tema 13 nÚmeros irracionales números irracionales. raíz cuadrada. números reales. el número pi,...

26
TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz cuadrada de un número.

Upload: carlos-blazquez-gonzalez

Post on 02-Feb-2016

284 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

TEMA 13NÚMEROS IRRACIONALES

Números irracionales.Raíz cuadrada.Números reales.El número pi, el número e, el número phi.Radicales.Cálculo de la raíz cuadrada de un número.

Page 2: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

13.1 Números IRRACIONALES

• DEFINICIÓN

• Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES.

• Ejemplo: 21,303003000…

• No se pueden escribir en forma de fracción.

• Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R )

• Los más importantes y característicos son:• El número √2 = 1,4142…• El número π = 3,1415 …• El número e = 2,7182…• y el número phi, Ø = 1,618…

Page 3: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

1

1

√2

• El número √2

• El primer irracional conocido fue √2 • Se trata de la diagonal de un

cuadrado cuyo lado vale la unidad.• Fue descubierto por Pitágoras, pero

prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma.

• Aplicando el T. de Pitágoras:

• h= √ (12 + 12) = √ (1 + 1) = √ 2

Page 4: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• El número π • • Ya sabéis que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.• En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una

serie de números racionales que converge hacia π

Page 5: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• El número e

• Es tan importante o más que el número π.• En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de “e” y

además una serie de números racionales que converge hacia “e”.

Page 6: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• El número Phi ( Ø )

• 1 x• La divina proporción ----- = --------- x ( Ø ) = 1,618• x x + 1

• Los primeros científicos lo bautizaron como «La Divina Proporción».• Medid la distancia entre el suelo y la parte más alta de la cabeza. Y

divididla luego entre la distancia que hay entre el ombligo y el suelo. Da el número Phi.

• Medíos la distancia entre el hombro y las puntas de los dedos y divididla por la distancia entre el codo y la punta de los dedos. Otra vez Phi. ¿Otro más? La distancia entre la cadera y el suelo dividida por la distancia entre la rodilla y el suelo. Otra vez Phi.

• La razón entre el largo y el ancho de las tarjetas de crédito: Phi.

• El nombre de Phi se puso en honor de Phideas de Mileto, el primer arquitecto que llevó dicha relación de medidas al diseñar y construir el Partenón ateniense.

Page 7: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

13.2 Representación Gráfica de R

0 1 2 3 4 R

NÚMEROS NATURALES ( N )

Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4

NÚMEROS ENTEROS ( Z )

- 2 - 1 0 1 2 R

Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

Page 8: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

0 2 / 3 1 R

NUMEROS FRACCIONARIOS

Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad).

d

d

d

Page 9: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

Método de representación.• Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1.• Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera.• Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida

cualquiera, d.• Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta

real.• Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de

los segmentos a la recta real R.• La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado

dividido en tres segmentos iguales.• Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos

de los tres segmentos ocasionados.• Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número

racional 2/3.

Page 10: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

0 1 7/4 2

OTRO EJEMPLO

Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto

7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4.

d

d

d

d

Page 11: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

Método de representación.• Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2.• A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real.• Desde el 1 se traza una recta cualquiera.• Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida

cualquiera, d.• Se une el estremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta

real.• Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de

los segmentos a la recta real R.• La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado

dividido en cuatro segmentos iguales.• Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres

de los cuatro segmentos ocasionados.• Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número

irracional 7/4 = 1 + 3 / 4

Page 12: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

Radicales

1

1

√2

0 1 √2 2

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2

Page 13: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

Representación Gráfica de Números Irracionales

1

1

√2

0 1 √3 2

√2

√3

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3

Page 14: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

Representación Gráfica de Números Irracionales

1

1

√2

0 1 2 3 √13

3

√13

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13

2

Page 15: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

13.3 Raíz de un número

• EXPRESIÓN RADICAL

índice

raíz

radicando

n

√ a = r

n n

√ a = r si se verifica que r = a, siendo n > 1 un número natural.

Page 16: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• Ejemplos

• Índice par y radicando positivo• √ 4 = 2 y -2, pues 22 = 4 y (-2)2 = 4

• Índice par y radicando negativo• 4 4• √ -16 = No hay, pues no existe r tal que r = - 16

• Índice impar• 3• √ 8 = 2 , pues 23 = 8• 3• √ - 8 = - 2 , pues (- 2)3 = - 8

Page 17: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• RADICALES EQUIVALENTES

• Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía.

• Ejemplos:

• 4 3.4 12• √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24

• 4 4/2 2• √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4

• 6 6/3 2• √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2

• Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura.

Page 18: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• EXPRESIÓN EN POTENCIA DE UN RADICAL

• q p p / q• √ a = a

• Una expresión radical siempre se puede expresar como una potencia, donde el exponente va a ser una división tal que el denominador es el índice del radical.

• Ejemplos:

• 3 5 5 / 3 5 1 / 5• √ 2 = 2 ; √ 7 = 7

Page 19: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• PROPIEDADES DE LOS RADICALES COMO POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO

• LAS MISMAS QUE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO.

• Ejemplos:

• 3 5 1/3 1/5 (1/3+1/5) 8 / 15• √ 2 . √ 2 = 2 . 2 = 2 = 2 • Pues queda como producto de potencias de igual base.

• 3 3 1/3 1/3 1/3 1/ 3• √ 7 . √ 5 = 7 . 5 = (7.5) = 35 • Pues queda como producto de bases con igual exponente.

• 3 5 1/3 1/5 (1/3 - 1/5) 2 / 15• √ 7 : √ 7 = 7 : 7 = 7 = 7 • Pues queda como división de potencias de igual base.

Page 20: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

13.4 Operaciones con radicales

• EXTRACCIÓN DE FACTORES

• Siempre que se pueda es muy conveniente extraer factores de un radical.• Para ello se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo

índice de la raíz.

• Ejemplo 1:

• 3 3 2 3 3 2 • √ 108 = √ 2 . 3 = 3 . √ 2

• Ejemplo 2:

• 4 4 10 4 4 4 2 4 2• √ 1024 = √ 2 = √ 2 . 2 . 2 = 2.2. √ 2 = 4. √ 2

Page 21: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• Ejemplo 3:

• 5 5 5 5 • √ 1 / 32 = √ 1 / 25 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2

• El 2 sale fuera de la raíz. Pero como estaba dividiendo, sale dividiendo.

• Ejemplo 4:• • 3 3 • √ 8 / 27 = √ 23 / 33 = 2 / 3

• El 2 sale fuera de la raíz, pero como estaba multiplicando sale multiplicando.

• El 3 sale fuera de la raíz, pero como estaba dividiendo sale dividiendo.• • Ejemplo 5:

• 4 4 4 4 • √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ 2.24 / 34 = (2 / 3). √ 2

Page 22: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• SUMA DE RADICALES

• Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando.

• 3• √ 2 + √ 5 No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma.

• 3 3 • √ 2 + √ 5 No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada.

• 3 3 3 3 3 3 3 3 3• √ 2 + √ 16 = √ 2 + √ 2.8 = √ 2 + √ 2.2 = √ 2 + 2 √ 2

• 3• Sacando factor común a √ 2 tenemos:

• 3 3 • √ 2 . ( 1 + 2 ) = 3 . √ 2

Page 23: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• PRODUCTO DE RADICALES

• Para que se puedan multiplicar o dividir convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice o el mismo radicando.

• En su defecto siempre se puede conseguir tener el mismo índice haciendo previamente radicales equivalentes.

• Ejemplo 1

• 3 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 • √ 2 . √ 5 = 2 . 5 = (2.5) = 10

• Pues queda como producto de potencias de igual exponente.

• Ejemplo 2

• 3 4 1 / 3 1 / 4 (1/3+1/4) 7/12 • √ 7 . √ 7 = 7 . 7 = 7 = 7

• Pues queda como producto de potencias de igual base.

Page 24: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• PRODUCTO DE RADICALES

• Ejemplo 3

• 3• √ 2 . √ 5 No se pueden multiplicar sin hacer índices comunes.

• El mínimo común múltiplo de los índices (3 y 2) es 6

• 6 2 6 3 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 6 • √ 2 . √ 5 = 4 . 125 = (4.125) = 500 = √ 500

• Pues queda como producto de potencias de igual exponente.

• Ejemplo 4

• 3 4 12 4 12 3 4 3 1/12 12 4 3 • √ 7 . √ 3 = √ 7 . √ 3 = ( 7 . 3 ) = √( 7 . 3 )

• Pues queda como producto de potencias de igual exponente.

Page 25: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• ORDENACIÓN DE RADICALES

• Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viciversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando.

• Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes.

• Ejemplo

• 3 7• √ 2 y √ 5 No se pueden ordenar sin hacer índices comunes.

• PROCEDIMIENTO EN ESTE CASO:• HALLAR RADICALES EQUIVALENTES

• 7.3 7 3.7 3 21 7 21 3 21 21

• √ 2 y √ 5 √ 2 y √ 5 √ 128 y √ 125

• Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice.• Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando.

Page 26: TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Números irracionales. Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz

• ORDENACIÓN DE RADICALES

• CASO DE TENER EL MISMO ÍNDICE:• Será menor el que tenga menor radicando.

• Ejemplo

• 3 3 3 3 • √ 2 y √ 5 √ 5 > √ 2 , pues 5 > 2.

• CASO DE TENER EL MISMO RADICANDO:• Será mayor el que tenga menor índice.

• Ejemplo

• 3 5 1 / 3 1 / 5 • √ 2 y √ 2 2 > 2 , pues 1/3 > 1/5 5/15 >

3/15