números reales 2016

Lic. MAURICIO E. OLAYA G.

NÚMEROS REALES Página 1

1. NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Si usted no se

ha percatado de esto, pues simplemente fíjese en el número de libros que tiene en su biblioteca, en el número de camisas, o mejor si usted es estudiante, en el número de alumnos de su clase. Para contabilizar los objetos,

utilizamos en general, los números naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc. También los números naturales nos sirven para ordenar o numerar; por ejemplo decimos América está primero en la tabla de

posiciones o también Cali está en noveno lugar en el torneo de fútbol local. Entonces, concluimos que los

números naturales tiene dos primeras características: la cardinalidad y la ordinalidad. La representación simbólica de los números naturales, se presupone que surgió antes del nacimiento de las

palabras para “representarlos”, seguramente porque es más fácil contar muescas en un palo que establecer una frase para identificar un número concreto. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los

mismos.

Los números Naturales los usamos para CONTAR. Por lo tanto:

{ } Dentro de los naturales tenemos los llamados:

NÚMEROS PARES = { } los cuales se pueden representar algebraicamente como 2n (2

por algo). ¿Por qué?

NÚMEROS IMPARES = { } ¿Cómo se representan algebraicamente? Tenemos dos opciones

(2n + 1) ó (2n - 1).

NÚMEROS PRIMOS: Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Los números naturales mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos. El 2 es el

único número primo que es par. Recuerde que el 1 NO es un número primo.

ACTIVIDAD: Obtengamos los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, siguiendo los pasos

indicados:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150



Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto.

Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos, o sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.

Los números encerrados son los números primos.

Los restantes corresponden a los números compuestos, con excepción del 1.

ORDEN DE OPERACIÓN

Es muy importante que al operar no te olvides que existe un orden de operación que se debe respetar y es el

siguiente: 1º Paréntesis, si las hay.

2º Potencias, si las hay. 3º Multiplicación y División, si las hay.

4º Suma y Resta

ACTIVIDAD: Para practicar

1) 2)

3) 4)

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común

a cada una de estas cantidades.

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) de dos o más números es el número mayor que los divide.

NÚMEROS ENTEROS

Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el

siglo XVI. En oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los

símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV,

antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.

Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”. Leonardo Euler

es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) =

+1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1.



Los Números Enteros, más conocido como el conjunto zeta, . Este conjunto surge como necesidad de crear

nuevos números que solucionarán diversas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo: Para anotar las temperaturas inferiores a 0º (temperatura de solidificación del agua). En una

competencia, los puntos en contra. También para señalar cantidades opuestas, como ser +1997 (1997 D.C.) con -436 (436 A.C.)

Estos nuevos números son los Números Negativos y al unirlos con los Números Naturales y el cero formamos el conjunto de los Números Enteros.

{ }

EN LA RECTA NUMÉRICA: Si un número entero está en la recta numérica a la derecha de otro es un

número mayor, por ejemplo, el -2 está a la derecha de -3, luego -2 > -3.

VALOR ABSOLUTO: Corresponde a la distancia que existe entre un número y el 0, en la recta numérica.

Así: El valor absoluto de 8 es 8, puesto que hay 8 unidades de distancia entre el 0 y el 8. Esto se expresa

matemáticamente así:

| |

El valor absoluto de -7 es 7, pues hay 7 unidades de distancia entre el 0 y -7. | |

Luego el valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.

MÚLTIPLOS

El conjunto de los múltiplos de p con , está dada por:

{ }

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible:

Por 2: Cuando su último dígito es 0 ó par.

Por 3: Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por 4: Cuando los dos últimos dígitos del número son 0 o un múltiplo de 4.

Por 5: Cuando el último dígito del número es 0 ó 5. Por 6: Cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo.

Por 7: Cuando se multiplica por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al número que forman las

cifras restantes. Este proceso se repite hasta que la diferencia esté formada por una o dos cifras. Si estas cifras son cero o forman un número múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7.

Por 8: Cuando el número formado por los tres últimos dígitos es cero o exactamente divisible por 8. Por 9: Cuando la suma de sus cifras (dígitos) es un múltiplo de 9.

Por 10: Cuando termina en cero (0)

Por 11: Cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la suma de las cifras que ocupan los lugares impares es 0 o un múltiplo de 11.

OPERATORIA EN

Para sumar dos o más números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los números y

conservan el mismo signo.



Para restar dos o más números de diferentes signos, se restan los valores absolutos de los números y se

coloca a la diferencia el signo de la cantidad mayor.

Para multiplicar dos números, se multiplican los valores absolutos de los números, y como signo el producto de:

Para la división se aplica la misma regla de los signos que para la multiplicación.

1. TALLER I. Completa la siguiente tabla, sin olvidar el orden de operaciones, realizando cálculo mental:

a b c a-b·c (a – b)·c a·c – b2 a·b – a·c

6 2 4

1 8 5

0 1 2

-3 -2 -1

-3 -1 2

2 -3 -1

-1 1 -1

-2 -1 -3

0 -1 -2

-1 0 -2

II. sea n un número, traduce las siguientes frases al lenguaje matemático:

1. El triple de un número. 2. Tres más que el cuadrado de un número. 3. Tres veces el sucesivo de un número. 4. Cinco veces un número.

5. La suma del número y su sucesivo. 6. El cociente de n y t. 7. El doble del número disminuido en cinco.

III. Representa en forma simbólica los siguientes enunciados y trate de resolver los problemas por cálculo

mental:

1. Un número aumentado en 7 es igual a 32. 2. El triple de un número aumentado en 7, es igual a 28.

3. El doble de un número aumentado en 4 da 34. 4. La suma de tres números consecutivos da 33. 5. Un número dividido entre 8 es igual a 9. 6. La suma de dos números pares consecutivos es 30

7. La octava parte de la diferencia entre el triple de un número y 4 es 7.

IV. Desarrollar:

1. 5 + (-8) + (-9) + 7 2. –8 + (-7) + 3 + 9 3. –6 + 5 + (-2) + (-1)

4. 12 + 7 + (-37) + 14 5. (-23) + (-35) + 43 + (-33) 6. (-63) + 45 + (-38) + 17 7. 3462 + (-5237) + (-1304) + (-7064) 8. 2062 + (-3896) + 6438 + (-7068)

9. [(-2) – 4] – (-7) 10. –2 – [4 – (-7)] 11. –23 – [(-7) – (-13)]

12. [654 – (-875)] + [(-875) + 654] 13. [3654 – 5841] – [(-7458) – (-8954)] 14. –2 + (-5)(+3) 15. (-32)(-25) + 46 16. (-3)[(-2) – (-4)]

17. 5 – (-3) 18. –7 – (-3) 19. 5(-3) 20. (-3)(-7) 21. 8 / (-2) 22. (-9) / (-3)

23. –(2 – 6) 24. –(-4 – 3) 25. (3)(-2)(-4)



26. 3(1 – 4) 27. –4(3 – 6) 28. 2(-2 – 3)

29. –5 – 3 – 8 + 15 – 1 30. 9 – 5 – 4 + 7 – 6 + 10 31. –623 + 328 – 34 – 512

V. Suprima los símbolos de agrupación y simplifique los términos semejantes, si es posible:

1. 3(X – 4) 2. 2(-X – 3) 3. –4(X – 6) 4. –X(-Y – 6) 5. X(-Y)(-Z) 6. (-2)(-X)(X + 3)

7. 2(-a)(3 – a) 8. (-3p)(2q)(q – p) 9. X(-2)(-X – 4)

10. 2X + 5 – 2(X + 2) 11. 3X – t – 2(X – t) 12. 4X(X + Y) – X2 13. 4[2(X + 1) – 3] 14. X[3(X – 2) – 2X + 1] 15. X[-3(-4 + 5) + 3]

16. 7X – 3X 17. 4t – 8t – 9t 18. 2X + 8Y – 7X – 5Y 19. 5m + 3n – m – 9n 20. 2(m + 3n) + 4(m – 2n) 21. 3(u – 2v) + 2(3u + v)

22. (X + 3Y) – (2X – 5Y) 23. 3(2X – 3Y) – (2X – Y) 24. 2(3m – n) – (4m + 2n)

25. 3XY + 4XY – XY 26. –X2Y + 3 X2Y - 5 X2Y 27. X – 3(X + 2Y) + 5Y 28. a2 – 3ab + b2 + 2 a2 + 3ab - 2 b2 29. 2(X – 1) – 3(2X – 3) – (4X – 5)

30. 3X(2X2 – 4) – 2(3X3 – X) 31. 3X – 2[2X – (X – 7)] 32. Y – [5 – 3(Y – 2)] 33. 5Y(2Y – 3) + 3Y(-2Y + 4) 34. 2t – 3t[4 – 2(t – 1)] 35. 2u – 3u[4 – (u – 3)]

36. 2x[3x – 2(2x + 1)] – 3x[8 + (2x – 4)] 37. 2t – 3{t + 2[t – (t + 5)] + 1} 38. X – {X – [X – (X – 1)]} 39. –2t {-2t(-t – 3) – [t2 –t(2t + 3)]}

40. w – {X – [Z – (w – X) – Z] – (X – w)} + X

VI. Encontrar la solución a los siguientes problemas:

1. Halle tres números enteros consecutivos cuya suma sea 78.

2. Halle tres números enteros consecutivos cuya suma sea 96.

3. ¿Cuánto tiempo le tomará viajar en automóvil de Bogotá a Cali, una distancia alrededor de 424 Km, si la velocidad promedio es de 53 Km/hora. (Sugerencia: distancia = velocidad * tiempo).

4. Alrededor de 8 veces la altura de la parte de un témpano de hielo que está sobre el agua es igual a la altura de la parte del témpano que está bajo el agua. Si la altura total del témpano es de 117 m, ¿cuánto mide la parte

sobre el agua y cuánto mide la parte bajo el agua? 5. Halle tres números enteros consecutivos impares tales que la suma del primero y el segundo sea 5 más que

el tercero.

6. Halle las dimensiones de un rectángulo con perímetro igual a 66 m; si su largo es 3 m más que dos veces su ancho.

7. Un mecánico cobra $6000 por hora por mano de obra, y su asistente $4000. En un trabajo de reparación la cuenta fue de $190000, con $92000 por la mano de obra y $98000 por las piezas. Si el asistente trabajó dos

horas menos que el mecánico, ¿cuántas horas trabajó cada uno?

8. En una elecciones recientes en que había cinco candidatos, el ganador derrotó a los oponentes por 805, 413, 135 y 52 votos, respectivamente. Si el número total de votos fue 10250, ¿cuántos votos obtuvo cada uno?

9. Un hombre fue río arriba en una canoa, y volvió en seis horas. Si su velocidad río arriba fue de 2 Km/h, y su velocidad en la vuelta fue de 4 Km/h, ¿qué distancia recorrió río arriba?

10. Don Pedro está en un refugio en un río y alquila un bote de motor por 5 horas a las 7 a. m. Se le dice que el

bote viaja a 8 Km/h río arriba y 12 Km/h en la vuelta. Don pedro decide que le gustaría ir río arriba tan lejos como pudiera y todavía estar de vuelta al mediodía. ¿A qué hora debería regresar y a qué distancia del parador

estaría a esa hora?. 11. Un barco sale de Inglaterra, y al mismo tiempo otro sale de los Estados Unidos. La distancia entre los dos

puertos es de 3150 millas. El barco de los Estados Unidos promedia 25 millas por hora, y el de Inglaterra 20 millas por hora. Si ambos siguen la misma ruta marítima, ¿cuánto tiempo pasará para que los barcos se

encuentren y a que distancia de los Estados Unidos estarán en ese momento?

12. En un centro de cómputo se emplean dos ordenadores electrónicos de tarjetas para clasificar 52000 tarjetas IBM. Si el primer ordenador produce 225 tarjetas por minuto, y el segundo produce 175 tarjetas por minuto,

¿cuánto tiempo les tomará a ambos, trabajando a la vez, clasificar todas las tarjetas? 13. Halle cuatro números enteros pares consecutivos de tal modo que la suma del primero y el último sea la

misma que la suma del segundo y el tercero. (Sea cuidadoso).



VII. Marque la respuesta correcta.

1. Se define (a , b) * (c , d) = (ad + bc, ab – cd), entonces (2,1) * (3,2) es

A) (3,1) B) (7,-4) C) (8,4) D) (8,-4)

2. Si p es un número impar y q es un número par,

de las siguientes combinaciones, la que es siempre un número impar es

A) pq B) 5pq + q C) p + 5q D) 3pq + q

3. [ ] es

A) 28 B) -28 C) -13 D) 13

4. Un número entero positivo p se compone de dos

dígitos que son de izquierda a derecha a y b

respectivamente. Entonces el inverso aditivo de p es A) 10a + b B) –10a + b C) 10b + a D) –10a - b

5. Sí “a” es un número natural y “b” es un número

cardinal, entonces puede darse que A) a + b = 0 B) a / b = 0

C) b / a = 0 D) a + b2 = b

6. Entre 100 personas se reparte un cierto número

de fichas azules, blancas y rojas. 45 personas reciben fichas rojas, otras 45 reciben fichas blancas,

60 personas reciben fichas azules, 15 reciben tanto

rojas como blancas, 25 reciben blancas y azules, 20 reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores.

El número de personas que no reciben fichas es A) 5 B) 8 C) 15 D) 30

7. Si a y b son números naturales impares, entonces

es(son) siempre un número par

I. a + b III. a · b II. a – b IV. a + 1

A) Sólo I B) Sólo II y IV C) Sólo I y IV D) Sólo III y IV

8. El séxtuplo del número par consecutivo de 8 es A) 16 B) 36 C) 48 D) 60

9. De los números 1, 2, 5, 8, 9, 11; ¿Cuántos son

primos?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

10. Si m = 5 y n = 7. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número par?

I. 5m + 7n II. n(m + 3n) + 2m

III. mn + 5n + 3m

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III

11. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los números 30, 54, 18

y 12; se obtiene: A) 5 B) 15 C) 45 D) 90

12. ¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 360?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

13. Sabemos que 2n + 1 representa un número

impar. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) un número impar?

I. 2n + 13 II. 5(2n + 1) + 7

III. (2n + 1) + 7 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III

14. Claudia, en tres meses más cumplirá un año, ¿en cuántos meses más cumplirá dos años y medio?

A) 30 B) 27 C) 24 D) 21

15. Dada la expresión 3a(5b + 2c), los valores de a,

b y c, respectivamente, que hacen que la expresión sea un número par, son

A) 1, 1 y 3 B) 3, 2 y 5 C) 3, 3 y 2 D) 1, 5 y 7

16. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros números primos, entonces a + b + c es

A) 6 B) 10 C) 15 D) 17

17. En la expresión q = 5n(7m + 3n); si n = 3, el

valor que puede tener m para que q sea par es A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

18. Si a y c son impares; b y d son pares. De las siguientes alternativas, la que representa un número

impar es A) abcd B) 2ac + 5 bd

C) a + b + c + d D) bd + ac

19. ¿Cuántos elementos en común tienen los

conjuntos de los divisores del 18 y del 16? A) 4 B) 1 C) 2 D) 3

20. La suma de tres pares consecutivos es 150.

Luego la suma de los impares ubicados entre estos

pares es A) 99 B) 100 C) 102 D) 149

21. Si la mitad de m es 9, entonces el doble de la

tercera parte de m es

A) 10 B) 12 C) 15 D) 16



22. Si p = 3 · 103 + 4 · 102 + 6 · 10 + 5 · 100,

entonces es falso que:

A) p es divisible por 3 B) p es divisible por 11 C) 9 es factor de p D) p es divisible por 10

23. Si n es un número natural, ¿cuál(es) de las

siguientes expresiones representa(n) siempre un

número par? I. 2(n + 1)

II. 3n2

III. (n + 1)2

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III

24. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa la

suma de tres pares consecutivos, sabiendo que n es

el número central? A) n B) 3n C) 6n D) n + 6



2. NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS RACIONALES

Al dividir dos números Enteros, no siempre resulta otro número Entero. Esto llevó a la necesidad de ampliar el

conjunto y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Números Racionales y simbolizado por . Este

conjunto incluye a . Su definición es:

Es el conjunto de los números de la forma

, siendo , con .

Obvio que b debe ser distinto de cero, ya sabes que la división por 0 no está definida.

En la fracción

el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador. Si efectuamos la división 3 entre

8, obtenemos como resultado exactamente 0,375, que es el número decimal asociado al número racional

NÚMERO MIXTO

La fracción

se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y otra

fraccionaria.

, esto resulta de efectuar la división de 8 entre 3

El procedimiento para transformar un número mixto en fracción es:

Esto es: 5 por 8, y al producto se le suma 3.

FRACCIÓN PROPIA

Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la recta numérica se ubican entre el 0 y el 1

Por ejemplo:

FRACCIÓN IMPROPIA

Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1. Para ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto.

Al convertirlas en número mixto, el entero que se obtiene nos indica entre qué números enteros está la fracción impropia, y la fracción que nos resulta se ubica entre dichos números.

Por ejemplo:

AMPLIFICACIÓN

Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural. La fracción obtenida es equivalente a la original.



SIMPLIFICACIÓN

Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número. De lo contrario, no se puede

simplificar la fracción.

Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreductible.

ORDEN EN Q

Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento. Aquí se nos presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el numerador mayor.

b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Esto se realiza obteniendo el M.C.M. entre los denominadores de las fracciones.

Otro método es efectuando productos cruzados de la siguiente manera:

¿Cuál fracción es menor

ó

?

Ya que 45 es menor que 91, entonces

OPERATORIA EN Q

Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son es conveniente

simplificar.

SUMA Y RESTA:

A) Fracciones con el mismo denominador: se suman (cuando es suma) los numeradores y se conserva el denominador.

Ejemplo:

B) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en el

M.C.M. de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.

Ejemplo:

Otro método para resolver adiciones y sustracciones es el siguiente:

MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.



Ejemplo:

Otro método para resolver adiciones y sustracciones es el siguiente:

DIVISIÓN:

Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.

Ejemplo:

Otro método es multiplicando en forma cruzada, de la siguiente manera:

2. TALLER

I. Atletismo Escolar: Arturo, Boris, Carlos y Daniel son cuatro atletas que se preparan con dedicación para competir en los diversos torneos escolares de la Región. En general entrenan los lunes, martes, jueves y

viernes, dejando los días restantes para competir en las carreras de 100 m. y 200 m. planos; que son en las cuales más se destacan. En el siguiente cuadro se muestra el tiempo empleado en los entrenamientos de una

semana y las marcas logradas en las competencias llevadas a cabo los días miércoles (100 m.), sábado (100 m.)

y Domingo (200 m.)

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Arturo 1/4 hora 2/5 h 12,24 seg 3/4 h 5/6 h 12,01 seg 24,12 seg

Boris 1/2 h 1/3 h 13,18 seg 5/6 h 1/4 h 13,2 seg 26,47 seg

Carlos 3/4 h 1/5 h 13,01 seg 1/3 h 7/12 h 12,96 seg 25,83 seg

Daniel 2/3 h 3/4 h 12,84 seg 2/5 h 1/6 h 12,53 seg 25,03 seg

Basándote en los datos de la tabla resuelve las siguientes interrogantes: a) ¿Cuántos minutos entrenó cada atleta el día jueves?

b) ¿Quién entrenó mayor cantidad de horas el día martes? c) ¿Cuánto tiempo entrenaron en la semana Arturo, Boris, Carlos y Daniel, respectivamente?

d) ¿Cuánto tiempo entrenó Carlos antes de la primera competencia?

e) ¿Cuál fue el orden de llegada a la meta en la carrera del día miércoles? f) ¿Cuánto tiempo corrieron en total Boris y Daniel considerando las 3 competencias en las que participaron?

g) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre la primera y la segunda competencia por parte de Arturo y Boris? h) Si los 4 atletas decidieran participar en una posta, ¿cuántos segundos demorarían en total considerando que

repiten la marca lograda en la competencia del día sábado?

i) Si el record estudiantil de los 100 m. planos es 11,47 seg, ¿en cuántos segundos deberá mejorar cada atleta para alcanzar esa marca?

j) Si Arturo y Daniel corrieron en forma constante los 200 m planos, ¿qué tiempo hicieron cada 50 m., respectivamente?

k) Si en la próxima carrera, Carlos se ha propuesto correr cada metro en 0,128 seg, ¿cuál será su tiempo

cronometrado para los 100 m.? l) Si Daniel corriera su próxima carrera a 0,1346 segundos cada metro, ¿en cuántos segundos recorrería 25,5

m.?



II. Traduce las siguientes frases al lenguaje matemático:

1. La mitad de X, aumentada en el producto de 45 por Z.

2. Cinco veces X, disminuido en un séptimo de Y. 3. Un tercio de la suma de P con el cuádruplo de Q.

4. Cien disminuido en un octavo del producto de X por Y. 5. Tres cuartos de la suma de N y los tres quintos de M.

6. El producto de X por Y, disminuido en el doble de la diferencia entre P y Q.

7. El cociente de Z y 8, menos cuádruplo de su suma.

III. Usando la letra que desee traduzca al lenguaje simbólico y resuelva matemáticamente el problema: 1. La suma de un número y su doble es 18.

2. El doble de un número menos 8 es 18.

3. Ocho veces la diferencia entre un número y 2 es 20. 4. Un equipo ganó tres veces más partidos de los que perdió y en total ganó 40 partidos. ¿Cuántos perdió?

5. Tres veces la suma de un número y 6 da 33. ¿Cuál es el número? 6. La cabeza de un pez mide 10 centímetros, la cola es tan larga como la cabeza más ½ del cuerpo; el cuerpo

es tan largo como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuánto mide el pez?

IV. Desarrollar:

1. 3

2 +

3

4 2.

4

3 +

4

5 3.

8

3 +

2

1 4.

5

3 +

5

7

5. 5

2 +

10

3 6.

3

2 +

5

3 7.

2

1 +

7

4 8.

11

7 -

11

3

9. 5/3 – 2/3 10. 7/11 – (-3/11) 11. 1/2 – 3/8 12. 2/5 – 3/10

13. 3/5 – 2/3 14. 1/2 – 4/7 15. 3/5 – 4/3 16. 7/8 – 9/4

17. XY5

3 +

XY5

6 18. –6/5X2 + 4/5X2 19. 3Y/X + 2Y/X 20. X/5Y + 2X/5Y

21. 3/7Y – (-3/7Y) 22. –2/3X – 2/3X 23. 1/2X + 2/3X 24. 3/5m + 5/2m

25. 2/5 * 3/7 26. 3/8 * 3/5 27. 4/5 * 7X/3Y 28. 5/7 * 2X/3Y 29. X/2Y * 3X/Y2 30. 2m/n2 * 3m2/5n2 31. –5/3 * 2/-7 32. 2/-5 * (-3/7)

33. 3/5 5/7 34. 3/4 4/5 35. 2X/3 5/7Y 36. 3/7 (-2/3) 37. –4/5 3/7 38. 1/25 15/4 39. 3uv2/5w 6u2v/15w

V. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 1. (9/10 4/6) * 3/5 2. 9/10 (4/6 * 3/5)

3. –21/16 * 12/-14 * 8/9 4. 18/15 * (-10/20) * 3/-1 5. 2X2/3Y2 * 6YZ/2X * Y/-XZ 6. –a/-b * 12b2/15ac * (-10/4b)

7. (a/b c/d) e/f 8. a/b (c/d e/f) 9. 1/3 – (-1/2) + 5/6 10. –3/4 + 2/5 – (-3/2)

11. X2/4 – X/3 + (-1/2) 12. 2/5 – X/2 – (-x2/3)

13. 3/Y3 – (-2/3Y2) + 1/2Y - 3 14. 1/5X3 + (-3/X2) – (-2/3X) – 1 15. Y/9 – (-1/28) – Y/42 16. 5X/6 – 3/8 + X/15 – 3/20

17. X2/12 + X/18 – 1/30 18. 3X/50 – X/15 – (-2/6) 19. X/3 (1/4 – X/2) 20. (X/5 – X/2) X/10

21. x (1/2 + X/3) – X2/6 22. X2/2 X/3 – X/4

VI. Resuelva:

1. Si un lado de un triángulo mide una cuarta parte del perímetro, el segundo lado mide 3 m, y el tercer lado mide una tercera parte del perímetro, ¿cuál es el perímetro del triángulo?

2. Una torre de transmisión eléctrica está localizada en un lago. Una quinta parte de la torre está debajo de la arena, 10 m están debajo del agua, y dos terceras partes están afuera, ¿cuál es la altura total de la torre desde

los cimientos en la piedra hasta el tope?

3. En una excursión, un grupo viajó la mitad de la distancia en una camioneta, 55 Km a caballo, y la última tercera parte de la distancia, por barco. ¿Qué distancia recorrió el grupo en el viaje?



4. Halle las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 72 cm, si su ancho es una tercera parte de su

longitud.

5. La suma de la cuarta parte de un número y 10 es igual al siguiente del número buscado. 6. Un campesino tiene el triple de vacas que terneros. De cerdos tiene cinco más que el doble del número de

vacas y terneros juntos. El número de animales es 65. ¿Qué cantidad de cada uno de los animales tiene? 7. La suma de la mitad de un cierto número y 7.5 es uno menos que el anterior del número buscado. ¿Cuál es el

número?

8. Si la razón de mujeres a hombres es 9

7 y hay 630 hombres, ¿cuántas mujeres hay?

9. Si hay 8 gramos de ácido clorhídrico en 70 gramos de solución, ¿cuántos gramos de ácido clorhídrico hay en

21 gramos de la misma solución?

10. Si la razón de precio/ganancia de una acción de cierta empresa es de 2

5, y el precio de la acción es $3600,

¿cuál es la ganancia de la acción?

VII. Marque la respuesta correcta.

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un

racional? A) -1 B) 0/5 C) 0,2 D) 3/0

2. Al dividir un número por 2/3, se obtuvo 12 como

cociente. El número es A) 8 B) 9 C) 18 D) 30

3. Al amplificar por 2 el racional 3/4 resulta A) 6/8 B) 3/8 C) 6/4 D) 3,2

4. ¿Qué número dividido por 5/p da como resultado

p/5?

A) p2/5 B) p/5 C) 1 D) (p/5)2

5. Al ordenar los números 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9 en forma decreciente, el quinto término es:

A) 1/9 B) 5 C) 1/2 D) 3/4

6. Si la mitad de un medio se divide por un medio,

resulta: A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 2

7. Si al triple de la tercera parte de un número se le

resta 18, resulta 0. ¿Cuál es el número?

a) 2 b) 9 c) 18 d) 36

8. Si a = 1/2 y b = 1/3, entonces 1/(a+b) es A) 1/2 B) 5 C) 1/6 D) 6/5

9. ¿Por cuánto debe amplificarse el racional 10/3

para que la diferencia entre sus términos sea 35?

A) 5 B) 6 C) 16 D) 35

10. Dadas las fracciones a = 3/4, b= 2/3 y c = 4/6. ¿Qué afirmación es falsa?

A) a > b B) b = c C) c > a D) b < a

11. Si m = 1/2 - 1/3, n = 1/4 - 1/3 y p = 1/6 –

1/3, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A) m > n > p B) m < n < p

C) m < n = p D) p > m > n

12. Dados lo racionales a = -0,2, b = -0,01 y c = -0,1; el orden creciente de ellos será:

A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) b, c, a

13. ¿Cuál es el valor de (0,1 · 0,4) / 0,2?

A) 0,02 B) 0,2 C) 20 D) 2

14. Para obtener los 2/7 de un número distinto de 1

se debe: A) Restar cinco séptimos B) Dividir por catorce

C) Multiplicar por catorce D) Multiplicar por dos y dividir por siete

15. ¿Qué afirmación es correcta?

A) 0,099 > 0,2 A) –0,28 > -0,35

C) 0,2 · 0,2 = 2 · 0,2 D) 0,4 : 0,2 = 0,2

16. Cuatro niños compran D dulces cada uno. Si llegan 3 niños más, sin dulces, y el total se reparte

entre todos en partes iguales, cada niño recibe:

A) D/7 B) 4D/7 C) 4D – 3 D) 4 – 3D

17. De una fortuna se gastan la mitad y la tercera parte, quedando un remanente de $A. ¿De cuántos

pesos era la fortuna? A) 6A B) 10 A C) 12A D) 15A

18. La fracción 5/9 equivale al decimal: A) 5,9 B) 9,5 C) 0,5 D) 0,55...

19. La mitad de la mitad de 3/5 es:

A) 3/5 B) 6/5 C) 3/20 D) 12/5



3. POTENCIACION Y PROPORCIONALIDAD

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Esta operación parte en el contexto de los números naturales y corresponde a la multiplicación de un mismo

número natural a, una cantidad n de veces; actualmente al número a lo conocemos como base y al número n como exponente.

Se puede definir la potencia de una expresión cualquiera como el resultado de tomarla como factor dos o más

veces. vecesnaaaa n .....)(

Ejemplo: vecesnn .......2222

Para presentar las propiedades de la potenciación se debe recordar la naturaleza de los exponentes a los cuales

está elevada una base determinada.

na

Donde el término “a” representa la base y “n el exponente. Aquí “n” R (se lee: n pertenece a los reales).

El signo de la potencia viene determinado por la naturaleza par o impar del exponente. Para bases negativas

elevadas a exponente par la potencia será positiva. Para bases negativas elevadas a exponente impar la

potencia será negativa.

Eemplos.: 9)3()3()3( 2

27)3()3()3()3( 3

55

44

)()()()()()(

)()()()()(

xxxxxxx

xxxxxx

De acuerdo con lo anterior se definirán potencias para diferentes exponentes de la siguiente manera:

0a = 1 1a = a b

b

aa

1

c bc

b

aa cbcb aaa

cb

c

b

aa

a ccc baab )(

c

cc

b

a

b

a

bccb aa

ACTIVIDAD. Desarrollar

1. 3)5( a 2.

22 )6( ba 3. 3432 )4( cba 4.

2)2

(y

x

5. 3

2

)5

(ab

6. 21

43

)()( xyxy 7. 3

5

2

2 8.

xnmba )(

RAIZ CUADRADA:

La raíz cuadrada de un número real a existe en y se denota por √ , si existe un número real tal que el

cuadrado de es igual a . Es decir:



√

Ahora bien, de acuerdo a la definición, no todo número real tiene raíz cuadrada. En efecto, para que √ tenga

sentido en , debe ser mayor o igual que cero .

La raíz cuadrada de un número negativo no está definida, por lo tanto no es un número irracional y tampoco un

racional.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES Los números irracionales son todos aquellos números reales que no se pueden representar como una fracción

con numerador y denominador enteros, siendo el denominador distinto de 0. Es decir, los números irracionales son todos aquellos números reales que poseen infinitos decimales, los cuales no son periódicos ni

semiperiódicos.

Otros ejemplos conocidos de números irracionales son:

El número pi: = 3,1415926535897. . .

El número exponencial: e = 2,7182818284. . .

El número áureo: = 1,6180339887498 . . .

Todas las raíces no exactas son números irracionales.

Por ejemplo:

√ √

√ √

√ √

Recuerde que las operaciones entre un racional y un irracional, salvo la multiplicación y/o división por cero,

producen un irracional.

Por ejemplo:

ALGO DE HISTORIA:

El símbolo √ es una variante de la letra r correspondiente a la inicial de la palabra, en latín, radix que

significa es nuestra lengua raíz. Este símbolo es el que se asocia a la operación radicación. En el siglo XVI

usaban la letra mayúscula R y le agregaban q para quadratus o una c para cubus, que era extraer raíz

cuadrada o raíz cúbica, así por ejemplo R.q4372 era √ .

RAÍZ N-ÉSIMA: Sea y sea un número natural. Entonces, decimos que la raíz n-ésima del número

real existe en y se denota por √

, si existe un número real tal que la n-ésima potencia de es igual a

. Es decir:

√

Las raíces de índice par no están definidas en si ; mientras que las raíces de índice impar están

definidas en para todo .



PROPORCIONALIDAD

RAZÓN: Es la comparación entre dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.

Así: (se lee es a ) donde el es el antecedente y el el consecuente.

PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos razones.

En forma general:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA: Dos cantidades y son directamente proporcionales si su cociente

es constante.

kb

a

Ejemplo: Por 500 fotocopias cobran $ 15.000, ¿Cuánto se debe pagar por 100 fotocopias?

D/

Al analizar que si baja la cantidad de fotocopias, obviamente bajará la cantidad a cancelar. En estos casos estamos hablando de una proporción directa.

x

100

000.15

500

500x = 1.500.000

x = 3.000 Por las 100 fotocopias se pagará $ 3.000.

PROPORCIONALIDAD INVERSA: Dos cantidades y son inversamente proporcionales si su producto

es constante.

a · b = k Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Ejemplo: Si 20 obreros demoran en hacer una obra 12 días, ¿cuánto demorarán 5 obreros en realizar la misma

obra y en las mismas condiciones? D/

Al analizar el problema debemos prestar mucha atención a la baja del número de trabajadores lo que implicará

una mayor cantidad de días de trabajo para finalizar la obra. O sea se establece una proporcionalidad inversa. Ojo al plantear la ecuación:

512

20 x

12x = 100 x = 83,3 días.

O sea un poco más de 83 días.



3. TALLER

I. Completa la siguiente tabla:

a b ab a2 – b3 a-1 + b-1 2a+1 : 2b-1

1 1

2 2

1 2

2 1

1 0

0 1

-1 2

2 -1

-2 -2

II. Desarrolla las siguientes potencias:

1. 2. 3.

4. (

)

5. (

)

6. (

)

III. Desarrollar.

1. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4:3. Calcula el valor de cada número.

2. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kilos y están en la razón 7:4. Calcula el peso de cada vehículo.

3. Las edades de Ana y Julia están en la razón 3:2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus edades es 80

años? 4. El perímetro de un rectángulo es 128 cm. y la razón entre la medida de sus lados es 5:3. Calcula su área.

5. Dos amigos deben repartirse $27.000 en la razón 5:4. ¿Cuánto dinero recibe cada uno? 6. Si a + b = 54 y a:4 = b:5, calcula los valores de a y b.

7. Si x – y = 21 y x:y = 7:4, calcula x e y.

8. Calcula a y b, si 7/5 = a/b y a – b = 30. 9. Si a + b = 18 y a:5 = b:4, calcula a y b.

10. El dinero de dos personas están en la razón 12:7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene cada una?

11. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno?

12. Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la razón 1:2:3:4. ¿Cuánto recibe cada una? 13. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcula los números.

14. Hallar x, y, z, si x+y+z = 50 y x:y:z = 3:5:2. 15. Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?

16. Seis obreros cavan en tres horas una zanja de 20 m. de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo tiempo, 42 obreros trabajando en las mismas condiciones?

17. Si una persona de 1,75 m. de altura proyecta una sombra de 1,25 m. de longitud, calcula la altura de un

árbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m. 18. Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a $20 cada uno. Si suben a $ 25, ¿cuántos podré comprar?

19. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demorar 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?

20. La rapidez de un automóvil es de 70 Km/h y demora 5 horas en recorrer cierta distancia. ¿Cuántas horas

demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/h? 21. Si 30 máquinas tejen 2.000 m. de tela en 20 días. ¿Cuántas máquinas iguales a las anteriores serán

necesarias para producir 7.000 m. de tela en 14 días?

números reales 2016

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