Matematicki panoptikum

Jednostavnonemoguc e!

Sandra Gracan, Zagreb

Je li vam se ikada dogodilo da gledatesliku i vidite na njoj objekte sasvim jasno, apritom osjecate da tu “nesˇto ne stima”? Ne-moguci objekti predmeti su koje mozemo za-misliti i nacrtati, no nemoguce ih je zaistanapraviti. Iako su prilicno uvjerljivi, oni utrodimenzionalnom svijetu ne postoje.

Mogucnost zamisljanja i crtanja nemo-gucih predmeta i njihova uvjerljivost upravosu ono sto im daje drazˇ i cini ih atraktivnima.

Na sljedecih nekoliko stranica -a zaviritcemo u taj tajanstveni svijet.

U cemu je trik?

Ono sto cemo zapravo promatrati samoje niz linija ispisanih na komadu papira! Ipak,cinit ce se da vidimo cvrste objekte. U tome ijest prvi trik nemogucih predmeta — na njegacemo odmah “nasjesti”.

Gledanje je prilicno slozen proces u ko-jem oko salje sliku predmeta u obliku zˇivca-nih impulsa mozgu. Mozak je taj o kojemovisi interpretacija i shvacanje videnog. Pri-tom veliku ulogu imaju iskustvo i pretpostav-ke koje smo stvorili na temelju vec videnog.

Postoje tri osnovna pokazatelja na teme-lju kojih izvodimo zakljucke o polozaju i ori-

jentaciji nacrtanog predmeta. To su:1. prekrivanje i spajanje — predmet ili

dio predmeta koji se nalazi iza ili ispod,ne vidi se, prekriven je predmetom ili di-jelom koji je ispred ili iznad. Na prvojslici A je ispredB, na drugoj jeB ispredA, a na trec´oj su A i B spojeni, tj. najednakoj udaljenosti.

Stavimo li u kontradikciju taj pokazatelj,eto nemoguceg: ljestve idu iznutra, a zavrsˇa-vaju izvan kutije!

2. povezanost ravnine— daje nam infor-maciju koji dijelovi predmeta leze u is-toj ravnini ili su na jednakoj udaljenos-ti. Kombiniramo li prekrivanje i pove-zanost, dva kontradiktorna pokazateljapolozaja na istoj slici, evo jos jednogjednostavnog nemoguceg predmeta.

12, 2001 73

3. orijentacija — jednostavna tijela, poputkocke, kvadra i sl., jasno nam pokazu-ju svojim stranama smjerove i polozˇaj uprostoru. Na lijevoj slici nema proble-ma u razumijevanju, dok na desnoj nijesve bas sasvim jasno, orijentacija se nepostuje na cijeloj slici jednako. Cˇ ini seda se lijevi kvadar udaljuje, a desni pri-blizava promatracu, ali nacin na koji seprekrivaju govori upravo suprotno.

Nemoguci trokut

Neobicna stvarcica

Upoznajmo se s prvim nemogucim ob-jektom. To je nemoguci trokut — nazovimogatrikut — cije “stranice” su tri kvadra. Sˇ to

je tu neobicno? Pogledamo li trikut pazljivi-je, vidimo da su u gornjem kutu kvadriA i Bokomiti, u lijevom kutu suB i C okomiti, a udesnom kutu se pak kvadriC i A spajaju podpravim kutom. Nemoguce?!

Na sljedecoj slici pogledajte kako “slozˇi-ti” trikut. On na jedan specijalan nacin zaistapostoji, zar ne?! Priznajte, crtez izgleda vrlouvjerljivo i premda znamo da to “ne ide”, nijese lako osloboditi osjecaja da mozda ipak...

Osim toga, slicica nas naprosto “vu-ce” da izracunamo volumen i oplosje trikuta.Pretpostavimo li da svaka kocka ima duljinustranice 1 cm, tada je svaka stranica trikutaduga 5 cm. Volumen tada iznosi 12 cm3, aoplosje je 48 cm2. Stvar je “samo” u prebro-javanju kockica!

Gruba stvarnost

Trikut u punoj njegovoj ljepoti mozetevidjeti na stranicama panoptikuma. Dokazu-je li to da je zaista moguce napraviti nemo-guci trokut? Naravno da ne.

Pokusajte zamisliti kako izgleda ako bi-smo ga samo malo zarotirali ili promatrali iznesto drugacijeg kuta. Znamo da se kvadriod kojih se sastoji trikut u stvarnom prostorune dodiruju. Osim toga, povucemo li pravcekroz osi kvadaraA, B i C, dobit cete trokuts tri prava kuta! Promatramo li pak tri me-dusobno okomite ravnineA, B i C, po svimpravilima Euklidske geometrije trebale bi sesjeci u jednoj tocki.

Na sljedecoj fotografiji u zrcalu vidi sekako zapravo izgleda fotografirani model.

74 12, 2001

Mozete i vi izraditi trodimenzionalnimodel od kartona, dio kojeg, gledate li iztocno odredenog kuta, vidite kao nemoguc´itrikut. Naravno, to nije “pravi” trikut, on jezaista nemoguc! Evo sheme.

Ljudska masta moze svasta...

Nemoguci trokut moze se iskoristiti kaoosnova pri crtanju drugih nevjerojatnih obje-kata. Djelic onoga sto nastane kad ljudi pustemasti na volju mozete pogledati u panoptiku-mu.

Godine 1934. svedski umjetnik OscarReutersvard nacrtao je kompoziciju od de-vet kockica i prvi nemoguci trokut je stvoren.On je nastavio eksperimentirati s nemoguc´imobjektima i rezultat toga je nekoliko stotinacrteza. 1982. godine svedska posta je njemuu spomen izdala seriju od tri marke s njego-vim nemogucim objektima.

1958. godine L. S. i R. Penrose, otaci sin, objavili su kratki clanak u casopisuBritish Journal of Psychology: “Nemoguciobjekti, posebna vrsta iluzije”�“Impossibleobjects, a special kind of visual illusion”�. Unjemu prvi put opisuju nemoguci trokut kojise od tada, njima u cast, naziva “Penroseovtrokut” kao i nemoguce stepenice o kojimace biti rijeci nesto kasnije. Vise o Sir RogeruPenroseu mozete procitati na internet adresihttp���www�worldofescher�com�misc�

penrose�html.

12, 2001 75

Njemacki umjetnik, graficar M. C. Escher,

�o kome smo vec pisali u -u br. 10�,najzasluzniji je za popularizaciju nemoguc´ihobjekata. Najpoznatija je njegova litografija“Vodopad”, prodana u vise od 160 000 prim-jeraka! Na toj slici uocˇit cete dva nemoguc´atrokuta. Cini se da voda mirno tece prema do-lje, a ipak zavrsava na visem polozaju odaklese slijeva na mlin u obliku vodopada. Escherje na toj slici briljantno iskoristio trikut kakobi kreirao pravi “perpetuum mobile”.

Nemoguc i cetverokut

Korak dalje

Nemoguci cetverokut — cetirikut ili,mozda bolje receno, nemoguci okvir dobijese lako “razvlacenjem” trikuta udesno:

Sastoji se od dva paralelna kvadra i dvakvadra postavljena “u kriz” pod pravim ku-tom, a sva cetiri cine cvrsti okvir. Pogledate licrteze “normalnih” prozorskih okvira, uocˇit

cete kako je nemoguci okvir njihova nemo-guca kombinacija. StupoviA i B s lijevogokvira spojeni su sa stupovimaC i D s des-nog okvira.

Nemoguce okvire mozemo sastaviti i nanekoliko drugacijih nacina. Uocimo da po-stoje tocno 4 razlicita kuta�na donjoj slicisu oznaceni brojevima 1, 2, 3 i 4� jednog“normalnog” okvira. Nemoguce okvire sa-stavljamo kombinirajuci neke od tih kutova.Na slici vidimo kombinaciju�1,2,1,2�, a samise mozete poigrati i nacrtati okvir sastavljenod kutova�4,4,4,4�, ili npr. �4,1,4,1�.

76 12, 2001

Poopcenje?

Sto je s multikutovima? Moze se pretpo-staviti da ce takvi nemoguci objekti biti josinteresantniji. No, ipak nije tako. Dva suglavna razloga.

1. Na papiru su najdojmljiviji i najuvjerlji-viji crtezi pravog kuta. Snaga trikuta icetirikuta je upravo u tome sˇto se cini dasu svi kutovi pravi! Sto su kutovi vec´iod 90�, manje su efektni.

2. Slozenost je drugi razlog. Sˇ to je viselinija i stupova, uocava se manje kontra-diktornosti.Evo nekoliko slicica, pa prosudite sami.

Nemoguc e kocke

Zelimo li ipak korak dalje, onda je zani-mljivo pogledati jos jednu vrstu nemoguc´ihobjekata: nemoguce kocke.

Prva kocka nacrtana je sa svih 12 bridovajednake debljine. To je tzv. Neckerova kocka.Nije sasvim jasno promatramo li je odozgo iliodozdo i koja od tocakaR i P je na prednjojstrani. Zelimo li promatracu dati informacijusto je ispred a sto iza, nacrtat cemo nevidljive

linije tanje, ili prekinuti bridove koji se nala-ze iza — druga slicica izgleda sasvim u redu,tocka R je iza, a tocˇkaP na prednjoj strani.

No, sto ako tu nesto “pobrkamo”? Malapromjena na trecoj slicici daje oku do znanjakoji bridovi su blizi i sada zakljucujemo da sutocke P i R jednako udaljene od promatracˇa!Jednostavna i uvjerljiva iluzija!

Evo jos jednog nacina na koji mozetenacrtati nemogucu kocku: promatrajte cetirirazlicita vrha “obicne” kocke i�kao i kod ce-tirikuta� isprobajte nemoguce kombinacije.

Pri “konstrukciji” ipak treba paziti da sene pretjera s kontradiktornostima jer se slikamoze raspasti na niz besmislenih linija.

Nadalje, mozete nacrtati i kocke s nemo-gucim spojevima...

12, 2001 77

... ili pak kocke ciji dijelovi su promat-rani svaki iz svoje perspektive:

Cini se da ljudska masta zaista nema gra-nica. Tu je Escher bio pravi majstor. Pogle-dajmo gore desno njegovu litografiju “Vidi-kovac”, baziranu na nemogucoj kocki. Stvar-no i nestvarno ispreplice se u pravoj mjeri islika ostavlja snazan dojam.

Nemoguce stube

Upoznajmo se sada s jos jednim nemo-gucim objektom: Penroseovim stepenistem.To je niz stepenica povezanih u zatvorenu cje-linu tako da se u pozitivnom smjeru beskraj-no penjete, a u negativnom smjeru spustate.

Kako je to moguce? Pa sve izgleda sasvimispravno. Skoro!

Kako bi nam varka bila jasnija, pogledaj-mo stepeniste sa samo cetiri stepenice. Naslici lijevo sasvim je jasno da se stepenicespustaju u smjeru kazaljke na satu i vidi serazlika u visini prve i cetvrte stepenice. No,na desnoj slici prva i cetvrta stepenica pro-

78 12, 2001

mijenile su polozaj: najvisa stepenica se nasˇ-la ispod najnize i dobili smo beskrajni krug.Povecamo li broj stepenica, iluzija je jos upe-catljivija.

Vratimo se sada i po treci put M. C.Escheru. Ovoga puta pogledajmo njegovu li-tografiju “Uspinjanje i silazenje”. Litografijaprikazuje Penroseovo stepeniste po kojem ubeskraj kruze zakrabuljeni ljudi jedni mimodrugih tako da se jedni stalno spustaju, a dru-gi se pak stalno uspinju. Cˇ ini se da se svakihpola kruga mimoidu isti ljudi. Zgodno, zarne?

U ravnini, a ipak se uspinje...

Sljedeca tri crteza pokazuju nam jos je-dan nacin “zbunjivanja protivnika”.

Na slici a� nema poblema s interpreta-cijom videnog: to je ravna, kvadratima pop-locena ploha odredene debljine. Na slici b�jedan rub plohe je nazubljen sˇto ce nase okojako asocirati na stepenice. Dodamo li jos nizvertikalnih linija u obliku zida uz taj rub, on-da ce zakljucak biti da se na tom dijelu crtezˇazaista radi o stepenicama. Ostaje naravnoproblem objasniti kako to da je desni rub idalje ravan. Dodate li jos nekoliko detalja ievo lijepog nemoguceg objekta:

12, 2001 79

I blizu i daleko

Sljedeci niz slicica pokazat ce nam kakonastaje predmet cija povrsina je istovremenona dvije razlicite udaljenosti od promatracˇa:

Na slici a� lik je nesumnjivo ploha u rav-nini. Na slici b� lik dobiva debljinu, no njego-va prednja ploha jos uvijek je ravna i jednakoudaljena od promatraca. Takoder vjerujemoda je i straznja strana predmeta ravna ploha.Na slici c� predmet postaje jos deblji i na sce-ni se pojavljuje mala kocka. Jos uvijek nemaproblema. Na slici d� kocka je pomaknuta ievo konflikta. Tocke Q i P jednako su uda-ljene od promatraca, kao i tocˇke Q i R. No,tockaP je nesumnjivo bliza od tocˇkeR.

I horizontalno i vertikalno

U stvarnosti ravna ploha ne moze istov-remeno biti polegnuta i uspravna. Evo nacinana koji mozemo i to postici. Pogledajte tra-pezABCD:

Usmjerimo li svoju paznju samo na lije-vi rub trapeza,�desni pokrijte rukom�, crtezmozemo interpretirati kao horizontalnu plo-hu, dok bismo, gledajuci samo desni kraj,pretpostavili da se radi o vertikalnoj plohi.

Dodamo li sada crtezu jos vise detaljakoji ce nas navoditi na kontradiktorne zak-ljucke, dobili smo jos jedan nemoguci objekt.Pogledajte ovu neobicnu stepenastu pirami-du — hram nemoguceg. Broj stepenica sasvake strane te piramide je drugaciji!

Povrsine koje nestaju

Posebnu grupu nemogucih predmeta cˇi-ne predmeti s razlicitim ulogama povrsina.Na jednom kraju crteza povrsina ce biti diopredmeta, a na drugom kraju dio pozadine.Evo jedne zanimljive slicice koju je nacrtaoZenon Kulpa. Gledamo li lijevi dio slike, vi-dimo dva razlicita stupa, ali desni dio prika-zuje samo jedan stup i njegovu sjenu... Drugistup se jednostavno rastopio.

80 12, 2001

Priznajte, nije lako odgovoriti na pitanjekoliko nogu ima ovaj slon...

...ili kako ove svijece stoje na svijecnja-ku:

To nije sve...

Ovo je, naravno, samo dio price o ne-mogucim predmetima. Proucavanje nemo-

gucih predmeta sigurno nije grana matema-tike, iako se u njihovu opisivanju i analizirabe matematicke metode. Zanimljivo je daje vise od stotinu clanaka napisanih na tu te-mu objavljeno u kompjutorskim casopisima,naime, nemoguci predmeti trebali bi pomoc´iu razumijevanju i stvaranju programa koji biomogucili robotima da “vide”.

Mozda bi nemoguci predmeti bili zanim-ljiva tema i ucenicima, ciji zadatak bi bio ma-tematickim metodama dokazati njihovu ne-mogucnost. Kako su to napravili slovenskiucenici 3. i 4. razreda kamniske gimnazije,mozete pogledati u posebnom broju slovens-kog casopisa “Logika in razvedrilna matema-tika” �sedmo godiste, 1997–1998, br. 4�.

Na kraju, znate li lijepo crtati, mozˇdadobijete zelju da se sami okusate u stvaranjunemogucih predmeta. Bilo bi lijepo vidjetivasih ruku djelo. Pisite nam!

A za one koji ce radije samo gledati, evoadrese web stranica na kojima mozete po-gledati neobicne objekte i predmete OscaraReutersvarda, Brune Ernsta i ostalih autora:http���www�palmyra�demon�co�uk�

illusion�oscar�oscar�htm. Pogledajte!

Bruno Ernst pseudonim je nizozemcaJ. A. F. de Rijka. Fasciniran nemoguc´imobjektima, upoznao se s vecinom vodec´ihumjetnika i znanstvenika koji su proucˇa-vali nemoguce predmete. U jesen 1986.godine u Utrechtu organizirao je medu-narodnu izlozbu posvecenu nemoguc´imobjektima. Pratio je Escherov rad i pi-sao clanke o Escherovim litografijama, azatim je izdao knjigu o njegovom zˇivo-tu i radu. Odusevili su ga i radovi Os-cara Reutersvarda, a i drugih autora, paje 1985. godine objavio knjigu o nemo-gucim objektima “Avanture s nemoguc´imfigurama”, (“Adventures with impossiblefigures”, prijevod na engleski je u izdanjuTarquin publications, 1986.). Ovaj clanakposljedica je citanja (i gledanja) te knjige.

12, 2001 81