números reales 2016

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  • Lic. MAURICIO E. OLAYA G.

    NMEROS REALES Pgina 1

    1. NMEROS NATURALES Y NMEROS ENTEROS NMEROS NATURALES Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el nmero natural. Si usted no se

    ha percatado de esto, pues simplemente fjese en el nmero de libros que tiene en su biblioteca, en el nmero de camisas, o mejor si usted es estudiante, en el nmero de alumnos de su clase. Para contabilizar los objetos,

    utilizamos en general, los nmeros naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc. Tambin los nmeros naturales nos sirven para ordenar o numerar; por ejemplo decimos Amrica est primero en la tabla de

    posiciones o tambin Cali est en noveno lugar en el torneo de ftbol local. Entonces, concluimos que los

    nmeros naturales tiene dos primeras caractersticas: la cardinalidad y la ordinalidad. La representacin simblica de los nmeros naturales, se presupone que surgi antes del nacimiento de las

    palabras para representarlos, seguramente porque es ms fcil contar muescas en un palo que establecer una frase para identificar un nmero concreto. Los smbolos que representan a los nmeros no han sido siempre los

    mismos.

    Los nmeros Naturales los usamos para CONTAR. Por lo tanto:

    { } Dentro de los naturales tenemos los llamados:

    NMEROS PARES = { } los cuales se pueden representar algebraicamente como 2n (2 por algo). Por qu?

    NMEROS IMPARES = { } Cmo se representan algebraicamente? Tenemos dos opciones (2n + 1) (2n - 1).

    NMEROS PRIMOS: Un nmero, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por s mismo. Los nmeros naturales mayores que 1 que no son primos se llaman nmeros compuestos. El 2 es el

    nico nmero primo que es par. Recuerde que el 1 NO es un nmero primo.

    ACTIVIDAD: Obtengamos los 150 primeros nmeros primos, en la siguiente tabla, siguiendo los pasos indicados:

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

    21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

    31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

    51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

    71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

    81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

    91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

    101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

    111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

    121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

    131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

    141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

  • Lic. MAURICIO E. OLAYA G.

    NMEROS REALES Pgina 2

    Tacha el nmero 1, ya que no se considera primo ni compuesto.

    Encierra el nmero 2 y tacha sus mltiplos, o sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el nmero siguiente, que an no se elimina, o sea el 3, y tacha sus mltiplos.

    Encierra el nmero siguiente, que an no se elimina, o sea el 5, y tacha sus mltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los nmeros.

    Los nmeros encerrados son los nmeros primos.

    Los restantes corresponden a los nmeros compuestos, con excepcin del 1.

    ORDEN DE OPERACIN

    Es muy importante que al operar no te olvides que existe un orden de operacin que se debe respetar y es el

    siguiente: 1 Parntesis, si las hay.

    2 Potencias, si las hay. 3 Multiplicacin y Divisin, si las hay.

    4 Suma y Resta

    ACTIVIDAD: Para practicar

    1) 2) 3) 4)

    MNIMO COMN MULTIPLO Y MXIMO COMN DIVISOR EL MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.) de dos o ms nmeros es el menor de los mltiplos que es comn

    a cada una de estas cantidades.

    EL MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.) de dos o ms nmeros es el nmero mayor que los divide.

    NMEROS ENTEROS

    Los nmeros negativos antiguamente conocidos como nmeros deudos o nmeros absurdos, datan de una poca donde el inters central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

    Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el

    siglo XVI. En oriente se manipulaban nmeros positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los bacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

    La notacin muy difundida para los nmeros positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusin de los

    smbolos germnicos (+) y (-), se populariz con el matemtico alemn Stifel (1487 1567) en el siglo XV,

    antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

    Hasta fines del siglo XVIII los nmeros negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los nmeros negativos falsos, pero en su Ars Magna (1545) los estudi exhaustivamente.

    Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmtica Infinitoum (1655), demuestra la imposibilidad de su existencia diciendo que esos entes tendran que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero. Leonardo Euler

    es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de demostrar que (-1).(-1) =

    +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendr que ser: (-1).(-1) = +1.

  • Lic. MAURICIO E. OLAYA G.

    NMEROS REALES Pgina 3

    Los Nmeros Enteros, ms conocido como el conjunto zeta, . Este conjunto surge como necesidad de crear nuevos nmeros que solucionarn diversas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo: Para anotar las temperaturas inferiores a 0 (temperatura de solidificacin del agua). En una

    competencia, los puntos en contra. Tambin para sealar cantidades opuestas, como ser +1997 (1997 D.C.) con -436 (436 A.C.)

    Estos nuevos nmeros son los Nmeros Negativos y al unirlos con los Nmeros Naturales y el cero formamos el conjunto de los Nmeros Enteros.

    { }

    EN LA RECTA NUMRICA: Si un nmero entero est en la recta numrica a la derecha de otro es un nmero mayor, por ejemplo, el -2 est a la derecha de -3, luego -2 > -3.

    VALOR ABSOLUTO: Corresponde a la distancia que existe entre un nmero y el 0, en la recta numrica.

    As: El valor absoluto de 8 es 8, puesto que hay 8 unidades de distancia entre el 0 y el 8. Esto se expresa

    matemticamente as:

    | |

    El valor absoluto de -7 es 7, pues hay 7 unidades de distancia entre el 0 y -7. | | Luego el valor absoluto de un nmero es siempre positivo o cero.

    MLTIPLOS

    El conjunto de los mltiplos de p con , est dada por: { }

    CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

    Un nmero es divisible:

    Por 2: Cuando su ltimo dgito es 0 par. Por 3: Cuando la suma de sus dgitos es mltiplo de 3. Por 4: Cuando los dos ltimos dgitos del nmero son 0 o un mltiplo de 4. Por 5: Cuando el ltimo dgito del nmero es 0 5. Por 6: Cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. Por 7: Cuando se multiplica por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al nmero que forman las

    cifras restantes. Este proceso se repite hasta que la diferencia est formada por una o dos cifras. Si estas cifras son cero o forman un nmero mltiplo de 7, el nmero inicial es divisible por 7.

    Por 8: Cuando el nmero formado por los tres ltimos dgitos es cero o exactamente divisible por 8. Por 9: Cuando la suma de sus cifras (dgitos) es un mltiplo de 9. Por 10: Cuando termina en cero (0) Por 11: Cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la suma de las cifras

    que ocupan los lugares impares es 0 o un mltiplo de 11.

    OPERATORIA EN

    Para sumar dos o ms nmeros enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los nmeros y

    conservan el mismo signo.

  • Lic. MAURICIO E. OLAYA G.

    NMEROS REALES Pgina 4

    Para restar dos o ms nmeros de diferentes signos, se restan los valores absolutos de los nmeros y se

    coloca a la diferencia el signo de la cantidad mayor.

    Para multiplicar dos nmeros, se multiplican los valores absolutos de los nmeros, y como signo el producto de:

    Para la divisin se aplica la misma regla de los signos que para la multiplicacin.

    1. TALLER I. Completa la siguiente tabla, sin olvidar el orden de operaciones, realizando clculo mental:

    a b c a-bc (a b)c ac b2 ab ac

    6 2 4

    1 8 5

    0 1 2

    -3 -2 -1

    -3 -1 2

    2 -3 -1

    -1 1 -1

    -2 -1 -3

    0 -1 -2

    -1 0 -2

    II. sea n un nmero, traduce las siguientes frases al lenguaje matemtico:

    1. El triple de un nmero. 2. Tres ms que el cuadrado de un nmero. 3. Tres veces el sucesivo de un nmero. 4. Cinco veces un nmero.

    5. La suma del nmero y su sucesivo. 6. El cociente de n y t. 7. El doble del nmero disminuido en cinco.

    III. Representa en forma simblica los siguientes enunciados y trate de resolver los problemas por clculo

    mental:

    1. Un nmero aumentado en 7 es igual a 32. 2. El triple de un nmero aumentado en 7, es igual a 28.

    3. El doble de un nmero aumentado en 4 da 34. 4. La suma de tres nmeros consecutivos da 33. 5. Un nmero dividido entre 8 es igual a 9. 6. La suma de dos nmeros pares consecutivos es 30

    7. La octava parte de la diferencia entre el triple de un nmero y 4 es 7.

    IV. Desarrollar:

    1. 5 + (-8) + (-9) + 7 2. 8 + (-7) + 3 + 9 3. 6 + 5 + (-2) + (-1)

    4. 12 + 7 + (-37) + 14 5. (-23) + (-35) + 43 + (-33) 6. (-63) + 45 + (-38) + 17 7. 3462 + (-5237) + (-1304) + (-7064) 8. 2062 + (-3896) + 6438 + (-7068)

    9. [(-2) 4] (-7) 10. 2 [4 (-7)] 11. 23 [(-7) (-13)]

    12. [654 (-875)] + [(-875) + 6