3) números irracionales

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Números Irracionales

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FatelaPreuniversitarios

MATEMTICA Gua 3 MEROS IRRACIO ALES Los nmeros irracionales son nmeros decimales reales que tienen infinitas cifras decimales y no aparece en ellas ningn perodo. Surgen al resolver races (de cualquier ndice) de nmeros racionales. No es correcto expresarlos con una cierta cantidad de decimales, puesto que el nmero exacto tiene infinitos decimales. La exactitud que requiere la Matemtica, hace que estos nmeros se deban indicar con el smbolo radical. Tambin son irracionales algunos nmeros especiales surgidos del anlisis matemtico como el nmero "", que se aplica al clculo de longitud de circunferencias, superficies de crculos; y superficies y volmenes de slidos de revolucin, y el nmero "e" (Nmero de Neper) que sirve de base a los logaritmos naturales. Cmo aparece un nmero as en la recta numrica? Supongamos que tenemos un tringulo issceles rectngulo, cuyos catetos iguales valen 1. Entonces la hipotenusa ser: Por Pitgoras: x 1 1 Coloquemos este tringulo en la recta numrica, como se muestra en la figura, y haciendo centro en el origen llevemos la longitud de la hipotenusa hacia la recta numrica. Queda demostrado as que hay un punto de dicha recta numrica que es un nmero irracional. x2 = 12 + 12 x2 = 2

x=

2

La hipotenusa es un nmero irracional

2-1 0

1 1 2

Se puede demostrar que en la recta numrica hay infinitos nmeros irracionales.

2MATEMTICA-NMEROS IRRACIONALES- 1 -12

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Operaciones con nmeros irracionales 1) Extraccin de factores: Es prctica habitual en matemtica la extraccin de factores de los radicales que lo permitan. Para que la extraccin de factores sea posible el exponente de la potencia debe ser mayor o igual al ndice de la raz. Se puede hacer aplicando propiedades de potencias o con una regla prctica: a) Aplicando propiedades de potencias:3

x 7 = 3 x 3 . x 3 . x = 3 x 3 . 3 x 3 . 3 x = x. x. 3 x = x 2 . 3 x3

Descomponemos la potencia del radicando en factores

Aplicamos propiedad distributiva

Cancelamos potencia y raz

x7 = x2. 3 x

b) Aplicando regla prctica: Dividimos el exponente de la potencia por el ndice de la raz 7 1 Exponente de las potencias que quedan dentro de la raz 3 2 Exponente de las potencias que salen de la raz

3

x7 = x2. 3 x

A menudo se presenta el caso del radical de un nmero que se puede factorear (o sea descomponer en sus factores primos). Se procede as:

108 = 22.33 = 22 . 33 = 2 . 3 3 = 6 3

108 = 6 3

3 1

2 1

108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 108 = 22. 33

MATEMTICA-NMEROS IRRACIONALES- 2 -12

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Para practicar: a) 5

Extraer factores de los siguientes radicales

64 x 4 y 7

2 y 5 2x4 y2

b) 4

0,01 z2

.y 4

y 10 z

2) Introduccin de factores: Si se necesita es posible introducir un factor que se halla afuera del radical hacia adentro del mismo. Se puede hacer aplicando propiedades (con un artificio) o con una regla prctica: 1) Aplicando propiedades de potencias (con un artificio matemtico) El artificio matemtico consiste en tomar el factor que se va a introducir al radical, elevarlo a la potencia del ndice de esta raz y al mismo tiempo extraerle una raz del mismo ndice. Ambas operaciones son inversas de modo que este factor a introducir no se altera.

x2 . 3 x = 3 x2 . x = 3 x2 . x = 3 x6. x = 3 x7

( )

3 3

( )

3

x2. 3 x = 3 x7

Artificio matemtico

Aplicamos propiedad asociativa

Potencia de potencia

Producto de potencias de igual base

2) Aplicando regla prctica: Multiplicamos el exponente de la potencia a introducir por el ndice de la raz.

x2. 3 x = 3 x7

x2 . 3 x = 3 x6.x = 3 x7

Luego propiedades de potencias

MATEMTICA-NMEROS IRRACIONALES- 3 -12

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3) Suma algebraica de Radicales: Los nmeros irracionales slo se pueden sumar o restar en forma exacta si tienen radicales semejantes. Nmeros irracionales de radicales semejantes

6 2

;

2 2 ; 5 2 3

Para sumarlos simplemente se suman algebraicamente sus partes racionales, lo que equivale a sacar el radical como factor comn. Por ejemplo:

6 2+

2 2 5 2 5 2 = 2. 6 + 5 = 2 3 3 3

Si los nmeros irracionales no son de radicales semejantes no se pueden sumar y se debe expresar el resultado como un binomio irracional:

6 2+2 3=

Binomio Irracional

A veces hay que sumar radicales que en apariencia no son de radicales semejantes, pero en los cuales al extraer factores se puede llegar a que aparezcan radicales semejantes. Por ejemplo:

5 18

2 50 + 2 2 = 3 2 2.52 + 2 2 = 3 2 2 5 2+2 2 = 3

5 2.32

18 2 9 3 3 3 1 18 = 2. 32

50 2 25 5 5 5 1 50 = 2. 52

5 32 2

2 5.3 2 5 2 + 2 2 = 3 15 2 10 2+2 2 = 3 41 2 3

Una vez extrados los factores de las races, los radicales quedan semejantes y se pueden sumar.

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Para practicar: a)

Efectuar las siguientes sumas algebraicas:

1 1 12 + 4 75 108 2 34

19 3 1 2 6

b)

4 2 + 5 0,02 81

4) Multiplicacin de Radicales: Pueden ser de races de igual o de distinto ndice. A) De Races del mismo ndice: Propiedad Asociativa5

x 3 .5 x = 5 x 3. x = 5 x 4B) De Races de distinto ndice:

Se aplica la propiedad asociativa y se colocan los radicandos bajo el mismo smbolo radical.

Para multiplicar races de distinto ndice debe hallarse el "Mnimo Comn ndice" que es el mnimo comn mltiplo de los ndices. Para ello debe hacerse el factoreo conjunto de dichos ndices, tal como se explic en el apunte "Conjuntos Numricos", para sacar el comn denominador al hacer la suma de fracciones. Luego se realiza un artificio que consiste en multiplicar el ndice y el exponente de cada radical por un mismo nmero. Este nmero es el necesario para llevar el ndice de la raz al Mnimo Comn ndice. Al hacer esta operacin de multiplicar por un mismo nmero al exponente y al ndice de una raz no se altera su valor, de modo que es un paso correcto. Por ltimo se asocian las dos races (que ya quedan de igual ndice) en un slo radical. El resultado final debe expresarse con los factores extrados del radical. Multiplico por 35

Multiplico por 5

El Mnimo Comn ndice entre 3 y 5 es 15.15

x3 . 3 x2 =

5.3

x 3.3 .

3.5

x 2.5 =

15

x 9 . x10 = 15 x 9 . x10 =19 4 15 1

15

x19 =x4

x.

15

MATEMTICA-NMEROS IRRACIONALES- 5 -12

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Para practicar: a)

Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones:

3

2 10 5 .3 2 2 .3 2 xy x y x y

1 100 .3 xy x 2 y

b)

3

xy . 4 x 2 . y 5

y 2 6 x5 y 51 x . 15 x14 y 2 z 5 4

c)

13 7 . x y.z : (2.5 x 2 y ) 25) Racionalizacin de Denominadores:

Es una tradicin en Matemtica no dejar "nunca" un nmero irracional en los denominadores de fracciones. Esto se debe a que no podemos realizar una divisin (por mtodos numricos, o sea con lpiz y papel) si el divisor tiene infinitos decimales como ocurre con los nmeros irracionales. Es preciso realizar una operacin para racionalizar (convertir en racional) el denominador, para luego s proceder a dividir. Lo que ocurre al racionalizar es que un nmero irracional aparece en el numerador, pero esto no es mayor problema pues al ser racional el denominador podemos efectuar la divisin con tanta precisin como queramos a condicin de tomar los decimales suficientes del numerador irracional. Se aconseja siempre extraer todos los factores que sean posibles de la raz a eliminar antes de proceder con el caso de racionalizacin que corresponda. Hay tres casos de racionalizacin de denominadores: A) Primer Caso: Hay una raz cuadrada en el denominador:

1 1 2 = . = 2 2 2

2

( 2)

2

2 2

Se multiplica y se divide por la misma raz a eliminar.

5 5 5 2 5. 2 = 3 = . = 8 2. 2 2 2. 2 2 2

( )

5. 2 4

MATEMTICA-NMEROS IRRACIONALES- 6 -12

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B) Segundo Caso: Hay una raz no cuadrada en el denominador:

15

x3

=5

1 x

5

. 3 5

x2 x2

5

=

x2

5

5

x 3. x 2

=

x2 x5

5

5

x2 x

Se multiplica y se divide por una raz del mismo ndice de la que se va a eliminar, que contenga las potencias que le faltan a dicha raz para que el exponente de sus factores iguale al ndice.

3

a.b.3 a 2 . b = . = = 4 2 2 3 2 3 3 3 3 a.a.b a .b a . a .b a . b a. a .b a.b a.b3

a2. b

a.b. 3 a 2 . b

3

a2. b a

C) Tercer Caso: Hay un binomio con una o dos races cuadradas en el denominador:

3 3 5+ 2 . = = 5 2 5 2 5+ 2 3. 5 + 2 3. 5 + 2 = 52 3

3. 5 + 2

(

) ( 2)2

( 5)

2

=

+ 5 2 5 2

(

)

(

)

5+ 2

Se multiplica y se divide por el binomio conjugado del denominador, que corresponde a un binomio similar pero con el signo del medio cambiado. Casos Combinados de Racionalizacin de Denominadores A veces pueden aparecer casos combinados de racionalizacin de denominadores, en los cuales hay que aplicar los casos ya vistos en el orden adecuado a fin de eliminar todas las races del denominador:

2 2 +1

=

2 2 +1

.

2 +1 2 +1

=

2

2 +1 2 +1

(

)

2

=

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FatelaPreu

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