NÚMEROS REALES

Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, 3, 4, ......., 100, 101, 102, ......

Al conjunto de los números naturales lo designaremos:

Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos números naturales cualesquiera, siempre uno es menor o igual que el otro.

Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:

0 1 2 3 4 5 6 ...

A veces para contar se requieren también números negativos: el saldo de una cuenta podría ser -234 euros, los pulsadores de un ascensor pueden contener botones que marquen -1 ó -2 indicando 1º o 2º sótano, ...

Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, que designaremos por:

Se pueden representar también sobre una recta del siguiente modo:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenación:

● Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenados● Todo entero positivo es mayor que uno negativo● Si un nº natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b

Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales, por ejemplo cuando decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta 2'35 euros. Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.

Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:

Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un número entero, por tanto:

También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:

Aún cuando representásemos todos los números racionales sobre la recta, quedarían puntos de la recta sin cubrir, dicho de manera coloquial “quedarían agujeros”.

-5'9 -10/3 -3/2 ½ 2'2 6'7

Hay números decimales que no son exactos, ni periódicos puros ni periódicos mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:

2 1,414213562 ......Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna periodicidad, no es por tanto un número racional.

Los números con esa expresión decimal son los números irracionales, conjunto que representaremos por:

I●Todas las raíces no exactas son irracionales.●El número p = 3,141592654... es irracional.●Existen otros muchos números irracionales entre los que destaca el número de Oro o número Aúreo: 1 5

2

Ahora si representásemos los irracionales sobre la misma recta que habíamos representado los racionales, ya quedarían cubiertos todos los puntos de la misma. Al conjunto formado por los racionales junto con los irracionales lo llamaremos conjunto de los números Reales y lo denotaremos:

IA cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, cada número real tiene su punto. Por esto diremos que los nºs reales son un conjunto completo.

EL ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS QUE CONOCEMOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA:

50

12 1

125 .....

-3

-14

-6-18

-1 .....

23

1'6

15

12'36 3'25167

I2

1'42356713946...

3 5

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