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Razones Trigonomtricasde ngulos agudos1

TRINGULO RECTNGULOUn tringulo rectngulo es aquel en el que uno de sus ngulos es recto (90), los otros dos son agudos. Llamaremos catetos a los lados que forman el ngulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a ese ngulo.

En la figura mostrada:

c : hipotenusaa b : catetos : ngulos agudos

Adems en el tringulo rectngulo se cumple que:a2 + b2 = c2c > a b + = 902cab

Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

RAZN TRIGONOMTRICALa razn trigonomtrica de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del tringulo rectngulo con respecto del ngulo agudo.

Si en el tringulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del tringulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonomtricas de del modo siguiente:3

Razones Trigonomtricas de ngulos agudoscab

sen = HipotenusaCateto opuestoHipotenusaCateto adyacente cos = Cateto adyacenteCateto opuesto tg = csc = HipotenusaCateto opuestoHipotenusaCateto adyacente sec = Cateto adyacenteCateto opuesto ctg = HipotenusaCateto opuestoCateto adyacente

Razones Trigonomtricas de ngulos agudosRAZN TRIGONOMTRICA

Ejempl0 1Halla las razones trigonomtricas del menor ngulo de un tringulo rectngulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m.

SolucinPara poder calcular las seis razones trigonomtricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitgoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones.

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Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

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Ejempl0 2Se tiene un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Halla las razones trigonomtricas del mayor ngulo agudo.

SolucinPrimero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitgoras; luego, calculamos las razones trigonomtricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:

Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

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RAZONES TRIGONOMTRICAS DE TRINGULOS NOTABLESConsiderando los siguientes tringulos:7

Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

4545

3060

3753R.T3037455360sen1/23/54/5cos4/53/51/2tg3/414/3ctg4/313/4sec5/45/32csc25/35/4

Se obtiene:

EJERCICIOS PARA LA CLASE01. En un tringulo rectngulo ABC (recto en B); calcular:E = 2tanA.tanC + 3cosA.cscC02. En un tringulo rectngulo ABC (recto en C); reducir:

03. En un tringulo rectngulo, los lados de menor longitud miden 2 y 3cm. Si el mayor de los ngulos agudos mide ; calcular:

04. En un tringulo rectngulo ABC recto en A se sabe que: b + c = 14 y senB.senC = 0,48. Calcular la longitud de la hipotenusa.

05. En un tringulo ABC (B = 90), se sabe que: secA = 2,6. Si el permetro del tringulo es 60cm, cul es su rea?

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Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

RAZONES TRIGONOMTRICAS RECPROCAS9

Razones Trigonomtricas de ngulos agudosSon recprocas, aquellos pares de razones trigonomtricas de un mismo ngulo, que al multiplicarse entre si resultan la unidad. Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recprocas (inversas) al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:La cosecante es la razn recproca del seno, o su inverso multiplicativo:La secante es la razn recproca del coseno, o su inverso multiplicativo:La cotangente es la razn recproca del tangente, o su inverso multiplicativo:

EJERCICIOS PARA LA CLASE06. Sabiendo que sen(2x + 15) . csc65 = 1, halla el valor de x

07. Si cos(3x + 10). sec(x + 70) = 1, calcula el valor de x

08. Halla el valor de x si tg(5x 50) . ctg(4x + 20) = 1

09. Si se cumple que: cos(7x2 3) . sec(2x + 9) = 1

10. Calcula x e y en:

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Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS11

Razones Trigonomtricas de ngulos agudosDos ngulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ngulo recto (90).

En la figura se muestra: : Son ngulos complementarios ( + = 90)Hemos nombrado el ngulo opuesto al cateto a como y al ngulo opuesto al cateto b como en consecuencia:cab

sen = cacos = cbcabtg = ba ct = absec = bccsc = acbactg = tg = abcsc = bcsec = acsen = cbcos = cacos = sen sen = cos ctg = tg tcg = tg csc = sec sec = csc RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOSRazones Trigonomtricas de ngulos agudosLas razones trigonomtricas de todo ngulo agudo son respectivamente iguales a las co-razones trigonomtricas de su ngulo complementario

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOSRazones Trigonomtricas de ngulos agudos Ejemplos:sen 25 = cos 65 porque 25 + 65 = 90tg 50 = ctg 40 porque 50 + 40 = 90sec 12 = csc 78 porque 12 + 78 = 90 Ejercicio 1Halla el valor de en: Sen 2 = Cos 84 SolucinDado que deben ser ngulos complementarios: 2 + 84 = 90 2 = 6 = 3 Ejercicio 2Halla el valor de en: tg 5 = ctg SolucinDado que deben ser ngulos complementarios: 5 + = 90 6 = 90 = 15

EJERCICIOS PARA LA CLASE11. Si sen(3x + 10) = cos(2x + 53) , calcula el valor de x

12. Si sec(5x 40) = csc(2x 10), halla el valor de x

13. Si tg(2x + 15) . tg51 = 1, halla el valor de x

14. Siendo: . Halla el valor de x (x Z+)

15. Calcula x e y en:

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Razones Trigonomtricas de ngulos agudos

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