capÍtulo los nÚmeros reales objetivos .resolverás operaciones con números reales usarás los

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  • 6

    CAPTULO

    Objetivos

    En este captulo:

    Aprenders a clasificar nmeros

    reales de acuerdo al tipo que

    pertenecen

    Sabrs ubicar nmeros reales en

    la recta numrica y compararlos

    Comprenders las propiedades de

    la igualdad

    Reconocers las propiedades de

    las operaciones con nmeros

    reales

    Resolvers operaciones con

    nmeros reales

    Usars los nmeros reales para

    resolver problemas y representar

    datos

    LOS NMEROS REALES

    Datos curiosos donde se utilizan distintos tipos de nmeros:

    El vuelo ms largo conocido que haya hecho una gallina dur 13 segundos.

    De los asteroides clasificados, el que ms cercano pas a la tierra en el ao 2006 fue el 2004 XP14 , su dimetro se

    ubica entre 320 m y 870 m y estuvo a tan solo 1.1 veces la distancia que hay a la Luna.

    En un cuadrado de 1 unidad de lado la diagonal mide 2 , esta medida es ubicable en la recta numrica.

    Hasta el ao 2002 se haban calculado 1 242 100 000 000 cifras decimales del nmero .

    La divisin de un nmero natural entre 7 produce decimales peridicos: 5

    0.714285714285714285...7

    Ms de 1

    10 de la produccin anual de sal del mundo se utiliza para descongelar los caminos en los Estados Unidos

    de Norteamrica.

    Es posible predecir (sin hacer ms clculos) los dems dgitos del resultado de una divisin cuyo perodo se

    conozca pero no as con los decimales de una raz cuadrada inexacta, para estos habra que continuar operando.

    El Mar Muerto se ubica a 400 m respecto al nivel del mar y es el punto natural ms bajo del planeta.

    Valora la utilidad de los diferentes tipos de nmeros usados en estos datos. Has empleado alguna forma de ellos en tu

    experiencia diaria? Procura recordar el nombre de cada uno de ellos.

  • 7

    CLASIFICACIN DE LOS NMEROS

    REALES

    Sabas que los nmeros que se parecen al 59 804, 3 , 25 , 5

    8, 0.25, 3.333, 19.7, 28, 0, etc.,

    tienen una utilidad muy frecuente en la vida cotidiana? Estos nmeros sirven para expresar medidas como la

    temperatura, la longitud, el volumen, las ganancias, las deudas, el tiempo, etc., entre muchas otras magnitudes.

    Toda cantidad que se pueda representar en la recta numrica se llama nmero real y es til para expresar la

    magnitud de algo.

    El conjunto de los nmeros reales es extenso y como tal, agrupa subconjuntos de nmeros que se distinguen

    entre ellos por caractersticas nicas y muy evidentes.

    A continuacin se muestra un esquema que nos da una mejor idea del asunto:

    NUMEROS REALES

    NEGATIVOS: () CERO POSITIVOS: (+)

    RACIONALES (Q) RACIONALES (Q)

    a) enteros a) enteros

    b) fracciones b) fracciones

    c) decimales c) decimales

    IRRACIONALES (I) IRRACIONALES (I)

    Los nmeros reales positivos se distinguen de los reales negativos en que estos ltimos llevan el signo menos () en su lado izquierdo, si un nmero no tiene signo en su lado izquierdo, se le considera positivo.

    Nmeros racionales. Un nmero real ser racional si se puede representar a travs de una fraccin N

    M, siempre que

    N 0. (N es distinto de cero). As las fracciones por s mismas son nmeros racionales ( la palabra racional deriva de la

    palabra razn, que en matemticas significa comparacin de dos cantidades a travs de un cociente). Los enteros tambin

    son nmeros racionales, pues 1

    MM , igual ocurre con los nmeros decimales que guardan mucha relacin con las

    fracciones, por ejemplo 0.333 es lo mismo que 1

    3 o bien 0.142857142857 =

    1

    7. Todos estos, por poder

    representarse de modo fraccionario se clasifican como nmeros racionales.

    Nmeros irracionales. Un nmero irracional es un nmero real, como 2 , 3 y , cuyo resultado exacto solo

    puede expresarse en la forma como ellos mismos aparecen. Se puede decir que en n , si n no es un cuadrado, entonces

    n es irracional, entonces 5 , 6 , 7 , 8 son irracionales (en tanto que 9 , que es igual a 3, es racional). El concepto es extensible a todas las races inexactas.

    El cero. El nmero real cero es un elemento de separacin entre los nmeros negativos y positivos, por su ubicacin en

    la recta es mayor que cualquier nmero negativo y menor que cualquier nmero positivo. El cero es la ausencia de

    cantidad, as, representar el estado econmico de una persona con el cero equivale a decir que no tiene haber ni deudas. El

    criterio no es aplicable al caso de las temperaturas, pues 0 0C no significa ni fro ni caliente, esto es muy relativo !!!.

    Lo que aprenders Identificar los nmeros reales

    por nombre de acuerdo al tipo

    al que pertenecen

    Por qu es importante Se utilizan a menudo en la vida

    diaria y saber identificarlos ayuda a

    su empleo de modo ms eficiente

    La diagonal de un cuadrado de una

    unidad por lado.

    Los nmeros inconmensurables

    como 2 (que no se pueden

    medir) significaron un problema

    para escuelas tan antiguas que

    Platn informa que tales

    situaciones sacudieron a los

    matemticos griegos en la fe

    que propona la escuela

    pitagrica en los nmeros

    enteros.

  • 8

    Otras agrupaciones de nmeros reales. Sin duda, anteriormente has manejado el concepto de nmero entero, se

    trata del nmero real que no est fraccionado. Los nmeros enteros son tanto positivos como negativos incluyendo el cero,

    por ejemplo: -31, -5, -1, 0, 8, 20, 27, etc.

    Un conjunto de nmeros tambin muy conocido es el de los nmeros naturales (N), son los enteros

    positivos a partir del 1 y no se acaban al llegar al diez! (como se pudo aprender alguna vez). Los nmeros naturales son un

    subconjunto de los nmeros enteros pero hay un conjunto de nmeros que incluye al cero y los naturales, es el de los

    nmeros completos.

    EJERCICIOS

    1. Reflexiona cada afirmacin y luego escribe una F (falso) o V (verdadero) segn sea lo correcto.

    a) Todos los nmeros reales son positivos _____

    b) Todos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica _____

    c) Las medidas son expresables utilizando nmeros reales _____

    d) Las races cuadradas no son nmeros reales _____

    e) El cero es un nmero racional _____

    f) Todas las races inexactas son nmeros irracionales _____

    g) Todos los decimales peridicos son racionales _____

    h) es irracional porque no existe fraccin numrica para representarlo _____

    i) Existen ms nmeros positivos que negativos _____

    j) 3 27 es un nmero racional _____

    2. Coloca una palomita en la celda cuya descripcin se aplique al nmero dado.

    nmero Entero Racional irracional positivo Negativo

    a) 12

    b) 0

    c) 7

    2

    d) 2

    2

    e) 9

    f) 2

    g) 5

    3

    h) + 1

    i) 22

    j) 24

    k) -0.999

    l) 1000

    CORRIGI: _______________________________ CALIFICACIN = #

    2

    ACIERTOS _______

    Adivino quien soy. En este juego el instructor colocar en la espalda de un jugador un papel con un nmero real

    cualquiera. El jugador solo puede lanzar preguntas a la fila que pertenece, buscando pistas para dar con el nmero que

    trae consigo. La fila solo puede contestar con un si o un no, el fin es aprender a utilizar los nombres y clasificaciones

    de los nmeros reales. Gana la fila cuyos jugadores hayan dado con el nmero en menos tiempo.

    ACTIVIDAD 1

    10 minutos

    ACTIVIDAD 2

    15 minutos

  • 9

    REPRESENTACIN GRFICA DE LOS

    NMEROS REALES

    Es til considerar los nmeros reales desde un punto de vista geomtrico. Una recta horizontal l , que se

    prolonga indefinidamente por sus dos extremos. Se escoge un punto arbitrario O que corresponder al entero 0 (cero) y

    otro punto arbitrario P (sobre l ) a la derecha de 0 que corresponde al 1. La parte de la recta l comprendida entre O y P

    se llama segmento de recta y se simboliza como OP . La longitud del segmento de recta OP determina la unidad de

    distancia bsica o escala. As el 2 estar a una distancia similar del 1 que el 1 del 0. Lo mismo ocurrir por el lado de los

    reales negativos, que estarn ubicados a la izquierda del cero y por lo tanto son menores que el cero. Ver figura.

    Para representar el nmero racional 4

    3, se divide el segmento comprendido entre 0 y 1 en 4 partes, pues el

    denominador de toda fraccin (en este caso el 4) indica las partes en que hay que dividir cada unidad. Luego se toman 3

    partes contando de izquierda a derecha y esa es la ubicacin del racional 4

    3.

    Para representar 3

    2 , se divide del 0 al -1 en tres partes en conformidad con el denominador y luego se

    cuentan dos partes partiendo del cero hacia la izquierda, por ser negativo el racional y listo!!!

    Para representar el racional 4

    9 , se divide del 0 al -3, cada unidad en cuatro partes, y luego contando 9 de

    ellas, hacia la izquierda del cero, por ser racional negativo.

    Para representar el racional 0.3 que est comprendido entre 1 y 0, dividimos la unidad en diez partes y

    luego contamos de derecha a izquierda tres de ellas.

    Lo que aprenders Ubicar nmeros reales en la

    recta numrica

    Por qu es importante Facilita las comparaciones de

    cantidades

  • 10

    Tocante a los nmeros que son decimales, se puede decir que mientras ms dgitos tengan despus del punto

    decimal, e