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LICEO POLITÉCNICO DOMINGO SANTA MARÍA

ENSEÑANZA MEDIA

TÉCNICO PROFESIONAL

1.- NÚMEROS

II

http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=funcion+exponencial&source=images&cd=&cad=rja&docid=7r7sfQn1We5T2M&tbnid=6dhkmzNhCaC2gM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.kalipedia.com/historia-peru/tema/funcion-exponencial-verifique.html?x1=20070926klpmatfnc_84.Kes&x=20070926klpmatfnc_88.Kes&ei=k9IyUeW5JZCm8ASC5IGYCg&bvm=bv.43148975,d.dmg&psig=AFQjCNFHv5lTadWmMBpLngoswqRPtP3_DA&ust=1362371586916614

http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=numeros+irracionales&source=images&cd=&cad=rja&docid=cQuEk4cY_WGO4M&tbnid=6_I4aAMPmWZI8M:&ved=0CAUQjRw&url=http://querespuesta.com/questions/view/55/como-es-el-teorema-de-pitagoras&ei=9NQyUay9A4Pm8QT0joG4Cw&bvm=bv.43148975,d.dmg&psig=AFQjCNHnWUCGn1PyFs58GqH8lm-g94qh8Q&ust=1362371975855093

I.- NÚMEROS

APRENDIZAJES ESPERADOS ESPECÍFICOS

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 01 Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números racionales. AE 02 Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo.

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 03 Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica. AE 04 Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales.

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 05 Comprender que los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. AE 06 Demostrar algunas propiedades de los números reales.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

AE 07 Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales.

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 08 Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 09 Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias y raíces.

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 10 Deducir propiedades de los logaritmos.

PE

RIO

DO

1º

SE

ME

ST

RE

AE 11 Resolver problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.

PROGRAMACIÓN ANUAL RESUMIDA 2015 * MATEMÁTICA * 2º E. M. T. P.

I.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:

GUÍA Nº 1.-

NOTA 1

GUÍA Nº 5.-

GUÍA Nº 4.-

GUÍA Nº 3.-

GUÍA Nº 2.-

NOTA 3

NOTA 4

NOTA FINAL

NOTA 2

NOTA 5

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

II.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:

V

GUÍA Nº 10.-

GUÍA Nº 9.-

GUÍA Nº 8.-

GUÍA Nº 7.-

NOTA 8

NOTA 9

NOTA FINAL

NOTA 7

NOTA 10

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

GUÍA Nº 6.-

NOTA 6

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

NÚMEROS REALES

Para resolver este problema, existe el conjunto de los números Racionales, representados por

el símbolo Q y que cumple que para cada par de números racionales, la suma, resta, división

y multiplicación (sin considerar al 0), es siempre un número de Q, a este tipo de conjuntos se

les conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:

Algunos subconjuntos de Q son:

Los números Naturales, ya que todo número natural n lo podemos escribir como N/1 .

Los números Cardinales.

Los números Enteros ya que todo número entero z lo podemos escribir como Z/1.

etc.

… En Resumen…

Números Racionales: Como te habrás dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el problema de que sus elementos se pueden “escapar" fácilmente de ellos, nos referimos a que basta que dos números Naturales se resten (4 - 5, por ejemplo), para obtener algún número negativo y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que no sean divisibles entre si (-3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un numero entero.

Aproximación de Números irracionales Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. Aproximar por redondeo un número: Consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comete un error menor. Error de una aproximación: Es la diferencia, en valor absoluto, entre un número y su aproximación.

La cantidad de cifras decimales de una aproximación depende de la cantidad de cifras de los datos y también de la precisión requerida, según el contexto del problema.

Números Irracionales Es el conjunto de todos los números que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir no se pueden escribir como fracción ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relación. Una forma de enunciar sus elementos es:

Algunos elementos de este conjunto son:

Entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales no existe ningún elemento en común.

Además, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse, o dividirse pueden obtener un número racional, como por ejemplo;

y 1 no es un número irracional.

IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números Reales se pueden ubicar en la recta numérica, pero son un conjunto que no completa la recta numérica; es decir, que por más números decimales que usemos, siempre existirán “huecos” entre ellos. Estos huecos corresponden a los números irracionales, como

√2 , que completan la recta numérica. Para ello se puede usar el procedimiento de TEODORO DE CIRENE, maestro de Platón.

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.

GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO NÚMEROS

1.- Utilizando el método de Teodoro de Cirene (465-399 a. de C.) ubica en la recta numérica las siguientes raíces:

√2, √3, √4, √5, √6, √7, √8, √9, √10, √11, √12, √13, √14, √15, √16, √17, Para ello utiliza regla, compas, lápices de colores, una para cada raíz, papel milimetrado en el reverso de tu papel milimetrado, deberán ir los cálculos de como determinaste cada diagonal Para ello utiliza el teorema de Pitágoras.

Espiral de Teodoro de Cirene

Utilizando el teorema de Pitágoras podemos representar las raíces de los números naturales, formando una espiral conocida como "Espiral de Teodoro"

Uno de los catetos de cada uno de los triángulos rectángulos consecutivos que forman la espiral, mide la unidad,

el otro es y la hipotenusa

es

Teodoro de Cirene (actualmente Shahhat en Libia) vivió en el siglo IV Ac. Fue maestro de Platón. Según su discípulo, fue el primero en demostrar

que las raíces cuadradas de los nº naturales (no cuadrados) desde el 3 al 17, son números irracionales.

Curso Fecha N° LISTA

Nombre

Ptje. Obt.

NOTA

LICEO DOMINGO SANTA MARÍA

RENAICO

MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com

OE 03 Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica. OE 04 Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales.

Números Reales Es el conjunto que obtenemos entre la unión de todos los conjuntos que acabamos de ver, pero como te habrás dado cuenta, en los números racionales están ya incluidos los naturales y los enteros. En la figura puedes observar gráficamente este hecho.

Algunas propiedades de los números reales:

si 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑅

Conmutatividad: para la multiplicación y adición.

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂

Asociatividad: para la multiplicación y adición.

𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 𝒂 ∙ (𝒃 ∙ 𝒄) = (𝒂 ∙ 𝒃) ∙ 𝒄

Distributividad: para la multiplicación respecto a la adición.

𝒂 ∙ (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄

Neutro aditivo: de cualquier número real es el cero.

𝒂 + 𝟎 = 𝒂

Neutro multiplicativo: de cualquier número real es el 1.

𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂

Inverso aditivo: de cualquier número real a distinto de cero es –a.

𝒂 + (−𝒂) = 𝟎

Inverso multiplicativo: de cualquier número real a es 1

𝑎

𝒂 ∙𝟏

𝒂= 𝟏 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 ≠ 𝟎


1. Resuelve el siguiente problema: si 𝑚∢ADB = 𝑚∢CBD

= 𝑚∢DGE = 𝑚∢EGF= 𝑚∢GDA=90°, AD = BD = DG = 1 cm, BC = EG = 2 cm y FG = 3, calcula el perímetro del heptágono ABCDEFG.

2. SI USARAS CALCULADORA, EL RESULTADO APROXIMADO SERIA?:


RENAICO



Nombre

OA 01 Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números racionales. OA 02 Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo. OE 04 Conjeturar y verificar propiedades de los

números irracionales.

OE 05 Comprender que los números reales

corresponden a la unión de los números

racionales e irracionales.

OA 06 Demostrar algunas propiedades de los

números reales.

A

B

C

D

E

F G

A. 3 + 2√2 + 2√5 + √7

B. 3 + √2 + 2√5 + √7

C. 3 + √2 + 2√5 + 2√7

D. 3 + 2√2 + 2√5 + √7

E. NINGUNA DE LAS ANTERIORES

A) 8,9463143691…

B) 11,934531439…

C) 12,946314391…

D) 2,3489345611…

E) NINGUNA DE LAS ANTERIORES

3. EL PROBLEMA ANTERIOR, SE ENMARCA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS?

4. QUE PROPIEDAD SE APLICARON EN CADA PASO PARA LA RESOLUCIÓN DEL

SIGUIENTE CALCULO?

ANALIZA EL SIGUIENTE EJEMPLO DE OPERATORIA CON NÚMEROS REALES, LUEGO RESUELVE TU.

5. 9 − 2√3 + 15 − √3 =

A. 24 + 3√3

B. 24 − √3

C. 24 + 3√3

D. 24 − 3√3


A. 𝑅𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁𝐴𝐿𝐸𝑆

B. 𝑁𝐴𝑇𝑈𝑅𝐴𝐿𝐸𝑆

C. 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅𝑂𝑆

D. 𝑅𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁𝐴𝐿𝐸𝑆


1

3+ √3 + 2 + 5√3 − √3 = (

1

3+ 2) + (√3 + 5√3 − √3)

=7

3+ (√3 + (−√3) + 5√3)

=7

3+ (0 + 5√3)

=7

3+ 5√3

A. ASOCIATIVA, CONMUTATIVA, INV. ADITIVO, NEUTRO ADITIVO.

B. ASOCIATIVA, DISTRIBUTIVA, NEUTRO ADITIVO, INV. ADITIVO.

C. DISTRIBUTIVA, ADITIVA, CONMUTATIVA, INV. MULTIPLICATIVO.

D. INV. MULTIPLICATIVO, NEUTRO ADITIVO, ASOCIATIVA, CONMUTATIVA.

E. ASOCIATIVA, CONMUTATIVA, INVERSO ADITIVO, INV. MULTIPLICATIVO.

PASO N°1

PASO N° 2

PASO N° 3

2

7− 𝜋 + 1 − 5𝜋 = (

2

7+ 1) + (−𝜋 − 5𝜋) =

𝟗

𝟕− 𝟔𝝅

6). 3√5 + 7𝜋 − √5 − 4𝜋 + 2𝑒 =

A. 2√5 + 3𝜋 + 2𝑒

B. 2√5 + 3𝜋 − 2𝑒

C. 2√5 + 11𝜋 + 2𝑒

D. 4√5 + 11𝜋 + 2𝑒


7). √16 − 2,3 − √4 −7

10− √2 =

A. 1 + √2

B. 1 − √2

C. −1 − √2

D. −1 + √2


RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE 1° CON UNA INCÓGNITA, PARA ELLO ANALIZA EL SIGUIENTE EJEMPLO.

8. 2 + 𝑥 − √7 = 2 − √7

A. 1

B. −1 − √7

C. 0

D. −1 + √7


9. √3 + 5 + 𝑦 = 12 − 2√3

A. 3√3 + 7

B. 3√3 − 17

C. 3√3 − 7

D. 3√3 + 17


𝟏𝟓𝟑

𝟕𝝅 − 𝟑𝟎𝝋 = 𝒙

𝟐𝟏𝝅 −𝟏

𝟑𝝅 = 𝟑𝟎𝝋 − 𝝅 + 𝒙 /+𝝅 − 𝟑𝟎𝝋

(𝟐𝟏𝝅 −𝟏

𝟕𝝅 + 𝝅) − 𝟑𝟎𝝋 = 𝒙 /aplicando Asociatividad

F.

HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 2 2° AÑO MEDIO NÚMEROS

INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 9 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES

CORRECTA. EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON

DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO

HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre

Ptje. TOTAL.

RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CUBICAS DEFINICIÓN:

√𝑎𝑛

= 𝑏 ↔ 𝑏𝑛 = 𝑎

Dónde: “n” es el índice de la raíz “a” es la cantidad sub radical

Si a es un numero positivo o cero (a ≥ 0), la expresión √𝑎

denota al único número (≥ 0) cuyo cuadrado es a. De este

modo, √𝑎 se lee “raíz cuadrada de a”. Si a ≥ 0, entonces:

𝑥 = √𝑎2

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑥𝑛

(√𝑎2

)2

= 𝑎

Si a es un número real cualquiera, la expresión √𝑎3

corresponde al único número cuyo cubo es a, y su signo es el

mismo que el de a, De este modo, √𝑎3

se lee “raíz cubica de

a”.

𝑥 = √𝑎3

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑥3

(√𝑎3

)3

= 𝑎

√03

= 0

M i s

A p u n t e s:

Si a < 0 y n es par, √𝑎𝑛

representa a un número complejo C,

conjunto que estudiaremos en 3Ero Medio.

Es decir:

𝒂 < 0 𝑦 𝒏 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → √𝑎𝑛

∈ R

Por lo que podemos afirmar que los números negativos no tienen Raíz cuadrada Real, pero si raíz cubica Por ejemplo:

√−162

= ¿?

Porque 42 = 16 y (−4)2 = 16

Ya que no existe un número que elevado a 2 que de un valor negativo, en los Reales.

En el caso de las raíces cubicas:

√83

= 2 → 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

√−83

= −2 → (−2)3 = −2 ∙ −2 ∙ −2 = −8

Recuerda

M i s

A p u n t e s:


I.- RESUELVE

√𝟒 = 𝟐 → 𝟐𝟐 = 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟒


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


OA 07 Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales. OA 08 Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.

1. √4 = 2. √25 =

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5


A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

E. NINGUNA DE LAS

ANTERIORES

3. √16 = 4. √36 =

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5


A. 4

B. 6

C. 2

D. 5


5. √83

= 6. √1253

= A. 4

B. 3

C. 2

D. 5


A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

E. NINGUNA DE LAS

ANTERIORES

7. √−4 = 8. √−5123

=

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5


A. 4

B. 6

C. 7

D. 8


SEÑALA A QUE CONJUNTO NUMÉRICO PERTENECEN LAS SIGUIENTES RAÍCES:

(R = Números Reales C = Números Complejos) resuelve.

9.- √144 = 10.- √−9 =

11.- √16 = 12.- √−25 =

13.- √36 = 14.- √121 =

15.- √83

= 16.- √−83

=

17.- √−273

= 18.- √3433

=

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

A. R

B. C

19.- √273

= 20.- √−3433

=

A. R

B. C

A. R

B. C

A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 8 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. y 12 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A y B. TOTAL 20 PREGUNTAS.

2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA. EN EL PANEL DE RESPUESTAS.

3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS.

4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO HASTA AHÍ.

5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

Índice

Sub radical

CALCULO CON RAÍCES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN QUE INVOLUCREN

RAÍCES CUADRADAS Y/O CUBICAS

PARA SUMAR Y/O RESTAR CON RAÍCES, PUEDES APLICAR UN

PROCEDIMIENTO SIMILAR AL UTILIZADO EN REDUCIR

TÉRMINOS SEMEJANTES, ES DECIR AGRUPAR NÚMEROS DEL

MISMO TIPO.

PARA QUE DOS O MÁS RAÍCES SE PUEDAN SUMAR O

RESTAR, ES NECESARIO QUE TENGAN EL MISMO ÍNDICE

Y LA MISMA CANTIDAD SU RADICAL

EJEMPLOS:

i). 𝟒 + √𝟓 − 𝟑√𝟓 − 𝟓 = 4 − 5 + √5 − 3√5 = −𝟏 − 𝟐√𝟓

ii). 4√7 − √7 − 8 = 𝟑√𝟕 − 𝟖

iii). 3

8+

3

8√2 − 4 − 4 +

2

8√2 =

𝟔𝟕

𝟖+

𝟓

𝟖√𝟐

iv). 22𝜋 + √9𝜋 − 4√33

− √33

+ 𝜋 = 𝟐𝟔𝝅 − 𝟓√𝟑𝟑

CON LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN,

NO SE PUEDE DESARROLLAR:

√𝒂 + 𝒃𝒏

≠ √𝒂𝒏

+ √𝒃𝒏

√𝒂 − 𝒃𝒏

≠ √𝒂𝒏

− √𝒃𝒏

M i s

A p u n t e s:


VI.- RESUELVE

Ptje. Obt.

NOTA


Nombre


RENAICO


1. 2√3 + 3√5 + 3√3 + 4√5 + √5 =

2. 2𝜇 + 3√4𝜇 + 3√5 + 4√5 − 𝜇 =

3. 2

3+

1

5√53

−1

2−

2

7√53

=


A. 5√3 + √5

B. 13√21

C. 5√3 + 8√5

D. 8√3 + 3√5


Ptje. TOTAL.

A. 7𝜇√3 + 7√5

B. 12√13𝜇

C. 7𝜇 + 7√5

D. 8√4 + 3√5


A. 1

6+

−3

35√5

B. 1

6+

−3

35√53

C. 1

6+

2

12√5

D. 7

12+

3

35√5


II.- RESUELVE

4. √162

+2

3+

1

5√53

−1

2−

2

7√53

=

5. √16𝜇 + 3√4𝜇 + 3√2 + 4√36 − √64𝜇

6. 2√3𝜔 − 3√5 − 3√3𝜔 + 4√5 − √5 =

7. −2𝜇 − 3√4𝜇 − 3√5 − 4√5 − 𝜇 =

A. 26

6+

−3

35√5

B. 25

6+

−3

35√5

C. 25

6+

−3

35√53

D. 1

6+

3

35√53


A. 5√3 + √5𝜇

B. 24 + 3√2 − 18𝜇

C. 5√3𝜇 + 8√36

D. 24 − 2𝜇 + 3√2


A. √3𝜔 + 2√5

B. −√3𝜔

C. −√3𝜔 + 2√5

D. √3𝜔


A. −𝜇 + √5

B. −9𝜇 − 7√5

C. −𝜇 − 3√4𝜇 + 7√5

D. 𝜇 + 3√5


8. 2

3−

2

5√63

−1

4−

2

7√64

=

9. √162

−2

3√9 +

1

2√83

−3

2√83

=

10. 1

4√16𝜑 −

3

8√64𝜑 −

3

4√16𝜑 +

4

6√36 −

5

11√121𝜑=

11. 2

5√1253

𝜋 +3

8√64𝜋 −

3

8√64𝜋 +

4

7√49 −

5

11√121𝜋 =

A. 5

12− 4

35√61

B. 5

12√3 + 8√5

C. 5

12+ 2

5√63

D. 5

12− 2

5√63

− 27

√64


A. 2

B. 1

C. 0

D. −1

E. -2

A. 4

B. −10𝜑 + 4

C. −10𝜑 + 8√5

D. −2√3𝜑 + 3√121𝜑


A. 5√3 + √5

B. 13√21

C. 5√3 + 8√5

D. 8√3 + 3√5


A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 11 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.

EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON




Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

Mis

A p u n t e s:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN QUE INVOLUCREN RAÍCES

CUADRADAS Y/O CUBICAS PARA RESOLVER MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES QUE

INVOLUCREN RAÍCES CUADRADAS Y/O CUBICAS, SE DEBEN

MULTIPLICAR O DIVIDIR, SEGÚN CORRESPONDA, LAS

CANTIDADES SUBRADICALES DE LAS RAÍCES QUE TENGAN EL

MISMO ÍNDICE.

PARA MULTIPLICAR O DIVIDIR RAÍCES, DEBES FIJARTE QUE

TENGAN IGUAL ÍNDICE DE RAÍZ; LAS CANTIDADES

SUBRADICALES PUEDEN SER DIFERENTES.

√𝒂𝒏

∙ √𝒃𝒏

= √𝒂 ∙ 𝒃𝒏

√𝒂𝒏

÷ √𝒃𝒏

= √𝒂 ÷ 𝒃𝒏

√𝒂𝒏

√𝒃𝒏 = √

𝒂

𝒃

𝒏

EJEMPLOS:

i). √3 ∙ √2 = √3 ∙ 2 = √6

ii). 3√3 ∙ √2 = 3√3 ∙ 2 = 3√6

iii). 𝑎√3 ∙ 𝑏√4 + 𝑎√2 ∙ 𝑏√6 = 𝑎𝑏√12 + 𝑎𝑏√12 = 2𝑎𝑏√12

iv). 3

2√43

∙ √23

−3

5√53

∙ 5√253

=3 √8

3

2−

15 √1253

5=

3

2√83

−15

5√125 3

=3

2∙ 2 −

15

5∙ 5 = 3 − 15 = −12

v). 3√6 ÷ √2 = 3√6 ÷ 2 = 3√3

vi). 3

5÷

2

7√8 ÷ √2 =

21

10√8 ÷ 2 =

21

10√4 =

21

10∙ 2 =

21

5

2 5 1 1

𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹+ ∪ {𝟎} 𝒄𝒐𝒏 𝒃 ≠ 𝟎

Índice

Sub radical


I.- RESUELVE

1. (2√3 ∙ 3√5) + (3√3 ∙ 4√5) =

2. (3√7 ∙ 3√5) + (4√5 − √2) =


Nombre OA 07 Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales. OA 08 Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


3. (2

3√53

∙1

5√43

) − (1

2√83

∙1

5√1253

) =

A. 6√8 + 7√8

B. 12√15

C. 6√15 + 12√15

D. 18√15


A. 9√35 + 4√10

B. 9√35 − 4√10

C. 6√35 + 4√10

D. 9√35 + 4√5 − √2


A. 2

15√203

−1

10√10003

B. 2

15√203

− 1

C. 2

15√203

+ 1

D. 2

15√203

+1

10√10003


II.- RESUELVE

4. √162

[(4

3√2253

∙1

5√153

) − (1

3√7293

∙2

9√273

)] =

7. (2√108 ÷ 3√3) ∙ (3√125 ÷ 4√5) =

5. √252

[(5√93

∙1

5√33

) − (1

2√43

∙ 2√163

)]=

6. (2√27 ÷ 3√3) + (3√40 ÷ 2√10) =

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8


A. −5√18

B. 5√21

C. 25

D. −25


A. 3

B. 4

C. 5

D. 5√27


A. 60

4

B. 15

C. 4

D. 6

12


9. √162

+√9+ √83

− √273

+√3

√162

+2√9+2 √83

−2 √273

−√5=

10. (2 √25

2+√9+ √8

3− √27

3

√162

+2√9+2 √83

+2 √273 ) ∙ (

√162

+2√9+2 √83

+2 √273

2 √252

+√9+ √83

− √273 ) =

8. √1253

[(1

5÷

1

5√83

) − (1

2÷

1

2√643

)]=

11. ( √36

2∙

2

3√9 ∙

1

5√1253

∙ 1

2√4)+(

1

2√83

−2

5√25)

{[(1

5√25)∙(

1

8√64)]+[(

1

7√49)∙(

1

6√36)]}÷(

1

3√9)

=

A. 10

8

B. 5

4

C. 5√3 +5

4√5

D. 8

10√3 + 3√5


A. 6+√3

11−√5

B. 6−√3

11−√5

C. √3

11−√5

D. 6+√3

√5


A. 27

148

B. 27

C. 148

D. 1


A. 12

6

B. 2

C. 6

D. 1

2



INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS






Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

RAÍZ DE UNA RAÍZ PARA RESOLVER RAÍCES DE UNA RAÍZ, SE PROCEDE DE LA SIGUIENTE MANERA:

√ √𝒂𝒎𝒏

= √𝒂𝒏∙𝒎

= √ √𝒂𝒎𝒏

√ √𝒂𝒏𝒎

= √𝒂𝒎∙𝒏

= √ √𝒂𝒏𝒎

Ejemplos:

√√432

= √42∙3

= √46

√√5 =3

√56

√√√53

=3

√518

M i s

A p u n t e s:

RAÍZ ENÉSIMA Y SUS PROPIEDADES

COMO YA SABRÁS, √36 = 6 YA QUE 62 = 36

POR OTRO LADO 6 = 62

2 = (62)1

2 = 361

2 LUEGO SE PUEDE DECIR QUE:

√36 = 361

2

LO ANTERIOR SE CUMPLE PARA TODAS LAS RAÍCES CUADRADAS, como lo vemos a continuación:

a) √𝟒 = 𝟐 = 𝟐𝟐

𝟐 = (𝟐𝟐)𝟏

𝟐 = 𝟒𝟏

𝟐

b) √𝟗 = 𝟑 = 𝟑𝟐

𝟐 = (𝟑𝟐)𝟏

𝟐 = 𝟗𝟏

𝟐

c) √𝟏𝟔 = 𝟒 = 𝟒𝟐

𝟐 = (𝟒𝟐)𝟏

𝟐 = 𝟏𝟔𝟏

𝟐

d) √𝟐𝟓 = 𝟓 = 𝟓𝟐

𝟐 = (𝟓𝟐)𝟏

𝟐 = 𝟐𝟓𝟏

𝟐

e) … AL GENERALIZAR SE TENDRÍA:

√𝑎1𝟐= 𝑎

12

PARA EL CASO DE LAS RAÍCES CUBICAS:

a) √𝟖𝟑

= 𝟐 = 𝟐𝟑

𝟑 = (𝟐𝟑)𝟏

𝟑 = 𝟖𝟏

𝟑

b) √𝟐𝟕𝟑

= 𝟑 = 𝟑𝟑

𝟑 = (𝟑𝟑)𝟏

𝟑 = 𝟐𝟕𝟏

𝟑

c) √𝟔𝟒𝟑

= 𝟒 = 𝟒𝟑

𝟑 = (𝟒𝟑)𝟏

𝟑 = 𝟔𝟒𝟏

𝟑

d) √𝟏𝟐𝟓𝟑

= 𝟓 = 𝟓𝟑

𝟑 = (𝟓𝟑)𝟏

𝟑 = 𝟏𝟐𝟓𝟏

𝟑

e) …

M i s

A p u n t e s:

ENTONCES:

√𝒂𝒎𝒏= ( √𝒂

𝒏)

𝒎= 𝒂

𝒎𝒏 ,

𝑎𝑚 ∈ 𝑄 𝑠𝑖 𝒏 𝑒𝑠 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝑦 𝑎𝑚 ∈ 𝑄+ ∪ {0} 𝑠𝑖 𝒏 𝑒𝑠 𝒑𝒂𝒓.

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑚 ≠ 00𝑦 𝒎 ∈ 𝑍

Ejemplos

√𝟒𝟑

= 𝟒𝟏𝟑 = (√𝟒

𝟑)

𝟏= √𝟒

𝟑

√𝟓𝟒𝟒= (√𝟓

𝟒)

𝟒= 𝟓

𝟒𝟒 = 𝟓

√𝟓𝟔𝟒= (√𝟓

𝟒)

𝟔= 𝟓

𝟒𝟔

¡RECUERDA!:

√1𝑛

= 1

√0𝑛

= 0

√𝑎𝑛𝑛= ( √𝑎

𝑛)

𝑛= 𝑎

𝑛

𝑛 = 𝑎; 𝑎 ≥ 0

√𝑎1𝑛= 𝑎

1

𝑛

𝒂−𝒏

𝒎 =𝟏

√𝒂𝒏𝒎

¡RECUERDA EL USO DE PARÉNTESIS EN LAS RAÍCES Y POTENCIAS!

𝟏

𝟗

𝟏

𝟐 ≠ (𝟏

𝟗)

𝟏

𝟐 Ya que

𝟏

𝟗

𝟏

𝟐 =√𝟏

𝟗=

𝟏

𝟗 por otro lado (

𝟏

𝟗)

𝟏

𝟐= √

𝟏

𝟗=

√𝟏

√𝟗=

𝟏

𝟑 𝒂𝒃

𝟏

𝟐 ≠ (𝒂𝒃)𝟏

𝟐

M i s

A p u n t e s:


I.- REPRESENTA COMO RAÍZ LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTE

RACIONAL

1. 41

2 2. 251

2

3. 91

2 4. (1

8)

1

3

5. 9−1

2 6. (𝑏 + 𝑑)2

4



Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


A. √4

B. 2

C. 4

D. 1

2


A. √25

B. 2

5

C. 5

D. 1


A. √9

B. 3

C. 9

D. 18


A. 1

2

B. 2

C. 8

D. √3


A. 1

√9

B. 1

3

C. 9

D. −9


A. 𝑑

B. √(𝑏 + 𝑑)24

C. (𝑏 + 𝑑)2

D. (𝑏 + 𝑑)4


II.- REPRESENTA COMO POTENCIAS LAS SIGUIENTES RAÍCES:

7. (3

2)

5

4 8. (

1

9)

1

2

9. √15 = 10. √3

2

4

11. √(3

2)

54

12. √(𝑐 + 𝑑)4

13. 3√𝑒4 = 14. √3−44

A. √(3

2)

45

B. 27

C. √(2

3)

54

D. √(3

2)

54


A. √1

9

B. 3

C. 1

3

D. 9


A. 152

B. 152

1

C. 151

2

D. 15


A. (3

2)

1

4

B. 3

2

C. (3

2)

1

2

D. 1


A. √(3

2)

54

B. 4

C. 3

2

D. √(3

2)

45


A. (𝑐 + 𝑑)4

1

B. (𝑐 + 𝑑)4

C. (𝑐 + 𝑑)−4

D. (𝑐 + 𝑑)1

4


A. 3𝑒1

4

B. 3𝑒4

2

C. 3𝑒2

D. 3𝑒−1

4


A. (3)4

4

B. (−3)4

4

C. (3) −4

4

D. (−3)−4

4


III.- EXPRESA EN TÉRMINOS DE UNA SOLA RAÍZ LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

IV.- CALCULA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

15. √√432

= 16. √√√2

234

=

21. 91

2 + 8

1

3 = 22. 91

2 + 8

1

3 − 271

3

17. √√√2 ∙ √225

= 18. √√√22

19. √ √5𝑥

= √520

20. √√ √2

𝑥xx

= √28

Encuentra el valor de “x” Encuentra el valor de “x”

A. √45

B. √46

C. √4−4

D. √47


A. √29

B. √224

C. √212

D. √219


A. √220

B. √420

C. √410

D. √210


A. √26

B. √22

C. √24

D. 1


A. 5

B. 9

C. 8

D. 19


A. 27

B. 9

C. 8

D. 2


A. 2

B. 10

C. 20

D. 5


A. 2

B. 4

C. 8

D. 12


23. 9

12

+8

13−27

13

412

24. 9

12

+8

13+27

13

14412+121

12

=

25. √169 ∙25

13∙

1

√625= 26. √225 ∙

14

15∙

2

√196=

27. √√643

+ √√6252

+ √√51233

= 28. √√256

4+ √√√256

2+ √√√4096

23

=

29. √ √64

3+√ √625

2+ √ √512

3=

3

412+9

12

+8

13+27

13

30. √144 ∙

11

12 ∙

1

√121

√83 =

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1


A. 8

23

B. 2

C. 18

D. 1

3


A. 3

B. 2

C. 0

D. 1


A. 3

B. 2

C. 1

D. 0


A. 8

B. 9

C. 10

D. 11


A. 8

B. 9

C. 10

D. 11


A. 9

10

B. 8

10

C. 1

2

D. 1


A. 1

8

B. 12

11

C. 1

2

D. 1


A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre

Ptje. TOTAL.

RACIONALIZACIÓN

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA

FRACCIÓN RACIONALIZAR EL DENOMINADOR IRRACIONAL DE UNA FRACCIÓN SIGNIFICA TRANSFORMAR ESA FRACCIÓN EN OTRA EQUIVALENTE, CUYO DENOMINADOR NO CONTENGA RAÍCES. AUNQUE PAREZCA ABSURDO, PARA LOGRAR TAL PROPÓSITO SE MULTIPLICA LA FRACCIÓN DADA POR 1. PERO ESCRITO DE UNA MANERA ADECUADA QUE CONDUZCA A LA FORMA DESEADA. EN OTRAS PALABRAS, HAY QUE AMPLIFICAR LA FRACCIÓN DADA POR UN NUMERO APROPIADO QUE ELIMINE LAS RAÍCES DEL DENOMINADOR. DICHO FACTOR DE AMPLIFICACIÓN SE CONOCE CON EL NOMBRE DE FACTOR DE RACIONALIZACIÓN O FACTOR RACIONALIZADOR. EJEMPLOS:

a). 𝟏

√𝟐 AMPLIFICAREMOS POR 1 1≡

√𝟐

√𝟐

b). 𝟐

√𝟑

M i s

A p u n t e s:

c).

d).

e).

f).

g).

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADOR BINOMIO

EN ALGUNOS CASOS EL DENOMINADOR ES UNA SUMA O LA

DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS, DE LOS CUALES AL MENOS

UNO ES UNA RAÍZ CUADRADA, COMO EN LOS CASOS

SIGUIENTES: 𝟏

√𝟐+𝟏

𝟑√𝟑

√𝟓−√𝟑

𝟐

√𝟕+√𝟐

EN ESTOS CASOS, EL FACTOR DE RACIONALIZACIÓN SE

CONSTRUYE CON LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS DOS

TÉRMINOS DEL DENOMINADOR, DE ACUERDO A SI EL

DENOMINADOR ES RESPECTIVAMENTE LA DIFERENCIA O LA

SUMA DE DICHOS TÉRMINOS.

EN LOS EJEMPLOS DADOS SE PROCEDERÍA ASÍ:

1

√𝟐 + 𝟏∙

√𝟐 − 𝟏

√𝟐 − 𝟏

DONDE: √𝟐 − 𝟏 SERÍA EL FACTOR DE

RACIONALIZACIÓN

LAS RAZONES PARA QUE ELLO SEA ASÍ, PROVIENEN DE LA

IGUALDAD CONOCIDA COMO SUMA POR SU DIFERENCIA:

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

EJEMPLOS:

M i s

A p u n t e s:

e)

f)


GUIA N° 1

I.- ELIMINA LOS RADICALES DE LOS DENOMINADORES DE LAS SIGUIENTES EXPPRESIONES

1. 2

√2

3. 8

2√2 4.

2√2

√3

5. 4−√3

√3 6.

4+√2

√2

A. √3

B. √2

C. √4

D. 1


A. √5

B. √6

C. √10

D. √11


A. 4√3

B. 4√2

C. 4√4

D. 1


A. √5

B. √6

C. √10

D. √11


A. √3 − 1

B. √2 − 1

C. √3 + 1

D. √3−1

3


A. 4√2+1

3

B. 2√2 + 1

C. 2√2 − 1

D. 1


2. 2√3

√2



Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


II.- RACIONALIZA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

A. √3

B. √2

C. √7

D. 8


7. 8

√5

2

8. √7

√2

7

11. √2

55

2

12.

√5

√5

2

9. √8

√3

2

10. √

2

35

8

A. √3

B. 4√2

3

C. √2

D. 4√3

3


A. √3

B. 8√70

70

C. √6

D. 4√70

35


A. √3

B. 7√2

2

C. √4

D. 7√2

√2


A. √2

B. 2√5

5

C. √5

D. 4

5


A. 3√3

B. √2

C. √11

D. √12


III.- RACIONALIZA:

15. 3√3

√2+√3=

18. 2√2

√3−√2 = 17.

√3

√3−√2 =

16. 4

−1+√5=

20. 1

√2+1 19.

√2

√3 +√4 =

A. 9 − 3√6

B. 3(3 − √6)

C. 9√6 − 2√3

D. 9(√6 − 3)


A. −1 − √5

B. 1 + √5

C. −1 − √5

D. 1 − √5


A. 3 + √6

B. 3 − √6

C. −3 − √6

D. −3 + √6


A. 4 + 2√6

B. 2 − 4√6

C. −4 − 4√6

D. −4 + 4√6


A. −√6 + 2√2

B. −2√2 − √6

C. −√6 − 2√2

D. −√2 + √6


A. √2 − 1

B. −√2 − 1

C. √2 + 1

D. −√2 + 1


13 2

√2+2= 14.

2√3

√2−1=

A. √2 + 2

B. −√2 + 2

C. −√2 − 2

D. √2 − 2


A. √6 + √3

B. −√6 + √3

C. −2√6 − 2√3

D. √6 − 3


V.- APLICA LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:

OBSERVA EL SIGUIENTE EJEMPLO:

𝟒√𝟕𝟓 − 𝟐√𝟑𝟎𝟎 − 𝟑√𝟑 =

= 𝟒√𝟐𝟓 ∙ 𝟑 − 𝟐√𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟑 − 𝟑√𝟑

= 𝟒√𝟐𝟓 ∙ √𝟑 − 𝟐√𝟏𝟎𝟎 ∙ √𝟑 − 𝟑√𝟑

= 𝟒 ∙ 𝟓 ∙ √𝟑 − 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙ √𝟑 − 𝟑√𝟑

= 𝟐𝟎√𝟑 − 𝟐𝟎√𝟑 − 𝟑√𝟑

= −𝟑√𝟑

A. 17√3

B. 17√2

C. 17√108

D. 17√12


A. 28√2

B. 32√2

C. 42√2

D. 28


A. 16

3+ 3√2

B. √2

C. 40

3− 3√2

D. 40

3+ 3√2


A. 16

3√2

B. √2

C. 5

8√2

D. 10

16√2


22. 𝟒√𝟗𝟖 + 𝟐√𝟏𝟖 − 𝟔√𝟐 = 21. 𝟒√𝟏𝟎𝟖 − 𝟐√𝟏𝟐 − 𝟑√𝟑 =

24. 𝟒√𝟗𝟖 + 𝟐√𝟏𝟖 − 𝟔√𝟖 = 23. 𝟒√𝟏𝟎𝟖 − 𝟐√𝟏𝟐 − 𝟑√𝟐𝟕 =

26. √𝟓𝟎+√𝟏𝟖+√𝟐𝟕

𝟐𝟓𝟔𝟏𝟐

= 25. 𝟒

𝟑√𝟏𝟔𝟐

+ 𝟐√𝟔𝟒𝟑

+ √𝟖 + √𝟓𝟎 =

A. 17√3

B. 11√2

C. 11√108

D. 11√3


A. 10√3

B. 10√2

C. 10√4

D. 10


OBSERVA EL SIGUIENTE EJEMPLO:

√√𝟓 − 𝟏 ∙ √√𝟓 + 𝟏 =

= √(√𝟓 − 𝟏) ∙ (√𝟓 + 𝟏)

= √(√𝟓)𝟐

∙ 𝟏𝟐

= √𝟓 − 𝟏

= √𝟒

= 𝟐

27. √𝟐√𝟑 − 𝟐 ∙ √𝟐√𝟑 + 𝟐 =

28. √√𝟏𝟏 − √𝟐 ∙ √√𝟏𝟏 + √𝟐 =

30. √√𝒂 − 𝒃 ∙ √√𝒂 + 𝒃 =

29. √𝒂√𝒃 − 𝒄 ∙ √𝒂√𝒃 + 𝒄 =

32. √𝟐√𝟑−𝟐∙√𝟐√𝟑+𝟐

𝟐(𝟒)𝟏𝟐

=

A. √8

B. √10

C. √14

D. √1


A. √3

B. 3

C. √2

D. √10


A. √𝑎2𝑏 − 𝑐2

B. √𝑎2 − 𝑐2

C. √−𝑏𝑎2 − 𝑐2

D. √𝑎2𝑏 − 𝑐2


A. √𝑎2 − 𝑏

B. √𝑎2 − 𝑏2

C. √𝑎2 + 𝑏2

D. √𝑎2 + 𝑏


A. √3

B. √2

C. √4

D. 1


A. √3

2

B. √2

2

C. √4

2

D. 1


31. √√𝟏𝟏−√𝟐∙√√𝟏𝟏+√𝟐

𝟗𝟏𝟐

=

A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre

Ptje. TOTAL.

LOGARITMOS:

LA PALABRA LOGARITMO, DERIVA DEL GRIEGO LOGOS

QUE SIGNIFICA PROPORCIÓN Y ARITHMOS, QUE

SIGNIFICA NUMERO.

𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 1 𝑦 𝑛 ∈

𝑅. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒂𝒏 = 𝒃

Donde a es la base del logaritmo y b su argumento, y se lee:

“logaritmo de b, en base a es igual a n”

EJEMPLOS:

𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟔 = 𝟒 → 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔

𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟏𝟔 = 𝟐 → 𝟒𝟐 = 𝟏𝟔

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎

𝟏

𝟏𝟎= −𝟏 → 𝟏𝟎−𝟏 =

𝟏

𝟏𝟎

𝐥𝐨𝐠𝟓𝟐

𝟏 = 𝟎 → (𝟓

𝟐)

𝟎

= 𝟏

GENERALMENTE SI SE TRABAJA CON LOGARITMOS EN

BASE 10, LA NOTACIÓN ES:

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃

M i s

A p u n t e s:

𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒏, 𝒎 ∈ 𝑸

𝒂𝒏

𝒂𝒎= 𝒂𝒏−𝒎

RECUERDA QUE!


GUIA N° 1

I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. (Con desarrollo): 3 II.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, busca el exponente que falta. (Con desarrollo):

2.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 243

1.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 1.024

3.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 4.096 =

4.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 3.125



4 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1.024 5

16 64 256 1.024

El 4 se multiplica 5 veces por si mismo

8.- EL RESULTADO DE: 2 = 32

EL RESULTADO DE:



EL RESULTADO DE:


A 35 B 55 C 53 D 36 E N.A

A 𝟒𝟓 B 54 C 43 D 46 E N.A

A 45 B 44 C 43 D 46 E N.A A 55 B 45 C 53 D 66 E N.A

A 45 B 75 C 43 D 36 E N.A

A 4 B 5 C 6 D 7 E N.A

A 45 B 37 C 43 D 36 E N.A

A 1 B 2 C 3 D 41 E N.A A 4 B 5 C 6 D 7 E N.A

A 1 B 2 C 3 D 5 E N.A



Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


III.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. (Con desarrollo):

12.- log3 9 =

11.- log2 8 =

13.- log5 625 = 14.- log5 3.125 =

16.- log3 216 =

15.- log4 1.024 =

18.- log𝑎 1 = 17.- log2 1 =

19.- log2 2 = 20.- log8 8 =

21.- log 100 =

22.- log 1.000 =

23.- log5 √25 = 24.- log2 √2 =

A 1 B 2 C 3 D 4 E N.A A 2 B 5 C 6 D 7 E N.A

A 1 B 2 C 3 D 4 E N.A A 2 B 5 C 6 D 7 E N.A

A 7 B 2 C 5 D 4 E N.A A 2 B 5 C 6 D 7 E N.A

A 1 B 2 C 6 D 0 E N.A A 0 B 5 C 6 D 7 E N.A

A 1 B 2 C 3 D 4 E N.A A 2 B 5 C 1 D 7 E N.A

A 1 B 2 C 3 D 4 E N.A A 2 B 2 C 4 D 3 E N.A

A 1

2 B 2

3

C 3

2

D 1

E N.A A 2 B 1

2

5

C 6 D 7 E N.A

A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre

Ptje. TOTAL.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

𝑺𝑰 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹+, 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟏 SE CUMPLEN LAS

SIGUIENTES PROPIEDADES:

i. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑼𝑵𝑰𝑫𝑨𝑫: 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝟏 = 𝟎

ii. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝒃𝒂𝒔𝒆: 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃 = 𝟏

iii. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨: 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃𝒏 = 𝒏

iv. 𝑪𝑨𝑴𝑩𝑰𝑶 𝑫𝑬 𝑩𝑨𝑺𝑬: 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑩 =𝐥𝐨𝐠𝒄 𝑩

𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃

v. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑼𝑵 𝑷𝑹𝑶𝑫𝑼𝑪𝑻𝑶:

𝐥𝐨𝐠𝒃(𝒂 ∙ 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄

vi. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝒖𝒏 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆:

𝐥𝐨𝐠𝒃 (𝒂

𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄

vii. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑼𝑵𝑨 𝑹𝑨𝑰𝒁:

𝐥𝐨𝐠𝒃 √𝒂𝒏

=𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

𝒏 ; 𝒏 ∈ 𝑵

viii. 𝑼𝑵𝑨 𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑫𝑬 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶: 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃

ix. 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨: 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂𝒏 = 𝒏 ∙

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

M i s

A p u n t e s:


GUIA N° 1

I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. APLICA LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS (Con desarrollo):

2.- log3 81 =

1.- log2 16 =

3.- log5 78.125 = 4.- log5 390.625 =

6.- log6 216 =

5.- log4 4.096 =

8.- log𝑥 1 = 7.- log3 1 =

9.- log𝑎 𝑎 =



Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


10.- log𝑧 𝑧 =

A 1 B 2 C 3 D 4 E N.A A 2 B 1 C 4 D 3 E N.A

A 7 B 6 C 3 D −5 E N.A A 7 B 8 C 9 D 10 E N.A

A 1 B 2 C 5 D 6 E N.A A 2 B 3 C 4 D 3 E N.A

A 1 B 2 C 5 D 6 E N.A A 0 B 3 C 4 D 3 E N.A

A 1 B 2 C 5 D 6 E N.A A 2 B 3 C 4 D 3 E N.A

11.- log 10 =

12.- log 1.000.000 =

14.- log6 (216

1.296) =

EL RESULTADO DE:

13.- log4 1.024=

16.- 2 log3 81 + 3 log 1.000 + 4 log 100 − 5 log7 49 =

EL RESULTADO DE:

15.- 4 log3 243 + 3 log2 32 + 2 log4 1.024 − 2 log2 128 =

18.- 3 log2 1 + log3 1 − 5 log4 1 =

EL RESULTADO DE:

17.- 2 log8 5123 + 2 log7 493 − 2 log6 2163 =

20.- log3 √96

=

EL RESULTADO DE:

19.- 3 log2 82 + log3 3 − 5 log4 1 + 3 log2 83 =

22.- log4 √646

+ log3 243 − 3 log2 43=

EL RESULTADO DE:

21.- log5 √252

+ log3 √92

+ log4 √162

+ log3

3=

A 1 B 2 C 5 D 6 E N.A A 2 B 6 C 4 D 3 E N.A

A 1 B 2 C 5 D 6 E N.A A −2 B −1 C 0 D 3 E N.A

A 31 B 32 C 35 D 36 E N.A A 12 B 13 C 14 D 15 E N.A

A 11 B 12 C 15 D 16 E N.A A 2 B 3 C 4 D 0 E N.A

A 51 B 32 C 45 D 46 E N.A A 2 B 3 C 4 D 3 E N.A

A 1 B 2 C 5 D 6 E N.A A 25

2

B −25

2

3

C 4

D 5

25

E N.A

II.- ANALIZA LA SIGUIENTE TABLA. LUEGO, COMPLÉTALA UTILIZANDO EN CADA

CASO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

III.- APLICA LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS PARA REPRESENTAR CADA

EXPRESIÓN COMO UN SOLO LOGARITMO:

2.- log4 43 − log4 √45

=

EL RESULTADO DE:

1.- log3 2 + log3 0,5=

4.- log2(√83

) − log2 10=

EL RESULTADO DE:

3.- log3 (8

3)

2

+ 3 log 5=

2.- log27

5

EL RESULTADO DE:

1.- log2 6 + log2 8

4.- log100 100

EL RESULTADO DE:

3.- log2 √43

6.- log𝑎 𝑏

𝑛

EL RESULTADO DE:

5.- 4log2 5

EXPRESIÓN EXPRESIÓN EQUIVALENTE

A. 2,5

B. 1

C. √3

D. 0


A. −14

5

B. 14

5

C. 14

2

D. 1


A. 2 − 3 log 5

B. 2 + 3log 5

C. 2 + 3log3 5

D. 2 − 3log3 5


A. 1 − log2 10

B. 1 − 8 log2 10

C. −1 − log2 10

D. 1 + log2 10


A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre

Ptje. TOTAL.

ÍTEM N° 1 ÍTEM N° 2 ÍTEM N° 3

ECUACIONES LOGARÍTMICAS:

UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA ES UNA IGUALDAD EN LA

QUE INTERVIENEN LOGARITMOS Y DONDE LA

INCÓGNITA FORMA PARTE DEL ARGUMENTO DE AL

MENOS UNO DE ELLOS.

PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA, SE

DEBE MANIPULAR LA ECUACIÓN DE MODO DE

ESCRIBIRLA DE LA FORMA 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝑩 𝒈(𝒙), DONDE

𝒇(𝒙) Y/O 𝒇(𝒙) SON EXPRESIONES QUE CONTIENEN LA

INCÓGNITA. COMO LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA ES

SIEMPRE CRECIENTE, O BIEN DECRECIENTE,

ENTONCES:

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝑩 𝒈(𝒙) ↔ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

EN CONSECUENCIA, AHORA SE RESUELVE:

𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA SE

DEBEN COMPROBAR SIEMPRE, YA QUE LOS

LOGARITMOS SOLO SE DEFINEN PARA VALORES

POSITIVOS, Y PODRÍA OCURRIR QUE EL VALOR

ENCONTRADO, AL REEMPLAZARLO EN LA ECUACIÓN,

NO SATISFAGA ESTA CONDICIÓN

M i s

A p u n t e s:


GUIA N° 1

I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES ECUACIONES. (Con desarrollo):

1). log 𝑥 + log 3 = log 15 2). log 32 − log 𝑥 = log 3


Nombre


Ptje. Obt. NOTA


RENAICO


3). log 𝑥 − log 3 + log 2 = 0 4). 2log 𝑥 = 2

5). 2 log2 𝑥 = 4 6). log 𝑥 = 2

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2


A. 1

B. 2

C. 3

D. -1


A. 1

3

B. 6

C. 3

2

D. −3

2


A. 10

B. 3

2

C. 2

D. 100


A. 5

B. 4

C. 3

D. 21


A. 2

B. 300

C. 200

D. 100


A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE

RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre

Ptje. TOTAL.

MAAC

2015

Este cuaderno auxiliar de Matemática,

fue diseñado por Marcelo A. Aravena C.

exclusivamente para 1° de E. M. del

Liceo Politécnico Domingo Santa María.

2015

página - sa8baf3444af92a94.jimcontent.com · demostrar algunas propiedades de los números reales....

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