REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES EZEQUIEL ZAMORA U N E L L E Z NCLEO SANTA BRBARA ESTADO BARINAS SUB. PROYECTO: MATEMTICA GENERAL FACILITADORA: Lcda. Marbelis Contreras

Integrantes:Rossy Mrquez C.I. 16.070.818 Yudith Rangel C.I. 20.736.475 Wilhay Villamizar C.I.20.516.587 Andrey Pez C.I. 18.953.426 Miguel Daz C.I. 18.641.446 Saire Vivas C.I. 17.169.038 Mara J. Varillas C.I. 23.038.017 Mara Gutirrez C.I. 16.574.665 Richard Duque C.I. 20.732.659 Elvis Martel C.I. 14.866.545 Pedro Arguello C.I. 12.195.945

Santa Brbara, Abril de 2012 Tabla de Contenidos Introduccin Los Nmeros Irracionales Presentacin Intuitiva. Notacin Orden en I. Representacin real Operaciones y propiedades Problemas de aplicacin Conclusiones Referencia bibliogrfica

Introduccin El descubrimiento de los nmeros irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que fue un discpulo de Pitgoras. Demostr que la raz de 2 es un nmero irracional. Sin embargo, Pitgoras consideraba que la raz del nmero 2 "ensuciaba" la perfeccin de los nmeros, y que por tanto no podra existir, por lo que intent rebatir los argumentos de Hipaso con la lgica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitagrica y erigieron una tumba con su nombre, mostrando as que para ellos, l estaba muerto. A partir de ah, los nmeros irracionales entraran en un periodo de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnido. El dcimo libro de la serie Los elementos de Euclides est dedicado a la clasificacin de los nmeros irracionales. Tras distinguir los nmeros componentes de la recta real en tres categoras: (naturales, enteros y racionales), podra parecer que ha terminado la clasificacin de los nmeros, pero an quedan "huecos" por rellenar en la recta de los nmeros reales. Los nmeros irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacos que dejan los nmeros racionales. Los nmeros irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse nmero irracional como decimal infinito no peridico. De esto, sus principales representantes como nmeros irracionales, su historia y propiedades tratan el presente trabajo.

Los Nmeros Irracionales Si bien el conjunto Q pareciera suficiente para representar la mayora de los nmeros "cotidianos", lo cierto es que tambin existen muchos nmeros importantes que no se pueden representar como racionales. Estos nmeros, entre los cuales estn , , , , entre otros, pertenecen a un ;

conjunto llamado Conjunto de los Nmeros Irracionales y denotado por

dichos nmeros tienen una expansin decimal infinita no peridica, pertenecientes a los nmeros reales y son de gran utilidad en matemtica aplicada. Cuando se comparan entre s dos cantidades, la segunda de las cuales se considera que es la unidad, puede producirse que la primera cantidad no contiene exactamente la unidad ni ninguna de sus partes, por pequea que sea. Entonces, la cantidad es inconmensurable, y el nmero que la representa es irracional.

Los nmeros irracionales pueden definirse como aquellos cuya expresin decimal contiene infinitas cifras decimales no peridicas. El conjunto de los nmeros irracionales tiene infinitos elementos, algunos de los cuales son: = 1,4142135623..., = 3,1415926535..., e = 2,7182818285...

(base de los logaritmos naturales o neperianos), el nmero ureo de las proporciones perfectas = 1,618033989..., entre otros.

Presentacin Intuitiva Un nmero irracional, es decir no racional, es aquel que no se puede poner como cociente de dos nmeros enteros. Por ejemplo , surge

como medida de la hipotenusa de un tringulo rectngulo de cateto 1; es la relacin entre el rea de un crculo y el cuadrado de su radio. La necesidad de los nmeros irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geomtricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es ; la longitud de la diagonal de

un pentgono tomando como unidad su lado es el nmero irracional llamado nmero ureo la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su dimetro es el nmero irracional (pi). Los nmeros irracionales aparecen en las construcciones geomtricas ms sencillas. Por ejemplo, en un cuadrado de lado igual a 1, la diagonal adopta como valor , un nmero irracional.

Para representar la raz cuadrada de un nmero a se siguen los siguientes pasos:1. Descomponemos el nmero a como suma de dos cuadrados: a = x2 +

y2 (x,y enteros) 2. Dibujamos un tringulo rectngulo de lados x, y. La hipotenusa es:

3. Para representar

en la recta numrica se traza un arco de , el punto de corte

circunferencia de centro 0 y radio la hipotenusa con la recta es la representacin de El nmero (Pi)

Es la relacin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro es el nmero Pi.

Este nmero, aunque conocido desde el antiguo Egipto (2000 AC), no fue identificado como irracional hasta en el siglo XVIII, por el matemtico y fsico suizo-alemn Johann Heinrich Lambert (1728-1777). El valor de Pi es 3,1415926535..., con infinitos decimales que no se repiten en periodo.

El nmero e Tambin el nmero e, base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un nmero irracional. Este nmero surge de forma natural al considerar el inters compuesto. El nmero e es llamado ocasionalmente nmero de Euler, debido al matemtico suizo Leonhard Euler, o tambin constante de Neper, en honor al matemtico escocs John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al clculo matemtico. El nmero e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el nmero ms importante del campo del clculo. Como e es un nmero trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no puede ser dado exactamente como un nmero finito o con decimales peridicos. En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de e, as como dos formas de ver e como lmite de sucesiones de nmeros racionales, es decir a travs de una serie:

El nmero ureo El primero en hacer un estudio formal sobre el nmero ureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quin lo defini de la siguiente manera: "Se dice que una lnea recta est dividida en el extremo y su proporcional cuando, la lnea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." Euclides demostr tambin que este nmero no puede ser descrito como la razn de dos nmeros enteros, es decir es irracional. El nmero ureo tiene un papel muy importante en los pentgonos regulares y en los pentagramas. Cada interseccin de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razn urea.

Pentagrama que ilustra algunas de las razones ureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado. Teniendo en cuenta la gran simetra de este smbolo se observa que dentro del pentgono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentgono por el exterior, que sera a su vez el pentgono interior de una estrella ms grande. Al medir la longitud total de una de las cinco lneas del pentculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea . Por lo tanto el nmero de veces en que aparece el nmero ureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

En el rectngulo ureo, se cumple que la proporcin entre los lados b y a de los dos subrectngulos que contiene definen un nmero irracional

= (1 llamado nmero ureo y representado como:+

)/2 = 1,618033989

Tradicionalmente se considera que este nmero es el de las proporciones perfectas.

La relacin entre la altura y la anchura de la fachada del Partenn de Atenas es igual al nmero ureo. Las proporciones ureas han sido utilizadas por artistas de todas las pocas, tanto en arquitectura como en pintura, escultura o fotografa.

Notacin - Exponentes de base racional No existe una notacin universal para indicarlos, como , que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Nmeros Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como s lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ). En sentido genrico, una base racional puede elevarse a un exponente tambin racional. Si dicho exponente corresponde al subconjunto de los nmeros fraccionarios, se habla de operacin de radicacin, que en su forma ms simple, se expresa como: = b bn = a

El nmero n, un nmero natural mayor que 1, se llama ndice de la raz; a es el radicando y b es la raz propiamente dicha. El smbolo es el

radical. Que en sentido genrico, la operacin de radicacin se escribe como: Orden en I Dados dos nmeros reales a y b, se dice que a > b si b a > 0. Entre dos nmeros racionales existen infinitos huecos que quedan sin llenar en la recta racional. Estos huecos son los correspondientes a los nmeros irracionales. Por lo tanto la Recta Real quedara as:

a cada punto en la recta real le corresponde un nico nmero real que se llama abscisa del punto. Por ejemplo, la abscisa del punto L es . Por lo que se puede decir que: es y la de M

Presentacin Real Radicales equivalentes Dos expresiones radicales se dicen equivalentes cuando tienen las mismas races. Sobre este concepto es posible realizar dos tipos de operaciones tiles en el manejo de radicales: la Simplificacin, que consiste en dividir el ndice y el exponente del radicando por un divisor comn. As, Cuando el ndice y el exponente son primos entre s, la

raz se dice irreducible. Y la Reduccin a ndice comn, basada en el clculo del mnimo comn mltiplo de todos los ndices de una operacin con races que permite englobar a varios radicandos bajo un mismo ndice comn. Operaciones y Propiedades con radicales En las expresiones con radicales es posible realizar diversas operaciones:

Suma: slo posible cuando los radicales son semejantes (es decir, tienen el mismo ndice y el mismo radicando). Por ejemplo:

Producto: definido como:

Si los dos radicales tuvieran ndices diferentes, se calculara el mnimo comn mltiplo entre ambos y se reduciran ambos radicales a un ndice comn. Por ejemplo,

Cociente: con las mismas salvedades que el producto.

Potencia:

Raz de una raz: definido como: Extraccin y racionalizacin de un radical

Dentro de las operaciones con radicales, cabe distinguir entre dos tipos de manipulaciones interesantes. Por una parte, cuando en el radicando existen nmeros que pueden expresarse como potencias de orden superior al ndice de la raz, sta puede extraerse, segn la frmula:

donde m n, c es el cociente de m/n y r el resto. Por ejemplo, Por otra parte, cuando en una fraccin existen radicales en el denominador, stos pueden trasladarse al numerador en una operacin llamada racionalizacin. As, si el denominador es un radical de ndice n, se tiene que:

, con n > m. Problemas de aplicacin:

CONCLUSIONES

A travs del presente trabajo se ha hecho un recorrido por los diferentes conceptos que envuelven el contenido de los nmeros irracionales. En referencia a los nmeros irracionales, se entendi que las races surgen de las potencias que tienen por exponentes a las fracciones, presentando una serie de propiedades que conducen a simplificar las operaciones entre ellos. De igual manera, se describieron varias de las propiedades de la radicacin, ejemplificndose algunas de ellas y al final se present una variedad de ejercicios que ejemplifican el uso de las propiedades. Esperamos que con este trabajo, llenemos las expectativas de nuestro docente, ya que no nos limitamos al contenido, sino que presentamos una variedad de temas introductorios de cada uno de los nmeros irracionales ms destacados.

Fuente Bibliogrfica

Arias, G. (2001), Matemtica 9, Editorial Santillana. Caracas. Navarro, E. (1987), Matemtica de Tercer Ao, Edit. Co-Bo. Caracas