tema 1: los nmeros reales los nmeros reales ... el conjunto formado por los nmeros racionales

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  • TEMA 1: LOS NMEROS REALES

    LOS NMEROS REALES. CLASIFICACIN.

    Dentro del conjunto de los nmeros reales distinguimos:

    NATURALES. Se designan con la letra N y son los nmeros sin decimales y positivos 0, 1, 2, 3, .

    ENTEROS. Se designan con la letra Z y son los naturales positivos y negativos

    ..3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .

    RACIONALES. Se designan con la letra Q y son todos los nmeros que se pueden poner como

    fraccin. En este conjunto estn los enteros, decimales exactos y decimales peridicos.

    Por ejemplo:

    FRACCIONARIOS. Son todos aquellos racionales que no son enteros, es decir, decimales exactos y

    decimales peridicos.

    Por ejemplo:

    IRRACIONALES. Se designan con la letra I y son todos aquellos que no se pueden poner como

    fraccin, es decir, son los decimales no exactos y no peridicos.

    Por ejemplo: ,

    El conjunto formado por los nmeros racionales e irracionales es el conjunto de los nmeros reales,

    se designa por .

    Ejercicios:

    1. Coloca donde corresponda los siguientes nmeros: 437 1012,2,4/8,102,3,6/7,3,5,3,7,12

    N

    Z

    Q

    FRACCIONARIOS

    I

    2. Rellena la tabla poniendo SI o NO donde corresponda.

    NMERO N Z Q FRAC I R

    43,2

    12

    123

    7

    5/1

  • RADICALES

    Antes de empezar con los radicales repasemos las propiedades de las potencias

    m

    m

    m

    mmm

    nn

    n

    n

    nmnm

    nm

    n

    mnm

    nmnm

    b

    a

    b

    a

    baba

    a

    b

    b

    a

    aa

    aa

    aa

    aaa

    aaa

    aa

    a

    .9

    .8

    .7

    1.6

    .5

    .4

    .3

    .2

    1.1

    1

    0

    Un radical es una expresin del tipo n a donde n es el ndice y a es el radicando.

    Un radical es una potencia de exponente fraccionario

    nn aa

    1

    en general podemos afirmar nm

    n m aa

    Ejercicios:

    3. Pasa a forma de potencia los siguientes radicales:

    3) xa

    3) xb

    5 2) bc

    5 15) xd

    4. Pasa a radical las siguientes potencias:

    53

    ) aa

    5,0) xb

    52

    3) aac

  • RADICALES EQUIVALENTES

    Dos o ms radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias

    asociadas son equivalentes.

    Por ejemplo 7 221 6 aa porque 72

    21

    6

    aa y 7

    2

    21

    6

    Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el

    exponente del radicando y el ndice de la raz por un mismo nmero.

    Por ejemplo:

    15 1053 523 2 xxx 6 2212 2412 4 xxx

    INTRODUCCIN DE FACTORES EN UN RADICAL

    Para introducir un factor en un radical se multiplica el exponente del factor por el ndice del radical

    Por ejemplo:

    5 1535 33 abba

    4 114 834 32 xxxxx

    Ejercicios

    5. Introduce factores:

    4 223

    7 34

    35

    )

    )

    3)

    )

    babad

    xxc

    xb

    baa

    EXTRACCIN DE FACTORES DE UN RADICAL

    Si algn factor del radicando tiene por exponente un nmero mayor o igual que el ndice, se puede

    extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el ndice. El cociente es el

    exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

    Por ejemplo:

    3 283 26 xxx ya que la divisin ..

    Otra forma de hacerlo es:

    3 2243 26 xxx ..

  • Ejercicios

    6. Extrae todos los factores que puedas.

    3 210

    3

    4 16314

    6 24

    5 18

    27)

    45)

    81)

    )

    )

    )

    baf

    e

    d

    zyxc

    ab

    xa

    RADICAL DE UN RADICAL

    Para calcular la raz de otra raz se multiplican los ndices.

    mnn m aa

    Demostracin:

    mnm

    nnmn m aaaa

    111

    Por ejemplo: 353 7 55

    POTENCIA DE UN RADICAL

    Si un radical est elevado a un exponente, para calcular su valor se eleva el radicando a ese exponente.

    m qqm aa

    Demostracin:

    m qqm aa

    Por ejemplo:

    53 a

    23 7

  • REDUCCIN A NDICE COMN

    Reducir a ndice comn dos o ms radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que

    tengan el mismo ndice.

    El ndice comn es cualquier mltiplo del m.c.m. de los ndices. El mnimo ndice comn es el m.c.m.

    de los ndices.

    Por ejemplo si que remos reducir estos tres radicales 53 , ba y 3 2c a ndice comn buscamos el

    m.c.m. de todos los ndices, que en este caso es 30

    30 2030 1023 2

    30 630 615

    30 4530 1533

    ccc

    bbb

    aaa

    LO QUE HAGAS AL NDICE HZSELO AL EXPONENTE

    Ejercicios

    7. Pasa a ndice comn.

    5 43 ,) axa

    12 53 24 3 ,,) xxxb

    RADICALES SEMEJANTE

    Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo ndice y el mismo radicando. Pueden diferir

    nicamente en el coeficiente que los multiplica.

    Por ejemplo los siguientes radicales son semejantes: 555 73

    2,75,7

    Ejercicios

    8. Agrupa los radicales semejantes: 28,35

    3,32,26,3

    9. Demuestra que los siguientes radicales son semejantes: 3 35 , 6 94 y 3 24

  • PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES

    Para multiplicar o dividir radicales, stos tienen que tener el mismo ndice y se hace de la siguiente

    forma:

    Producto: nnn baba Cociente: nn

    n

    b

    a

    b

    a

    Si no tienen el mismo ndice, pasamos todos los radicales a ndice comn y aplicamos lo anterior

    Por ejemplo:

    15 75 33 xxx

    7 4

    5 3

    a

    a

    4

    35

    53

    759

    Ejercicios

    10. Opera y simplifica:

    a)

    5 3

    3 2

    x

    xx

    b)

    5 3

    3

    x

    xx

    c) 5 3 22 xxxx

  • RACIONALIZACIN

    La racionalizacin consiste en quitar las races del denominador. Hay dos procedimientos segn el tipo

    de expresin.

    Procedimiento 1

    7 45

    7 45

    7 327 32

    55

    yx

    yx

    yxyx

    35

    2

    7 2

    23

    ba

    ab

    Procedimiento 2

    53

    53

    53

    5

    53

    5

    53

    53

    APROXIMACIN DE NMEROS

    Se llaman cifras significativas a las que se usan para expresar un nmero aproximado. Solo se deben

    utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que queremos

    transmitir. Ejemplos:

    34 m tiene 2 cifras significativas

    0,0863 hm3 tiene 3 cifras significativas

    53 000 g tiene 2 cifras significativas, pues los ceros al final solo sirven para designar el nmero. Mejor

    seria que pusiese 53 miles de gramos o 53 kg

    Ejercicios:

    11. Expresa con un nmero razonable de cifras significativas las siguientes cantidades:

    1. Visitantes en un ao a una pinacoteca: 183 594

    2. Asistentes a una manifestacin: 234 590

    3. Nmero de bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 302 593 847

    4. Nmero de gotas de agua en una piscina: 147 253 892 000

    5. Nmero de granos en un saco de arroz: 11 892 583

  • Cada vez que hacemos una aproximacin cometemos un error. Hay dos tipos de errores:

    - Error absoluto: Es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.

    imadovaloraproxrealValorabsolutoError

    Si el valor real es desconocido lo que calculamos es una cota de error, que se calcula a partir de la

    ltima cifra significativa. Por ejemplo si tomamos el nmero como 3,14 la cota de error se calcula

    viendo el orden que ocupa la ltima cifra significativa ( es el 4 y ocupa el lugar de las centsimas)

    y dividiendo la unidad de ese orden entre dos, en nuestro caso dividir una centsima entre dos lo

    que da 0,005.

    - El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas ms cifras

    significativas se usen.

    Por ejemplo, calcular la cota de error absoluto y el relativo de las siguientes aproximaciones:

    a) 34 000 kg 5002

    1000ae Kg 0147,0

    34000

    500re

    b) 0,5 m 2

    1,0ae

    c) 12 km

    NOTACIN CIENTFICA

    Un nmero est en notacin cientfica si:

    - Est descrito mediante dos factores, un nmero decimal y una potencia de 10.

    - El nmero decimal es mayor o igual que 1 y menor o igual que 10.

    - La potencia de 10 es de exponente entero.

    Ejercicios.

    1. Expresa en notacin cientfica los siguientes nmeros:

    a) 340 000

    b) 0,00000034

    c) 25 . 106

    d) 0,04 . 109

    e) 480 . 10-8

    f) 0,05 . 10-8

    2. Nos dicen que la poblacin de China es de 1 300 millones de habitantes.

    a) Expresa esa cantidad en notacin cientfica

    b) Es una cantidad exacta o aproximada?

    c) Da una cota de error absoluto

    d) Da una cota de error relativo

  • EJERCICIOS

    1. a) Indica cules de estos nmeros no se pueden expresar como una fraccin: 52;3;57,3;2,4;3;7,1;2

    b) Expresa como fraccin aquellos que sea posible.

    c) Indica cules son racionales.

    2. Cuntos nmeros racionales hay entre