) 15 – 5 + 3 × 2 = 26 j) 10 + 5 × 3 × 2 = 40

k) 10 – 4 × 2 = 12 l) 10 + 5 × 3 × 2 = 50

m) 10 – 4 × 2 = 2 n) 20 ÷ 5 + 8 ÷ 2 = 8

o) 5 × 8 – 6 = 34 p) 20 ÷ 5 + 8 ÷ 2 = 6

q) 5 × 8 – 6 = 10 r) 7 × 20 ÷ 2 + 3 = 28

s) 15 – 5 + 3 × 2 = 4 t) 7 × 20 ÷ 2 + 3 = 73

u) 15 – 5 + 3 × 2 = 14 v) 7 × 20 ÷ 2 + 3 = 91

w) 2 + 4 × 5 – 6 = 16 x) 2 + 4 × 5 – 6 = 24

y) 2 + 4 × 5 – 6 = – 6 z) 2 + 4 × 5 – 6 = – 2

Actividad 1

30 minutos

19

2. Cada uno de los cálculos siguientes tiene algún error de procedimiento. Encuéntralo y analiza qué tanto afecta al

resultado final.

CÁLCULO ERROR

a) 3 + 5 8 – 1 = 64 – 1 = 63

b) 235925

c) 68 (4 – 15) = 17 – 15 = 2

d) (7 + 4)2 + 9.5 = 49 + 16 + 9.5 = 74.5

e) 2461818

108

6

108

186

108

f) 24

15

177

96

17

9

7

6

g) 101006

600

6

258342

3. Cinco números y las operaciones básicas. Usa una sola vez cada uno de los números y combínalos para formar el número

señalado, utiliza sólo las primeras cuatro operaciones básicas y los símbolos de agrupación.

Ejemplo: 1, 7, 8, 9, 9; total:16. 9

8 7 1 169

a) 1, 10, 15, 20, 3; total: 6 _________________________________________

b) 2, 18, 3, 11, 12; total: 8 _________________________________________

c) 7, 14, 7, 17, 13; total: 7 _________________________________________

d) 0, 4, 1, 11, 9; total: 5 _________________________________________

4. En un lenguaje de programación para computadoras se emplea, para indicar operaciones aritméticas, una escritura

especial, llamada “notación posfija”, que no emplea signos de agrupación (es decir, paréntesis, barras ni corchetes). En

ella, se colocan primero las cantidades y después las operaciones que se realizarán con ellas, de manera que las mismas

cantidades sirven para limitar las operaciones a realizarse. Por ejemplo, la expresión aritmética:

{4 – 2 (5 + 3)} (15 + 2)

se escribiría, con la notación posfija, así:

4 2 5 3 + ― 15 2 +

Escribe en notación posfija las siguientes expresiones aritméticas:

a) 2 (8 – 5) + 4 ______________________________________________

b) [(4 + 5) 10] – 8 ______________________________________________

c) 2 (2 (2 + 1) + 1) ______________________________________________

La notación posfija, ¿te parece más clara o más precisa que la usual? Discútelo con tus compañeros.

CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN: 4

aciertos ____________

Notas:

20

1. Resuelve los acertijos:

a) SUMAS EXTRAÑAS.

Observa las siguientes sumas, un tanto extrañas:

UNO + SIETE = OCHO

SEIS + CUATRO = DIEZ

CINCO + CINCO = DIEZ

DOS + NUEVE = OCHO

CUATRO + CINCO = ONCE

TRES + OCHO = ???

Las tres primeras parecen normales, pero las dos que siguen son más bien raras.

¿Cuánto da la última suma?

b) EL CUADRO MÁGICO.

Se dice que un cuadro es mágico si al sumar de manera vertical, horizontal o en diagonal, la suma siempre es la misma.

Completa los siguientes cuadros mágicos:

c) LLEGAR A 30.

Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 6, y los suman a los números

elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 30 es el ganador. Veamos una partida:

Primer jugador 4 6 1 5

Segundo jugador 1 4 3 6

Suma total 4 5 11 15 16 19 24 30

¡Gana el segundo jugador!

Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

Prende el

foco

21

Las operaciones de suma y resta las consideraremos de modo general como una agregación de números

reales, estas agregaciones tienen su representación gráfica en la recta numérica y corresponden a “saltos” sobre la misma.

Estos “saltos” se orientan hacia izquierda o derecha en la recta en función del signo del número real (el signo de un

número está en su lado izquierdo), si el número es negativo se salta hacia la izquierda tantas unidades como valga el

número, si es positivo, los saltos son hacia la derecha. Cualquier serie de saltos principia en el cero. El resultado de una

agregación de números es precisamente el lugar donde finalicen los “saltos”.

Ejemplo: –3 – 2 + 11 – 4 = 2

De aquí mismo derivan algunas conclusiones como la que dice que “cuando se agregan dos números negativos,

solo hay que sumarlos y el resultado es negativo”. Esta conclusión puede observarse en el gráfico anterior, pues en el caso

de –3 – 2, el resultado fue –5, hubo que dar dos saltos hacia la izquierda.

Es muy común confundirse pensando que al operar –3 – 2, se puede decir “menos por menos es más” y

finalmente colocar 5, por esto es importante reconocer que en las agregaciones donde no haya paréntesis, no opera la ley

de multiplicación de signos. Cabe aclarar que si en alguna agregación existen paréntesis, éstos se eliminan

multiplicándolos con el signo inmediato que esté a su izquierda y finalmente se resuelve la agregación. Por ejemplo en la

operación:

– (– 4) + (– 10) =

–

el paso necesario consiste en eliminar los paréntesis, realizando la multiplicación de signos de la siguiente forma: el signo

externo ubicado a la izquierda del paréntesis multiplicado con el signo del número, quedando así:

– (– 4) + (– 10) = 4 – 10 = –6

En el caso de agregar fracciones o decimales se sigue el mismo mecanismo utilizado en la agregación de

enteros (aunque en la práctica es un tanto complicado pensar en “saltos”), en el caso específico de las fracciones, el

numerador se reduce a una simple operación de enteros.

2 4 1 2 4 1 20 24 5 9 3

3 5 6 3 5 6 30 30 10

Es oportuno recordar que cuando hay fracciones con distinto denominador, primero se obtiene un denominador

común que surge calculando el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores, que en el caso anterior es 30.

EJERCICIOS

1. Resuelve las siguientes agregaciones. NO uses calculadora.

a) –20 + 10 – 8 – 5 = b) +3 + 8 + 9 + 6 = c) + 10 - 25 – 15 + 30 =

d) – 2 – 5 – 2 – 4 – 8 = e) +24 + 6 – 24 = f) –8 + 5 – 5 + 8 + 5 =

g) –1 + 6 + 10 – 8 – 15 = h) –20 + 40 – 10 – 10 = i) 100 – 30 – 40 – 100 =

j) –40 – 20 – 10 + 50 = k) +1 – 7 + 4 + 7 – 4 – 1 + 8 =

l) –47 + 89 – 2 + 47 – 89 + 2 = m) – 2 248 – 40 + 2249 = n) –10 – 30 – 10 =

o) +88 888 – 88 888 – 1 =

La suma y la resta

Ejemplo

Actividad 1

50 minutos

22

2. Resuelve las siguientes expresiones. Incluye el paso que muestra la eliminación de paréntesis.

a) (+3) + (–5) + (–2) = 3 – 5 – 2 = –4

b) (+9) + (–10) + (–9) – (+10) + (+20) =

c) –(–2) – (+6) – (–6) =

d) (–4) – (–2) + (+8) = e) –(+7) + (–3) + (+10) =

f) (–3) – (–3) + (–8) – (+2) = g) (+5) – (–10) + (–6) =

h) –(–15) – (+10) – (+5) =

i) (–12) – (+20) – (+8) – (+10) =

j) (–7) – (–2) – (–7) + (–10) =

k) (+7) – (–2) – (–7) + (–10) =

l) –(–7) – (–2) – (–7) + (–10) =

3. Efectúa las siguientes operaciones simplificando el resultado.

Ejemplo: 3 1 11 1 11 1 10 10 5

24 4 4 4 4 4 4 2

a) 9

6

9

3 b)

8

4

8

3

c) 20

3

20

8

20

15 d)

3

21

3

2

3

5

e)

5

6

5

3

5

4 f)

35

32

35

20

35

18

g)

5

3

5

4

5

2 h)

9

1

9

4

9

2

i)

1

1

7

5

7

2 j)

18

15

18

10

18

6

4. Resuelve las siguientes operaciones. En los casos en que alguna fracción que integra la operación se pueda simplificar,

simplificarla antes de resolver la operación (esto también se va a calificar). El resultado debe estar simplificado y en

fracción propia o impropia (no mixta). Observa el ejemplo:

3 14 3 2 9 8 1

4 21 4 3 12 12

a) 12

11

8

5

4

2

b) 8

13

9

4

3

1

Notas:

23

c) 15

3

5

3

6

13

d) 12

4

3

2

8

7

e) 5

3

15

8

30

20

f) 33

6

2

12

11

7

g) 26

20

13

8

3

4

h) 42

17

7

5

21

20

i) 28

13

64

5

j) 30

280

15

4

CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN: 1046

aciertos____________

1) Añade el número que falta:

2) Calcular el valor numérico de la siguiente multiplicación: ... ?x a x b x c x z _________

c) El batallón.

Un batallón de soldados debe cruzar un río. En la orilla hay dos niños jugando en un bote. El bote es tan

pequeño que sólo da cabida a los dos niños o bien a un soldado. Aún así, todos los soldados, que son muchos, logran

cruzar el río en el bote. ¿Cómo? __________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Supongamos ahora que son 100 los soldados. ¿Cuál es la menor cantidad de travesías requeridas para cruzar a los

100 soldados? _____________________________

Notas:

Prende el

foco

24

Una multiplicación si viene en cualquiera de las siguientes maneras: 6 4 ó 6 4 ó 6 4 ó

6 4 ó 6 4 , significará lo mismo.

Para resolver multiplicaciones y divisiones es necesario aplicar de manera razonable la ley de los signos, esta

ley establece que:

Es importante recordar algunas propiedades de las operaciones en la multiplicación como la del neutro

multiplicativo que dice que “todo número multiplicado con uno da el mismo número” o la del elemento nulo en la

multiplicación, que dice que “todo número multiplicado con cero da cero”.

La multiplicación de fracciones se da en el orden bd

ac

d

c

b

a

, lo que muestra claramente que ocurre

una multiplicación de numerador con numerador y de denominador con denominador. Luego se simplifica el producto.

Un recurso muy útil en la multiplicación de fracciones es el que nos permite cancelar numeradores con denominadores

iguales. Esto se puede verificar en una operación sencilla, tomemos la multiplicación 3 4 12 6 3

4 5 20 10 5

, si se

observa con detenimiento, podemos llegar al mismo producto si desde el principio cancelamos el cuatro del numerador

con el cuatro del denominador. La cancelación es válida siempre y cuando se trate de factores, en donde no se interponga

entre facores algún otro signo que indique una suma o resta. En el siguiente ejemplo no se puede cancelar el cuatro del

numerador con el del denominador, pues hay un signo interpuesto que requiere previa operación antes de multiplicar:

3 4 2 3 2 6 3

4 5 4 5 20 10

.

En esta operación la ley de signos opera igual que en la multiplicación, pues le es una operación inversa.

A continuación completa la ley de los signos que opera en las divisiones.

(+) ÷ (+) = ( )

( ) ÷ (–) = (+)

( ) ÷ (–) = (–)

( ) ÷ (+) = (–)

En esta operación es de suma utilidad tener claros los conceptos de la división del cero y la división entre cero.

Para la división del cero: 00

a “si dividimos al cero, el resultado es cero”.

Para la división entre cero: 0

a “si dividimos entre cero, no existe ningún número real, por grande grande que

sea, que multiplicado por cero de „ a ‟ ”. El símbolo “∞” se interpreta como

infinito. No hay un número real como resultado para esta división.

La multiplicación

Las opciones de

cancelación tienen una

gran aplicación en el

álgebra.

La división

John Wallis (1616 -1703)

Matemático ingles, fué el

primero en utilizar el símbolo

del “lazo del amor” ∞ para

representar el infinito.

25

A veces se suele confundir la ubicación de los elementos de una fracción en una división a manera de “casita”,

aquí se muestra el orden para que no haya dudas al respecto: la fracción abb

a , se puede observar que el numerador

“a”, se convierte precisamente en el dividendo y el denominador “b” en el divisor.

Al dividir fracciones regularmente se prefiere el método de multiplicar cruzado bc

ad

d

c

b

a

,

mientras que otros recomiendan operar como si fuera una multiplicación siempre y cuando se use el recíproco de la

segunda fracción, esto nos llevaría a aprovechar la ventaja de la cancelación que nos ofrece la multiplicación de fracciones.

Por ejemplo en la división

2

3

2

7, primero hacemos el recíproco de la segunda fracción que es

3

2 y

finalmente operamos como si se tratara de una multiplicación de fracciones, así en este caso se tiene la opción de poder

cancelar los números 2:

3

7

3

2

2

7

.

Ahora se muestra la división de fracciones de otro modo: bc

ad

d

c

b

a

, la famosa regla de los extremos y los

medios, cuyos nombres van desde “ley de la tortilla” hasta “ley del sandwich”, en fin; no es más que otra forma de

referirse a la división de dos fracciones.

EJERCICIOS

1. Resuelve los siguientes productos y cocientes. NO USAR CALCULADORA.

a) (+4)( –6)(–2) = k) (+35) ÷ (–5) =

b) (–3)(–5)(–2)(–1) = l) (–78) ÷ (–2) =

c) (+10)(–10)(+2) = m) 0 ÷ (–800) =

d) (–5)(–30)(0)(–7) = n) (–57) ÷ (+3) =

e) (–8)(+1)(–2)(–3)= o) (+333) ÷ (0) =

f) (0)(–44 000) = p) (–44) ÷ (+1) =

g) (+22)(–1)(–3)= q) (–432) ÷ (–3) =

h) (–5)(+2)(–1)(–3) = r) (–1 000) ÷ (+100) =

i) (–5)(–4)(–2)(–2) = s) (+555) ÷ (–555) =

j) (–10)(+10)(–10)= t) (+6 222) ÷ (+3) =

2. Resuelve con mucho cuidado las siguientes operaciones. Es importante que sigas e incluyas los pasos que ya se han

analizado.

a) (+3) + (–8) – (–3) =

b) (–1)( –6)(+2) – 3 + 8 =

c) –5(–3 – 7) + (–20) – 5=

d) –(+8 + 3 – 5 + 2 – 9) =

e) (+3)( –8)( –2)( –1)=

f) (–5 – 5)2 =

g) (–2)( –4) + (–3)( –1) =

h) (–2)( –4) – (–3)( –1) =

i) +10 – 6(–2 + 4 – 10) =

j) –15 + 2(–2)(0) – 5 =

ACTIVIDAD 2

50 minutos

26

k) –3[+30 ÷ (–10)] – 9 =

l) –[+3 – (–2) + 5] ÷ (–2) =

m) –[(+3)(–2)(–5) + 4] =

n) –20 – 2(+5)( –3) – 10 =

o) –20 – 2(+5)(+3) – 10 =

p) –{+9 – [(–8) ÷ (–4)] + 9 – 6} =

q) [(–48) ÷ (+6)]5 – 10 =

r) –2[+8 – 8(7 – 3) + 2(–5)] =

s) –[+8 – 8(7 – 3) + 2(–5)] =

t) –{ – [+8 – 8(7 – 3) + 2(–5)]} =

u) {[(+15) ÷ (+3)] – (+5 – 8)} ÷ (–8) =

v) –21 + 2(3 – 15) – (–3)(+7) + (–3)( –8) =

w) [(+24) ÷ (–3)] – 49 + 5 – 4(+10 – 8) + (–7)( –7) – 6 =

3. Resuelve las siguientes operaciones. Practica la simplificación o cancelación en donde sea posible. El resultado debe

estar simplificado.

a)

7

4

4

7

b)

5

4

4

7

c)

7

5

5

21

d)

10

9

8

5

9

8

e)

2

4

19

f)

0

2

3

5

2

g)

4

9

8

7

9

4

7

2

h)

3

10

10

31

20

15

i)

1

27

33

11

12

j)

7

5

3

8

8

7

5

3

Notas:

27

4. Resuelve las siguientes divisiones aplicando el método del inverso multiplicativo o recíproco y simplifica el resultado.

a)

6

51

3

12

b)

6

5

10

15

c)

5

2

10

7

d)

63

40

21

20

e)

7

5

9

7

f)

14

15

14

9

g)

15

82

5. Simplificar.

a) 9 8 12

25

b) 3 9 7

4

c) 4

5 6

8 16

d)

5 2

7 7

e) 4 3 6 2

5

CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN: #

1065

aciertos ____________

Notas:

28

EJERCICIOS

1. Resolver.

a) 3479523

b) 2537435

c) 84757324725

d) 8752

e) 243936

f)

45

15

1535

g)

42525

82337

h) 7358484

i) 241634

j) 3

854

k)

3

22

2

315

l)

232

5

3

4

5

2

1

m) 23

001.02.0

n) 223 32

o) 22

6352

p) 22

9393

CORRIGIÓ: ___________________ CALIFICACIÓN: #

1016

aciertos ____________

Operaciones

combinadas

Actividad 3

30 minutos

29

TRANSFORMACIÓN DE IGUALDADES

1. Signo fugitivo.

¿Qué signo, + ó –, hay que colocar entre los números para que se cumplan los resultados?

A) 2 9 3 5 7 1 = 9

B) 4 4 5 7 2 8 = 8

C) 3 6 5 2 4 4 = 0

D) 8 4 3 5 2 1 = 7

2. Tres conejos para cuatro.

Dos hijos y dos padres, cazan tres conejos y le toca uno a cada uno. ¿Cómo puede ser esto?

3. Dentro y fuera.

¿Qué es lo contrario de “no estoy dentro”? ____________________________________________

4. Marco de letras.

En este marco de letras se esconde un refrán muy conocido:

C S H A I D L E L L O H

A D

U E

C E

C N O E O R L E A R P R

Empezando por una de las letras y, saltando siempre una, se da dos veces la vuelta al marco. ¿Cuál es el

refrán?_________________________________________________________________

En la sección 1.4 se mostró que una igualdad es una expresión matemática donde se comparan dos elementos,

sin embargo no siempre resulta evidente la igualdad de estos dos elementos. Por ejemplo, es fácil darse cuenta en

8 + 2 = 10 que se trata de una expresión verdadera, pues en el primer miembro una vez realizada la suma se obtiene 10,

que es igual al segundo miembro, pero un caso como 3 2

5 8 5 2 64 3

complica nuestro

reconocimiento visual y pone en entredicho nuestra habilidad. En este último caso, surge la necesidad de transformar el

primer miembro de la igualdad y reducirlo con estricto apego a las propiedades, de tal modo que no se altere y finalmente

pueda resultar evidente la verdad.

La práctica y los conocimientos adquiridos al demostrar la igualdad entre los dos elementos de una

equivalencia numérica, se hacen necesarios para en lo posterior hacer demostraciones más complejas tales como las

identidades trigonométricas y las simplificaciones para resolver una ecuación, etc. A continuación se muestra la reducción

paso a paso del ejercicio que aparece en el párrafo anterior.

Lo que aprenderás Simplificar operaciones

tomando en cuenta las

propiedades utilizadas en cada

paso

Por qué es importante Desarrolla la capacidad de operar

correctamente

Prende el

foco

30

3 45 8 5 6

4 3

3 205 8 6 Por la asociación del paréntesis (jerarquia de operaciones)

4 3

3 445 6 Por asociación dentro de los corchetes

4 3

445 6

4

Por asociación del los corchetes

5 11 6 Por asociación de la agregación

6 6 Igualdad demostrada

Argumentar las razones de las acciones en cada paso, es evidencia de que se sabe lo que se está haciendo con la

igualdad. El lenguaje empleado es acorde con las propiedades expuestas en la sección 1.4 y propicia una mejor

comprensión de la terminología matemática.

EJERCICIOS 1. Realiza las operaciones necesarias para demostrar las siguientes igualdades y justifica tus operaciones argumentando la

propiedad utilizada.

a) 1 1 1 97

5 33 2 5 6

b)

1

5 1 1 253 32 3 4 2 144

Actividad 1

30 minutos

31

c)

1 1 3 3

362 4 4 5

1 2 3 35

2 3 4

d)

4 3 12

5 2 2 13

2 5 1 10

5 4 2

e) 3 1 1

(2 8)10 3 5

CORRIGIÓ: __________________ CALIFICACIÓN: # 2aciertos ____________

32

AUTOEVALUACIÓN

Coloca una palomita en cada casillero cuya descripción corresponda al numeral dado.

Numeral Entero Número

racional

Número

irracional

Número

Positivo

Número

Negativo

1) 0

2) 1

2

3)

4) 3

5) 2

6 2

Nombrar el entero referido en cada ejercicio:

6. Gilberto perdió 25 puntos en un juego de cartas. _____________

7. La cumbre más alta de México es el Pico de Orizaba o Citlaltepetl y está a 5 754 m sobre el nivel del mar. _______________

Encontrar el valor absoluto.

8. 13.4 9. 96.5

Graficar cada número racional en la recta numérica.

10. 11

2 11. 3.5

Compara las cantidades utilizando > ó <.

12. – 3.2 1.4 13. 3

4

5

8

Escribir cada número como fracción común.

14. – 4.5 = 15. 2

33

Sumar.

33

16. 4.7 + (– 5.1)= 17. 5 4

6 6

18. 5 4 7 6

Encontrar el inverso aditivo.

19. 7

3 20. 45

Multiplicar.

21. 1 4

3 5

22. 5 2 4 3

Dividir.

23. 72 9 24. 42

7

25.

4 4

9 6

26.125

25

Encontrar el recíproco.

27. 4

15 28. 10 29. 2.5 30.

1

100

Simplificar.

31. 5 8 2 32. 4 3 1 10

33. 50 12 16 7 34. 6 9 5 11 6 10

35. 3 4 6 15 11 2 5

Resolver.

36.

7

10

21

40

37.

5 2

27 9

1 5

36 18

38.

3 1

100 20

7 1

75 25

34

39. 2

13

40. 0.1 0.01