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  • 212

    EJERCICIOS

    Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos y .

    a) b)

    Halla las razones trigonomtricas de los ngulos.

    Razona por qu las razones trigonomtricas de un ngulo no dependen del tringulo que escogemos.

    Si las razones no dependen del tringulo es porque son tringulossemejantes, y el cociente de sus lados es constante.

    003

    h

    sen sen

    c

    = + =

    = = = =

    56 33 65

    56

    650 86

    33

    650 51

    2 2 cm

    , ,

    oos cos

    tg tg

    = = = =

    = =

    33

    650 51

    56

    650 86

    56

    331 7

    , ,

    , == =33

    560 59,

    33 c

    m

    56 cm

    h

    002

    b) sen sen

    cos

    = = = =

    = =

    20

    290 69

    21

    290 72

    21

    290 7

    , ,

    , 2220

    290 69

    20

    210 95

    21

    201 05

    cos

    tg tg

    = =

    = = = =

    ,

    , ,

    a) sen sen

    cos co

    = = = =

    = =

    15

    250 6

    20

    250 8

    20

    250 8

    , ,

    , ss

    tg tg

    = =

    = = = =

    15

    250 6

    15

    200 75

    20

    151 33

    ,

    , ,

    29 cm

    20 cm

    21 cm

    15 cm

    20 cm

    25 cm

    001

    Trigonometra

    829555 _ 0210-0243.qxd 23/7/08 11:21 Pgina 212

  • 213

    7SOLUCIONARIO

    Calcula el resto de razones trigonomtricas conociendo la que se indica.

    a) sen = 0,3 b) sen = 0 c) cos = 0,4 d) tg = 2

    Existe algn ngulo con sen = 0,4 y cos = 0,6? Justifica la respuesta.

    sen2 + cos2 = 1(0,4)2 + (0,6)2 = 0,16 + 0,36 = 0,52 1 No existe.

    Hay algn ngulo con tg = 2 y cuyo seno sea el doble que el coseno?

    Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) cos 30 sen 60 + tg 45 c) tg 60 + sen 45 cos 2 30b) cos2 60 sen 2 45 d) tg 30 + tg 60 sen 30 cos 30

    d) 30 60 30 30tg tg sen cos + = + 3

    33

    1

    2

    3

    2

    13 3

    12=

    c) 60 45 30tg sen cos+ = + =+ 2 3

    2

    2

    3

    4

    4 3 2 2 3

    4

    b 60 45) cos sen2 21

    4

    1

    2

    1

    4 = =

    a) 30 60cos sen tg + = + =453

    2

    3

    21 1

    007

    tgsen

    cossen cos S existe.

    = = =2 2

    006

    005

    d) 2sen cossen

    cos

    sen

    + =

    =

    2 1

    2

    =

    + =2

    2 1

    5

    2 2 ( )

    coscos cos

    cos cos

    sen cos sen

    2 15

    5

    5

    2

    = =1

    =

    =

    == =2 55

    2 5

    5

    c) 0,42 2 ( )sen cos sen

    sen

    + = + ==

    2 21 1

    1

    = =

    = =

    0,16 0,84 0,920,92

    0,tg

    sen

    costg

    44

    2,3=

    b) 02sen cos cos cos cos + = + = =2 21 1 1

    ==

    = =

    11cos

    tgsen

    cos0

    a) 0,32sen cos cos

    cos

    + = + ==

    2 2 21 1

    1

    ( )

    (( )0,3 0,91 0,952 = =

    = =tgsen

    costg

    00,30,95

    0,32=

    004

    829555 _ 0210-0243.qxd 23/7/08 11:21 Pgina 213

  • 214

    Trigonometra

    Determina la altura de un tringulo equiltero de lado 5 cm, sin aplicarel teorema de Pitgoras.

    Halla, utilizando las razones trigonomtricas, la diagonal de un cuadradode 3 cm de lado.

    Razona en qu cuadrante est cada ngulo.

    a) sen = 0,8 b) sen = 0,8 c) sen = 0,5cos = 0,6 cos = 0,6 tg = 0,57

    a) Segundo cuadrante b) Tercer cuadrante c) Primer cuadrante

    Indica el signo que tienen las razones trigonomtricas de estos ngulos.

    a) 66 b) 175 c) 342 d) 18 e) 135

    a) Todas sus razones son positivas.b) Seno positivo, coseno y tangente negativos.c) Coseno positivo, seno y tangente negativos.d) Todas sus razones son positivas.e) Seno positivo, coseno y tangente negativos.

    Por qu no existe tg 90? Sucede esto con los ngulos cuya amplitud es un mltiplo de 90?

    No existe, porque cos 90 = 0.Esto sucede con los ngulos de la forma 90 + n 180, con n un nmero entero.

    Calcula las razones trigonomtricas de los siguientes ngulos, teniendo en cuenta que cos 50 = 0,6428.

    a) 140 b) 130 c) 230 d) 310

    b) 130 0,766

    sen sencos cos

    = == =

    50130 50 00,642

    1,1917

    8

    130 50tg tg= =

    a) 140 ,642

    sen coscos sen

    = == =

    50 0 8140 50

    = =

    0,766

    0,839tgtg

    1401

    50

    013

    012

    011

    010

    dsen

    = = = = =3

    45

    3

    2

    2

    6

    2

    6 2

    23 2

    cmd

    3 cm

    009

    h sen= = =5 53

    2

    5 3

    2 60 cm

    60

    5 cmh

    008

    829555 _ 0210-0243.qxd 23/7/08 11:21 Pgina 214

  • 215

    7

    Si sabemos que sen 25 = 0,4226; cules son las razonestrigonomtricas de un ngulo cuya amplitud es 205?

    Calcula las razones trigonomtricas de 70, sabiendo que cos 110 = 0,342.

    Expresa las razones trigonomtricas de estos ngulos en funcin de las razones de otros ngulos del 1.er cuadrante.

    a) 475 c) 1.130 e) 1.215

    b) 885 d) 695 f) 985

    f)

    985 2 360 180 85

    985 85

    = + +=

    sen sen

    coss cos

    tg tg

    985 85

    985 85

    = =

    c) 1.130

    1.130

    = +=

    3 360 50

    50

    sen sen

    cos 11.130

    1.130

    ==

    cos

    tg tg

    50

    50

    e) 1.215

    1.215

    = + +=

    3 360 90 45

    45

    sen cos

    ccos sen

    tgtg

    1.215

    1.215

    =

    =

    45

    1

    45

    b)

    885 2 360 90 75

    885 75

    = + +=

    sen cos

    cos 8885 75

    8851

    75

    =

    =

    sen

    tgtg

    d)

    695 2 360 25

    695 25

    695

    = =

    sen sen

    cos

    =

    =

    cos

    tg tg

    25

    695 25

    a) 475

    = + +=

    360 90 25

    475 25

    475

    sen cos

    cos ==

    =

    sen

    tgtg

    25

    4751

    25

    016

    sen cos

    sen cos

    2 110 110

    110 110

    + == =

    2

    2

    1

    1 11 0 342 2 =

    =

    =

    ( , ) 0,94

    70 180 110

    70

    sen sen 1110 0,9470 110 0,342

    70

    == =

    =

    cos cos

    tgsen 70

    70

    0,94

    0,3422,75

    cos= =

    015

    sen cos cos2 25 25 25 0,4226) 0,9+ = = =2 21 1 ( 0063

    205 180 25

    205 25 0,422

    = +

    = =

    sen sen 6ccos cos

    tg tg

    205 25 0,9063

    205 250

    = =

    = = ,,4226

    0,90630,4663

    =

    014

    d) 310 0,766

    sen sen

    cos cos

    = = = =

    50

    310 50 00,6428

    310 1,1917tg tg= = 50

    c) 230 0,766

    sen sen

    cos cos

    = = =

    50

    230 50 == = =

    0,6428

    tg tg ,230 50 1 1917

    SOLUCIONARIO

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  • 216

    Sabiendo que sen = 0,2; calcula.

    a) sen (90 ) b) sen (180 ) c) sen ()

    a) sen (90 ) = cos = 0,98

    b) sen (180 ) = sen = 0,2

    c) sen () = sen = 0,2

    Si sen 18 = 0,309 y cos 18 = 0,951; halla.

    a) sen 72 b) cos 162 c) tg (72)

    a) sen 72 = cos 18 = 0,951

    b) cos 162 = cos 18 = 0,951

    Determina la relacin entre los ngulos y si sus razones trigonomtricascumplen estas condiciones.

    a) sen = cos b) cos = cos c) sen = sen

    a) = 90

    b) = n 360

    c) = 180

    Cul es el rea del tringulo, si A$ = 30?

    Halla el rea de un hexgono regular de 4 cm de lado.

    =

    = = =

    60

    A

    sen4 4 60

    26

    163

    22

    6 24

    3 2= 41,57 cm

    021

    h sen

    A

    = = =

    = =

    75 751

    2150

    22

    30 37,5 m

    37,5..812,5 m2

    150 m

    75 m

    B

    CA

    020

    019

    c) 72)

    3,077tgtg

    ( = = 1

    18

    018

    017

    Trigonometra

    829555 _ 0210-0243.qxd 31/7/08 10:52 Pgina 216

  • 217

    7SOLUCIONARIO

    Calcula el rea de un tringulo issceles cuyos lados iguales miden 8 cm y el ngulo desigual mide 45.

    Flix quiere medir uno de los rboles que hay al lado de su casa. Para ello ha pedido prestado un teodolito y ha medido algunos ngulos y distancias.Cunto mide el rbol?

    z

    Calcula el rea de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden20 m y 30 m, y que los ngulos distintos al comprendido entre ellos miden 80 y 70.

    El tercer ngulo mide: 180 80 70 = 30.

    Halla el valor de x.

    cosx x

    x

    x

    30 =+

    =+

    = +

    =

    12

    61

    3

    2

    12

    6161 3 24 2

    61 3

    2242

    = 40,8 m

    30

    20

    x 12 m

    61 m

    F

    025

    Asen

    = =30 20

    2150 2

    30m

    024

    x tg hx tg h

    x x

    ) 60( )

    (=+ =

    = +10 30

    3 10 333

    2 3 10 3 5

    5 3

    x x

    h

    = =

    = =

    m

    8,66 m

    60 30

    10 mx

    h

    G G

    023

    A = = =8 8

    2

    22

    16 2

    22,63 cm2

    022

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  • 218

    ACTIVIDADES

    Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos marcados en cada caso.

    a) c)

    b)

    a) sen = 180 cos =

    160 tg =

    86

    b) sen = 1123 cos =

    153 tg =

    152

    c) sen = 1364 cos =

    3304 tg =

    1360

    sen = 3304 cos =

    1364 tg =

    3106

    Las longitudes de los catetos de un tringulo rectngulo son 5 cm y 12 cm. Calcula lasrazones trigonomtricas de los dos ngulosagudos del tringulo.

    Halla las razones trigonomtricas de

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