números irracionales (ensayo final)

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  • 1. BENEMRITA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FSICO MATEMTICASLicenciatura en Matemticas Otoo 2012 Alumno: Ricardo Vzquez Prisco Matrcula: 201137891 Profesor: Aureliano J. Jimnez M.Materia/Seccin: DHTIC/303 Cdigo/NRC: FGUM/70649-003Ensayo. Taller 04:TEMA: NMEROS IRRACIONALES Lunes, 10 de diciembre del 2012.

2. NDICEINTRODUCCIN. ................................................................................................................. 3 CAPTULO 1: NMEROS NATURALES. ...................................................................... 41.1 NMEROS PRIMOS. .............................................................................................. 41.2 NMEROS NEGATIVOS. .................................................................................... 81.3 NMEROS ENTEROS. ......................................................................................... 8 CAPTULO 2. NMEROS RACIONALES. .................................................................... 92.1 NMEROS FRACCIONARIOS. ........................................................................... 92.2 FRACCIONES IRREDUCIBLES. ......................................................................... 9 CAPTULO 3. NMEROS IRRACIONALES. .............................................................. 103.1 TIPOS DE IRRACIONALES. ............................................................................... 10CONCLUSIN. ................................................................................................................... 17BIBLIOGRAFA. ................................................................................................................. 182 3. INTRODUCCIN.En matemticas, un Nmero Irracional es un nmero que no puede serexpresado como una fraccin , dondey son enteros, con diferente de ceroy sta fraccin es irreducible, cualquier Nmero Real que no es Racional.Notacin: No existe una notacin universal para indicarlos, como , que esgeneralmente aceptada. Ya que es tan apropiada para designar al conjunto deNmeros Irracionales como al conjunto de Nmeros Imaginarios Puros, lo cualpuede crear confusin.es la denotacin del conjunto por definicin.Clasificacin: Tras distinguir los nmeros componentes de la recta real entres categoras: (naturales, enteros y racionales), podra parecer que ha terminadola clasificacin de los nmeros, pero an quedan "huecos" por rellenar en la rectade los nmeros reales. Los nmeros irracionales son los elementos de dicha rectaque cubren los vacos que dejan los nmeros racionales.Los nmeros irracionales son los elementos de la recta real que nopueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan porposeer infinitas cifras decimales no peridicas. De este modo, puede definirse alnmero irracional como un decimal infinito no peridico. En general, todaexpresin en nmeros decimales es solo una aproximacin en nmeros racionalesal nmero irracional referido, por ejemplo, el nmero racional 1,4142135 es solouna aproximacin a 7 cifras decimales del nmero irracional raz cuadrada de 2, elcual posee infinitas cifras decimales no peridicas. Entonces, decimos con todapropiedad que el nmeroes aproximadamente igual a 1,4142135 en 7decimales, o bien es igual a 1,4142135 donde los tres puntos hacen referencia alos infinitos decimales que hacen falta y que jams terminaramos de escribir.Debido a ello, los nmeros irracionales ms conocidos son identificadosmediante smbolos especiales; los tres principales son los siguientes: , , . 3 4. CAPTULO 1: NMEROS NATURALES.Para comprender la idea que involucra un nmero irracional, es necesarioiniciar con los Nmeros Naturales, dependiendo del autor el conjunto de losnmeros naturales puede o no incluir al CERO es deciro bien.Partiendo de sta idea se define el conjunto de los Nmeros Naturalescomo:1.1 NMEROS PRIMOS.Los Nmeros Primos son los Nmeros Naturales que tienen la propiedadde ser divisibles nicamente por s mismo adems de la unidad, es decir el 1. Anno existe la forma de determinar la primalidad de un Nmero Natural. Aun as laCriba de Eratstenes muestra claramente la forma de ubicarlos.Se inicia con una tabla que contiene por ejemplo los enteros del intervalodel 1 al 100, ordenado en columnas de la siguiente manera:1 2 34 5678910111213 1415 16 17 18 19 20212223 2425 26 27 28 29 30313233 3435 36 37 38 39 40414243 4445 46 47 48 49 50515253 5455 56 57 58 59 60616263 6465 66 67 68 69 70717273 7475 76 77 78 79 80818283 8485 86 87 88 89 90919293 9495 96 97 98 99100 4 5. En primer lugar se descarta la unidad. En segundo lugar se eliminan losmltiplos de 2 1 2 345678 910 111213 14 15 16 17 1819 20 212223 24 25 26 27 2829 30 313233 34 35 36 37 3839 40 414243 44 45 46 47 4849 50 515253 54 55 56 57 5859 60 616263 64 65 66 67 6869 70 717273 74 75 76 77 7879 80 818283 84 85 86 87 8889 90 919293 94 95 96 97 9899100 En tercer lugar buscamos el menor nmero mayor que 2 no eliminado. En stecaso es el 3, ahora eliminamos sus mltiplos. 1 2 345678 910 111213 14 15 16 17 1819 20 212223 24 25 26 27 2829 30 313233 34 35 36 37 3839 40 414243 44 45 46 47 4849 50 515253 54 55 56 57 5859 60 616263 64 65 66 67 6869 70 717273 74 75 76 77 7879 80 818283 84 85 86 87 8889 90 919293 94 95 96 97 9899100 Nuevamente se localiza el menor nmero mayor a 3 no eliminado. Que es el 5 yeliminamos sus mltiplos.1 23456789101112 13 14 15 16 17 18 19 202122 23 24 25 26 27 28 29 303132 33 34 35 36 37 38 39 404142 43 44 45 46 47 48 49 505152 53 54 55 56 57 58 59 606162 63 64 65 66 67 68 69 707172 73 74 75 76 77 78 79 808182 83 84 85 86 87 88 89 909192 93 94 95 96 97 98 99100 5 6. Nuevamente se localiza el menor nmero mayor a 5 no eliminado. Que esel 7 y eliminamos sus mltiplos. 1 2 3456789 10 111213 14 15 16 17 18 1920 212223 24 25 26 27 28 2930 313233 34 35 36 37 38 3940 414243 44 45 46 47 48 4950 515253 54 55 56 57 58 5960 616263 64 65 66 67 68 6970 717273 74 75 76 77 78 7980 818283 84 85 86 87 88 8990 919293 94 95 96 97 98 99 100 El mismo proceso ahora para el 11. Que en ste caso no se elimin algunonuevo en el intervalo del ejemplo. 1 2 3456789 10 111213 14 15 16 17 18 1920 212223 24 25 26 27 28 2930 313233 34 35 36 37 38 3940 414243 44 45 46 47 48 4950 515253 54 55 56 57 58 5960 616263 64 65 66 67 68 6970 717273 74 75 76 77 78 7980 818283 84 85 86 87 88 8990 919293 94 95 96 97 98 99 100 El mismo proceso, pero ahora con el 13. Tambin es ste caso no se eliminalgn nmero nuevo en el intervalo del ejemplo.El proceso ahora con el 17, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 19, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 23, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 29, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 31, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.6 7. El proceso ahora con el 41, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 43, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 47, que tampoco elimina algn nmero de los restantes.El proceso ahora con el 53, que tampoco elimina algn nmero de los restantes. Cabe mencionar que aunque en el intervalo del ejemplo [1,100] no se vaneliminando para algunos nmeros, en general en los nmeros naturales si seeliminan. Bastara con hacer el proceso completo con un intervalo mayor, porejemplo del 1 al 1000. Adems al eliminar los mltiplos del 53 se evidencia lapropiedad de Nmero Primo de los Naturales presentes an: es decir {59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97}, ya que al no ser eliminados como mltiplos de 53, tampocosern eliminados por ser mltiplos de 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 97. As. Los primeros 25 nmeros primos, que por cierto son TODOS menoresque 100, son:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,89, 97 } o bien de diez en diez con la CRIBA DE ERATSTENES. 2 35711 1317 19 23 2931 3741 4347 53 5961 6771 73 79 83 89 97 De ste modo se puede apreciar claramente que los Nmeros Primosmayores a 100, tendrn como digito de las unidades 1, 3, 7 9. O bien, dicho deotro modo, terminarn en 1, 3, 7 9. De lo contrario seran mltiplos de 2 o 5.7 8. 1.1.1 PRIMOS ENTRE SI. Se dice que dos nmeros a y b al tener como nico divisor comn la unidadson primos entre s. De modo contrario no son primos entre si cuando adems de la unidadtienen otro divisor en comn.1.2 NMEROS NEGATIVOS. Se pude formar el conjunto de los Nmeros Enteros a partir de losNmeros Naturales pero antes de ello se definen los Nmeros Negativos como losNmeros Naturales precedidos de un signo menos, es decir: Adems se hace la observacin de que los Nmeros Naturales sonpositivos es decir1.3 NMEROS ENTEROS. Los Nmeros Enteros se definen como la unin de los Nmeros Naturales,el cero y los Nmeros Negativos es decir el conjunto de los Nmeros Enteros es: bien8 9. CAPTULO 2. NMEROS RACIONALES.Los Nmeros Racionales son aquellos que se escriben de la formadondep y q son enteros,y es una fraccin irreducible.Adems de la forma , tambin pueden expresarse como un nmero condecimales peridicos, es decir:Con una regla de 3 se expresa nuevamente a la formade la siguientemanera: (i)(ii)As: Restndole a (ii) la expresin (i) .2.1 NMEROS FRACCIONARIOS.Los nmeros fraccionarios son aquellos de la forma que constan denumerador a y denominador b y una lnea divisoria entre ambos (barrahorizontal u oblicua) con y Nmeros Enteros y.2.2 FRACCIONES IRREDUCIBLES.Son aquellos nmeros de la forma que adems de ser fraccionarios tienenla particularidad de que a y b son primos entre si. 9 10. Es muy importante hacer notar que de la misma forma que los NmerosNaturales estn contenidos en los Nmeros Enteros. As los Nmeros Enterosestn contenidos en los Nmeros Fraccionarios ya que todo Nmero Entero sepuede escribir de la forma donde a es el entero en cuestin y b es la unidad.Es decir, como es equivalente aAs tambines equivalente a CAPTULO 3. NMEROS IRRACIONALES.Los Nmeros Irracionales son los Nmeros Reales

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