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LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

GUÍA DE MATEMÁTICA N°1 FILA A

CONTENIDO: INECUACIONES LINEALES

NOMBRE:

CURSO: 4º MEDIO FECHA: /05/2020

CONJUNTOS [Página 18 a la 21 del texto del estudiante]

En cursos anteriores aprendiste que un conjunto es una colección de elementos que tienen una característica en común y que se puede definir escribiendo los elementos que lo conforman; por ejemplo, si queremos definir el conjunto � que le presentó Laura a Tomás, podemos escribir: � = {�, �, , , �} Definido por extensión.

Otra manera de definir el conjunto anterior consiste en describir la característica común que tienen los elementos del conjunto. En este caso, como todas las letras son vocales, nos queda: � = { �� } Definido por comprensión.

En el primer caso, el conjunto está definido por extensión y en el segundo, por comprensión.

Los conjuntos numéricos también pueden definirse por extensión o por comprensión; por ejemplo, si queremos definir el conjunto � de todos los dígitos nos queda: Por extensión: � = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Por comprensión: � = { í"#$%&}

� RECUERDA: TIPOS DE NÚMEROS - CLASIFICACIÓN Los números se clasifican en cinco CONJUNTOS: números naturales «N», números enteros «Z», números racionales «Q», números reales «R» (incluyen a los irracionales) y números complejos «C». En esta clasificación, cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos «C», que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores. A continuación vamos a ver qué números pertenecen a cada tipo o conjunto y al final podrás visualizar un diagrama para asimilar la jerarquía entre ellos. Números Naturales "N" son todos los números mayores de cero que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N = [1, 2 , 3, 4, 5...] Números Enteros "Z" incluye al conjunto de los números naturales, al cero y a sus opuestos (los números negativos). , Z = [...-2, -1, 0, 1, 2...] Números Racionales "Q" son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. . Q = [¼, ¾, etc.] Números Reales "R" se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número '.

OBJETIVOS:

• Representar conjuntos numéricos por extensión y por comprensión.

• Expresar información por medio de desigualdades.

• Representar conjuntos de números reales utilizando intervalos y realizar operaciones con intervalos.

• Conocer y utilizar las propiedades de las desigualdades.

� = {�, �, , �} ( = {�, �, , ), }

* = {+, �, ,, -, ., , /, �, 0, �, �, �, �, 1}

EJEMPLO: Laura le propone a Tomás que describa algunos conjuntos, sin mencionar cada una de las letras. Revisa lo siguiente.


Números Complejos "C" incluye todos los números anteriores más el número imaginario "#". C = [N, Z, Q, R, I] Los conjuntos numéricos también pueden definirse por comprensión, usando simbología matemática; por ejemplo, para definir el conjunto P de los números positivos pares, podemos escribir:

El conjunto anterior se interpreta como "los elementos del conjunto P son todos los números pertenecientes a los números naturales tales que sean pares". En la tabla se muestran algunos símbolos matemáticos que se usan para definir conjuntos por comprensión; por ejemplo, el símbolo ∧ significa "y", y se usa para indicar que se deben cumplir ambas condiciones; por ejemplo, el conjunto P = {x ∈ Z / x es par ∧ x es de una cifra} representa el conjunto de aquellos números enteros que son pares y que además, tienen una cifra, es decir: 4 = {– 8, – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, 8}

Al representar conjuntos por comprensión debes fijarte en que todos los elementos que forman el conjunto cumplan las condiciones dadas y que no existan otros elementos que cumplan la condición y que no estén en el conjunto; por ejemplo, no es correcto describir el conjunto � = {2, 4, 6, 9} por comprensión de la forma � = {6 ∈ 7 / 6 9& :;<}, ya que hay números naturales que cumplen la condición de ser pares pero que no pertenecen a �. Además, un elemento del conjunto � (el 9) no cumple con la condición de ser par. EJEMPLOS - ¿CÓMO HACERLO? 1) Escribe por extensión el conjunto � = {= ∈ > / = �� ,�� ,� ?@} Para escribir el conjunto por extensión, solo escribimos sus elementos separados por una coma. Los elementos de � son todos los números naturales que sean divisores de 36, es decir: � = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. 2) Escribe por comprensión el conjunto � = {?, @, B, CD, CE, . . . } Si te fijas, los elementos de � corresponden a los múltiplos positivos de 3. Luego: � = {6 ∈ 7 / 6 9& FúH$#:H% 9 3} 3) Escribe por extensión y por comprensión el conjunto I de todos los números positivos que sean divisores de 24, o bien, que sean divisores de 18. Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} Luego, del enunciado se desprende que los elementos del conjunto J son todos los divisores positivos de 24 o de 18. Si te fijas, puede darse cualquiera de las dos condiciones. Finalmente, definimos el conjunto J: Por extensión: J = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}; Por comprensión: J = {6 ∈ 7 / 6 9& #K#&%< 9 24 ∨ 6 9& #K#&%< 9 18}

En resumen Un conjunto se puede definir: - Por extensión, cuando los elementos del conjunto se escriben explícitamente; por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales de dos cifras que comienzan con 3 es: * = {?M, ?C, ?D, ??, ?N, ?E, ?@, ?O, ?P, ?B}. - Por comprensión, cuando se describe una o más características comunes de todos los elementos que forman el conjunto; por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales que son divisores de 24 y que son pares, se puede describir por comprensión como: Q = {= ∈ > / = �� ,�� ,� DN ∧ = �� 0��}.


En cursos anteriores conociste algunas operaciones que se pueden realizar entre los conjuntos, como la unión o la intersección de ellos; por ejemplo, dados los conjuntos Q = {D, ?, E, O, CC} y R = {C, D, ?, E, P, C?}, la unión de P y Q es el conjunto con todos los elementos que pertenecen a P, o bien a Q, es decir:

4 ∪ T = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13}

Por otra parte, la intersección de P y Q es el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen tanto a 4 como a T, es decir:

4 ∩ T = {2, 3, 5}

Para realizar operaciones con conjuntos definidos por comprensión, una estrategia consiste en escribirlos definidos por extensión y luego realizar la operación pedida.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

� = {6 ∈ 7 / 6 9& VW WúF9<% :<#F% 9 VW; X#Y<;}

Z = {6 ∈ 7 / 6 9& VW #K#&%< 9 21}

Si queremos determinar los conjuntos � ∪ Z y � ∩ Z, a simple vista no resultará muy sencillo pues no conocemos los elementos de A ni de B, de modo que podemos escribir ambos conjuntos por extensión y luego representarlos en un diagrama de Venn. Observa.

Luego, se tiene que � ∪ Z = {1, 2, 3, 5, 7, 21} y � ∩ Z = {3, 7}

EJEMPLOS - ¿CÓMO HACERLO? 4) Sean D y E dos conjuntos. Si [ = {= ∈ > / x es divisor de DM}, [ ∩ \ = {D, E} y [ ∪ \ = {C, D, ?, N, E, O, CM, DM}, define el conjunto \ por extensión y por comprensión.

Primero, necesitamos reconocer el conjunto D por extensión. Luego, nos queda: [ = {C, D, N, E, CM, DM}.

Luego, podemos representar la situación anterior usando un diagrama de Venn.

Por lo tanto, \ = {D, ?, E, O}. Para definir el conjunto ] por comprensión, considera que todos los elementos de ] son números primos de una cifra.

Luego, podemos escribir: \ = {= ∈ > / = es primo ∧ = tiene una cifra}.

En resumen Para realizar operaciones con conjuntos que están definidos por comprensión, en muchos casos es conveniente escribir

estos conjuntos definidos por extensión y luego realizar la operación pedida. También es conveniente representar, en

ocasiones, los conjuntos mediante diagramas de Venn.


ACTIVIDADES

1. Escribe por extensión los siguientes conjuntos.

a) ^ = {6 ∈ 7 / 6 9& #K#&%< 9 32} b) _ = {6 ∈ 7 / 6 9& FúH$#:H% 9 5} c) ` = {6 ∈ a / 6 $#9W9 2 X#Y<;& ∧ 6 $9<F#W; 9W 4} d) b = {6 ∈ a / 6 9& #K#&%< 9 8 ∨ 6 9& #K#&%< 9 12} e) c = {6 ∈ a / 6 9& :<#F% ∧ 6 9& :;<}

2. Escribe por comprensión los siguientes conjuntos.

a) d = {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) 4 = {2, 4, 6, 8, 10} c) T = {4, 8, 12, 16, 20, 24} d) e = {1, 3, 9, 27, 81, 243, . . . } e) ^ = {1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}

3. Observa el diagrama de Venn y define, por extensión y por comprensión:

a) El conjunto �. b) El conjunto Z. c) El conjunto � ∪ Z. d) El conjunto � ∩ Z.

4. A partir de los conjuntos dados, realiza las siguientes operaciones.

� = {6 ∈ 7 / 6 9& #K#&%< 9 20} ( = {6 ∈ a / 6 9& #F:;< ∧ 6 $#9W9 VW; X#Y<;}

* = {– 6, – 3, – 1, 1, 3, 6, 9}

a) � ∪ Z b) Z ∩ f c) f ∪ �

d) (� ∩ Z) ∪ f e) (f ∪ Z) ∪ � f) (Z ∩ �) ∪ (f ∪ Z)

5. Dado el conjunto � = {6 ∈ 7 / 6 es divisor de 48}, determina, en cada caso, un conjunto Z tal que se cumplan las condiciones indicadas.

a) � ∪ Z = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 48} b) � ∩ Z = {1, 2, 3, 6} c) � ∪ Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 40, 48} d) � ∩ Z = ∅


SOLUCIONES:


S = {x ∈ N / x es divisor de 32} S = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

T = {x ∈ N / x es múltiplo de 5} T = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

U = {x ∈ Z / x tiene 2 cifras ∧ x termina en 4} U = {–94, –84, –74, –64, –54, –44, –34, –24, –14, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94}

V = {x ∈ Z / x es divisor de 8 ∨ x es divisor de 12} V = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}

W = {x ∈ Z / x es primo ∧ x es par} W = {2}


O = {1,2,3,4,6,12} O = {x ∈ N / x es divisor de 12}

P = {2,4,6,8,10} P = {x ∈ N / x es par ^ x es menor que 12}

Q = {4,8,12,16,20,24} Q = {x ∈ N / x es múltiplo de 4 ^ x es menor que 25}

R = {1,3,9,27,81,243,...} R = {x ∈ N / x es potencia de 3}

S = {1,11,21,31,41,51,61,71,81,91} S = {x ∈ N / x es menor que 100 ^ x termina en 1}

3. Observa el diagrama de Venn y define, por extensión y por comprensión:

a) El conjunto �.

A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

A = {x ∈ N / x es divisor de 20}

b) El conjunto Z.

B = {1, 3, 5, 15}

B = {x ∈ N / x es divisor de 15}

c) El conjunto � ∪ Z.

� ∪ ( = {1, 2, 3, 4, 5, 15, 10, 20} � ∪ ( = {x ∈ N / x es divisor de 20 o de 15}

d) El conjunto � ∩ Z.

� ∩ ( = {1, 5}

� ∩ ( = {x ∈ N / x es divisor de 5}

4. A partir de los conjuntos dados, realiza las siguientes operaciones.

� = {6 ∈ 7 / 6 9& #K#&%< 9 20}

( = {6 ∈ a / 6 9& #F:;< ∧ 6 $#9W9 VW; X#Y<;}

* = {– 6, – 3, – 1, 1, 3,6, 9}

a) � ∪ Z = {–9, –7, –5, –3, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 20}

b) Z ∩ f = {–3, –1, 1, 3, 9}

c) f ∪ � = {–6, –3, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 20}

d) (� ∩ Z) ∪ f = {–6, –3, –1, 1, 3, 5, 6, 9}

e) (f ∪ Z) ∪ � = {–9, –7, –6, –5, –3, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 20}

f) (Z ∩ �) ∪ (f ∪ Z) = {–9, –7, –6, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 6, 7, 9}

5. Dado el conjunto � = {= ∈ > / = es divisor de NP}, determina, en cada caso, un conjunto Z tal que se cumplan las condiciones indicadas.

a) � ∪ Z = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 48} Por ejemplo, B = {20, 28}

b) � ∩ Z = {1, 2, 3, 6} Por ejemplo, B = {1, 2, 3, 5, 6, 9}

c) � ∪ Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 40, 48} Por ejemplo, B = {1, 5, 8, 40}

d) � ∩ Z = ∅ Por ejemplo, B = {5, 9, 15, 19}

LICEO TÉCNICO BICENTENARIO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

DESIGUALDADES

Una desigualdad es una relación de orden entre dos números. Se llama necesariamente distintos (como “símbolo j) o desigualdad no estrictapor el símbolo k, o “mayor o igual que Algunas propiedades de las desigualdades son: − Si en una desigualdad se suma o se resta un número real a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad

mantiene su sentido. Por ejemplo, si − Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real posi

entonces la desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si

− Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real negativo a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad invierte su sentido, manteniendo su nivel de restricción. Por ejemplo, si – 5; k – 5l.

Un grupo de estudiantes investiga la temperatura mínima y la máxima registrada en un día en Concepción, lo registran en la siguiente imagen.

• Utiliza alguno de los signos relación de orden que hay entre los números correspondientes a las temperaturas mínima y máxima.

• Si ese día, a las 10 de la mañana la temperatura registrada era t, utiliza algunos de los signos relación de orden que hay entre t y las temperaturas mínima y máxima.

En la vida diaria hay situaciones en las que se comparan cantidades que no necesariamente son iguales; por ejemplo, en el problema anterior, las temperaturas mínima y máxima no son iguales, o la temperatura registrada a las 10 de la mañana no es igual a la mínima ni tampoco a la máxima, sino que se encuentra entre ellas.

Las expresiones matemáticas que escribiste en el problema anterior se llaman indicar que cierta cantidad es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Para escribir una desigualdad puedes utilizar alguno de los signos

¿Cómo hacerlo?

5) Representa las siguientes situaciones utilizando una desigualdad.

• El precio de la entrada supera los $ 3.

Si llamamos p al precio de la entrada, tenemos que

• La ganancia de Pedro por su trabajo no fue meno

Si la ganancia de Pedro no fue menor que $ 12.la ganancia, nos queda . m CD

BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

DESIGUALDADES - [Página 22 a la 25 del texto del estudiante]

es una relación de orden entre dos números. Se llama necesariamente distintos (como “menor que”, representado por el símbolo

desigualdad no estricta si los números pueden ser iguales (como “mayor o igual que”, representado por el símbolo m

de las desigualdades son:

Si en una desigualdad se suma o se resta un número real a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si ; j l, entonces ; – 3 j l –Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real posi

entonces la desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si ; k lSi en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real negativo a ambos lados de la desigualdad,

dad invierte su sentido, manteniendo su nivel de restricción. Por ejemplo, si

Un grupo de estudiantes investiga la temperatura mínima y la máxima registrada en un día en Concepción, lo registran en la

Utiliza alguno de los signos n, j, k % m para representar la relación de orden que hay entre los números correspondientes a las temperaturas mínima y máxima.

• Si ese día, a las 10 de la mañana la temperatura registrada era t, nos n, j, k % m para representar la

relación de orden que hay entre t y las temperaturas mínima y

En la vida diaria hay situaciones en las que se comparan cantidades que no necesariamente son iguales; por ejemplo, temperaturas mínima y máxima no son iguales, o la temperatura registrada a las 10 de la

mañana no es igual a la mínima ni tampoco a la máxima, sino que se encuentra entre ellas.

Las expresiones matemáticas que escribiste en el problema anterior se llaman indicar que cierta cantidad es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Para escribir una desigualdad puedes utilizar alguno de los signos j, n, k % m, respectivamente.

las siguientes situaciones utilizando una desigualdad.

io de la entrada supera los $ 3.500.

al precio de la entrada, tenemos que p debe ser mayor que $ 3.

• La ganancia de Pedro por su trabajo no fue menor que $ 12.000.

de Pedro no fue menor que $ 12.000, significa que fue igual o mayor que ese valor. Luego, llamando CD MMM.

PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA

[Página 22 a la 25 del texto del estudiante]

es una relación de orden entre dos números. Se llama desigualdad estricta si los números deben ser ”, representado por el símbolo n, o “mayor que”, representado por el

meros pueden ser iguales (como “menor o igual que”, representado m).

Si en una desigualdad se suma o se resta un número real a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad 3.

Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real positivo a ambos lados de la desigualdad,

l, entonces op k q

p

Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real negativo a ambos lados de la desigualdad, dad invierte su sentido, manteniendo su nivel de restricción. Por ejemplo, si ; m l, entonces


mañana no es igual a la mínima ni tampoco a la máxima, sino que se encuentra entre ellas.

Las expresiones matemáticas que escribiste en el problema anterior se llaman desigualdades y las puedes utilizar para indicar que cierta cantidad es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Para escribir una desigualdad

r mayor que $ 3.500, por lo tanto 0 j 3.500.

000, significa que fue igual o mayor que ese valor. Luego, llamando


si los números deben ser ”, representado por el

”, representado

Si en una desigualdad se suma o se resta un número real a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad

tivo a ambos lados de la desigualdad,

Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real negativo a ambos lados de la desigualdad, , entonces


y las puedes utilizar para indicar que cierta cantidad es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Para escribir una desigualdad

000, significa que fue igual o mayor que ese valor. Luego, llamando g a


¿Cómo hacerlo?

6) ¿Es correcta la desigualdad (? – C)D n ?D – CD ?

La desigualdad anterior se puede verificar calculando el valor en cada lado, es decir:

(? – C)D n ?D – CD Realizamos las operaciones a ambos lados de la desigualdad.

2r n 9 – 1

4 n 8

Por lo tanto, la desigualdad es verdadera.

Observación:

• Se denomina desigualdad a toda relación de orden que se establece entre números reales u otras expresiones matemáticas, mediante la comparación “menor que” (<), “menor o igual que” (k), “mayor que” (>) o “mayor o igual que” (m).

• Una desigualdad es verdadera si la relación establecida se cumple. Para verificarla, se puede calcular el valor de las expresiones a ambos lados de la desigualdad, si fuera necesario.

ACTIVIDADES: 1. Expresa la información de las siguientes situaciones utilizando desigualdades. a. Para un índice de radiación ultravioleta igual a 10, las personas de piel más sensible (aquellas que se queman con

facilidad) no deben exponerse al sol sin protección más de 18 minutos. b. Una recomendación general es utilizar un protector solar con factor de protección 15 o mayor. c. CONEXIÓN CON EL MEDIOAMBIENTE: Se considera que la calidad del aire es "regular" si el índice de

calidad del aire por material particulado (ICAP) es superior a 100 y menor o igual a 200. d. CONEXIÓN CON LA MEDICINA: En un examen que mide la cantidad de glucosa en la sangre de una persona

adulta, se consideran normales los valores que van de 64 a 110 mg/dL (miligramos por decilitro). e. La nota n de Pedro no alcanzó el 6,0. f. CONEXIÓN CON LA FÍSICA: La longitud de onda de la luz visible es superior a 380 nm y menor o igual a 780

nm.

2. Inventa una situación que se pueda modelar con cada una de las siguientes desigualdades. a. � n 6 b. D?M m �

c. 0 k E, E d. ? j 2500

e. � + + n 132 f. / n W – 15

3. Determina si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas. a. CMP · ENN n 32 · 51 · 36 b. (CMM + D?) · (CMM – D?) k D · CMMD +

N@MM c. �@ + CD m M, con � = – C.

d. (O u D)D

DD m O

e. D · ? · E

? u E n √? · E

f. C,MP u M,M?

M,MMC n 1 g. (– CB?)D m CB?D

4. Estima el valor de las raíces y determina cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica las falsas.

a. D?√?M j N√D b. √CNN n E?√CM c.

√CDE?

P n 1

d. √DO√? j √CE

√E

5. En un triángulo, la medida de uno de sus lados es siempre menor que la suma de las medidas de los otros dos, y mayor que su diferencia. Expresa con una desigualdad el rango de valores posibles para la medida del tercer lado, si los otros dos miden 6 cm y 19 cm, respectivamente.


SOLUCIONES: 1. a. m ≤ 18 b. p ≥ 15 c. 100 < ICAP ≤ 200 d. 64 ≤ g ≤ 110 e. n < 6,0 f. 380 < l ≤ 780

2. a. Por ejemplo, el radio de es menor que 6 cm.b. Por ejemplo, el tiempo transcurrido no es inferior que 230 s.c. Por ejemplo, el perímetro de la figura no puede superar los 5,5 m.d. Por ejemplo, el precio de tres pasajes excede los $ 2 500.e. Por ejemplo, la sumdistintos es menor que 132.f. Por ejemplo, si Nicolás bajara 15 kg, aun tendrá más masa que Marcelo.

Como las desigualdades expresan las desigualdades; por ejemplo, si queremos definir el conjunto de todos los números naturales menores qresultará largo escribir dicho conjunto por extensión, desiguiente manera:

No existe una única manera para definir un conjunto. Fíjate que el conjunto A también se puede definir como:

En algunos casos, al definir un conjunto por comprensión podemos usar más de una desigualdad; por ejemplo, para

expresar por comprensión el conjunto de todos los números enteros que se encuentranpodemos escribir:

En el caso anterior, la expresión ¿Cómo hacerlo? 7) Representa por comprensión el conjunto Si te fijas, los elementos del conjunto son números primos menores o iguales que 29. Luego, lo podemos definir por comprensión de la siguiente manera:

¿Cómo hacerlo?

8) Representa por extensión el conjunto Los elementos del conjunto A son todos aquellos números enteros mayores que al definirlo por extensión nos queda:

¿Cómo hacerlo? 9) Dados los conjuntos Q = {y R = {C, ?, E, O, B}, determina Q ∩ R. Podemos definir el conjunto P por extensiónque sus elementos son los números naturales menores o iguales que 8, es decir: P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Luego, Q ∪ R contiene a todos los elementos que están en P o en Q, es decir:

Q ∪ R = {1, 2, 3, 4, 5

Por otra parte, Q ∩ R contiene a todos los elementos que están en P y Q simultáneamente, es decir:

Q ∩ R = {1, 3,


a. Por ejemplo, el radio de la circunferencia es menor que 6 cm. b. Por ejemplo, el tiempo transcurrido no es inferior que 230 s. c. Por ejemplo, el perímetro de la figura no puede superar los 5,5 m. d. Por ejemplo, el precio de tres pasajes excede los $ 2 500. e. Por ejemplo, la suma de dos números distintos es menor que 132. f. Por ejemplo, si Nicolás bajara 15 kg, aun tendrá más masa que Marcelo.

Como las desigualdades expresan relaciones entre los números, al definir conjuntos por comprensión resulta útil usar las desigualdades; por ejemplo, si queremos definir el conjunto de todos los números naturales menores qresultará largo escribir dicho conjunto por extensión, de modo que lo podemos escribir por comprensión de la

� = {= ∈ >/ = n 1. MMMNo existe una única manera para definir un conjunto. Fíjate que el conjunto A también se puede definir como:

� = {6 ∈ 7 / 6 k 999

l definir un conjunto por comprensión podemos usar más de una desigualdad; por ejemplo, para

expresar por comprensión el conjunto de todos los números enteros que se encuentran

( = {= ∈ w/ – N k = k

En el caso anterior, la expresión – 4 k 6 k 7 es equivalente a escribir las desigualdades

Representa por comprensión el conjunto ( = {D, ?, E, O, CC, C?, COelementos del conjunto son números primos menores o iguales que 29. Luego, lo podemos definir por

comprensión de la siguiente manera: Z = {6 / 6 9& :<#F% ∧ 6 k

Representa por extensión el conjunto � = {= ∈ w / – E n 6 kLos elementos del conjunto A son todos aquellos números enteros mayores que al definirlo por extensión nos queda:

Z = {– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2,

{= ∈ > / = k P} , determina Q ∪ R y

P por extensión, ya que sus elementos son los números naturales menores o iguales que 8, es decir: P = {1, 2, 3, 4,

ene a todos los elementos que están en P o en Q, es decir:

5, 6, 7, 8, 9}.

contiene a todos los elementos que están en P y Q simultáneamente,

5, 7}


d. Por ejemplo, el precio de tres pasajes excede

3. a. F b. V c. V d. V e. V f. F g. V

4. a. V b. V c. V d. V

5) CB – @ n 6 n 19

relaciones entre los números, al definir conjuntos por comprensión resulta útil usar las desigualdades; por ejemplo, si queremos definir el conjunto de todos los números naturales menores que 1.

modo que lo podemos escribir por comprensión de la

MMM} No existe una única manera para definir un conjunto. Fíjate que el conjunto A también se puede definir como:

999}.


expresar por comprensión el conjunto de todos los números enteros que se encuentran entre – 4 y 7, ambos incluidos,

O}

es equivalente a escribir las desigualdades – 4 k 6 y 6 k 7.

CO, CB, D?, DB}. elementos del conjunto son números primos menores o iguales que 29. Luego, lo podemos definir por

k 29}

N}. Los elementos del conjunto A son todos aquellos números enteros mayores que –5 y menores o iguales que 4. Luego,

3, 4}


+ 6

relaciones entre los números, al definir conjuntos por comprensión resulta útil usar ue 1.000,

modo que lo podemos escribir por comprensión de la

No existe una única manera para definir un conjunto. Fíjate que el conjunto A también se puede definir como:


, ambos incluidos,

elementos del conjunto son números primos menores o iguales que 29. Luego, lo podemos definir por

5 y menores o iguales que 4. Luego,


• También se pueden usar desigualdades para representar conjuntos por comprensión; por ejemplo:

ACTIVIDADES: 1. Escribe por extensión los siguientes conjuntos.a. f = {6 ∈ 7 / 6 n 12} b. � = {6 ∈ 7 / 6 m 6} c. ] = {6 ∈ a / – 2 n 6 nd. x = {6 ∈ a / 6 9& :<#F%e. y = {6 ∈ 7 / – 7,5 n 6 2. Escribe por comprensión los siguientes conjuntos.a. e = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b. ^ = {– 7, – 6, – 5, – 4, – 3, –c. _ = {– 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7d. ` = {18, 24, 30, 36, 42, 48e. b = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18f. c = {13, 17, 19, 23, 29, 31 3. Observa los siguientes conjuntos.

Usando los conjuntos anteriores, realiza las operaciones dadas, en cada caso.a. 4 ∩ T b. e ∪ 4 c. (4 ∩ e) ∪ T d. (T ∪ e) ∪ 4 e. (4 ∩ T) ∩ e f. (4 ∩ e) ∪ (T ∪ e) 4. Usando desigualdades, representa por comprensión los siguientes conjuntos.a. Números enteros mayores que b. Números pares que se encuentran enc. Números impares que se encuentran entre 20 y su opuesto, sin incluirlos.d. Números positivos compuestos no superiores que 88.

Antes de continuar 1. ¿Cuándo una desigualdad es verdadera?2. ¿Cómo representarías con desigualdades la situación: "el valor de la bebida no es inferior a $ 650"? Explica tu respuesta. 3. ¿Cómo representarías por comprensión el conjunto A = {


desigualdades para representar conjuntos por comprensión; por ejemplo:


n 9} :<#F% ∧ 6 n 20}

6 n 6}


– 2, – 1, 0} 7, 9} 48, . . . } 18, 20} 31, 37}

3. Observa los siguientes conjuntos. Q = {= ∈ w / – E k = n

R = {– N, – D, M, D, N, @, Pz = {= ∈ > / – P n 6 k

Usando los conjuntos anteriores, realiza las operaciones dadas, en cada caso.

4. Usando desigualdades, representa por comprensión los siguientes conjuntos.Números enteros mayores que –81 y menores o iguales que 19. Números pares que se encuentran entre –50 y 160, ambos incluidos.Números impares que se encuentran entre 20 y su opuesto, sin incluirlos.Números positivos compuestos no superiores que 88.

1. ¿Cuándo una desigualdad es verdadera? desigualdades la situación: "el valor de la bebida no es inferior a $ 650"? Explica tu

3. ¿Cómo representarías por comprensión el conjunto A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Explica.


desigualdades para representar conjuntos por comprensión; por ejemplo:

n 8} P} k 4}

Usando los conjuntos anteriores, realiza las operaciones dadas, en cada caso.

4. Usando desigualdades, representa por comprensión los siguientes conjuntos.

50 y 160, ambos incluidos. Números impares que se encuentran entre 20 y su opuesto, sin incluirlos.

desigualdades la situación: "el valor de la bebida no es inferior a $ 650"? Explica tu

1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Explica.


desigualdades la situación: "el valor de la bebida no es inferior a $ 650"? Explica tu


SOLUCIONES: 1) a. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} b. D = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13...} c. E = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} d. F = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e. G = {1, 2, 3, 4, 5}

2) a. R = {x ∈ N / x < 9} b. S = {x ∈ Z / –8 < x < 1} c. T = {x ∈ Z / –7 < x < 10 y x es impar} d. U = {x ∈ N / 16 < x y x es múltiplo de 6} e. V = {x ∈ N / 5 < x < 21 y x es par} f. W = {x ∈ N / 12 < x < 40 y x es primo}

Antes de continuar 1. Cuando la relación establecida se cumple. 2. l m 650 3. A = {x ∈ Z / x es mayor que –4 y menor que 8}

3) a. P ∩ Q = {–4, –2, 0, 2, 4, 6} b. R ∪ P = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} c. (P ∩ R) ∪ Q = {–4, –2, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} d. (Q ∪ R) ∪ P = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e. (P ∩ Q) ∩ R = {2, 4} f. (P ∩ R) ∪ (Q ∪ R) = {–4, –2, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}

4) a. A = {x ∈ Z / –81 < x ≤ 19} b. B = {x ∈ Z / –50 ≤ x ≤ 160 y x es par} c. C = {x ∈ Z / –20 < x < 20 y x es impar} d. D = {x ∈ N / x ≤ 88 y x es compuesto}

INTERVALOS DE NÚMEROS REALES - [Página 26 a la 29 del texto del estudiante]

Si queremos determinar todos los números enteros que cumplen la condición – ? k � n 5, podemos escribir el conjunto correspondiente, esto es:

{– ?, – D, – C, M, C, D, ?, N}

• Ahora, ¿cómo podrías representar por extensión todos los números reales que cumplen la condición – ? k � n 5?

Seguramente te diste cuenta de que escribir por extensión todos los números reales tales que cumplan – ? k = n 5 sería imposible, porque hay infinitos números. Pero existe otra manera de representar este tipo de conjuntos: usando intervalos de números reales.

En este caso, el conjunto se representa [– 3, 5[. Se dice que es cerrado

en el – 3, porque el conjunto incluye ese número, y abierto en el 5, porque no lo incluye.

Otra forma de representar este intervalo es gráficamente en la recta real, tal como se muestra en la figura. Observa que en el valor –3 hay un círculo negro; esto es porque el intervalo incluye este valor. En el caso de que no lo incluya, como en el 5, se dibuja un círculo blanco.

¿Cómo hacerlo?

10) Representa como un intervalo el conjunto {= ∈ z / C, DE n 6 k N, P}.

Para expresar el conjunto anterior como intervalo escribimos los números correspondientes a los extremos del intervalo, separados por una coma (o punto y coma) y un espacio, y decidimos la orientación de los corchetes, según si el intervalo es abierto o cerrado, en cada caso. Luego, el intervalo es ]1,25; 4,8], y su representación gráfica es la que se muestra en la imagen de la derecha.

Un intervalo real es una porción de la recta numérica definida por desigualdades. Se representan algebraicamente con paréntesis cuadrados, que se orientan hacia afuera si la desigualdad es estricta y hacia adentro si la desigualdad no es estricta, y se representan gráficamente con el sombreado del intervalo, con un círculo blanco si la desigualdad es estricta y un círculo negro si la desigualdad no es estricta. Los intervalos que no están restringidos por algún lado indican que sus valores se extienden hasta el infinito, representado por el símbolo ∞.


¿Cómo hacerlo?

11) Respecto de la siguiente figura, ¿qué elementos están representados? Exprésalos como un conjunto, por comprensión, y utilizando notación de intervalos.

Para expresar la representación gráfica como conjunto, reconocemos los números que están identificados en la recta

numérica. En este caso, corresponde a todos los números menores que – N. Luego, como conjunto se escribe

{6 ∈ e / 6 y – 4}. Como intervalo, se escribe ]–∞, –4], cerrado en el –4, ya que lo incluye y abierto en el –∞ ("menos infinito") porque –∞ no es exactamente un número, sino que indica, en este caso que el intervalo no está limitado por algún número menor. Mientras que en el caso de +∞ ("más infinito"), se refiere a que no existe un único número mayor que los demás.

ATENCIÓN:

• La orientación de los corchetes nos indica si los extremos del intervalo forman parte del conjunto o no. • También se pueden utilizar paréntesis redondos para indicar cuando el número no pertenece al intervalo. Por ejemplo: Todos los números W que cumplen: – C n W k 10 se representan como ]–1, 10] o bien (–1, 10]. Todos los números W que cumplen: E n W se representan como (5, +∞[ o bien (5, +∞). El conjunto de números reales que se encuentran entre otros dos números dados se puede representar mediante intervalos, con ;, l ∈ e y ; n l.


ACTIVIDADES 1. Encuentra tres números que pertenezcan a cada uno de los intervalos dados. a. |0, 1[ b. |}, 4| c. |1,41, √2 [

2. Expresa como intervalo y representa gráficamente los siguientes conjuntos. a. {6 ∈ e / – √3 n 6} b. {6 ∈ e / ~

� n 6 k 1,33c. {6 ∈ e / 0 n 6 k 0,5}

3. Considera los siguientes números:

a. Encuentra un intervalo que contenga todos estos números.b. Encuentra un intervalo que no contenga ninguno de ellos.c. Para cada número, encuentra un intervalo cerrado que lo contenga y cuyos extremos sean nú

consecutivos. SOLUCIONES: 1. a. Por ejemplo, 0,3, 0,55, 0,879b. Por ejemplo, 3,2, 3,543, 3,921c. Por ejemplo, 1,4112, 1,4135d. Por ejemplo, 0,001, 0,025,e. Por ejemplo, 1,415, 1,563,f. Por ejemplo, – 0,0008, – 0,0007 2.

3. a. Por ejemplo, [0, 4| b. Por ejemplo, [10, 18| c. [0, 1|, [3, 4|, [1, 2| y [0, 1|, respectivamente.


1. Encuentra tres números que pertenezcan a cada uno de los intervalos dados.

d. |0, e. |√2 f. |– 0,

representa gráficamente los siguientes conjuntos.

33} }

d. {6 ∈e. {6 ∈f. {6 ∈

3. Considera los siguientes números: 0, }, √2 � �p.

Encuentra un intervalo que contenga todos estos números. Encuentra un intervalo que no contenga ninguno de ellos. Para cada número, encuentra un intervalo cerrado que lo contenga y cuyos extremos sean nú

879. 921.

4135, 1,41415. 0,068. 1,7298.

0007, – 0,0004.

, respectivamente.


1. Encuentra tres números que pertenezcan a cada uno de los intervalos dados.

0,1[ , √3 [ ,001, 0[

representa gráficamente los siguientes conjuntos.

∈ e / 6 k – 3} ∈ e / – 12 k 6 k 5,8} ∈ e / 6 j p

� }

Para cada número, encuentra un intervalo cerrado que lo contenga y cuyos extremos sean números enteros



De la misma manera que pueden realizarse operaciones entre conjuntos, tales como su unión y su intersección, estas operaciones pueden extenderse a los intervalos, ya que, por definición, los intervalos son conjuntos de números reales.

En particular, nos concentraremos en la unión y la intersección de intervalos de números reales; por ejemplo, si

tenemos los intervalos � = |– C, CM[ y ( = [E, +∞[ podemos determinar la unión � ∪ Z, considerando tanto los

números que están entre – 1 y 10, ambos no incluidos, como los que son mayores o iguales que 5.

Dada la representación gráfica de ambos conjuntos:

En muchos casos, una buena alternativa para resolver un problema es representar la situación con un dibujo.

En la figura anterior, representamos con color verde el conjunto A, y con rojo el conjunto B. Entonces, para determinar � ∪ Z debemos incluir todos los valores de la recta que quedaron pintados, ya sea con verde por pertenecer a A, o con rojo por pertenecer a B.

Finalmente podemos concluir que � ∪ Z = |– 1, +∞[.

Por otra parte, podemos determinar la intersección � ∩ Z, que corresponde a los números que pertenecen a A y B simultáneamente. En la figura anterior, � ∩ Z son los valores de la recta que quedaron coloreados con verde y rojo, es decir, � ∩ Z = [5, 10[.

¿Cómo hacerlo?

Considera los intervalos * = [C, E| y [ = |O, +∞[. Determina * ∩ [ y * ∪ [.

Observa la representación gráfica de los intervalos C y D:

Para determinar el conjunto intersección f ∩ �, debemos observar cuáles son los elementos en común en ambos intervalos. Pero, en este caso, los conjuntos no tienen elementos en común. Esta situación la podemos verificar al determinar que el mayor valor que pertenece al intervalo C es menor que el menor valor perteneciente al intervalo D; luego, no hay intersección, y decimos que f ∩ � = ∅.

Por otra parte, para determinar el conjunto unión, observamos que no es posible expresar la unión de ellos como un único intervalo, porque no tienen elementos en común.

Cuando esto sucede, solo lo representamos como f ∪ � = [1, 5| ∪ |7, +∞[.

Observación:

� Si al intersecar dos intervalos no existen elementos comunes a ambos, entonces el resultado es un conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío, y se representa por el símbolo ∅.

� Si se tienen dos intervalos A y B de números reales:

− La unión entre A y B (� ∪ Z) es otro intervalo que contiene todos los elementos de A y todos los elementos de B.

− La intersección entre A y B (� ∩ Z) es otro intervalo que contiene los elementos que están en A y que también están en B. Si A y B no tienen elementos en común, la intersección entre A y B es el conjunto vacío, ∅.


ACTIVIDADES

1. Determina las siguientes uniones e intersecciones de intervalos. Expresa tu resultado como intervalo y represéntalo gráficamente en la recta real.

a. [D, E[ ∪ |?, CP[ b. |– E, C| ∩ |C, O[ c. �– O

N , E?� ∪ |M, +∞[

2. Escribe una unión e intersección de intervalos cuyo conjunto sfiguras.

3. Dados los intervalos A = ]–∞, 1[, B = ]representa la solución como un intervalo o como una unión o intersección de estos.

a. � ∪ ( b. � ∪ [ c. ( ∩ * d. (( ∩ [) ∪ * e. (� ∩ () ∪ (* ∩ [) f. (� ∪ *) ∩ (( ∪ [)

4. Responde las siguientes preguntas.

a. ¿Con qué intervalo representarías el conjunto de los números reales positivos?, ¿y el de los números reales negativos?

b. ¿Puedes representar el conjunto de los números naturales por medio de un intervalo? Justifica tu respuesta.

Antes de continuar

1. ¿Para qué sirven los intervalos de números reales?2. ¿En qué se diferencian los intervalos

SOLUCIONES:

1) a. [2, 18[

b. ø

c. [– 74, +∞[

d. ]0, 53]

e. [0, 1[

f. [0, 20]

2)


1. Determina las siguientes uniones e intersecciones de intervalos. Expresa tu resultado como intervalo y represéntalo gráficamente en la recta real.

d. �– ON

e. [M, Cf. ( |– ∞

2. Escribe una unión e intersección de intervalos cuyo conjunto solución esté representado en las siguientes

∞, 1[, B = ]–3, 7], C = ]–4, 9[ y D = [7, +representa la solución como un intervalo o como una unión o intersección de estos.

4. Responde las siguientes preguntas.

¿Con qué intervalo representarías el conjunto de los números reales positivos?, ¿y el de los números reales

representar el conjunto de los números naturales por medio de un intervalo? Justifica tu respuesta.

¿Para qué sirven los intervalos de números reales? ¿En qué se diferencian los intervalos [3, 9| y |3, 9[ ?

3) a. ] –∞, 7]

b. ] –∞, 1[ ∪

[7, +∞[

c. ]–3, 7]

d. ]–4, 9[

e. ]–3, 1[ ∪ [7, 9[

f. ]–3, 9[


1. Determina las siguientes uniones e intersecciones de intervalos. Expresa tu resultado como intervalo y

� , E?� ∩ |M, +∞[

C[ ∩ ( |– ?, C[ ∩ [M, E|) ∞, D[ ∩ [CD, +∞[ ) ∪ [M, DM|

olución esté representado en las siguientes

4, 9[ y D = [7, +∞[, realiza las siguientes operaciones y representa la solución como un intervalo o como una unión o intersección de estos.



∪

4) a. R+ = ]0, +∞[ ,

R– = ]–∞, 0[

b. No, porque el intervalo [0, +∞[, que contiene a todo IN, contiene además todos los números racionales e irracionales positivos.

Antes de continuar1.Para representar conjuntos infinitos de números reales que, por compresión, se describen como A = {x ∈ IR / a < x < b}, con a < b, por ejemplo. 2. El intervalo [3, 9] contiene al 3 y al 9, mientras que ]3, 9[ no los contiene.


olución esté representado en las siguientes

∞[, realiza las siguientes operaciones y



Antes de continuar Para representar

conjuntos infinitos de números reales que, por compresión, se describen como A =

IR / a < x < b},

El intervalo [3, 9] contiene al 3 y al 9,

s que ]3, 9[ no


PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES - [Página 30 a la 35 del texto del estudiante] Tres amigos, Bruno, Gustavo y Tomás, tienen música en sus celulares. Gustavo tiene menos canciones que Bruno y Tomás tiene más canciones que Bruno. • ¿Quién tiene más canciones en su celular: Tomás o Gustavo?, ¿cómo lo supiste? Casos como el del problema anterior también los podemos resolver utilizando algunas propiedades que tienen las desigualdades. Observa. Si representamos como ", l y $ la cantidad de canciones que tienen Gustavo, Bruno y Tomás, respectivamente, podemos modelar la situación usando desigualdades, al escribir: " n l y l n $, Luego, se cumple que: " n l n $ Finalmente, podemos concluir que " n $, es decir, Gustavo tiene menos canciones que Tomás, o bien, Tomás tiene más canciones que Gustavo. La propiedad anterior se denomina transitividad. Ahora, si Tomás agrega 5 canciones más a su colección y Gustavo también agrega 5 canciones a su colección, ¿seguirá Tomás teniendo más canciones que Gustavo? La respuesta es correcta, ya que ambos agregaron la misma cantidad de canciones, por lo tanto, Tomás seguirá teniendo más. Lo mismo ocurriría si ambos jóvenes eliminaran la misma cantidad de canciones. Por lo tanto, si a ambos lados de una desigualdad se suma o resta un mismo número, la desigualdad se mantiene. Esta propiedad la podemos verificar con algunos ejemplos. ? n 7 Sumamos 5 a cada lado de la desigualdad. ? + E n 7 + 5 Calculamos las sumas y verificamos el signo de la desigualdad. P n 12 Pese a sumar 5 a ambos lados de la desigualdad, el sentido de ésta no cambió. En el caso de la sustracción ocurre algo similar: ? n 7 Restamos 6 a cada lado de la desigualdad. ? – @ n 7 – 6 Calculamos las restas y verificamos el signo de la desigualdad.

– ? n 1

Ya vimos lo que ocurre si sumamos o restamos un número real a ambos lados de la desigualdad. Pero, ¿qué crees que sucede si multiplicamos o dividimos una desigualdad por un número real? Para responder la pregunta anterior debemos considerar si multiplicamos la desigualdad por un número real positivo o negativo; por ejemplo, observa lo que sucede si multiplicamos por un número real positivo: N n 6 Multiplicamos por 5. N · E n 6 · 5 Calculamos los productos y verificamos el signo de la desigualdad. DM n 30

El sentido de la desigualdad no cambia si multiplicamos ambos lados por un número real positivo. En el caso de la división sucede lo mismo; por ejemplo: ?@ j 24 Dividimos por 12. ?@CD j DN

CD Calculamos los cocientes y verificamos el signo de la desigualdad.

? j 2 Ahora veamos qué ocurre si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un número real negativo. D n 4 Multiplicamos por –3. D · �– ?� ? N · �– ?� Calculamos los productos y verificamos el signo de la desigualdad.

– @ j – 12

Propiedad de transitividad: Si ;, l y X son números reales y se cumple que ; n l y l n X, entonces ; n X.

El sentido de una desigualdad no cambia si se suma o resta un mismo número real a ambos lados de la desigualdad. Es decir:

− Si ; n l, y X ∈ e, entonces, ; + X n l + X

− Si ; n l, y X ∈ e, entonces ; – X n l – X.


En el caso anterior, ocurrió que al desigualdad cambió. En la división sucede algo similar, es decir, si ambos lados de una desigualdad se divide por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia; por– DM n 28 –DM �N ? DP

�N

E j – 7

En general, si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un mismo número realsentido de esta se invierte.

El sentido de una desigualdad no cambia si se multiplica o divide un mismo número real positivo a ambos lados de la desigualdad. Es decir:

El sentido de una desigualdad cambia si se multiplica o divide udesigualdad. Es decir:

¿Cómo hacerlo? 12) Sea a un número positivo comprendido entre la expresión C – �?

Partimos por la condición inicial:M n ; n 1 M j – ; j – 1 C j 1 – ; j 0 Si reescribimos la desigualdad en el otro orden, tenemos que 1, entonces la expresión 1 – ACTIVIDADES 1. Si un número varía entre –2. Si un número se encuentra entre disminuido en @?

3. Sea x un número positivo tal que

4. Si el lado de un cuadrado varía entre 4 cm y 8 cm, ¿entre qué valoraumentada en 2? 5. Lee las siguientes afirmaciones y, luego, responde.

Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas.a. La edad de Cecilia es menor que la de Maribel

b. La edad de Cecilia no es mayor que la de

c. La edad de Maribel no es mayor que la de Silvia

SOLUCIÓN

1) Entre –17 y –3.

2) Entre 34 y 74.


En el caso anterior, ocurrió que al multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo el sentido de la desigualdad cambió. En la división sucede algo similar, es decir, si ambos lados de una desigualdad se divide por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia; por ejemplo:

Dividimos por –4.

Calculamos los cocientes y verificamos el signo de la desigualdad.

En general, si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un mismo número real

El sentido de una desigualdad no cambia si se multiplica o divide un mismo número real positivo a ambos lados de la

El sentido de una desigualdad cambia si se multiplica o divide un mismo número real negativo a ambos lados de la

Sea a un número positivo comprendido entre M y C, es decir, M

inicial: Multiplicamos por –1, por lo que las desigualdades se invierten.

Sumamos 1.

Si reescribimos la desigualdad en el otro orden, tenemos 0 n 1 – ; n– ; se encuentra entre 0 y 1.

– @ y P, ¿entre qué valores varía su opuesto, disminuido en 2. Si un número se encuentra entre CM y DM, ¿entre qué valores se hallará el cuádruple de tal número,

3. Sea x un número positivo tal que M n 6 n 3. ¿Entre qué valores se encuentra la expresión

4. Si el lado de un cuadrado varía entre 4 cm y 8 cm, ¿entre qué valor

. Lee las siguientes afirmaciones y, luego, responde.

Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

La edad de Cecilia es menor que la de Maribel.

La edad de Cecilia no es mayor que la de Roxanna.

La edad de Maribel no es mayor que la de Silvia

3) Entre – 72 y 1.

4) Su perímetro varía entre 16 cm y 32 cm, mientras que su área aumentada en 2 varía entre 18 cm


multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo el sentido de la desigualdad cambió. En la división sucede algo similar, es decir, si ambos lados de una desigualdad se divide por un

Calculamos los cocientes y verificamos el signo de la desigualdad.

En general, si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un mismo número real negativo, el


n mismo número real negativo a ambos lados de la

n ; n 1. ¿Entre qué valores se encuentra

1, por lo que las desigualdades se invierten.

n 1. Luego, si ; es un número positivo menor

, ¿entre qué valores varía su opuesto, disminuido en B? , ¿entre qué valores se hallará el cuádruple de tal número,

. ¿Entre qué valores se encuentra la expresión C – ?=D ?

4. Si el lado de un cuadrado varía entre 4 cm y 8 cm, ¿entre qué valores varía su perímetro?, ¿y su área

Su perímetro varía entre 16 cm y 32 cm, mientras que su área aumentada en 2 varía entre 18 cm2 y 66 cm2.

5)b. Fc. F


multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo el sentido de la desigualdad cambió. En la división sucede algo similar, es decir, si ambos lados de una desigualdad se divide por un

negativo, el


n mismo número real negativo a ambos lados de la

. ¿Entre qué valores se encuentra

es un número positivo menor

, ¿entre qué valores se hallará el cuádruple de tal número,

es varía su perímetro?, ¿y su área

5) a. F b. F c. F

0, , , , ,1} · los números se clasifican en cinco conjuntos: números naturales «n», números...

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