ejercicios de números racionales

Números racionales

Números naturales Números enteros

Números negativos Números fraccionarios puros

Fracción Número decimal

1/4 propia es siempre < 1 1 : 4 = 0,25

7/2 impropia es siempre > 1

7 : 2 = 3, 5

1 / 10 es decimal 1: 10 = 0,1

1/9 periódica 1: 9 = 0,11111........

Números fraccionarios puros

El número fraccionario puro es un cociente entre dos números enteros , distintos de cero y tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor.

Fracción pura : 1 numerador Siempre es < 1. 1: 4 = 0,25 4 denominador

Fracción impura : 5 numerador Siempre es > 1 5: 2 = 2,5 2 denominador

Fracción aparente : 8 numerador es múltiplo del denominador 8 : 4 = 2 4 denominadorFracción decimal : 1 ; 5 ; 7 10 100 1000

Números decimales

Representar en la recta numérica

1/4 - 3/4 - 4/4 - 9/4 - 12/4

____,____,____,____,____,____,___,____,____,____,____,____,______________ 1/4 3/4 4/4 8/4 9/4 12/4

1 2 3

Suma de fracciones de igual denominador

a) 2/7 + 4/7 = 6/7

Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador

2 + 4 = 6 7

b) 2/9 +5/9 + 1/9= 8/9

Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador

2 + 5 + 1 = 8 9

Suma de fracciones con distinto denominador

3 /4 + 1/6 =

Factoreo

m.c.m = 2 2 . 3 = 12 Divido 12 ( m.c.m) por cada uno de los denominadores

12 : 4 = 3 . 3 = 9

12 : 6 = 2 . 1 = 2

9 /12 + 2 /12 = 11 /12

Número mixto

23/5

De número mixto a fracción

5 . 2 + 3 = 13/ 5

De fracción a número mixto

13 : 5 = 2

resto = 3

Resta de números fraccionarios

De igual de nominador

2/4 - 1/4 = 1/ 4

De diferente denominador

2 /3 - 1/4 =

8/12 - 3/12 = 5 /12

Encuentro m.c.m entre 3 y 4 = 12

12: 3 = 4 4 . 2 = 8

12 : 4 = 3 3 . 1 = 3

Mínimo común múltiplo : m.c.mMultiplico los números comunes y no comunes con su mayor exponente.

Máximo común divisor : d.c.mMultiplico los números comunes con su menor exponente.

Divisibilidad

Factorizar

6 : 2 3 : 31 : 1

6 = 2 . 3 . 1 [el número 6 expresado en sus factores primos]

9 : 3

3 : 3

1 : 1

9 = 32 . 1 [ el número 9 expresado en sus factores primos]

Multiplicación División

→

5 . 4 = 20 5 : 4 = 35

3 7 21 3 7 12

a) 5 . 7 = 35

4 . 3 12

b) 5 . 7 = 35

3 4 12

Simplificación

9 . 14 = 9: 3 . 14 : 2 = 3 . 7 = 21 : 3 = 7

16 27 16: 2 27 :3 8 . 9 72 : 3 24

Ampliación o fracción equivalente

1 . 2 = 2 . 3 = 3

2 2 4 3 6

En la simplificación puedo dividir por un mismo número En la división solo puedo:

numerador y denominador de distintas fracciones, dividir por un mismo número

solo una vez y por un mismo número. al numerador y denominador

de una misma fracción.

Si aplico la regla de invertir

la segunda fracción:

24 . 12 =

36 15

ya puedo simplificar como en la

multiplicación.

Radicación

Propiedad distributiva ( Se aplica con la multiplicación y división )

\/ 81/100 . 9/4 =

9/10 . 3/2 = 27/20

Raíz de índice par y radicando positivo tienen 2 resultados, que son 2 números opuestos.

√ 16/9 = 4/ 3 y - 4/3

Raíz de índice impar y radicando positivo tiene resultado positivo

3√ 27/8 = 3/2

Raíz de índice impar y radicando negativo resultado negativo.

3√ - 27/8 =- 3/2

Raíz de índice par y radicando negativo carece de solución en el campo de los números racionales. √ - 4/9 =∃Se simplifican la raíz y la potencia . (√ 1/4 )2 = 1/4 .

Potenciación

Potencia 0 ( 5/8 ) 0 = 1

Potencia 1 ( 5/8 )1 = 5/8

Potencia negativa ( 5/8 ) - 1 = 8/5 ( 5/8 )- 2 = ( 8/5 )2 = 64/25

Base y exponente negativo ( - 5/3 )- 2 = (-3/5)2=9/25 (-2/3)-3= (-3/2)3= - 9/4

Base negativa, exponente par es siempre positivo (-3/5)2=9/25

Base negativa exponente impar es siempre negativo (-3/5)3

Producto de potencias de igual base 1/4 . ( 1/4 )2 = 1/4(1+2)= 1/43 = 1/64

División de potencias de igual base ( 1/3 ) 7 : ( 1/3 )2 = 1/3 (7 - 2) = 1/3 5

Potencia de potencia [ ( 1/2 )2 ] 3= 1/2(2×3) = 1/26

Ejercicios de números racionales

Escribir en orden decreciente los siguientes números fraccionarios

Completa con < , > o = según corresponda

-1/2 5/4 ; 3/5 3/4 ; 7/4 14/8 ; 23/5 22/3

Reducir a fracción impropia los siguientes números mixtos

3 1/4; 12/5; -4 2/7; -22/3 -5 3/7

Reducir a números mixtos las siguientes fracciones impropias

17/6 ; 5/2 ; 24/7 ; - 13/11 ;- 34/5 ; - 7/3 ; - 9/4 ; 27/8 ; 36/13 ; - 41/9

Completa con < , > o = según corresponda

-1/2 ⇒ 5/4 ; 3/5 ⇒ 3/4 ; 7/4 ⇒ 14/8 ; 23/5 ⇒ 22/3

- - - - - - - - - - -

Sumar los siguientes números racionales

a) 5/6 + 2/3 + 3/5 + 4/27 + 8/9 = b) 5/11 + 1/33 + 1 +2/3 +2 =

c ) 9/16 + 7/12 + 5/8 + 1/2 +5/6 + 1/4 = d ) 5/12 + 7/18 + 4 + 1/6 + + 2 =

e) 1/5 + 3/4 + 1/2 +2/3 = f) 2 1/2 + 3 3/4 + 4 1/5 =

- - - - - - - - - - -

Restar los siguientes números racionales

a) 7 - 1/4 = b) 3/8 - 1/4 = c) 2 3 - 5/12 = d) 3 - 7/10 =

e) 11/9 - 1 = f) 7/8 - 9/16 = g) 4 3 - 1/2 = h ) 10 - 8/6 =

i) 2 15 - 2/3 = j) 3/5 - 3 =

Restar los siguientes números

a) - 3/7 - ( - 5/6) = b) - 4/35 - ( + 4/9 ) = c) 5/8 - ( - 7/12 ) = d) 1 4 - ( - 9/16) =

- - - - - - - - - - -

Resolver

a) 1/2 - [ 2/7 - 3/4 - ( 5/14 + 1 ) + ( 1/4 + 1/7 - 3/4 ) + 2 = R: 19/28

b) 11/15 - 1/3 - { 2/5 - 5/6 - [ 3/4 - 1/2 - ( 7/30 + 4/5 - 1 ) + 1/4 ] } - 1 = R:3/10

c) 9 - ( 6/7 + 7 ) + [ 2 - 1/2 - ( 7 - 1/2 ) ] + 3 = R: -6/7

d) 2/3 - [ - 1/2 + 1 - ( 3/4 - 5/12 - 1/2 ) - 2 ] - 1/4 - { - 1 + [ 2/3 - ( 2 6 - 1 4 )]} = R: 3 e) 5/6 + [ - 1/3 - 1 - ( - 3/2 + 1 3 - 4/9 ) - 2 - ( 7/18 - 1 + 4/9 ) ] R: - 31/18f) 2 - [ - 4/5 - ( 4 - 7 ) + 1/9 - ( 10/9 - 6 ) ] + 2 - 1 = R: - 21/5

g) - 1 - { - 1/2 + 3/4 + [ - 2 + 5/6 - ( 1/3 - 1 ) ] - 1/6 } - 1/3 = R: - 11/12

h) 2 - { 1/3 + 5/6 - 1 + [ 3/4 - 3 - ( 7/3 + 1 - 1/2 ) - 5/4 ] + 2 } = R: 37/6

i) 47/50 + 1 - { 3/25 - 1/5 + [ 3/2 - ( 9/10 - 1/2 ) - ( 3/5 - 1/10 ) - 4/25 ] } = R: 29/50

j) 5 + { - 1/2 - 2 - [ 3/4 - 5/6 + ( - 1 + 1/3) ] + 5/4 } + 1 = R: 11/2

k) 1/7 + { 1/3 - [ 1/4 + ( 1/5 - 1/6 ) + 1/7 ] + 7 } = R: 141/201 l) 2 - ( 1/2 + 5 ) - [ 4 - 2/3 - ( 9 + 1/8 ) ] = R: -1 8

m) 4 - [ ( 4/3 - 5/4 ) + 3/60 = R: 119/30

n) ( 1/4 - 1 ) - ( 3/4 + 1/2 - 5/8 ) = R: - 1/8

ñ) ( - 3/4 - 1/2 + 1 ) - [- 1 - ( -1/4 - 1/2 ) ] = R: 00) - 1 + ( - 2/3 + 3/2 ) - ( - 1/6 + 3/4 ) = R: - 3/4

- - - - - - - - - - -

Convertir los números mixtos a fracción y las fracciones a número mixto.

11/3 21/5 ; -8/5 - 4/3 ; 10/6 15/9 ;

8/9 6/7

Calcular los siguientes productos

a) 5/4 . ( - 8/3 ) . ( - 3/2 ) = b) 16/5 . 15/8 .12/5 = c) 9/4. 17/12 .9/3 =

d) 2 3 . 3 2 = e) 8/3.( -7/22 ). ( - 2 ) . 15/22. ( . 1/5 ) =

f) 45/19 . 38/33. 22/15 . 9 . 1/12 = g) 12/5 . 1/4 . 8/9 . 7/10 . 1/14 =

Calcular las siguientes divisiones

a) 12 : 4/3 = b) ( - 1 ) : 2/7 = c) 3 : 11/5 = d) 1/2 : 2 =

e ) 3/2 : ( - 15 ) = f) 2 5 : 3 10 = g) ( - 8/3 ) : 3 2 = h) ( - 5/2 ) : ( - 7/2 ) =

- - - - - - - - - - -

Hallar

a) los 3/6 de 405 b) los 2/7 de 777 c) los 5/12 de 1 d) los 4/35 de 70

e) los 9/4 de 36 f) los 5/6 de 6 g) los 3/4 de 3 h) los 3/5 de 25

- - - - - - - - - - -

Aplicar propiedad distributiva

a) ( 2/3 + 1/4 + 3/5 ) . 1/6 = b) ( 5/4 + 1/14 + 3/2 + 1/3 ) . ( - 7/3 ) =

c) ( 3 - 1/5 + 5/2 ) . ( - 1/3 ) = d) ( 7/4 - 9 - 1/2 ) . ( - 1/6) =

e)( 1/5 + 1/3 + 1/2 ) : 4/15 = f) ( 9 - 6/7 ) ( - 2 + 7/3 ) =

g) ( 5/9 + 1/3 + 5/6 ) : 3 = h) ( 3/4 + 3/16 + 5/8 ) ( 4 - 1/2 ) =

i) ( 3 - 4/5 + 4/3 - 1 ) : ( - 4 ) = j) ( 5/2 + 5/6 ) ( - 3/2 - 4/3 ) =

- - - - - - - - - - -

Ejercicios combinados

1) { 2 + [ 1 : ( 3 + 1/4 ) + 9/13 ] } : {[ 3 - 2 : ( 5/3 - 1/2 ) ]} = R: 7/3

2) { 1/3 [ 1 + ( 3 : - 1/4 ) ] } : { 2 [ 1/2 + 3 : ( 3/4 - 1/2 ) ] } - 1/3 = R: - 12/25

3) { [ ( 2/3 + 4/5 ) : ( 1 + 3/8 ) - 2/5 ] . ( - 37/4 + 5 2 ) } = R: - 5/2

4) [ ( 1/2 - 3/5 : 3 ) : ( 1/6 - 2/3 ) ] : [ ( - 1 + 1/3 ) : ( 2 - 1/3 ) 3 ] = R: 9/25) [ ( - 3 + 5/4 + 3/4 : 1/8 ) : ( 1/2 - 1/2 : 1/4 ) ] . [ - 1/2 : ( 2 - 5/3 . 5/4 ) ] = R: - 176) 2 + 1/10 - 3 : 1/2 + 3/5 . 1 20 = R: 96/5

Calcular el valor de las siguientes expresiones

a) 1 + [ 2/3 - 1/2 + 3/4 ( 8/9 - 1/3 + 2 ) - 5/6 ] R: 9/4

b) 4/3 + 2/5 ( 5 - 10/3 ) + [ 1/2 ( 2+ 4/5 - 5/3 ) - 1 ] = R: 47/30

c) 29/30 - [ 4/5( 5/6 - 3/8 ) - ( 2/3 + 1 - 1/2 ) + 1/4 ] - 7/5 = R: 7/60

d) 5/4( 1/5 + 1 - 4/5 ) - { 1/8 - [ 3/4 + 4/7 ( 21/8 - 7/5 ) - 1/2 ]} = R: 53/40

- - - - - - - - - - -

Potencias de igual base

a) ( 1/2 ) 3 . ( 1/2 ) 2 . ( 1/2 ) 2 =b) ( 2/3 ) 2. ( 2/3 )5 . 2/3 = c) ( - 1/3 )4 . ( - 1/3 )2 . ( - 1/3 ) = d) ( - 2 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =

- - - - - - - - - - -

Divisiones

a) ( 1/6 ) 7 ÷( 1/6 )5 = ...........b) ( 2/3 )4 ÷( 2/3 ) =c) 103 ÷10-3 = ............. d) ( - 2 )- 7 ÷( - 2 )- 9 =

e) 1/2 - 4÷1/2- 2 =........ f) 3/5- 6 ÷3/5- 2 =

g) ( - 1/3 )- 1 ÷( - 1/3 )3 =......... h) 4/5 -2 ÷4/5 =

- - - - - - - - - - -

Potencia de potencia

a) [ ( 3/2 )2 ] 3 =...........b) { [ ( 7/8- 2 )5 ]0 } =........ c) { [ ( - 1/2 )2 ]-1 }0 = d) { [ 10 - 2 ]2 }- 1 = ........ e) [ ( - 2/7 )- 3 ]4 =....... f) { [ ( - 1 )- 1 ]- 2 }0 =

Hallar las siguientes potencias

( - 7/9 ) 1 = ..... ( - 5/8 )3 =........( - 5/7 )0 = ( - 3 ab )3÷(4 xy)=( 5m n )÷( 6a3b4c) 3 =

Calcular las siguientes potencias

a) 3 - 4 =..... b) ( - 4 ) - 3 = .......c) ( - 9 ) - 3 =...... d) ( - 6 ) - 1 =....e) ( 1/2 )- 7f) ( a/5 )- 3 =..........g) ( - 3/b ) - 2 = ....... h) ( 2/3 )- 2 = ..........i ) ( 1/2 )- 3 = ...... j) ( m/n) -

8 =

Aplicar la propiedad distributiva

a) ( 1/2 . 3/4 . 1/10 ) 2 = ......b) [ ( - 1/2 ) . ( - 1/4 ) . ( - 1 ) ] 5 = c) ( 7 : 12 ) - 2 = ....... d) [ ( - 4 ) : 1/3 ]3 =e) [ - ( 3/5 ) : 2/7 ]2 = .....f) [ ( - 4/3 ) . ( -15/4 ) . ( - 1/5) . ( - 3 ) ]- 1 =

Ejercicios combinados

a) ( a + 1 ) 2 - ( a - 1 )2 = ......... b) ( a + 2 ). a + ( a - 1/2 ) 2 = ......c) ( a + 1/2 )2 = d) ( 1/2 - x ) + x = e) 2 - 1 - ( 5 - 2 ) - 2+ 1/2 =f) ( 2 -1 + 1 3)÷(2- 2 - 3- 1) - ( 1 - 2- 1 ) =g)[ ( - 2 ) - 2 - ( - 1 - 1 ) - 3 + ( -3 + 1 )- 1 ]÷ -2 -1 [ (- 2 + 1/2 ) - 2 - 2 ]

- - - - - - - - - - -

Ecuaciones

1) 2/3 = x/9 = x/27 2) 15/18 = x/6 = x/42 3) 9/25 = x/100 = x/1000

4) -5/7 = -15/x = - 60/ 84 5) - 4/5 = x/10 = x/1000 6) 3/8 = 12/x = x/ 200

Números Racionales

Números decimales

FracciónNúmero decimal

1/4 propia es siempre < 1 1 ÷ 4 = 0,25

7/2 impropia es siempre > 1 7 ÷ 2 = 3,5

8/2 aparente 8 ÷ 2 = 4

1/10 decimal 1 ÷ 10 = 0,1

1/9 periódica1÷ 9 = 0,11111........

Lectura de números decimales

2, 124....................... dos enteros , ciento veinticuatro milésimos

15, 4............................. quince enteros , cuatro décimos

18, 35.......................... dieciocho, treinta y cinco centésimos

Fracciones decimales

1/10 1/100 1/100

un décimo un centésimo un milésimo

La fracción decimal 8/10 puede representarse por un número decimal

8/10 ocho décimos------------------------------------------0,8 cero enteros,ocho décimos

Cada cifra escrita inmediatamente a la derecha de la coma pertenece a la parte decimal de nuestro sistema de numeración y representa unidades diez veces menores.

4,97624 = 4 + 0,9 + 0,07 + 0,006 + 0,0002 + 0,00004

En todo número decimal los ceros agregados a la derecha de la última cifra significativa no alteran su valor:

0,47 = 0,470 = 0,4700 = son números decimales equivalentes.

Adición

0,8 + 2,25 + 4,129 =

0,8 + 2,25

4,129 _____________

7,179

Sustracción

9,5 - 0,028 =

9,500 0,028

_______ 9,472

Multiplicación por la unidad seguida de ceros

5,29 x 10 = 52,9

5,29 x 100 = 529

División por la unidad seguida de ceros

5,29 : 10 = 0,529

5,29 : 100 = 0,0529

Multiplicación

5,8 1 lugar decimal

x 0,008______

3 lugares decimales

0,0464 4 lugares decimales

División

0,675 : 0,32 =

67,5 |__32___ 035 2,109

0300 12

Como el divisor tiene dos lugares decimales y conviene que quede espresado com número entero,se multiplican dividendo y divisor por 100.

0,675 x 100 = 67,5

0,32 x 100 = 32

Potencia de base 10

100 1

101 10

102 100

103 1000

104 10000

105 100000

106 1000000

100 1

10-1 0,1

10-2 0,01

10-3 0,001

10-4 0,0001

10-5 0,00001

10-6 0,000001

Composición polinómica de un número

8. 104 + 5. 102 + 3. 101 + 2 . 100 + 7. 10-2 =

8. 10.000 + 5 . 100 + 3. 10 + 2. 1 + 7. 0,01=

80.000 + 500 + 30 + 2 + 0,07 = 80.532,07

Transformar un número decimal en fracción decimal

0,37 ( se lee cero entero treinta y siete centésimos) = 37/100 ( se lee treinta y siete centésimos )

Transformar una fracción decimal en número decimal

145/10 ( se lee ciento cuarenta y cinco décimos ) = 14,5 ( se lee 14 enteros cinco décimos)

Notación cientifica

Número Notación científica

450.000 4,5 . 105

0,008543 8,543 . 10-3

50.000 5. 104

0,00009 9 . 10-5

Números Reales

El conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los números reales.

√2= 1,41421356237309............... no es una expresión decimal periódica, no puede expresarse como un número racional.

Número irracional : Son números de infinitas cifras decimales no periódicas y que en consecuencia no pueden representarse por un número racional.

Entre los números irracionales se encuentran las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos , el número π que establece la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro y el número e que se eligió como base en los primeros sitemas de logaritmos.

π = 3,14159265358979 .............

e = 2,71828182845904............

Operaciones con números reales

Propiedades de la radicación

Reducir a mínimo común índice

6√a5 ; 4√2 y 3√x2

El m.c.m de los índices 6, 4 y 3 es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.

Como 12 ÷ 6 = 2. Luego el exponente de multiplicarse también por 2

6√a5 = 6.2√a5.2 = 12√a10

Como 12 ÷ 4 = 3

4√2 = 3.4√2 1.3 = 12√23

Como 12÷ 3 = 4

3√x2 = 4.3√x4.2= 12√28

Extraer los factores fuera del radical

Se realiza el cociente entre el exponente del número o letra que se está dentro de la raíz y el índice de la raíz.

Introducción de factores dentro del radical

Se realiza la multiplicación entre el exponente del factor que se desea introducir y el índice de la raíz

x2 3√a =

=

Multiplicación de radicales

Se reduce a mínimo común índice los radicales. En este caso: 2 . 3 = 6

División de radicales

El m.c.m es de 4 y 6 es 12

Al tener ambas el mismo esponente, se dividen:

Racionalización

1)

a 5√x2

a 5√x3 a . 5√x3 a 5√x3 a 5√x3

________ = _________ = _______ = __________5√x2. 5√x3 5√x2. x3 5 √x5 x

2)

2 √5 - 1

2 .( √5 + 1 ) = 2√5 + 2 = 2√5 + 2 = 2√5 + 2 ________________ ____________ ________ ________ (√5 - 1 ) . ( √5 + 1 ) (√5 )2 - ( 1 )2 5 - 1 4__↑diferencia de cuadrados_

Simplificando

2 √ 5 + 2 = √5 + 1 2 2

Números complejos

Números complejos C : En los números reales no hay solución de por ejemplo

√-25 porque -5 .--5 = +255 . 5 = +25

Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números introduciendo nuevos números llamados imaginarios.

Número racional : a/b en orden y siendo b diferente de 0 ,determinan el número fraccionario a/b,del cual el primer número a es el numerador y el segundo número b es el denominador.

Análogamente, un par de números reales a y b, dados en un cierto orden, definen un número complejo que se representa ( a ; b ), del cual el primer número a se llama componente real, y el segundo b,componente imaginaria.

( -1 ; 4 )

La componente real es -1 y la componente imaginaria es 4

Los números imaginarios se representan por la componente imaginaria seguida de la unidad imaginaria i

Adición de números complejos:

Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.

Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )

Representar en forma binómica

( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)

Complejos conjugados :

Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienen diferente signo.

Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REAL

Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIO

Potencia de números complejos

i0 = 1 i4= 1 i8= 1

i1 = i i5= i i9= i

i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1

i3= - i i7= - i i11 = - i

Multiplicación

Producto de una unidad imaginaria

( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva

( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2=

2 + 4 . - 1 =

2 - 4 = -3

Complejos conjugados :

El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =

9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 =

9 + 4 = 13

Aplicando propiedad distributiva

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =

( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) =

9 - 6i + 6i - - 4i2 = 9 - 4 . - 1=9 + 4 = 13

Ejemplo de no conjugado

( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =

( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) =

12 - 9i +8i - 6i =12 -9i + 8i - 6 . (- 1)=

12 - i + 6 =( 18 - i )

División de números complejos

5 - 2i = 4 + 3i

( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i ) =( 4 + 3i) . ( 4 - 3i )

20 - 8i - 15i + 6i 2 = 42 + 32

20 - 8i - 15i - 6 =16 + 9

14 - 23i = 25

( 14/25 - 23/25i )

Raíces de índice par de números negativos

√-25 no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar los números complejos este problema queda resuelto.

√-25 = + 5 y - 5

+ 5i . + 5i = ( 5i )2 = 25i2 = -25

- 5i . - 5i = ( - 5i )2 = 25i2= - 25

Representación geométrica o gráfica de los números Complejos

A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y su ordenada la componente imaginaria.

1) Al número complejo ( - 3; 2 ) = - 3 + 2i le corresponde el punto A de abscisa - 3 y ordenada 2

2) A todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le corresponde sobre el eje de las ordenadas:

a) ( 0 ; 3) = 3i le corresponde el punto Bb) ( 0 ; - 2 ) = - 2i le corresponde el punto Cc) (0 ; 1) = 1i le corresponde el punto U

3) Todos los números reales, que son complejos que tienen componente imaginaria 0, están representados por el eje de las x

a) ( 5 ; 0 ) = 5 le corresponde el punto D.

Forma polar trigonométrica

Si se considera el vector que tiene por origen O de coordenadas y por estremo el punto P, es decir ,semirrecta OP, el módulo de este vector se llama módulo del complejo ( a ; b ).

Lo denominamos módulo δ de ( a ; b )

El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido contrario a las agujas del reloj, en este caso ω, se llama argumento del número complejo ( a ; b )

Se tiene que:

cos ω = a ⇒ a = δ. cos ω δ

sen ω = a ⇒ b = δ. sen ω δ

bi = δ. sen ω i

Sumando miembro a miembro [ 1 ] y [ 2 ]

a + bi = δ. cos ω + δ. sen ω

Sacando factor común:

a + bi = δ.( cos ω + i sen ω )

Ejemplo:

a = √3 y b = 1

+ √4 = + 2

cos ω = √3 2

sen ω = 1 2⇒ ω = 30º

La forma trigonométrica del número complejo dado:

√3 + i = 2 ( cos 30º + i sen 30º )

unción lineal

Función cuadrática

Función racional

Función logarítmica

F(x) = ax + ba = pendiente b= ordenada

Ejemplo :

Y = 2x + 3

Constante Nula Identidad Traslación

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/logaritmos.htm

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funcioncuadrat.html

Y = ax + b Y = ax + b Y= ax + b Y = ax + b

Y = 0x + b Y = 0x + 0 Y = 1x +0 Y = 1x + b

Y= b 0= 0 Y= x Y = x +b

Su representación gráfica siempre es una recta.

f (x) = 2x +3

Raíces de la función

x = 0 y = 0

y = 2. 0 + 3 0 = 2x + 3

y = 3 0 - 3 = 2x

( 0 ; 3 ) - 3 / 2 = x

( - 3 / 2 ; 0 )

Función inversa

y = 2x + 3

y - 3 = 2x

y - 3 = x 2

y = 1/2x - 3 /2

Casos particulares de la ecuación de la recta: y = ax + b

1) Si b = 0

y = 2x

Corresponde a una recta que pasa por el origen

2)Identidad

y = x

3)Constante

y = b

Ecuación de la recta dada por dos puntos

y - y1 = x - x1 y2 - y1 x2 - x1

Dados los puntos P1 = ( - 2 ; 1 ) y P2 = ( 5 ; 7 ), determinar la ecuación de la recta

y - 1 = x - ( - 2 )7 - 1 5 - ( - 2 )

y - 1 = x + 2 6 7

7. ( y - 1 ) = 6 . ( x + 2 )

7y - 7 = 6x + 12

7y = 6x + 12 + 7

y = 6x / 7 + 19 / 7

Paralelismo de rectas

y - y 1 = a x - x1

Escribir la ecuación de la recta paralela a:

y = 5x - 8 que pasa por los puntos P= ( 2 ; 3 )

y - 3 = 5x - 2

y - 3 = 5.( x - 2 )

y - 3 = 5x - 10

y = 5x - 10 + 3

y = 5x - 7

Perpendicularidad de rectas

y - y 1 = - 1 x - x1 a

Escribir la ecuación de la recta perpendicular a:

y = 2x - 3 que pasa por el punto P ( - 1 ; 4 )

y - 4 = - 1 x - ( - 1 ) 2

y - 4 = - 1 x + 1 2

y - 4 = - 1 x - ( - 1 ) 2

y - 4 = - 1 x + 1 2

y - 4 = -1 . ( x + 1 ) 2

y - 4 = - 1 / 2 x - 1/2

y = - 1 / 2x - 1 / 2 + 4

y = - 1/2x + 7/2

Composición de funciones

Dadas dos funciones

f: A → B y g: B → A

tales que la segunda tiene como dominio el codominio de la primera, hay una función asociada a f y g .

Dicha función se llama compuesta entre f y g y se define:

g o f: A → C / ( g o f ) (x) = g( f(x) )

f: R → R y g: R → R tales que

f( x ) = x - 1 y g( x ) = x2

1) La función compuesta g o f tiene dominio y codominio en R y está definida:

( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) )

( g o f ) ( x ) = 12 ( x - 1 )

( g o f ) ( x) = ( x - 1 )2

2)

La función compuesta f o g tiene dominio y codominio en R y está definida:

( f o g ) ( x ) = f ( g ( x ) )

( f o g ) ( x ) = 1 ( x2 ) - 1

( f o g ) ( x ) = x2 - 1

Dadas la funciones

f ( x ) = - 2x - 1/2

g ( x ) = 3x + 2

Encontrar( f o g ) y ( g o f )

( f o g ) ( x ) = f ( g ( x ) )

( f o g ) ( x ) = - 2 ( 3x + 2 ) - 1/2

( f o g ) ( x ) = - 6x - 4 - 1/2

( f o g ) ( x ) = - 6x - 9/2

Encontrar ( g o f )

Función cuadrática

F(x) = ax 2+ bx+c

Las funciones de segundo grado o cuadráticas son aquellas cuyo segundo miembro es una expresión polinómica de 2º grado en x

Ejemplos:

y = x2 + 2x - 3

y = x2

y = 4x2 - 2x

y = x2 - 9

Resolución analítica

Ecuación completa de segundo grado

y = x2 + 2x - 3

x = - b ±√b 2 - 4. a . c

2 . a

x= - 2 ±√( - 2) 2 - 4 . 1 . ( - 3) 2 . 1

x= - 2 ±√4 + 12 2

x = - 2 ±√16 2

x1 = - 2 + 4 = 2 = 1 2 2

x2 = - 2 - 4 = - 6 = - 3 2 2

Eje de simetría

x 1 + x 2 2

- b 2 . a

1 + ( - 3 ) = - 2 = - 1 2 2

y vértice

y = x2 + 2x - 3

y = ( - 1 )2 + 2 . ( - 1 ) - 3

y = 1 - 2 - 3

y = - 4

Resolución gráfica

Discriminante

b2 - 4 . a . c

Si es = 0 tiene una raíz

Si es < 0 no tiene raíz real

Si es > 0 tiene 2 raíces

Forma canónica Factorizada Polinómica

y = a ( x - xv )2 + yv y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 ) y = ax2 + bx + c

Ecuación cuadrática incompleta

Falta término de primer grado

y = x2 - 9

x2 - 9 = 0

x2 = 0 + 9

x = √9

x1= 3x2= - 3

Falta término independiente

y = 4x2 - 2x

4x2 - 2x = 0

x( 4x - 2 ) = 0

x1 = 0

4x - 2 = 0

4x = 0 + 2

x = 2 / 4

simplificando

x = ½

Funciones racionales

La asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas.

Ejemplos:

La asíntota horizontal es igual a 0

1) Dominio

f(x) = 1 3 + x = 0 3 + x D ={- 3 } x = - 3

2) Asíntota vertical es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula.

lim 1 1 = 1 = ∞ 3 + x 3 - 3 0 x → -3

3)

Asíntota horizontal

lim x → ∞ 1 x = 0 = 0 = 0

3 + x 1 + 0 1 x x

Asíntota horizontal = 0

Intersección con el eje x y = 0

1 = 0 3 + x

1 = 0 . (3 + x)

1 = 0

No existe

Intersección con el eje y x = 0

1 = 1 = 1 = 0,33... 3 + x 3 + 0 3

( 0 ; 0,33..)

( - ∞ ; - 3)

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/limite.html

( - 3 ; 0)

(0 ; + ∞)

- - - - - - - - - - - - - -

Extensiones del concepto de límite

1 = x

1 = ∞ 0 x→ 0

1 = 0 x x→∞

x y = 1/x

- 3 - 0,3333..

- 2 - 0,5

- 1 - 1

0 ∞

1 1

2 0,5

3 0,333

Asíntotas homográficas

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/limite.html

Existen valores para asíntota vertical y horizontal

x + 1 x - 2

Dominio = { 2 }

Asíntota vertical = 2


lim x + 1 x → ∞ x x = 1 + 0 = 1 = 1 x + 2 1 + 0 1 x x

Asíntota oblicua

2x 2 + 1 x - 1

1) Dominio = { 1 }

2) Asíntota vertical = 1

3) No existe la asíntota horizontal

4)Buscar la asíntota oblicua

y = ax + b

Pendiente a

2x 2 + 1 x - 1________ = 2x 2 + 1 .1 = 2x 2 + 1 = x x - 1 x x2 - x

2x 2 + 1 x2 x2

_______ = 2 = 2 x 2 - x 1 x2 x2

a = 2

Ordenada b

2x 2 + 1 - 2x = 2 x 2 + 1 - 2x.( x - 1 ) = 2 x 2 + 1 - 2x 2 + 2x = x - 1 x - 1 x - 1 1 + 2x = x - 1

1 + 2 x x _________ = 2 = 2 x - 1 1 x x

b = 2

Oblicua

y = 2x + 2

Logaritmos

Se llama logaritmo de un número real positivo, b en base a otro número a también real positivo y diferente de 1, al número c que es el exponente a que hay que elevar la base a para obtener el número b

log a b = c si y solo si a c = b .

De acuerdo con la definición tenemos que:

log2 8 = 3 pues 2 3= 8. log10 √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10 log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16 log 121 = 0 pues (12)0 = 1 log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49 log1010 = 1 pues (10)1= 10

Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números reales .

Cuando la base de los logaritmos es mayor que 1, los números positivos menores que la unidad tienen logaritmo negativo:

log3 1/81 es igual a - 4 pues (3)- 4 = 1/81

Propiedades de los logaritmos

La logaritmación no es distributiva con respecto a la suma

log2( 2 + 4 + 8 + 2) log2 16 = 4 24 = 16log22 = 1log2 4 = 2log2 8 = 3log2 2 =1 7No se cumple

No es distributiva con respecto a la resta

log2(64 - 32) log232 = 5 25

log264 = 6log2 32 = 5 11

No se cumple

Tanto en la suma como en la resta se debe efectuar la operación y luego calcular el logaritmo.

Producto

El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.

loga( m . n) = logam + logan

log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3

log5125 = 3 pues53= 125

División

El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

loga( m : n) = logam - logan

log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2

log2 4 = 2

Potencia

loga bn = n. log a b

a) log2 8 4 = b) 4 . log 2 8

a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096

b) 4. 3 = 12

Radicación

loga√b = logab

2

a) log2 √16 b) log2 16 2

a) log2 4 = 2

b) 4 = 2 2

Logaritmo recíproco

loga 1 / b = - loga b

log2 1 / 3 = -1 log2 3

Cambio de base

loga b = log b / log a

log2 16 = log 16 / log 2 = 1,2 / 0,301 = 3,98

Logaritmos naturales

El cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de uno solo.Los logaritmos comunes son los de base 10 y se designan como logLos logaritmos de base e que se llaman logaritmos naturales y se designan como ln .

log x = log 10 x ,

ln x = loge x .

Función exponencial natural

La inversa de la función logaritmo natural ln x , se la denomina exponencial natural y sela designa como e x

a x = e x ln x

Inversa de la función logarítmica

1 1 + x

∫x 1 dt = In( 1 + x ) + C 1 + x

ex = lim ( 1 + x + x/ n)x log x = lim n ( x1/x - 1 ) x→∞ x→∞

Gráfica de la función logaritmo

Los gráficos de las funciones exponenciales cuando la base es mayor que 1 y cuando está entre 0 y 1.

f ( x ) = log 2 x

La función f ( x ) = log a x es una función biyectiva de ]0, ∞[ en los reales. Su función inversa que va de los reales en ]0,+ ∞ [ = función exponencial de base a = a x

la inversa de f ( x ) = log a x

f -1 : R → ]0,+ ∞[ x →a x

log 2 x

f -1 : R → ]0,+ ∞[ x →2 x

Límite

Límite función logarítmica

Podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números:

Por ejemplo:

8 y 9

Podemos tomar 8,5 que está entre 8y 9

8 .... 8,5..... 9

8....8,001....9

Siempre nos podremos acercar al número "8" , sin llegar a él. "8" es el límite que no podemos tocar.

Si nos acercamos desde valores mayores a 8, se dice que nos " acercamos por la derecha ".

Si nos acercamos desde valores menores a 8, se dice que nos " acercamos por la izquierda ".

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/limite.html#logaritmica

El concepto de límite está ligado al concepto de función.

Función lineal

y = x + 8

y = 2x + 3

x 0,5 0,05 0,001 - 0,5 - 0,01 - 0,002

y= 2x + 3 4 3,1 3,002 2 2,98 2,996

Si se observa la tabla de valores correspondientes a la función y = 2x +3, cada vez que los valores de x se acercan más a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda, es decir, ya sea para valores positivos o para valores negativos, los valores correspondientes de y se acercan más a 3, o lo que es lo mismo difieren de 3 tan poco como se quiera.

Lenguaje simbólico de límite

lim x + 8 = 8 lim 2x + 3 = 3 x→ 0 x→ 0

lim función analizada lim función analizada 8+ x = 8→ límite 2x + 3 = 3 → límite x→ 0 x→ 0 x tiende a 0 x tiende a 0

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 8

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 3

Teorema acerca de los límites

Si lim [f(x) + g(x)] = C y lim g(x) = B x→ a x→ a

Límite de una suma es la suma de los límites.

lim [f(x) + g(x)] = C + B x→ a

Límite de una diferencia es la diferencia de los límites

lim [f(x) - g(x)] = C - B x→ a

Límite de un producto es el producto de los límites

lim [f(x) . g(x)] = C . B x→ a

Límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea 0

lim f(x) = C si B ≠ 0 x→ a g(x) B

Ejemplos:

A)

lim ( x2 + 4x - 1) x → 2

Límite de la suma y la diferencia

lim ( x2 + 4x - 1) = lim x2 + lim 4x - lím 1 x → 2 x → 2 x → 2 x → 2

Límite del producto

lim x . lim x + lim 4 . lim x - lim 1

x → 2 x → 2 x → 2 x → 2 x → 2

Límite de las funciones constante e identidad

2 . 2 + 4 . 2 - 1

4 + 8 - 1 = 11

B)

lim 2x - 3 x→ - 1 x - 1

Límite de cociente

lim 2x - 3 = lim ( 2x - 3) x→ - 1 x - 1 x→ - 1 lím ( x - 1) x→ - 1

Límite del producto y de la diferencia

lim 2 . lim x - lim 3x → -1 x → -1 x → -1 lim x - lim 1 x→ - 1 x→ - 1

Límite de las funciones constantes y de identidad

2 . - 1 - 3 = - 5 = 2,5 - 1 - 1 - 2

El límite de una constante por una función es la constante por el límite

f(x) = k. lím f(x) x→ a

Ejemplo:

lím 3√ x = 3 lim √x = 3 . √4 = 6 x→ 4 x→ 4

Límite de un polínomio

El límite de un polínomio p(x) cuando x→ a es el valor del polínomio en a

p(x) = c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0

p(x) = lím ( c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0 ) x→ a

Límite de una suma

= lím ( c n .xn) + lím (cn - 1 . xn - 1 ) +..... + lím (c1 . x + c 0 ) x→ a x→ a x→ a

Límite de una constante por una función

c n . an + cn - 1 a n - 1 + ..... + c1 .a + c 0

= p(a)

Ejemplo:

lím ( 2 x5 - 3 x2 - 1) = 2 . 2 5 - 3 . 2 2 - 1 = 51x→ 2

Límite de una función racional

lim p(x) = p(a) x→ a q(x) q(a)

lím - 3 x 4 + 2x 2 + x = 2 x2 + 3 x5 x→ 1

- 3 . 1 + 2 . 1 + 1 = 0 = 0 2 . 1 + 3.1 5

- 3 + 2 + 1 = 0 = 0 2 + 3 5

La indeterminación " 0/0 "

p(x) es una función racional y si q(a) ≠ 0, para calcular lim p(x) q(x) x→ a q(x)

es suficiente p(a) q(a)

¿Qué sucede cuando el límite del denominador es nulo?

q(x) = 0

Primer caso: cuando el numerador y denominador es 0

lím x 3 - 1 = 1 - 1 = 0 Indeterminadax→ 1 2 x - 2 2 - 2 0

Factoreo sexto caso

x3 - 1 = ( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 )


Factoreo: primer caso

2x - 2 = 2. (x - 1)

Entonces

( x + 1 ) . ( x 2 - x + 1 ) 2. (x - 1)

Se simplica, si es posible y se tiene:

( x 2 - x + 1 ) 2 x→ 1

Se reemplaza por el valor encontrado:

( 1 2 - 1 + 1 ) = 1 - 1 + 1 = 1/2 = 0,5 2 2

Extensiones del concepto de límite

lim 1 = 0x→∞ x

x 100 1.000 10.000 100.000 → ∞

f(x) 0,01 0,001 0,0001 0,00001 → 0

A medida que x crece los valores de la función se aproximan cada vez más a 0.

Si x→ 0 + los valores de la función f(x) crecen "sin tope".Si x → 0 - , los valores de f(x) decrecen" sin tope ".

Si x crece " sin tope " , f(x) → 0.Si x decrece " sin tope ", f(x) → 0

f(x) = 1 x

↓


f(x) = 1 = ∞ x x → 0

f(x) = 1 = 0 x x → ∞

Límite en el infinito. Asíntota horizontal

f(x) = 1 + 2 x

lim ( 1 + 2) = 1 x →+ ∞ x

Los valores de f(x) se aproxima tanto cuanto se desee a 1 los valores de x crecen " sin tope ".

lim ( 1 + 2) = 1 x → - ∞ x

Los valores de la f(x) se aproximan tanto como se desee a 1 cuando los valores de x decrecen " sin tope".


Límite infinito en un punto Asíntota vertical.

f(x) = 1 x 2

Los valores de f(x) crecen " sin tope ", cuando x se aproxima a cero.

lím = 1 = + ∞ x → 0 x 2

Trabajando con la función opuesta


g(x) = - 1 x 2

lím = - 1 = - ∞ x → 0 x 2

Los valores de g(x) decrecen sin tope cuando x se aproxima a cero.

Asíntota vertical: hay un acercamiento tanto como se quiera a la recta x = 0, cuando x se aproxima a 0, la recta x= 0 es la asíntota vertical

Límites laterales

El límite de una función existe si y sólo si dos límites laterales existen y son iguales.

No siempre los límites laterales (izquierda (-) y derecha (+)) son iguales.

x + 2 si x ≤ 1

x - 1 si x > 1

Para hallar el límite de esta función:

a) Separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1"

x + 2 si x ≤ 1

( x + 2)

b) Separar la parte de la ecuación que se utiliza con los valores mayores a "1"

x - 1 si x > 1

( x – 1)

Cuando analizamos una función desde la derecha, colocamos el signo + como exponente del número a que tiende x

Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende:

lim x - 1 = 1 - 1 = 0x → 1+

Cuando analizamos una función desde la izquierda,colocamos el signo - como exponente del número a que tiende x.

Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende:

lim x + 2 = 1 + 2 = 3 x → 1 -

0 ≠ 3

Para hallar el límite, los laterales de izquierda y derecha deben ser iguales :Esta función no tiene límite en x = 1

Si los límites laterales dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.

f(x)=

x2 - 1 si x ≤ 2

5x - 7 si x > 2

lim (x2 - 1) = 2 2 - 1 = 3 x→2 -

lim (5x - 7) = 5.2 - 7 = 3 x→ 2 +

entonces

lim f(x) = 3x→2

Los límites laterales son: 3 = 3

Si los límites laterales son iguales entonces:

El límite de la función es x = 2

Funciones homográficas

Las asíntotas horizontal, vertical y oblicua se encuentran en las funciones racionales.


Cuando el límite

La característica que define a la asíntota vertical es cuando x tiende a un valor que depende de la función: "a" por izquierda y por derecha tiende a infinito

lim f(x) = - ∞x → a-

lim f(x) = + ∞x → a +

entonces

lim f(x) = ∞x → a

La característica que define a la asíntota horizontal es cuando x tiende a infinito por izquierda "– ∞ " y por derecha "+ ∞ " tiende a un valor que depende de la función " b "

lim f(x) = b x → - ∞

lim f(x) = b x → + ∞

entonces

lim f(x) = b x → ∞

Función homograficas = Si a = 0 y b = 0

Límites de funciones logarítmicas

Las gráficas de estas funciones logarítmicas, son continuas en todo su dominio, si c pertenece al dominio de la función, se tiene:

lim [In x] = In cx→c

lim ex = ec

x→c

En general:

lim [ loga x ] = loga cx→c

lim ax = ac

x→c

Gráfico de funciones logarítmicas inversas: y = In x ; y = ex

Son inversas:

y= In x y = ex

Ejemplo:

lim In x = In5 x→5

lim ex = e - 1 = 1x→ - 1 e

lim log2 x = log2 32 = 5 x→32

lim 5x = 52 = 25x→ 2

Cálculo de límites

1) lim ( x + 3 x ) 2) lim ( x In x2 + 3x )

x→2 x→ - 1

= 2 + 32 = 2 + 9 = 11 = - 1 In ( - 1 )2 + 3 . ( - 1 )

= - 1 In 1 - 3 = = 0 - 3 = - 3

3) lim ( x - 2 x ) 4) lim ( 5 x + In ( x + 3 ) x→ 2 ( log2 x ) x→ 0

= 2 - 2 2 50 + In ( 0 + 3 ) log2 2

= 2 - 4 1 + In 3

1

= - 2

El número e

f ( x ) = (1 + x ) 1/ x .

Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite dará como resultado e .

lim ( 1 + x )1/x = ex→0 +

lim ( 1 + x )1/x = e x→0

lim ( 1 + x )1/x = ex→0 -

lim ( 1 + x )1 / x = e

x→ 0

x y = ( 1 + x )1 / x

- 0,1 2,8679

0. 0001 2,7184

0,1 2,5937

e = 2,718

El dominio está restringido a valores mayores a – 1.

f(x) = ( 1 + 1 / x ) x

lim ( 1 + 1 / x ) x = e x→ + ∞ lim ( 1 + 1 / x ) x = e x→∞lim ( 1 + 1 / x ) x = e x→ - ∞

lim ( 1 + 1 / x ) x = e x→∞

A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo ( x →+ ∞ ) la imagen se acerca a 2,718281828 ......... (número irracional) que se lo

denomina e .

Si tomamos valores de x cada vez más pequeños, tiende a infinito negativo ( x → - ∞ ) la imagen también "se acerca al mismo valor" e .

Derivada

Podemos definir a la derivada de una función y = f(x) en el punto x = x0

La derivada de una función en un punto de su dominio como el límite de su cociente incrementalcuando el incremento de la variable independiente tiende a 0.

Cociente incremental Δx / Δy= f(x) - f(x0) x - x0

Derivada de una función en un punto

limx→0 Δy/ Δx=limx→x0 f(x) -f (x0) = f´(x0) x - x0

Calcular la derivada de la f tal que x→ x3 - 3 es decir Y= f(x) = x3 - 3 en el punto = 2

f(x0 ) = f (2) = 23 - 3 = 5

Incremento de la función

f(2 + Δx)3 - 3 - [ x3 - 3]

Siendo x = 2

Se desarrolla el cuatrinomio cubo perfecto

23 + 3 .22.Δx + 3. 2 .(Δx)2 + (Δx)3 - 3

8 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 - 3

5 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3

∴ Δy = f ( x0 + Δx ) - f( x0 ) = ( 2 + Δx ) - f(2)

= 5 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 - 5 ∴ Δy = f ( 2 + Δx) - f (2) = 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3

El cociente incremental

Δy / Δx = f(2 + Δx) - f(2) = 12 Δx + 6 Δx 2 + Δ x 3 = Δx Δx

= 12 + 6 Δx + Δx2

La derivada en el punto x0 = 2 es:

f' (2) = limΔx → 0 f ( 2 + Δx) - f(2) = limΔx → 0 ( 12 + 6 Δx + Δx2 ) = 12 Δx

El número 12 es la derivada de la función

f(x) = x3 - 3 en el punto 2

Derivada de la función potencial

f' (x) = n xn - 1

f(x) = x4⇒ f'(x) = 4 x4 - 1 = 4 x3

f(x) = x - 2 ⇒ f'(x) = -2 x - 2 - 1 = - 2 x- 3

f(x) = 1 = x- 3 ⇒ f'(x) = - 3 x -3 - 1 = - 3x- 4 x3

f(x) = √3x = x1/3 ⇒ f'(x) = 1/3x1/3 - 1 = 1/3x- 2/3

Tabla de derivadas

Función f( x ) f'( x )

Constante k 0

Lineal ax + b a

Potencial xn n. xn - 1

Seno sen x cos x

Coseno cos x - sen x

Exponencial ax ax In a

Exponencial de base e ex ex

Logarítmica loga x1 In a

x

Algebra de derivadas

Derivada de una suma de funciones

(f + g)' = f' + g'

Derivada de la resta de funciones

(f - g)' = f' - g '

Derivada del producto de funciones

(f . g )' f' . g + g' . f

Derivada del cociente de funciones

f = f ' . g - g ' . f g g2

Derivadas sucesivas

y = 2x3 - 4x + 3y' = 6x2 - 4y'' = 12xy''' = 12 a partir de esta derivada, las sucesivas derivadas valen 0

Derivación en cadena

In sen( x2 - x + 3)=

[In sen( x2 - x + 3)]´=

__1______ . cos ( x2 - x + 3) . ( 2x - 1 ) sen( x2 - x + 3)1ª derivada del logaritmo 2ª derivada del seno 3ª derivada del polinomio ;

Derivar

√ecosx ____________cosex. √senx

f´(x) = ( √ecos x). cos ex . √sen x - √ecos x . ( cos ex . √sen x) _________________________________________ (cos ex .√sen x)2

= 1 / 2 √ecos x . ecos x . cos ex. . √sen x - √ecos x ( cos ex.). √sen x + cos ex. ( √sen x ) ) ___________________________________________________________________________ cos2 ex . ( √sen x)2

- 1 / 2 √ecos x . ecos x sen x . cos ex. √sen x - √ecos x .( - sen ex.ex.√sen x + cos ex . cos x/ 2√senx _______________________________________________________________________________ cos2 ex . sen x

ejercicios de números racionales

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