operación de números racionales: suma, resta, …...la representación en la recta numérica en...

Colegio Lovaina RBD 24405-8 Sede Media

Guía en tiempos de cuarentena N°1:

NÚMEROS ENTEROS (ℤ) Y NÚMEROS RACIONALES (ℚ) Profesora Camila Sáez Cárdenas

Nombre: …………………………………………………………………… Curso: 1° Medio Nota: …….. Objetivos:

1. Recordar y desarrollar operaciones de números enteros: - Aplicando las reglas de signos que corresponda en cada operación. - Aplicando procedimientos conocidos de multiplicación y división de números naturales.

2. Reconocer números racionales: - Representar pictóricamente las fracciones. - Encontrar fracciones equivalentes. - Operación de números racionales: suma, resta, multiplicación y división.

Instrucciones:

● Lea la guía comprensivamente, recuerde que ésta será evaluada. ● Lo importante no solo es el resultado, sino que también el desarrollo de cada ejercicio, por ende es

importante que escriba los procedimientos que usted haga. ● Desarrollar la guía completa en el formato dado, si el espacio no fuese el suficiente, adjunte hojas

necesarias para su desarrollo (no olvide entregarlas todas en la fecha estipulada). ● La guía en total tiene 60 puntos. ● El ítem de puntaje adicional es opcional. Sólo se considerará el puntaje obtenido en este si la respuesta

es correcta. Respuestas erróneas, o la omisión de este ítem no afecta el puntaje final (no se descuenta). I. NÚMEROS ENTEROS (ℤ)

Recordemos: - Los números enteros es el conjunto numérico que contiene a los números naturales: ℕ= {1, 2, 3,

4, …, +∞}, sus opuestos (-1, -2, -3, -4, …, -∞) y al cero. - Su representación en la recta numérica es la siguiente:

Observaciones: o El cero separa a los números positivos de los negativos. o Los números positivos no necesariamente llevan el signo + dibujado al lado . o El signo negativo nos indica que debemos movernos hacia la izquierda en la recta

numérica o El signo positivo nos indica que debemos movernos hacia la derecha en la recta

numérica.

1


- Los números enteros nos ayudan a extender la recta numérica que antes solo contenía a los números naturales.

- Son de mucha utilidad en el momento que se quieren contabilizar pérdidas, como por ejemplo:

1. Si le debo $5.000 a mi madre, y hoy le devuelvo $3.000, aún me quedan por pagarle $2.000. Esos dos mil pesos que aún se le debe a la mamá se pueden escribir como -$2.000.

- También hay ciertas magnitudes que podemos representar con números negativos, como lo son:

1. Temperaturas: cuando se habla de grados bajo cero, hablamos de grados negativos, -1° C, -3°F.

2. Alturas: cuando estamos en un ascensor y se baja a los pisos negativos, estos están representados en el tablero del ascensor con números negativos. También se pueden ver representados al momento de hablar de alturas con respecto del nivel del mar. Es decir, en este caso, el nivel del mar sería el cero, y todo lo que esté bajo será representado con números negativos. Por ejemplo: cuando un buzo se sumerge en el mar y esta a una profundidad de 50 metros, podemos decir que el buzo está a 50 metros (m) bajo el nivel del mar, o a -50 m.

- Los números enteros se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir de igual manera que números

naturales, pero teniendo ojo en las reglas de signos que los rigen, las cuales veremos a continuación.

Suma y resta de ℤ Para poder sumar y/o restar números enteros tenemos que tomar en cuenta los siguientes casos: Caso 1: Suma (Adición) Cuando los números que se están sumando tienen el mismo signo (negativo o positivo), entonces los números se sumaran y se mantendrá el signo. Ejemplo:

a. 4 + 6, si nos damos cuenta tanto el 4 como 6 son números positivos (recordemos que los n° positivos no necesariamente llevan el signo al lado ), por ende, sumamos ambos números y mantenemos el signo, es decir:

4 + 6 = +10 o 10 La representación en la recta numérica en este caso no se tomará en cuenta, pues ya sabemos sumar con números naturales.

b. (-6) + (-7), si nos fijamos tanto el 6 como 7 son números negativos, por ende sumamos ambos números y

mantenemos el signo, es decir: (-6) + (-7) = -6 -7 = -13

En este caso, escribir -6 + -7 es igual que escribir -6 -7, se subentiende que se están sumando. La representación en la recta numérica la podemos entender así: si el número es negativo, nos movemos a la

izquierda tanto como el número lo indique. Es decir en este ejemplo nos ubicamos en el -6 y nos movemos hacia la

2


izquierda 13 números, entonces:

Caso 2: Resta (Sustracción) Sabemos que los números enteros se están restando cuando los números a operarse tienen distinto signo . En estos casos, los números se restarán y se mantendrá el signo del número mayor (se toma solo el número, sin el signo). Ejemplo:

a. -12+7. Vemos que el 12 es negativo y el 7 es positivo, es decir, tienen distintos signos. Por lo tanto, estos números se restarán, y quedará el signo del número mayor, que entre 12 y 7 es el 12. En otras palabras:

-12 + 7 = -5 (cinco es la diferencia entre 12 y 7, y el signo – corresponde al n° mayor)

Esta diferencia también se puede escribir: 7 -12 y sigue siendo el mismo resultado. La representación en la recta numérica la podemos entender así: nos ubicamos en el -12 y como el 7 es positivo,

nos movemos 7 números (espacios) hacia la derecha, es decir:

b. -11 + 17. Nos damos cuenta que el 11 y el 17 tienen distinto signo, negativo y positivo respectivamente. Entonces, los números restarán entre ellos, y el resultado quedará con el signo del número mayor, que entre el 11 y el 17, es el 17, es decir:

-11 + 17= +6 o 6

Esta diferencia también se puede escribir: 17-11 y sigue siendo el mismo resultado. La representación en la recta numérica la podemos entender así: nos ubicamos en el -11 y como el 17 es positivo,

nos movemos 17 números (espacios) hacia la derecha, es decir: Multiplicación y división de ℤ: Para poder multiplicar o dividir números enteros, debemos tomar en cuenta la siguiente regla de signos:

Regla de signos para MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN

Posi�vo: + Posi�vo: + Posi�vo: +

3


Nega�vo: - Nega�vo: -

Posi�vo: + Nega�vo: - Nega�vo -

Nega�vo: - Posi�vo: +

Por ejemplo: a. -8 • 5, el 8 es negativo y el 5 positivo, si vamos a la tabla de Regla de signos negativo por positivo

(- • +)nos da negativo, por lo tanto: -8 • 5= -40 b. -11 • -9, tanto el 11 como el 9 son negativos, y según la tabla negativo por negativo (- • -) da positivo,

por lo tanto: -11 • -9= 99 c. –(-5), por regla de signos - • - = +, por lo tanto: - • (-5) = -(-5) = 5 d. –(+7), por regla de signos - • + = -, por lo tanto: - • (+7) = +(-7) = -7.

Del mismo modo, + • (-7) = +(-7) = -7 Para ser más efectivos en el proceso de ejercitación, se les adjunta las tablas de multiplicar básicas y recordaremos brevemente como dividir.

Tablas de multiplicar del 1 al 12

¿Cómo dividimos números enteros? Dividir consiste en saber cuántas veces un número ( divisor ) está "contenido" en otro número ( dividendo ). El resultado de una división recibe el nombre de cociente . Como estamos trabajando bajo números enteros, el resultado ( cociente) debe ser un número entero, por ende si llegase a “sobrar”, eso se llamará resto. En este caso, al momento de dividir debemos:

4


1° Fijarnos en los signos de los números que se están dividiendo, es decir, 47 es positivo y el 9 es negativo, por

lo tanto, según la Regla de signos el resultado debe ser negativo. 2° Luego de ver los signos, nos preguntamos ¿Cuántas veces cabe el 9 en el 47? O ¿9 por cuánto es 47 o

lo más cercano a 47? 3° Teniendo el resultado, solo debemos escribir la respuesta y anotar lo que “sobra” (resto), es decir:

47 : -9 = -5 2 EJERCICIOS NÚMEROS ENTEROS:

Observaciones: - Para las operaciones combinadas debes tener en cuenta las prioridades que existen en el orden

de las operaciones: Paréntesis, Potencias, Multiplicación, División, Adición (Suma) y Sustracción (Resta).

- En todas debe haber desarrollo o justificación. 1) El valor de la expresión (– 4) • 5 • (–1) es: A) –25 B) –20 C) 0 D) 20 2) Se tiene que (-12) • (-12) = A) 144 B) -144 C) -180 D) 180 3) El resultado de 180 : (-9) es: A) -20 B) 2 C) 20 D) -2 4) El resultado de (-108) : (-12) es:

A) 8 B) –9 C) -8 D) 9 5) ¿Qué número debe ir en el espacio? 40 : ___ = -5 A) 35 B) 8 C) –8 D) –35 6) Al resolver: -20 : 3, el cociente y el resto , respectivamente, son: A) 6 y 2 B) – 6 y 2 C) – 6 y – 2 D) 6 y – 2 7) –27 : (–81 : –9) es igual a:

5


A) 3 B) 1 C) –1 D) –3 8) El número que falta en la siguiente igualdad ____ + (5) = 0 es: A) -5 B) 4 C) 5 D) 0 9) – 8 – 12 = Haz la representación en la recta numérica. A) – 20 B) – 4 C) 4 D) 20 10) ¿Cuál es el resultado de la expresión -14 + -4? Haz la representación en la recta numérica A) 18 B) -10 C) 14 D) -18 11) Al resolver (-5) + 3, resulta: Haz la representación en la recta numérica A) - 8 B) - 2 C) 2 D) 8 12) El resultado de 15 + (-9) + (-6) es: Haz la representación en la recta numérica A) 12 B) 0

C) -12 D) 9 13) La temperatura mínima en una ciudad el día lunes fue de – 2°C y la máxima fue de 7°C, ¿Cuál fue la variación (diferencia) de temperaturas en el día? (Si te es de ayuda, haz la representación en la recta numérica) A) 9°C B) 5°C C) – 5°C D) – 9°C 14) El valor de la expresión (-3) + (-7) es: Haz la representación en la recta numérica A) -4 B) 10 C) 4 D) -10 15) La temperatura de un frigorífico es de –10 °C. Después de un corte de luz sube 15 °C y luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente 12 °C. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico luego de la disminución de temperatura? (Si te es de ayuda, haz la representación en la recta numérica) A) – 2 B) – 3 C) – 7 D) – 13 16) – 6 – (– 8) =

6


Haz la representación en la recta numérica. A) – 14 B) – 2 C) 2 D) 14 17) Al resolver 11 – 17 + (-5) se obtiene: A) 1 B) -1 C) 11 D) -11 18) El resultado de (–4) + 5 – (–7) es: A) 12 B) 8 C) 3 D) –2 19) El resultado de (-3) – 2 + 5 – 3 – 10 es: A) -13 B) -23 C) 13 D) 23 20) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? 34 – 12 • (2 – 5) A) – 2 B) 5 C) – 66 D) 70 21) Al resolver 12 – 7 • 3 – 24 : (-6) resulta: A) – 5 B) – 13 C) 29 D) 37

22) ¿Cuál de los siguientes ejercicios no tiene solución en los números naturales ? A) 450 – 100 B) 200 + 501 C) 123 – 0 D) 374 – 398 23) ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene solo números enteros? A) {4 , 3 , ¼ } B) {-5 , -7 , (0,5)} C) {-3 , -2 , 1} D) {5 , -94 , - ¾} 24) La temperatura pronosticada, el día 20 de abril del 2010, en una ciudad canadiense, fue de 13° bajo cero la mínima y 11° bajo cero la máxima. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa las temperaturas mínimas y máximas? A) Mínima: – 11° y máxima – 13° B) Mínima: – 13° y máxima – 11° C) Mínima: – 13° y máxima 11° D) Mínima: 11° y máxima 13° 25) ¿Cuál de las siguientes frases no se relaciona con el número –32? A) Un submarino está 32 metros bajo el nivel del mar. B) Ese matemático nació el año 32 antes de Cristo. C) La temperatura es 32º C. bajo cero. D) El ascensor está en el piso 32. 26) ¿Qué número es el que falta en el recuadro? A) 6 B) – 4

7


C) 4 D) – 6 27) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? Justifica A) –3 < –2 B) –3 < –4 C) 7 < –7 D) –1 > 0 28) Si ordenamos los números -7, -4, 3, 1, -2, -8 de menor a mayor se obtiene: A) 1, -2, 3, -4, -7, -8 B) -8, -7, -4, 3, -2, 1 C) -8, -7, -4, -2, 1, 3 D) -7, -8, -2, -4, 1, 3 29) Un avión vuela a 500 metros de altura sobre el nivel del mar, y un pez se encuentra a 20 metros de profundidad en el mar. ¿Qué distancia separa al avión del pez? A) 20 m B) 100 m C) 480 m D) 520 m 30) En la siguiente recta numérica de números enteros, ¿Cuál de las siguientes afinaciones es correcta respecto del número p? A) Es positivo

B) Es negativo C) Es mayor que dos D) Es menor que -3 Ítem de puntaje adicional: 1) Dada la siguiente secuencia numérica: a, –7, –3, c, 5, 9, b, 17. Determina el valor de (a + b + c) A) 3 B) 2 C) –2 D) –3 2) Resuelva todas y diga cuál es la alternativa correcta. A) 15 – 11 = 24 : 8 B) - 4 – 3 = 7 • (-1) C) – 3 + 8 = - 3 – 2 D) – 6 • 2 = 14 – 2 3) ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? A) (– 4) • 5 > 0,1 B) 1 • (–1) • 1 = 1 C) 3 • (– 5) < (–1) • (–1) D) 8 • (– 2) = (– 8) • 2 • (–1)

II. NÚMEROS RACIONALES (ℚ) Recordemos:

- Los números racionales son aquellos que podemos escribir como una fracción , donde el número de arriba se le denomina numerador y al número de abajo denominador .

8


- El denominador no puede ser cero. - La fracción es una forma distinta de representar una división, es decir:

41

1 : 4 = , ambas representaciones son correctas, según lo que se pida.

- Para que un número entero se “transforme” en una fracción, basta con poner un 1 bajo 126 − 1

515−

de él, es decir: -5 = o

; − 15 26 =

- Las fracciones se pueden simplificar o amplificar, encontrando así fracciones equivalentes. - Los números racionales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, teniendo ojo en las reglas

de signos que acabamos de conocer con los números enteros. Representación pictórica de una fracción Para poder representar pictóricamente una fracción debemos tener en cuenta que el denominador será la cantidad de veces en las que se dividirá en rectángulo, y el numerador cuantas de esas partes se tomaran o pintaran. Por ejemplo: Fracciones equivalentes Son aquellas fracciones que representan una misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes tenemos dos formas:

1. Amplificación: Este proceso consiste en “agrandar” la fracción. Es decir, tanto el numerador como el denominador se multiplican por el mismo número, generando así una fracción más grande pero equivalente. Ejemplos:

2. Simplificación: Este proceso consiste en “achicar” la fracción, es decir, tanto el numerador como el denominador se dividen por el mismo número (mientras sea posible), generando así una fracción equivalente pero con números más pequeños. Para poder simplificar una fracción, tanto numerador como denominador deben estar en la misma tabla de multiplicar . Ejemplo:

9


Este tipo de fracción que se puede simplificar, se llama fracción reductible . Aquellas que no pueden

simlificarse son las irreductibles. Las fracciones deben simplificarse siempre mientras se pueda.

Suma y resta de ℚ Para poder sumar y restar fracciones, debemos tomar en cuenta dos métodos:

- Método 1: CRUZADO Para la resta, es el mismo proceso, pero en vez de suma es una diferencia (resta).

Ejemplos: a) 3

5 + 42 = 3∙4

5∙4 + 3∙2 = 1220 + 6 = 12

26 = 613

En este caso el 26 y el 12 son números pares, por lo que se pueden simplificar por 2, quedando así: 6

13 b) 2

7− + 54 = 2∙5

7∙5 + 2∙4 − = 1035 + 8− = 10

27−

En este caso el 27 y el 10 no pertenecen a ninguna tabla en común, por lo que no se puede simplificar. Fracción irreductible. c) 1

6− − 32 = 1∙3

6∙3 1∙2 − − = 318 2− − = 3

20−

En este caso el 20 y el 3 no pertenecen a ninguna tabla en común, por lo que no se puede simplificar. Fracción irreductible. d) 2

9 − 34 = 2∙3

9∙3 2∙4 − = 627 8− = 6

19

En este caso el 19 y el 6 no pertenecen a ninguna tabla en común, por lo que no se puede simplificar. Fracción irreductible.

10


e) 5

6 − 34 = 5∙3

6∙3 4∙5 − = 1518 20− = 15

2−

En este caso el 2 y el 15 no pertenecen a ninguna tabla en común, por lo que no se puede simplificar. Fracción irreductible.

- Método 2: Mínimo Común Múltiplo Para este método, debemos fijarnos en los denominadores de las fracciones, y buscar en esas tablas, el

mínimo múltiplo que esté presente en esas tablas de multiplicar. Por ejemplo:

, en estas fracciones debemos fijarnos en la tabla del 3 y del 6. Si buscamos, vemos que el 6 es 32 + 1

6 el primer número que está presente en ambas tablas, por lo tanto:

, tras haber encontrado el 6, debemos preguntarnos: 3

2 + 61 = 6

2∙2+1∙1 - ¿Cuántas veces cabe el 3 en el 6? Y multiplicar tal número por el numerador de la primera fracción, lo mismo

con la segunda fracción. = 6

4+1 = 65

Observaciones: Como las fracciones también pueden ser negativas o positivas, se debe tener en cuenta:

- La regla de signos que se presentan en los números enteros tanto para sumas/restas como para multiplicación/división, vistas anteriormente.

- Se recomienda usar el método que más le acomode. - Se recomienda ir paso a paso, para una mejor comprensión de los métodos, y además porque el

proceso será evaluado. Multiplicación en ℚ La multiplicación entre fracciones es directa, esto quiere decir que multiplicamos horizontalmente las fracciones, numerados por numerador, y denominador por denominador.

División en ℚ Para poder dividir fracciones, tenemos dos formas:

Forma 1: Cruzado y multiplicar.

11


Forma 2: “Dar vuelta” la segunda fracción, y la división pasa a ser multiplicación. Luego, multiplicación de

fracciones.

Observaciones: Tanto para la multiplicación y división de fracciones se debe tomar en cuenta la Regla de signos que vimos anteriormente, pues como se dijo, las fracciones también pueden ser negativas. EJERCICIOS NÚMEROS RACIONALES: Observaciones:

- En todas debe haber desarrollo o justificación. - Para poder comprar fracciones, estas deben tener el mismo denominador.

Item I. Representa pictóricamente cada una de las siguientes fracciones, y escribe dos fracciones equivalentes a ella (ya sea simplificando o amplificando) (tres puntos cada fracción: uno por representación y uno por cada fracción equivalente)

1) 86

2) 75

3) 43

4) 25

Item II. Resuelva. 2 puntos cada pregunta: 1 por procedimiento y otro por respuesta correcta 5) Si amplificamos por 6 la fracción 7/9 obtenemos: A) 54/42 B) 42/54 C) 13/15 D) 42/9 6) La fracción 45/60 al ser simplificada hasta irreductible llega a:

12


A) 3/4 B) 9/12 C) 1/4 D) 1/2 7) ¿Cuál de las fracciones cumple las siguientes características: “El numerador es el doble de 6 y el denominador es el doble del numerador”: A) 24/12 B) 21/42 C) 12/24 D) 42/12 8) Una persona trabaja 8 horas diarias. ¿Qué fracción del día trabaja esta persona? A) 1/4 B) 1/3 C) 2/3 D) 3/5 9) Diego, Marcela, Juan y Camilo se inscriben para correr una maratón, si luego de 30 minutos de carrera Diego ha recorrido del camino, Marcela , Juan y Camilo ¿Quién va ganando la carrera? 8

574

95

63

A) Diego B) Marcela C) Juan D) Camilo 10) El resultado simplificado de: es: 6

1 + 62 + 6

3 A) 1 B) 6

1 C) 7

6 D) 6

5 11) El resultado de 8

9 − 53

A) 3/20 B) 1/2 C) 13/25 D) 21/40 Item III.

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Resuelva, anotando procedimiento y respuesta final, si se puede simplificar, simplifique hasta más no poder. 1 punto cada una. 12) ∙ 3

12− 56−

13) 4

26 : 513−

14) 3

7− + 65

15) 5

13 + 611−

14

operación de números racionales: suma, resta, …...la representación en la recta numérica en...

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