04. números irracionales

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Números Irracionales

Unidad: Números Reales [email protected] http://jorgegaonaparedes.blogspot.com

Objetivos: Al realizar en forma completa esta guía el alumno tendrá que: - Reconocer números irracionales. - Reconocer tipos de números irracionales. - Transformar raíces a potencias simplificarlas. - Aplicar reglas de racionalización. - Aplicar reglas de los números irracionales y reales para resolver problemas de aplicación. - Escribir números en notación científica. - Operar números dados en notación científica. - Estimar y aproximar números dados.

1. Los Irracionales y su génesis Lo primero que hay que decir es qué es un número irracional. Un número es irracional cuando no es racional, esto quiere decir que tal número no se pueda escribir como una fracción del tipo donde están en . Esto no es muy fácil de hacer. Una de las características es que su escritura decimal es infinita y no hay períodos en esa expresión.

Uno de los primeros números irracionales que se conocieron fue , y el descubrimiento de este se obtuvo al aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un cuadrado de lado con magnitud 1, como se muestra en la siguiente figura:

Cuenta la leyenda que aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

Otro de los irracionales más famosos en la historia es , su aparición fue vista tempranamente por diversas culturas, pero su naturaleza irracional no se demostró hasta que Johann Heinrich Lambert lo hizo en 1761 aproximadamente. Este irracional es tan famoso que se han hecho películas sobre él (personalmente vi una y no me gustó). También está el día de este número. Por la forma en que se escribe en el formato usado en los Estados Unidos, el 14 de marzo (3/14) se ha convertido en una celebración no oficial para el "Día Pi", derivándose de la aproximación de tres dígitos de pi: 3,14. Normalmente la celebración se concentra a la 1:59 PM (en reconocimiento de la aproximación de seis dígitos: 3.14159), aunque algunos más quisquillosos afirman que en realidad son las 13:59, por lo que lo correcto sería celebrar a la 1:59 AM. Hay otros por ejemplo que han hecho una canción de este número, en el blog http://jorgegaonaparedes.blogspot.com aparece un artículo titulado ¨ Una canción sin coro y que puede ser ¡infinita! ̈ , el video que aparece es por lo menos curioso, al final de este aparecen unas preguntas, te invito a responderlas. Por último también aparece un video en un artículo titulado: Euler y los números mas extraordinarios de la historia, cabe destacar que en este artículo aparece también el número irracional e, este video es muy bueno y los invito a revisarlos.

http://jorgegaonaparedes.blogspot.com/

http://jorgegaonaparedes.blogspot.com/2008/12/69-segundos-con-la-expancin-decimal-de.html

http://jorgegaonaparedes.blogspot.com/2008/12/69-segundos-con-la-expancin-decimal-de.html

http://jorgegaonaparedes.blogspot.com/2008/12/euler-y-el-nmero-pi.html

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Si hablamos de irracionales famosos no podemos dejar fuera al número phi (número de oro), información muy interesante de este número aparece en un video del articulo denominado: El número de oro ¿Es realmente divino?. Estos artículos están en la etiqueta “números reales” o con el título los pueden encontrar mediante el buscador. Hablar de números irracionales y en especial de algunos de los mencionados en estas líneas dan para hacer un libro (de hecho se han hecho muchos) pero el objetivo de esta introducción es de mostrar la punta de este iceberg llamado números racionales.

2. Definición de raíces Para trabajar con raíces utilizaremos la siguiente definición:

Utilizando la definición anterior calcule el valor de las siguientes raíces. Para esto ingresa a http://www.thatquiz.org/es/practice.html?idfraction (también puede acceder a estos ejercicios llevando a cabo la siguiente secuencia de pasos: ingrese a www.thatquiz.org luego seleccionar el ícono potencias en la columna enteros). Una vez dentro de la página configúrelo de acuerdo a la siguiente figura y las instrucciones que aparecen más abajo:

1. La zona etiquetada con el número 1 configúrenlo con largo:10, nivel:10, duración: abierta, pausa:

no 2. En la zona etiquetada con el número 2 seleccionen la casilla que dice llenar (está encerrada en un

rectángulo). 3. La zona etiquetada con el número 3 es donde está el área de trabajo, en el ejemplo se pide

calcular la raíz cuarta de 625, es decir, ¿qué número multiplicado por sí mismo 4 veces da como resultado 625, utilizando la descomposición en factores primos concluimos que , por lo

tanto , entonces ingresas 5 luego debes presionar ok, así pasarás al siguiente ejercicio.

4. En la zona etiquetada con el número 4 aparecerá información de su desempeño como la cantidad de respuestas acertadas, la cantidad de respuestas erróneas y el tiempo que demora en responder todas las preguntas.

Cada vez que realices una serie de 10 ejercicios completa esta tabla: Sencillo 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

http://jorgegaonaparedes.blogspot.com/2008/12/nmeros-irracionales-series-fibonacci-el.html

http://www.thatquiz.org/es/practice.html?idfraction

http://www.thatquiz.org/

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Avanzado 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

3. Raíces y potencias Observa que en el ejercicio anterior se encontraba en el apartado denominado potencias ¿se habrá equivocado el que creó la página? o ¿habrá alguna relación entre las raíces y las potencias? Recordemos que hasta el momento hemos definido potencias del tipo: donde es cualquier número entero y puede ser un número racional. Ahora queremos ampliar esa definición para exponentes racionales. Cuando teníamos una exponente entero simplemente decíamos que era la abreviación para una multiplicación, lo último no se puede repetir para exponentes en , ahora todo lo anterior está íntimamente relacionado con las raíces como lo veremos en la siguiente definición:

. Lo esencial de lo anterior es que no hay que aprender nuevas propiedades para las raíces ya que estas son una generalización de las propiedades de las potencias que ya conoces. Ahora para completar nuestra definición necesitamos definir una potencia con un exponente racional

cualquiera, es decir del tipo . Entonces:

a. En los siguientes ejercicios expresa las siguientes potencias como raíces, simplifíquelas en lo posible

y de un valor aproximado con 3 dígitos utilizando tu calculadora:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

b. En los siguientes ejercicios escriba las siguientes raíces como potencias y simplifique si es posible:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

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4. Las raíces y sus propiedades Ahora obtendrás las propiedades de las raíces mediante tus conocimientos de potencias y fracciones: i. Multiplicación de raíces de igual índice: Utilizando la definición utilizada en el ejercicio 3 deja

expresada en una sola raíz las siguientes multiplicaciones (simplifícalas si es posible):

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

(indique restricciones)

ii. División de raíces de igual índice: Utilizando la definición utilizada en el ejercicio 3 deja expresada

en una sola raíz las siguientes multiplicaciones (simplifícalas si es posible):

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.


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iii. Potencia de una raíz: Utilizando la definición utilizada en el ejercicio 3 deja expresada en una sola

raíz las siguientes multiplicaciones (simplifícalas si es posible):

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.


iv. Potencia n-ésima de una raíz n-ésima (observe que es un caso particular del anterior:

i.

ii.

iii.

iv.


v. La raíz de una raíz: Utilizando la definición utilizada en el ejercicio 3 deja expresada en una sola raíz

las siguientes multiplicaciones (simplifícalas si es posible):

i.

ii.

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iii.

iv.

v.

vi.


vi. Multiplicación de raíces con igual argumento: Utilizando la definición utilizada en el ejercicio 3 deja


i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.


vii. División de raíces con igual argumento: Utilizando la definición utilizada en el ejercicio 3 deja


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i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.


5. Racionalizando fracciones La racionalización en términos muy simple es el proceso aritmético por el cual eliminas las raíces que hay en el denominador de una fracción para dejarlo en el numerador, este proceso no debe cambiar el valor original de la fracción. En los siguientes ejercicios racionalice, compruebe la igualdad utilizando su calculadora:

i.

ii.

iii.

iv.

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6. Aplicación de las raíces a problemas de la vida cotidiana a. En un ventanal quieren colocar un toldo como se

muestra en la figura

i. ¿cuánto es el ancho de la tela?

ii. Si la ventana tiene de largo ¿Cuántos

de tela se ocuparán?

b. Para guardar agua necesitamos construir un cubo que

contenga 15 litros de agua i. ¿cuánto es el largo de cada arista? ii. Si ahora necesitamos que el cubo contenga el doble de agua ¿a cuánto aumenta el largo de la arista?

c. Calculando el material para hacer una protección: en tu casa deciden colocar una protección de

fierro a una ventana cuadrada de 2mtx2mt, con una separación de 25cm entre cada fierro. La

protección es como la que se muestra en la figura de la izquierda. El plano esquemático es el que se

muestra en la figura de la derecha.

Utilizando lo anterior

i. Calcule cuanto fierro (en mts) se

ocupará en la construcción de esta

protección.

ii. Si el fierro lo venden por tiras de

6mt ¿cuántas tiras debe comprar?

iii. Si la tira de fierro (platina de 3mm)

cuesta $3.600 aproximadamente,

¿cuánto gastará en la protección?

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d. Conversión entre tasas de interés: Si tú pides un crédito, ahorras en una cuenta a plazo fijo, en APV estarás bajo las reglas del interés compuesto y sus derivados. Hay tasas como la de un crédito hipotecario que el banco entrega en un valor anual, pero tu pagas mensualmente. O los depósitos a plazo fijo se capitalizan cada 30, 60 o 90 días. En cada uno de estos casos y otros más se hace necesario hacer conversiones de tasas entre distintos períodos. El cuadro de la izquierda muestra las fórmulas para hacer las conversiones:

Utilizando las fórmulas que se presentan haz las siguientes conversiones: i. Si el banco tiene una tasa anual de un 10% ¿cuál la tasa semestral? ii. Si el banco tiene una tasa anual de un 10% ¿cuál la tasa mensual? iii. Si el banco tiene una tasa trimestral de 3% ¿cuál es la tasa mensual? iv. Si el banco tiene una tasa cuatrimestral de 5% ¿cuál es la tasa mensual?

7. Notación científica La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar un número utilizando potencias de base diez. Un número escrito en notación científica tiene la siguiente forma: donde y es un entero (puede ser positivo, negativo o cero). Esta

notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C.Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es ~4,6·1026m y la masa de un protón es ~1,67·10-27 kilogramos. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1,56234 E29. Nótese

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que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e. La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida sin malgastar espacio. a. Averigue y escriba las siguientes magnitudes en notación científica: i. La distancia que hay desde la tierra a la luna (en km)

ii. La distancia que hay desde la tierra al sol (en km)

iii. La distancia que hay desde la tierra al planeta más lejano del sistema solar (en km)

iv. La masa de un electrón (en kg)

v. La masa de un neutrón (en kg)

vi. La distancia que hay desde un protón a un neutrón (en mt)

vii. El presupuesto anual para el año 2009 en Chile (en $)

viii. La constante de Coulomb

ix. LA constante de Planck

x. La velocidad de la luz en el vacío (en mt/seg)

04. números irracionales

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