números racionales y razonamiento

REVISTA EMA 1998, VOL. 3, N 2, 112-132

NMEROS RACIONALES Y RAZONAMIENTO PROPORCIONAL : UNA PROPUESTA CURRICULAR

BASADA EN LOS ESTNDARES DEL NCTM

CRISTINA GMEZ

Las reformas en educacin matemtica propuestas en los ltimos aosrequieren cambios radicales en el papel que profesores y estudiantesasumen en el saln de clase. Estos cambios slo pueden darse si losprofesores tienen un papel activo en la planeacin y desarrollo delcurrculo. Este artculo propone ideas relacionadas con un contenidoespecfico de matemticas a nivel de primaria, nmeros racionales yrazonamiento proporcional, que pretenden promover este papel activode los profesores. Las metas, actividades y recursos que podran serusados en el diseo de un currculo orientado hacia el desarrollo delconocimiento matemtico de los estudiantes se presentan no como unaimposicin para los profesores sino como una gua para que diseen supropio currculo1. Una revisin de la abundante literatura en este temasirve de base para entender la complejidad de los nmeros racionalescomo tpico de enseanza y aprendizaje y al mismo tiempo sirve paraestablecer relaciones entre los resultados de investigacin y la prctica.

INTRODUCCIN

El concepto de currculo presentado en los estndares del Consejo Nacionalde Profesores de Matemticas de los Estados Unidos (National Council ofTeachers of Mathematics, NCTM) incluye metas, conocimiento, activida-des para profesores y estudiantes, evaluacin para esas actividades y recur-sos para lograr los objetivos de un contenido matemtico particular. Elcurrculo se define como un plan operacional para la enseanza en el cualse detalla qu matemticas necesitan saber los estudiantes, cmo van ellosa lograr las metas curriculares establecidas, qu va a hacer el profesor paraayudar a los estudiantes a desarrollar su conocimiento matemtico y cul esel contexto en que se desarrolla el proceso de enseanza-aprendizaje.(NCTM, 1989, p. 1)

1. A quienes quieran disear y poner a prueba en su saln de clase, actividades de enseanzasimilares a las que se presentan en este artculo, se les invita a comunicarse, a travs del correoelectrnico, con la autora del mismo quien est dispuesta a colaborarles en el proceso dediseo.

NMEROS RACIONALES Y RAZONAMIENTO PROPORCIONAL: UNA PROPUESTA... 113

Esta definicin de currculo se basa en una visin en la que saber ma-temticas significa hacer matemticas en la misma forma en que lo haceun matemtico. Un matemtico explora los conceptos y sus relaciones parahacer conjeturas que luego demuestra y expone a la consideracin pblicapara crear conocimiento socialmente aceptado (Ernest, 1991). La meta de laeducacin matemtica est en lograr que los estudiantes valoren las mate-mticas y se sientan seguros de sus capacidades para hacer matemticas, queaprendan cmo comunicarse matemticamente, que se conviertan en resolu-tores de problemas y que aprendan a razonar matemticamente. Para lograresto, los profesores tienen que ofrecer a los estudiantes diversas experien-cias relacionadas con aspectos sociales, culturales, cientficos e histricosdonde aqullos puedan usar su conocimiento para resolver problemas, co-municar sus resultados y participar en acciones sociales (NCTM, 1989).

Un currculo de matemticas acorde con esta visin tiene que considerarlas ideas, los intereses y las experiencias de los estudiantes segn sus condi-ciones econmicas y sociales para que ellos puedan criticar la sociedad enque viven y buscar cambios con base en un anlisis reflexivo. El conoci-miento matemtico tiene que situarse en el contexto apropiado para que searelevante a los estudiantes. El propsito de la educacin matemtica est,entonces, en preparar ciudadanos comprometidos en la accin social indivi-dual y colectiva.

Con base en esta visin de lo que significa saber matemticas y de lo queincluye el currculo, este artculo presenta las metas, el conocimiento, el tra-bajo para estudiantes y profesores y la tecnologa que se deberan incluir enun currculo basado en los estndares del NCTM para grados 5-8 centradoen nmeros racionales y razonamiento proporcional. A travs del artculo semuestran ejemplos concretos de actividades y soluciones de los estudiantesque ilustran los cambios propuestos en la enseanza y el aprendizaje de estetema. En la ltima parte se presenta una descripcin de la investigacin de-sarrollada en los ltimos aos sobre nmeros racionales y algunas ideas so-bre actividades necesarias en la formacin de profesores que quieran usareste currculo.

METAS

Una de las principales reas del contenido de matemticas en grados 5-8corresponde a nmeros y relaciones entre nmeros. El paso de nmerosnaturales a enteros y de stos a nmeros racionales da la oportunidad deconsiderar nuevas operaciones, nuevas personalidades o interpretaciones delos nmeros y nuevas relaciones entre esos nmeros. Tambin crea la base

114 CRISTINA GMEZ

para conceptos matemticos ms avanzados como los nmeros reales ypara contenidos ms avanzados como el lgebra.

Los estndares del NCTM (1989) consideran los nmeros y las relacio-nes entre nmeros como uno de los trece estndares del currculo de mate-mticas para grados 5-8. Este currculo debera incluir el desarrolloprogresivo de los nmeros y de las relaciones entre nmeros de modo quelos estudiantes puedan comprender, representar y utilizar los nmeros enuna variedad de formas equivalentes (enteros, fracciones, decimales, por-centajes, exponentes, y notacin cientfica) tanto en situaciones reales comoen situaciones matemticas; desarrollar el sentido numrico para nmerosnaturales, fracciones, decimales, enteros y racionales; comprender y utilizarrazones, proporciones y porcentajes en una variedad amplia de situaciones;investigar relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes; y represen-tar relaciones numricas en diagramas de una y dos dimensiones.

La meta de un currculo enfocado en nmeros racionales y razonamientoproporcional debera ser brindar a los estudiantes oportunidades para desa-rrollar sentido numrico de nmero racional y para construir significado ma-temtico del razonamiento proporcional. Antes de seguir es necesario hacerexplcito qu significan sentido numrico y razonamiento proporcional.

El concepto de sentido numrico ha sido definido por Fey (1990) comola competencia del estudiante para usar aspectos informales del razonamien-to cuantitativo al planear operaciones correctas y al interpretar sus resulta-dos inteligentemente. Esta competencia requiere una comprensin bienfundada del significado de las operaciones (p. 79). Dadas las diferentes per-sonalidades que tienen los nmeros racionales, esta es una verdadera opor-tunidad para tener significados variados, para explorar diversas relacionesnumricas y para ampliar los conceptos de magnitud de un nmero y de lasoperaciones. Los estndares del NCTM (1989) proponen un conjunto de ac-tividades que los estudiantes deberan realizar para lograr el sentido num-rico. Esas actividades incluyen desarrollar el significado de nmero,explorar relaciones numricas usando materiales concretos, comprender lamagnitud relativa de nmeros, desarrollar la intuicin sobre el efecto relati-vo de operaciones con nmeros y crear referentes para medidas de objetos ysituaciones comunes al ambiente del estudiante (p. 39).

El significado matemtico de proporcin ha sido definido por Piaget eInhelder (1974) como una relacin de segundo orden que involucra unaequivalencia entre otras dos relaciones. Esta definicin describe qu es unaproporcin en trminos matemticos pero no ayuda a comprender cmo seconstruye el concepto. Lesh, Post y Behr (1988) definen razonamiento pro-porcional como un tipo de razonamiento matemtico que involucra sentidode co-variacin2 y de mltiples comparaciones, y la capacidad de almacenar


mentalmente y procesar varios fragmentos de informacin (p. 93). Ellos ase-guran que la principal caracterstica del razonamiento proporcional es el re-conocimiento de similitud estructural e invarianza3 en un sistemamatemtico simple. La capacidad de comparar dos relaciones y generar exi-tosamente elementos desconocidos en una situacin determinada, define elnivel de desarrollo del razonamiento proporcional.

Esas dos definiciones sentido numrico y razonamiento proporcio-nal dan alguna informacin sobre el tipo de conocimiento que se requierepara lograr las metas propuestas. En la siguiente seccin se presenta un an-lisis del conocimiento necesario para desarrollar sentido numrico de nme-ros racionales y para construir significado matemtico del razonamientoproporcional.

CONOCIMIENTO Y TIPOS DE ACTIVIDADESQUE LO PONEN EN JUEGO

Si bien hay una fuerte relacin entre los nmeros racionales y el razona-miento proporcional, es til hacer una distincin entre lograr el sentidonumrico para fracciones y desarrollar el razonamiento proporcional. Elconcepto de fraccin es un puente obvio entre nmeros naturales y nme-ros racionales y debera ser usado como punto de partida en este currculo.El concepto de razn se construye con base en cierta comprensin sobrefracciones y debera ser usado luego para desarrollar razonamiento propor-cional. La separacin entre fracciones y razonamiento proporcional sirvepara hacer una clara presentacin de las diferentes actividades que cadaconcepto requiere. Esta distincin no significa que se descarten las activi-dades relacionadas con el razonamiento proporcional hasta lograr ciertosentido de fraccin. De hecho, muchas actividades relacionadas con frac-ciones se podran usar para fomentar el razonamiento pre-proporcional.

Este currculo se enfoca en desarrollar significado matemtico para losnmeros racionales y para el razonamiento proporcional, en contraste conel currculo tradicional en el que predominan las reglas de cmputo y losclculos memorsticos. Kaput y West (1994) sealaron que la causa msimportante del fracaso e inutilidad de las matemticas escolares es la insis-tencia en el uso de herramientas computacionales que los estudiantes

2. Co-variacin se refiere al cambio simultneo en dos variables que existe por alguna relacinconstante. Esta relacin entre las variables puede ser expresada con un funcin lineal en elcaso de las proporciones.3. Invarianza se refiere a la constancia de cierta relacin entre dos variables. Por ejemplo, si 2libros cuestan $600, entonces 6 libros de los mismos cuestan $1.800. La relacin constante es1: 300.

116 CRISTINA GMEZ

aprenden a usar de memoria sin ninguna comprensin de sus bases cuanti-tativas. Esta consideracin est en la base del nuevo enfoque del currculo.

Una respuesta al llamado del NCTM para un cambio en la naturaleza dela enseanza de las matemticas se encuentra en el trabajo de Streefland(1993). El presenta para la enseanza del concepto de fraccin un enfoquebasado en la utilizacin de situaciones reales. Actividades como repartir, or-ganizar, comparar y compensar dan al estudiante la oportunidad de construirsignificado para fracciones y operaciones con fracciones y razones. Se utili-zan diferentes representaciones para dar a los estudiantes la oportunidad deexplorar y distinguir el significado de cada concepto. Idealmente, estas re-presentaciones van desde objetos fsicos (materiales concretos) hasta repre-sentaciones formales, pasando por representaciones grficas y simblicas4.El uso de diferentes representaciones da a los estudiantes la oportunidad detener diversos referentes, algunos de ellos concretos, cuando estn desarro-llando el significado matemtico de diferentes conceptos. En el Ejemplo N1, el uso de representaciones grficas ofrece a los estudiantes referentescuando estn empezando a desarrollar representaciones simblicas o forma-les.

Desarrollar razonamiento proporcional es una situacin ms compleja.Durante los ltimos diez aos diferentes autores han considerado alternati-vas para analizar el proceso de desarrollo de este tipo de razonamiento (Ka-put y West, 1994; Lamon, 1994; Vergnaud, 1994; Thompson, 1994; Harel etal., 1994; Kieren, 1993; Lo y Watanabe, 1997; Lesh, Post y Behr, 1988; Kar-plus, Pulos y Stage, 1983). Las actividades, los problemas con enunciadosverbales y las situaciones que involucran valores desconocidos, comparacio-nes y transformaciones parecen ser los ms apropiados para evocar y desa-rrollar razonamiento proporcional (ver Ejemplo N 2).

Estos anlisis sugieren importantes caractersticas de los problemas quedeben ser consideradas. Parece que la relacin entre los nmeros involucra-dos, las unidades utilizadas, el tamao de los nmeros involucrados y el con-texto del problema son factores relevantes en la decisin del estudiante sobrequ estrategia usa para resolver problemas de razonamiento proporcional.

4. Las representaciones formales se refieren a las representaciones aceptadas como correctaspor los matemticos; por ejemplo, la representacin de una fraccin como a/b. Pero los estu-diantes pueden desarrollar otro tipo de representaciones en el proceso de construccin de supropio conocimiento. En el Ejemplo N 1, la forma como cada estudiante o el grupo de estu-diantes decide representar la reparticin en cada mesa es una representacin pero no es for-mal. Con frecuencia, estas representaciones generadas por los estudiantes son mssignificativas para ellos que las formales. Estas representaciones pueden ser o no simblicas.


Situacin de repartirRepartir, de manera equitativa, 3 pizzas entre 4 nios.

Posibles respuestas

1) Cada pizza se reparte entre los 4 nios.

Cada nio recibe de cada pizza, o sea, 3 veces , o, .

2) Primero se reparten 2 pizzas y luego la otra.

Cada nio recibe de pizza y luego ms, o sea, , o, .

3) Las 3 pizzas se reparten al mismo tiempo

2 nios reciben, cada uno, y los otros reciben, cada uno, .

Situacin de organizarUn restaurante puede organizar las mesas de modo que cumpla los deseos de un grupo de niosque van a compartir pizzas de modo equitativo. Si hay 18 pizzas y 24 nios, cmo se puedenorganizar las mesas?

Posibles respuestas

Situacin de compararEn la panadera La Excelencia se requiere de 5, 6, 10 15 minutos para hornear 4 clases dife-rentes de panes. Despus de una hora, Eduardo, el panadero, ha hecho 5 panes, no todos delmismo tiempo de coccin. De cules panes pudo haber hecho y cuntos de cada clase?

Posibles respuestasEn este caso es importante usar la relacin entre los tiempos de coccin y las fracciones de

hora. Por ejemplo, 6 minutos equivalen a de hora.

1) 2 de 15 minutos y 3 de 10 minutos:

2) 3 de 15 minutos, 1 de 5 minutos y 1 de 10 minutos:

Ejemplo N 1. Situaciones de repartir, organizar y comparar

14--- 1

4--- 3

4---

12---

14---

12---

14---+

34---

1 14--- 1

2--- 1

4---+

1) 2 mesas, cada una, con 9 pizzas y 12 nios

110------

14--- 1

4--- 1

6--- 1

6--- 1

6---+ + + + 1.=

14--- 1

4--- 1

4--- 1

12------ 1

6---+ + + + 1.=

182412

1668

2) 2 mesas, una con 12 pizzas y 16 nios y la otra con 6 pizzas y 8 nios

24912

912

18

RISTINA GMEZ

La relacin entre nmeros Una situacin de razonamiento proporcional simple involucra dos razones,cada una formada por dos nmeros naturales. Con los cuatro nmeros invo-lucrados, es posible tener una de cuatro situaciones: cada razn es unnmero natural y las dos razones son iguales; una razn es un nmero natu-ral, la otra no lo es y las dos razones son diferentes; ninguna de las dosrazones es un nmero natural pero son iguales; y ninguna de las dos razo-nes es un nmero natural y son diferentes (ver Ejemplo N 3). Karplus,Pulos y Stage (1983) sugieren que el desarrollo del razonamiento propor-cional de los estudiantes podra considerarse progresivo a lo largo de unaescala de dos dimensiones. Una dimensin est determinada por las rela-ciones entre nmeros involucrados, y la otra, que se explicar ms adelante,se refiere a las unidades usadas en el problema.

Segn estos estudios, los problemas que involucran nmeros naturales pe-queos y en los que cada razn es un nmero natural y adems las dos razo-nes son iguales, facilitan el uso de estrategias correspondientes a nivelesbsicos de razonamiento proporcional por parte de los estudiantes. En cam-

El acertijo de la limonada

Juan hace limonada usando 3 cucharadas de azcar y 12 cucharadas de jugo de limn. Mara hace limonada usando 5 cucharadas de azcar y 20 cucharadas de jugo de limn. Tienen estas dos limonadas el mismo sabor?

Ejemplo N 2. Situacin apropiada para evocar razonamiento proporcional

Variaciones del acertijo de la limonada

Juan MaraAzcar Limn Azcar Limn Razones

cada razn es un nmero natural

las dos razones son iguales

3 3 5 5

una razn es un nmero natural, la segunda no es nmero natural

las dos razones son diferentes 3 6 9 15

ninguna de las dos razones es un nmero natural

las dos razonesson iguales

3 7 6 14

ninguna de las dos razones es un nmero natural

las dos razones son diferentes

3 5 7 11

Ejemplo N 3. Relaciones entre nmeros

33--- 5

5---=

63--- 15

9------

73--- 14

6------=

53--- 11

7------


bio, las actividades en las que los nmeros son grandes, ninguna de las dosrazones es un nmero natural y las razones son diferentes, generan ms di-ficultades en el proceso de solucin y requieren un mayor desarrollo de ra-zonamiento proporcional para resolverlas exitosamente. Este currculodebera incluir situaciones apropiadas que consideren esta dimensin. Estodara oportunidad para determinar diferentes niveles de razonamiento pro-porcional o lograr progreso a niveles superiores.

Las unidades Una proporcin simple involucra una comparacin multiplicativa entrecantidades de dos espacios de medida diferentes. Un espacio de medidapuede considerarse como una estructura con cuatro elementos bsicos: untipo de objetos, una cualidad de estos objetos, una unidad y un proceso paraasignar un valor numrico a esa cualidad (Lesh, Post y Behr, 1988).Cuando se usan cantidades de dos espacios de medida diferentes se puedehacer una comparacin dentro de cada espacio de medida o entre los dosespacios de medida (ver Ejemplo N 4). Esta es la segunda dimensin suge-rida por Karplus, Pulos y Stage (1983). Parece que el nivel de desarrollo enel razonamiento proporcional de los estudiantes depende de igual manerade la relacin entre los nmeros y del tipo de comparacin que se haga.

El tamao de los nmerosInicialmente las situaciones deberan involucrar nmeros naturales peque-os que faciliten el uso de representaciones fsicas y el desarrollo de clcu-los simples. De hecho, muchos estudios usan nmeros pequeos quecombinados con la relacin entre nmeros aumentan la dificultad en el usode razonamiento proporcional para resolver problemas. Thompson (1994)

Para solucionar el acertijo de la limonada se pueden hacer comparaciones entre las recetas (la cantidad de azcar y limn en la receta de Juan comparada con la cantidad de azcar y limn en la receta de Mara) o se pueden hacer comparaciones dentro de cada receta (la cantidad de azcar contra la cantidad de limn en cada receta).

En este caso hay dos espacios de medida. Uno est determinado por la cantidad de cucharadas de limn en la receta y el otro por la cantidad de cucharadas de azcar. Usando los esquemas de Vergnaud, el acertijo puede representarse as:

Azcar

(cucharadas)

Limn

(cucharadas)

Juan 3 12

Mara 5 20

Ejemplo N 4. Espacios de medida

120 CRISTINA GMEZ

usa exitosamente nmeros grandes y los clculos complicados centrandola atencin en el desarrollo de conceptos. Como el autor dice:

[...] no es que la notacin y el clculo numrico no tengan importan-cia. Ms bien, es slo que hay momentos y lugares para prestar aten-cin a aspectos relacionados con notacin y clculo numrico, peroesos momentos y lugares no deberan interferir con el desarrollo deconceptos fundamentales. (p. 228)

Los problemas con nmeros complicados dan oportunidad para usar, conrelativa confianza, calculadoras y para manipular diferentes representacio-nes numricas.

El contexto Uno de los supuestos bsicos de esta propuesta es el uso de situaciones rea-les en las que puedan desarrollarse conceptos significativos. Esta es laoportunidad de poner en contexto procesos y conceptos matemticos yreconocer las dificultades que los estudiantes tienen en el proceso de mate-matizacin horizontal5. En situaciones que involucran razonamiento pro-porcional, el uso explcito de expresiones como para cada o por cada,el tipo de cantidades involucradas, el uso de cantidades discretas o conti-nuas y el uso de problemas geomtricos de semejanza han sido identifica-dos como puntos crticos (Kaput y West, 1994). Cada una de estascaractersticas semnticas hace ms difcil el uso de razonamiento propor-cional.

EL TRABAJO PARA ESTUDIANTES Y PROFESORES

En este currculo todas las actividades deberan estar enfocadas en el apren-dizaje del estudiante. Los estudiantes son los participantes activos en elproceso enseanza-aprendizaje y los profesores tienen que brindar oportu-nidades para enunciar, poner a prueba y validar conjeturas que ayuden aextender la estructura matemtica de los estudiantes (Romberg, 1992). Losprofesores tienen que disear situaciones en las que los estudiantes puedanexplorar e investigar problemas, que promuevan comunicacin escrita yverbal en trminos matemticos, y que consideren los intereses de los estu-

5. Streefland (1993) hace una distincin entre matematizacin horizontal y vertical. La mate-matizacin horizontal se caracteriza por la transformacin de problemas reales a trminosmatemticos y viceversa, mientras que la matematizacin vertical se caracteriza por el pro-greso sucesivo dentro del sistema matemtico a travs de la estructuracin y ordenamiento deconocimientos matemticos en forma cada vez ms eficiente. (p. 299)


diantes y su conocimiento informal. Romberg (1992) afirma que el trabajode los profesores est en apoyar, promover, fomentar y facilitar la creacinde conocimiento por parte de los estudiantes; crear un ambiente de aprendi-zaje colaborativo; guiar, escuchar, discutir, incitar, cuestionar y aclarar eltrabajo de los estudiantes; y organizar actividades interesantes y apropiadasa las necesidades de los estudiantes (p. 775). Para lograr estos objetivos, losprofesores necesitan cierto conocimiento sobre las diferentes personalida-des que tienen los nmeros racionales y sobre las diferentes estrategias queusan los estudiantes para resolver problemas de razonamiento proporcio-nal.

ConstructosAutores como Kieren (1976, 1993), Behr, Lesh, Post y Silver (1983), Freu-denthal (1983) y Ohlsson (1988) han presentado varias categorizacionespara las diferentes interpretaciones llamadas subconstructos o personali-dades de los nmeros racionales. En general, cinco situaciones podranresumir estas caracterizaciones. Estas son: parte-todo, cociente, medida,operador y razn (Marshall, 1993). El Ejemplo N 5 presenta situacionescorrespondientes a cada constructo.

En una situacin parte-todo se requiere partir una cantidad en subpartes osubconjuntos de igual tamao. En este caso la cardinalidad del conjunto to-tal est dada en trminos de las cardinalidades de los subconjuntos que lo

Parte-todoSe tienen 4 bolas: 3 rojas y 1 amarilla. Qu parte o fraccin de las bolas son rojas?

CocienteLa seora Lpez tiene 3 libras de pescado para el almuerzo de su esposo, el de sus 5 hijosy el suyo propio. Cunto pescado le corresponde a cada persona si todos comen igualcantidad?

MedidaEn el siguiente grfico, qu tan lejos est X de 0?

0__.__.__X__.__.__.__.__1

RaznEn su receta Susana agrega 1 taza de azcar por cada 3 tazas de agua. Qu cantidad deazcar debe agregar para 6 tazas de agua?

OperadorCmo se puede transformar una figura geomtrica en una nueva que tenga un tamao

de la original?

Ejemplo N 5. Subconstructos de nmeros racionales

34---

122 CRISTINA GMEZ

componen. Este constructo es considerado fundamental para el desarrollo deotras interpretaciones de nmeros racionales. Buena parte del reconoci-miento de estas situaciones se realiza por representaciones visuales del pro-blema.

En una situacin de cociente el nmero racional representa que a sedistribuye o reparte en b partes. En este caso el todo puede ser consideradocomo una unidad que debe ser repartida, a diferencia de las situaciones par-te-todo en las que el todo es la reunin de las partes que describe el proble-ma. Otra diferencia con la situacin parte-todo es que a y b representan eneste caso dos tipos diferentes de objetos.

En una situacin de medida el nmero racional se usa repetidamen-te para determinar una distancia. Esta medida se utiliza luego para hacercomparaciones entre diferentes elementos del problema. En una situacin derazn dos cantidades se relacionan entre ellas. Algunos autores considerandiferentes tipos de razones de acuerdo con las medidas utilizadas en el pro-blema (Ohlsson, 1988; Vergnaud, 1983). Por ejemplo, si el tiempo es una delas unidades de medida, las razones pueden ser consideradas como ratas decambio.

Finalmente, en una situacin de operador representa un valor queva a ser operado sobre otro para obtener un segundo valor. Las situacionesque corresponden a este constructo describen una funcin continua, uno auno, que preserva la razn entre dos cantidades que describen una caracte-rstica especfica de dos elementos (por ejemplo la medida de dos longitu-des) o entre dos cantidades que representan dos caractersticas de unelemento (por ejemplo el largo y el ancho). A diferencia de las otras situa-ciones, en este caso debe ser considerado como una entidad, no comoun par ordenado de nmeros, que ampla o reduce proporcionalmente el ob-jeto original.

EstrategiasOtro grupo de autores ha estado interesado en analizar las diferentes estra-tegias que usan los estudiantes para resolver problemas de razonamientoproporcional (Lamon, 1993a, 1996; Lesh, Post y Behr, 1988; Kaput y West,1994; Lo y Watanabe, 1997; Vergnaud, 1994). Esas estrategias van desdeestrategias aditivas incorrectas, a constructivas coordinadas y abreviadas, eluso de la unidad como factor y hasta el uso de ecuaciones formales (verEjemplo N 6).

Lamon (1993b) describe seis tipos de estrategias usadas por estudiantespara resolver problemas de razonamiento proporcional. En el primer nivel elestudiante no tiene una interaccin seria con el problema; en el segundo ni-vel el estudiante o bien da respuestas sin justificacin, o usa ensayo y error,

a b

1 b

a b

a b


Problema 1Un restaurante arregla las mesas poniendo 7 cubiertos y 4 platos en cada una. Si anoche se usa-ron 35 cubiertos para arreglar las mesas, cuntos platos se usaron?El esquema correspondiente a esta situacin sera:

Aditiva incorrectaUna estrategia muy usada por nios al resolver este tipo de problemas consiste en comparar lasdiferencias absolutas entre las cantidades de cubiertos, por ejemplo, y compensar esa diferen-cia sumndola a la cantidad inicial de platos, as:

Constructiva coordinadaEn este caso el estudiante toma la relacin inicial para ir construyendo nuevas relaciones quese acerquen a la cantidad deseada, as:

Problema 2Un restaurante arregla las mesas poniendo 7 cubiertos y 4 platos en cada una. Si anoche se usa-ron 392 cubiertos para arreglar las mesas, cuntos platos se usaron?

Constructiva abreviadaLa abreviacin de sumas repetidas en multiplicaciones permite el uso de una estrategia cons-tructiva abreviada. En este caso el estudiante divide 392 entre 7 para saber cuntas mesas searreglaron, obteniendo 56 mesas. Como se usan 4 platos por cada mesa, multiplicando 56 por 4obtiene el nmero total de platos. El esquema sera:

Problema 3Para hacer una vinagreta se necesitan 4 partes de vinagre por 9 partes de aceite. Cunto vina-gre se necesita para 828 onzas de aceite?

Unidad como factorEn este caso el estudiante trata de encontrar la cantidad correspondiente a 1 unidad, por ejem-plo, a 1 onza de aceite, y la usa como referente para obtener la cantidad de vinagre necesariapara 828 onzas, as:

Ejemplo N 6. Estrategias usadas en razonamiento proporcional

Cubiertos Platos7 4

35 ?

Cubiertos Platos

7 435 32

+28+28

Cubiertos Platos7 4

35 20

14 8

21 12

28 16

Cubiertos Platos7 4

392 224x56x56

124 CRISTINA GMEZ

o usa estrategias aditivas incorrectas; en el tercer nivel el estudiante describeoralmente o escribe patrones entre los nmeros pero no muestra ningunacomprensin sobre las relacin numricas. Los tres niveles restantes repre-sentan niveles ms avanzados de comprensin. El cuarto nivel correspondea razonamiento preproporcional en el cual el estudiante hace dibujos,diagramas, o usa materiales concretos para dar sentido a la situacin aunquede manera puramente intuitiva. En el quinto nivel el estudiante muestra nivelde razonamiento proporcional cualitativo, es decir, usa las razones comounidades, entiende las relaciones entre los nmeros y demuestra cierta com-prensin sobre la relatividad de la situacin. En el sexto nivel, el estudianteusa smbolos algebraicos para representar proporciones y demuestra com-prensin de relaciones escalares o funcionales entre los nmeros. En estecaso el estudiante ha desarrollado razonamiento proporcional cuantitativo.

La investigacin en esta rea muestra que el uso de diferentes estrategiasdepende no solamente del nivel de comprensin de los estudiante en el ra-zonamiento proporcional sino tambin de las caractersticas mencionadasantes como el contexto del problema, el tamao de los nmeros involucra-dos, la relacin entre esos nmeros y las unidades usadas.

TECNOLOGA

Tecnologa se refiere aqu a los recursos que profesores y estudiantes debe-ran usar en las actividades en el aula, a la manera en que esos recursos seusan y a las estrategias de evaluacin durante el proceso de aprendizaje.

Los recursos El uso de materiales concretos y objetos fsicos en actividades como repar-tir y comparar para dar a los estudiantes una representacin concreta ha

Ecuaciones formalesEn este caso el estudiante usa una ecuacin que relacione las cantidades dadas, estableciendo la comparacin entre las razones. En el problema anterior sera:

Ejemplo N 6. Estrategias usadas en razonamiento proporcional

Vinagre Aceite

4 9

368 828

0.44 1x828

+9

9 aceite828aceite----------------------- 4vinagre

x vinagre---------------------=


sido estudiado por Streefland (1993). En el mismo sentido Kaput y West(1994) sugieren que es necesario usar los tipos de representaciones concre-tas que apoyen y extiendan los modelos constructivos de razonamiento pro-porcional que los estudiantes usan de modo natural como extensin deactividades de conteo, conteo saltado y agrupacin (p. 283). La oportuni-dad de tener imgenes visuales antes que otros sistemas de representacinda a los estudiantes referentes concretos para la construccin de significa-dos matemticos de conceptos como fracciones y proporciones. Adems, eluso de representaciones simblicas, como un paso intermedio entre larepresentacin concreta y la representacin formal, apoya el proceso deconstruccin de ideas matemticas significativas. En particular, representa-ciones como los arreglos usados por Streefland para fracciones o los esque-mas para los espacios de medida usados por Vergnaud son buenos ejemplosde herramientas de representacin que pueden ayudar a los estudiantes aresolver y explicar sus procesos de solucin y a la vez pueden ser usadospor profesores para evaluar la comprensin de los estudiantes.

EvaluacinLa evaluacin tradicional enfocada en herramientas computacionales y lamemorizacin de algoritmos tiene que cambiarse para una centrada en lacomprensin de los estudiantes. El enfoque basado en esquemas que pre-senta Marshall (1993) podra ser un camino inicial para que los profesoresdiseen e interpreten actividades adecuadas que provean informacin sobrela compresin matemtica de los estudiantes acerca de proporciones ynmeros racionales. Segn Marshall un esquema est caracterizado por unared de cuatro tipos de conocimiento sobre una situacin (p. 267). Esos cua-tro tipos de conocimiento son el conocimiento de las caractersticas quetiene que ver con los detalles sobre la situacin; el conocimiento de laslimitaciones constituido por el conjunto de condiciones que deben cum-plirse para que el esquema pueda ser usado en esa situacin; el conoci-miento de planeacin que se refiere a cmo se deben ordenar los elementosdel esquema y cmo definir las metas necesarias para resolver el problema;y el conocimiento de ejecucin que incluye los algoritmos y las reglas usa-das para efectuar clculos (ver Ejemplo N 7).

El proceso de evaluacin se desarrolla entonces en dos pasos. El primerpaso consiste en identificar el esquema que se aplica a la situacin particulary en el segundo paso se determinan los cuatro tipos de conocimiento men-cionados antes. Marshall considera los cinco esquemas parte-todo, co-ciente, medida, razn y operador mencionados antes comoparticularmente importantes en nmeros racionales. Estas situaciones repre-sentan las ideas bsicas relacionadas con nmeros racionales y razonamien-

126 CRISTINA GMEZ

to proporcional. La idea de evaluacin basada en esquemas podra ser usadatambin para evaluar el conocimiento previo de estudiantes, el desarrollo dela comprensin y el proceso de solucin de problemas.

INVESTIGACIN DE APOYO AL CURRCULO

Los nmeros racionales y el razonamiento proporcional han sido objeto deconsiderable investigacin en aos recientes. El currculo antes descritoconsidera, de diferentes maneras, muchos de los resultados de tal investiga-cin. Algunos resultados se usan para definir las actividades que se debe-ran realizar en el aula, en tanto que, otros dan informacin sobre lo que losprofesores necesitan saber para poder ayudar a los estudiantes en el procesode construccin de significados matemticos. Esta investigacin puede ser

Situacin

Sombrear del rectngulo que se muestra aqu:

Primer paso

Identificar el esquema. Esta es una situacin parte-todo en la que la unidad, el rectngulo, vaa ser dividido en 2 partes iguales.

Segundo paso

CaractersticasUna de las caractersticas ms importantes en las situaciones parte-todo es la visual. En estecaso hay dos formas de representacin que tienen un significado visual para el estudiante. El

smbolo y la regin misma que se va a partir.

LimitacionesUna de las limitaciones de este tipo de esquema tiene que ver con lo que el estudiante consi-dera como el todo y cmo va a partir esa regin. La segunda limitacin se refiere a laspartes, cmo se define igualdad de las partes en una figura, cmo se relaciona igualdad conrea, etc.

PlaneacinEn este caso se requiere poca planeacin para desarrollar la tarea. Hay dos pasos: partir lafigura y sombrear la regin adecuada. Basado en el conocimiento de las caractersticas y laslimitaciones, el estudiante slo tiene tres alternativas: sombrear una parte, sombrear las dos,o no sombrear nada.

EjecucinEs el conocimiento en el que la evaluacin tradicional estara enfocada. En este caso, la res-puesta al problema.

Ejemplo N 7. Evaluacin basada en esquemas

12---

12---


categorizada desde diferentes perspectivas. En los siguientes prrafos sedescriben algunas de esas perspectivas.

Para tratar de comprender qu es un nmero racional se han utilizado dosperspectivas, la matemtica (Ohlsson, 1988) y la psicolgica o de desarrollo(Kieren, 1976). Otros grupos de investigadores se han interesado en estudiarcmo los estudiantes comprenden los diferente subconstructos de nmerosracionales. Un grupo se ha interesado en el anlisis semntico del conceptode nmero racional (Behr, Lesh, Post y Silver, 1983) mientras otros se hanenfocado en la comprensin de los nios cuando estn resolviendo proble-mas de razonamiento proporcional (Lamon, 1994). Otro grupo ha trabajadoen clasificacin de problemas. Por ejemplo Vergnaud (1983, 1994) usa elanlisis del campo conceptual multiplicativo mientras que Lamon (1993a)usa el anlisis de las estrategias usadas por los estudiantes para clasificarproblemas que requieren diferentes niveles de razonamiento proporcional.

Karplus, Pulos y Stage (1983) estudian las diferentes etapas en el razo-namiento proporcional a travs de la solucin a un problema con un contextodefinido el acertijo de la limonada donde la relacin entre los nmerosinvolucrados es variable. Lamon (1994) examina cmo el uso de procesoscomo unificar6 y normalizar7 determinan diferentes etapas en el razona-miento proporcional de los estudiantes.

Otras posibles clasificaciones de la investigacin en esta rea consideransi los investigadores toman una perspectiva matemtica o realista en el pro-ceso pedaggico. Los resultados desde el punto de vista matemtico hanmostrado la complejidad de este tema (Behr, Lesh, Post y Silver, 1983). Laperspectiva realista ha mostrado una alternativa para ensear y aprenderfracciones con verdadera comprensin (Streefland, 1993).

RELACIN ENTRE LA INVESTIGACINY LOS ESTNDARES

El inters en la investigacin relacionada con nmeros racionales y razona-miento proporcional comenz antes de la publicacin de los estndares delNCTM. Si bien esos trabajos no consideran los cambios en el contenido delas matemticas escolares y en la naturaleza de la enseanza de las mate-mticas promovida por los estndares, sus resultados han contribuido acomprender la complejidad de la estructura matemtica subyacente al razo-namiento multiplicativo. Esos estudios incluyen, entre otros, el anlisis de

6. Unificar es la habilidad de construir una unidad de referencia y luego interpretar la situacindada en trminos de esa unidad.7. Normalizar es la reconceptualizacin de un sistema en relacin a una unidad fija.

128 CRISTINA GMEZ

contenido desde la perspectiva matemtica (Ohlsson, 1988), diferentes eta-pas de razonamiento proporcional (Karplus, Pulos y Stage, 1983), clasifica-cin de problemas (Vergnaud, 1983) y anlisis semntico de conceptos denmero racional (Behr, Lesh, Post y Silver, 1983).

Despus de la publicacin de los estndares del NCTM, algunos de estostrabajos han continuado cambiando su inters a fin de incluir la comprensindel razonamiento de los estudiantes en situaciones proporcionales (Behr,Harel, Post y Lesh, 1993) o para comprender la interpretacin que los pro-fesores dan a algunos subconstructos (Behr, Khoury, Harel, Post y Lesh,1997).

Ha surgido a la vez nueva investigacin que sigue la propuesta delNCTM. Una parte de la investigacin ha estado enfocada en el conocimientoinformal de los nios con el fin de comprender cmo se puede utilizar elpensamiento de los nios para disear nuevas actividades de aprendizaje(Lamon, 1993a). Otros autores que tratan de dar informacin til para el di-seo de nuevas maneras de instruccin de este contenido, han estudiado t-picos tales como maneras alternativas de evaluacin (Marshall, 1993),procesos de solucin de problemas de los estudiantes (Lamon, 1993b) y di-ferentes sistemas de representacin (Streefland, 1993).

A pesar del gran inters en investigacin en este tema, todava hay as-pectos que necesitan ms atencin. Los estndares del NCTM promuevencambios en el contenido de las matemticas escolares, en la naturaleza de laenseanza de las matemticas y en la visin de la naturaleza de las matem-ticas. En lo que se refiere al contenido de nmeros racionales y razonamien-to proporcional es entonces necesario estudiar maneras alternativas deorganizar este contenido de modo coherente con otros contenidos de las ma-temticas escolares. La idea de usar campos conceptuales como una estruc-tura para organizar contenidos matemticos es una opcin que debe serexplorada. Por otra parte se requiere estudiar ms el uso de situaciones pro-blemticas adecuadas con base en un enfoque realista usando diseos longi-tudinales de investigacin. Tambin merece ms atencin la pregunta sobrecmo integrar las matemticas con otras reas de contenido y con la situa-cin social relacionada con el contexto cultural y social de los estudiantes.

Los temas que se mencionaron antes estn asociados con cambios en lavisin de la naturaleza de las matemticas. No obstante, tambin se debenconsiderar el conocimiento, las actitudes y las creencias de los diferentes ac-tores profesores, padres de familia, administradores, legisladores e inves-tigadores involucrados en el proceso de cambio. Es necesario realizarestudios que se ocupen de interpretar esas concepciones y disear activida-des para transformar la visin de los actores.


DESARROLLO PROFESIONAL

La preparacin de profesores que puedan ensear un currculo como el pro-puesto aqu requiere de un cambio radical en el concepto de enseanza. Elconcepto tradicional que se tiene del profesor de matemticas como unreportero que de manera objetiva presenta a los estudiantes la verdad, tieneque cambiarse por uno en el que la actividad del profesor sea contribuir a laconstruccin de conocimiento con base en redes estructurales alrededor deideas poderosas. En esta propuesta las ideas de fraccin y razonamientoproporcional son el centro alrededor del cual todas las situaciones se desa-rrollan. Las nuevas situaciones generadas por el profesor tienen que inte-grar el conocimiento anterior de los estudiantes en una interaccin socialque permita la construccin de nuevo conocimiento tomando como baseesta ideas bsicas.

Los resultados presentados por Sprinthall, Reiman y Theis-Sprinthall(1996) en relacin con el desarrollo profesional de los profesores determi-nan puntos importantes que se deben considerar en cualquier programa deactualizacin de profesores. Tales resultados informan acerca del fracaso decualquier modelo prescriptivo impuesto desde arriba, de la estabilidad de lasconcepciones de los profesores sobre la naturaleza de la enseanza y elaprendizaje, de la falta de relacin entre la teora y prctica y de la exigentesituacin que encaran los profesores con relacin a prcticas inclusivas y re-conocimiento de diversidad cultural.

Cualquier programa de desarrollo profesional debe ofrecer a los profe-sores experiencias significativas con base en su conocimiento previo e inte-gradas a su contexto social. Los seis principios que Little (1992) recomiendapara el desarrollo profesional se deberan tener en cuenta en el diseo deesas actividades. Primero, el programa tiene que ofrecer un compromiso sig-nificativo a nivel emocional, social e intelectual con ideas, con materiales ycon relaciones con otros colegas dentro y fuera de la profesin. Segundo, eldiseo debe tomar en cuenta de manera explcita el contexto de enseanza yla experiencia de los profesores. Tercero, la experiencia tiene que ofrecerapoyo para profesores con sentimientos u opiniones diferentes, o para quienno est de acuerdo con estas ideas de cambio. Cuarto, la prctica en el salnde clase debe ponerse en contexto con la prctica de la institucin y con elfuturo de los estudiantes. Quinto, el programa de desarrollo profesional debepreparar a los profesores para emplear las tcnicas y perspectivas de inves-tigacin. Finalmente, los intereses individuales y los intereses de institucio-nes deben ser considerados y equilibrados de la misma manera que debenser consideradas las limitaciones burocrticas.

130 CRISTINA GMEZ

El conocimiento matemtico, el conocimiento pedaggico y el conoci-miento curricular necesario para desarrollar este currculo tiene que ser con-siderado en el programa de desarrollo profesional. Pero el conocimiento quetienen los profesores debe ser reconocido y valorado siempre. Este currculono es una prescripcin de lo que los profesores deben hacer en el aula sinoms bien es un plan que considera los puntos importantes que profesores,administradores y estudiantes van a encontrar durante el proceso enseanza-aprendizaje. Cualquier decisin final tiene que ser tomada por los profesoresmediante la consideracin de las particularidades de los estudiantes, su co-nocimiento informal y su cultura.

REFERENCIAS

Behr, M., Harel, G., Post, T. y Lesh, R. (1993). Rational numbers toward a semanticanalysis emphasis on the operator construct. En T. Carpenter, E. Fennema yT. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 13-47).Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Behr, M., Khoury, H., Harel, G., Post, T. y Lesh, R. (1997). Conceptual units analy-sis of preservice elementary school teachers strategies on a rational-number-as-operator task. Journal for Research in Mathematics Education, 28, 48-69.

Behr, M., Lesh, R., Post, T. y Silver, E. (1983). Rational-number concepts. En R.Lesh y M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes(pp. 91-126). Orlando, FL: Academic Press.

Ernest, P. (1991). The Philosophy of Mathematics Education. London: The FalmerPress.

Fey, J. T. (1990). Quantity. En L. Steen (Ed.), On the shoulders of giants: newapproaches to numeracy (pp. 61-94). Washington, DC: National AcademyPress.

Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structure. Dor-drecht, Netherlands: D. Reidel.

Harel, G., Behr, M., Post, T. y Lesh, R. (1994). The impact of number type solutionsof multiplication and division problems: further investigations. En G. Harel y J.Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in learning ofmathematics (pp. 365-384). Albany, NY: SUNY Press.

Kaput, J. y West, M. (1994). Missing-value proportional reasoning problems: fac-tors affecting informal reasoning patterns. En G. Harel y J. Confrey (Eds.), Thedevelopment of multiplicative reasoning in learning of mathematics (pp. 237-287). Albany, NY: SUNY Press.


Karplus, R., Pulos, S. y Stage, E. (1983). Proportional reasoning of early adoles-cents. En R. Lesh y M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts andprocesses (pp. 45-90). Orlando, FL: Academic Press.

Kieren, T. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursiveunderstanding. En T. Carpenter, E. Fennema y T. Romberg (Eds.), Rationalnumbers: an integration of research (pp. 49-84). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Kieren, T. (1976). On the mathematical, cognitive and instructional foundations ofrational numbers. En R. Lesh (Ed.), Number and measurements: papers from aresearch workshop (pp. 101-144). Columbus, OH: ERIC/SMEAC.

Lamon, S. (1996). Development of unitizing: its role in childrens partitioning strat-egies. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 170-193.

Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing andnorming. En G. Harel y J. Confrey (Eds.), The development of multiplicativereasoning in learning of mathematics (pp. 89-120). Albany, NY: SUNY Press.

Lamon, S. (1993a). Ratio and proportion: Connecting content and childrens think-ing. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 41-61.

Lamon, S. (1993b). Ratio and proportion: Childrens cognitive and metacognitiveprocesses. En T. Carpenter, E. Fennema y T. Romberg (Eds.), Rational num-bers: an integration of research (pp. 131-156). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Lesh, R., Post, T. y Behr, M. (1988). Proportional reasoning. En J. Hiebert y M.Behr (Eds.), Number concepts and operation in the middle grades. Researchagenda for mathematics education, v. 2, (pp. 93-118). Reston, VA: NationalCouncil of Teachers of Mathematics.

Little, J. (1992). Teachers professional development in a climate of educationalreform. Educational evaluation and policy analysis, 15 (2), 129-151.

Lo, J. y Watanabe, T. (1997). Developing ratio and proportion schemes: a story of afifth grader. Journal for Research in Mathematics Education, 28, 216-236.

Marshall, S. (1993). Assessment of rational number understanding: a schema-basedapproach. En T. Carpenter, E. Fennema, y T. Romberg (Eds.), Rational num-bers: an integration of research (pp. 261-288). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

NCTM (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.Reston. VA: NCTM.

Ohlsson, S. (1988). Mathematical meaning and applicational meaning in the seman-tics of fractions and related concepts. En M. Behr y J. Hiebert (Eds.), Numberconcepts and operations in the middle grades. Research agenda for mathemat-ics education, v. 2, (pp. 53- 92). Reston, VA: National Council of Teachers ofMathematics.

Piaget, J. e Inhelder, B. (1974). The childs conception of quantities. Boston: Rout-ledge and Fegan Paul.

132 CRISTINA GMEZ

Romberg, T. (1992). Problematic features of the school mathematics curriculum. EnP. W. Jackson (Ed.), Handbook of Research on Curriculum (pp. 769-788). NewYork: Macmillan.

Sprinthall, N., Reiman, A. y Theis-Sprinthall, L. (1996). Teacher professionaldevelopment. En J. Sikula (Ed.), Handbook of Research on Teacher Education(2da. ed., pp. 666-703). New York, NY: Macmillan.

Streefland, L. (1993). Fractions: a realistic approach. En T. Carpenter, E. Fennema yT. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 289-325).Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Thompson, P. (1994). The development of the concept of speed and its relationshipto concepts of rate. En G. Harel y J. Confrey (Eds.), The development of multi-plicative reasoning in learning of mathematics (pp. 179-234). Albany, NY:SUNY Press.

Vergnaud, G. (1994). Multiplicative conceptual field: what and why? En G. Harel yJ. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in learning ofmathematics (pp. 41-59). Albany, NY: SUNY Press.

Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. En R. Lesh y M. Landau (Eds.),Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 127-174). Orlando, FL:Academic Press.

Cristina GmezEstudiante Graduada

Depto. de Currculo e InstruccinUniversidad de Wisconsin-Madison

610 A Eagle Hts.Madison, WI 53705

USATel.: 608-2383354

E-mail:[email protected]

números racionales y razonamiento

Documents