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“Curso_en_moodle” — 2008/7/23 — 12:57 — page 1 — #15i

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CAPÍTULO1

Números reales y complejos

No sorprende que un primer capítulo de un libro de Cálculo estudie los números reales, sinembargo, muchos estudiantes creen no tener que profundizar en dichos números por saberlosconocidos. Veamos a continuación un par de resultados curiosos.

Se cumple,

0 = (1−1)+ (1−1)+(1−1)+(1−1)+(1−1)+(1−1)+ · · ·

y por cumplir la propiedad asociativa las operaciones suma y resta, podemos escribir:

0 = 1 +(−1 + 1)+ (−1+1)+(−1+ 1)+(−1+1)+(−1+1)+ · · ·= 1 + 0 + 0 + 0 +0+0+0+0+ · · ·

Luego 0 = 1!

Supongamos ahora a y b números reales tales que a > b y sea c su diferencia, de forma quea = b + c. Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad por a−b obtenemos:

a(a−b) = (b + c)(a−b)

de donde se deducea2 −ab−ac = ab−b2−bca(a−b− c)= b(a−b− c)

y simplificando, se obtiene a = b!

Existen varias formas de introducir el cuerpo de los números reales, entre las que se encuen-tran el método de las cortaduras de Dedekind y el método de Cantor, que utiliza el conjunto delas sucesiones de Cauchy de números racionales. Los dos son métodos constructivos y pruebanla unicidad del cuerpo de los números reales construido. Sin embargo, el estudio que se adoptaen este libro no es constructivo. Introducimos el cuerpo de los números reales axiomáticamente.

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2 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEResaltamos el axioma del supremo como el resultado más importante del análisis real, pues

de él se deducen las propiedades de ser cuerpo ordenado arquimedianamente y la densidad de Qen R.

1.1. Números naturales, enteros y racionales

Los conjuntos numéricos básicos para una buena comprensión de este texto, y en general de lasMatemáticas, son los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), reales (R) y finalmen-te los números complejos (C). Tal como los hemos mencionado, cada uno de estos conjuntoscontiene al anterior, es decir,

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Designamos con la letra N al conjunto de los números naturales.

N = {1,2,3, . . .}

Este conjunto tiene una cantidad infinita de elementos y es el conjunto de números que nospermite contar y enumerar las cosas. De él se deriva el importante concepto de numerabilidad.

Una de las características básicas de los números naturales es el principio de inducción,método que permite demostrar una determinada propiedad que hace referencia a los númerosnaturales.

Para demostrar que una proposición P(n) es cierta para cualquier número natural (∀n ∈ N),el principio de inducción afirma que:

1. Si P(1) es cierto;

2. Si para n = k, P(k) es cierto (hipótesis de inducción), entonces P(k + 1) es cierto,entonces P(n) es cierta ∀n ∈ N.Ejemplo 1.1 Demostrar que

1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)

2∀n ∈ N, n > 1

Demostración

1. Si n = 1, se cumple 1 =1(1 + 1)

2= 1

2. Supongamos que se cumple para k = n−1

1 + 2 + · · ·+(n−1) =(n−1)n

2

(hipótesis de inducción) y queremos demostrar que

1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)

2

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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 3

1 + 2 + · · ·+ n = 1 + 2 + · · ·+(n−1)+ n =(n−1)n

2+ n =

=(n−1)n + 2n

2=

n2 −n + 2n

2=

n2 + n

2=

n(n + 1)

2

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Algunos autores consideran N = {0,1,2,3, . . .} y expresan N∗ = {1,2,3, . . .}, notación habitualcuando se excluye el cero de un conjunto.

Podemos observar que el conjunto de números naturales no tiene estructura de grupo conlas operaciones habituales de suma y producto, ya que no existe el opuesto por la suma o por elproducto de un número natural. Al final del estudio de los conjuntos numéricos, encontraremosun conjunto que, además de tener estructura de grupo, anillo o cuerpo con ciertas operaciones,nos asegure la existencia de soluciones de una ecuación polinómica cualquiera con coeficientesen dicho conjunto. Lo que se llama ser un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, que todopolinomio a coeficientes en ese cuerpo, tenga todas sus soluciones en ese mismo cuerpo. Estasituación se dará en el conjunto de los números complejos, pero vayamos paso a paso.

En el conjunto de los números naturales ni siquiera podemos resolver una ecuación tan sen-cilla como

x + 4 = 0

ya que su solución x = −4 no pertenece a N. Ampliemos pues este conjunto de números in-cluyendo también los negativos, es decir, para cada número natural añadimos su inverso por lasuma. Tenemos el conjunto de los números enteros. Denotaremos mediante la letra Z al conjuntode números enteros, es decir,

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}

Si nos fijamos, este conjunto ya contiene elemento inverso con la operación suma. Tambiénverifica la propiedad asociativa e incluso la conmutativa. Dispone también de un elemento neutrocomo es el cero, para esta operación. En definitiva, (Z,+) es un grupo abeliano o conmutativo.Este grupo toma especial importancia en toda la teoría de grupos y anillos, así como en la teoríade Galois, pero no es algo que se deba ver aquí. Pese a lo que se consigue con este nuevo grupo,todavía no tenemos suficiente ya que, ¿qué pasa si queremos resolver la ecuación siguiente?

3x + 2 = 0

Los coeficientes de la ecuación son números enteros, pero en cambio, su solución es x = −2/3que no es un elemento entero. Entonces, todavía no tenemos suficiente con los números enteros,debemos incluir también, de algún modo, todo tipo de fracciones posibles. Definimos a conti-nuación el conjunto de los números racionales, que se denotará por Q y que incluye a todos loselementos de la forma siguiente:

Q ={m

n, donde m ∈ Z, n ∈ N∗

}

Fijémonos que consideramos que el término del numerador aporta el signo; por ello le permiti-mos ser de Z y en cambio el denominador lo fijamos como positivo (esto podría ser al revés o

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4 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEincluso permitiendo que ambos términos fuesen de Z) pero eso sí, no podemos permitir que eldenominador se anule, ya que el conjunto no estaría bien definido en ese caso. Además tenemosmuchos números repetidos por lo que tenemos que identificar todos aquellos que sean el mismocomo un solo número.Propiedad Cara teriza ión de Q

∀p ∈ Q ∃m,n ∈ Z con m.c.d(m,n) = 1 y p = mn

El conjunto de números racionales puede parecer mucho mayor que el de números naturales perono deja de ser equipotente con éste, es decir, de tener un número infinito de elementos del mismoorden: numerable. En el capítulo siguiente, en el ejemplo 2.21 veremos una demostración de queesto es así.

En el conjunto de los números racionales ya tenemos soluciones para todo tipo de ecuacioneslineales o de grado uno, sí. Pero, ¿tenemos también todas las soluciones de las ecuaciones degrado superior? La respuesta es negativa. Si queremos resolver, por ejemplo, la ecuación

x2 −2 = 0

tenemos que su solución es x =±√

2, que no es un número que se pueda expresar como una frac-ción de números enteros de forma exacta. Veamos que efectivamente, no es un número racional.Ejemplo 1.2 Demostraremos que

√2 /∈ Q.

Demostración

Procederemos por reducción al absurdo. Si√

2 ∈ Q entonces√

2 =p

q

Pero entonces tenemos

2 =p2

q2 ⇒ 2q2 = p2 ⇒ p2 es par

De modo que entonces p también será par y podremos escribirlo como p = 2r para algún r ∈ Z,pero 2q2 = 4r2 ⇒ q2 = 2r2 ⇒ q2 será par, con lo que q también será par, pero entonces elcociente entre p y q no sería irreductible al tener ambos, denominador y numerador, múltiplosde 2.

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Se definen a continuación los números reales, conjunto que incluye todos los números que nose puedan escribir como fracción de dos enteros. Este conjunto numérico merece una secciónpropia.

1.2. Números reales

Una de las motivaciones por las cuales se definen los números reales es hallar un conjunto nu-mérico para el cual todo polinomio a coeficientes en ese conjunto tenga todas sus raíces también

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en ese conjunto. Si consideramos que ya se encontrarán en ellos todos los anteriores y ademástambién incluimos elementos como las raíces n-ésimas de números que no tengan esa raíz comoelemento racional, parece que el conjunto quede cerrado. Al final veremos que todavía no esasí pero este conjunto numérico será el más habitual en el que se trabaje y es de una relevanciaindiscutible.

Definimos el conjunto de los números reales de forma axiomática ya que básicamente intere-san las propiedades de los números reales y no los métodos utilizados para construirlos. Supone-mos que existe un conjunto no vacío R de elementos, llamados números reales, que cumplen losaxiomas que enunciamos a continuación. Estos axiomas se clasifican en tres grupos: axiomas decuerpo, axiomas de orden y el axioma del supremo.De�ni ión Cuerpo onmutativoDado un conjunto no vacío R y dos operaciones (aquí las denotamos mediante los signos +y ·), y sean x,y,z tres números reales arbitrarios. A la terna (R,+, ·) la llamaremos cuerpoconmutativo si cumple los axiomas siguientes:

1. asociativa con ambas operaciones:

x +(y + z) = (x + y)+ z x · (y · z) = (x · y) · z

2. conmutativa con ambas operaciones:

x + y = y + x x · y = y · x

3. elemento neutro distinto para ambas operaciones:

∃0 ∈ R : 0 + x = x∃1 6= 0,1 ∈ R : 1 · x = x ∀x ∈ R

4. elemento opuesto con ambas operaciones:

∃− x ∈ R : x +(−x) = 0 ∀x ∈ R∀x ∈ R, x 6= 0, ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = 1

5. distributiva:x · (y + z) = x · y + x · z

En un curso de álgebra se define grupo y anillo para acabar dando la definición de cuerpo y fi-nalmente la de cuerpo conmutativo [B93]. De las propiedades de cuerpo conmutativo se deducenalgunos teoremas de gran importancia, por ejemplo:Propiedad Ley de simpli� a ión de la sumaSi a,b,c son números reales, se cumple [a + b = a + c]⇒ [b = c]

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6 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEPropiedad Posibilidad de sustra iónDados a,b ∈ R ∃!x : a + x = b. En esta situación, x se escribe como b−a.De�ni ión Axiomas de ordenExiste una relación 6 que establece una ordenación entre los números reales y cumple losaxiomas siguientes:

1. Propiedad reflexivax 6 x ∀x ∈ R

2. Propiedad antisimética

Si x 6 y e y 6 x entonces x = y ∀x,y ∈ R

3. Propiedad transitiva

Si x 6 y e y 6 z entonces x 6 z ∀x,y,z ∈ R

Por lo tanto 6 es una relación de orden.Además este orden es total y compatible con la estructura algebraica de R.

4. Relación de orden totalx 6 y o y 6 x, ∀x,y ∈ R

5. El orden es compatible con la suma.

Si x 6 y entonces x + z 6 y + z, ∀x,y,z ∈ R

6. El orden es compatible con el producto.

Si x 6 y entonces x · z 6 y · z ∀x,y,z ∈ R z > 0y · z 6 x · z z < 0

Esto completa la definición de R como un cuerpo conmutativo totalmente ordenado.Observemos que si x e y son números reales, x < y indica que x 6 y y x 6= y. También se

escribe x > y para indicar y 6 x.

Los números reales x tales que x > 0 se denominan números positivos y se denotan por elsímbolo R+. Se cumple la propiedad siguiente.Propiedad

1. Si x,y ∈ R+ ⇒ x + y,x · y ∈ R+.

2. ∀x ∈ R, x 6= 0 tenemos que x ∈ R+ o −x ∈ R+, pero no los dos a la vez.

3. 0 6∈ R+.

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Los números reales representan puntos de una recta. La elección del 0 y el 1 (elementos neutrosde las operaciones que dan estructura de cuerpo al conjunto de los números reales) determinanunívocamente una escala tal y como se observa en la Figura 1.1.

Figura 1.1. Neutros de suma y produ to..A partir de ahí todos los números serán escritos a una escala proporcional, es decir, la separaciónque habrá en la recta real entre los números 8 y 0 será ocho veces la que haya entre los númerosuno y cero.

Además, cada x ∈ R corresponde a un único punto de la recta. Y si x < y entonces el númeroreal x vendrá representado en la recta a la izquierda del número real y, como ilustra la Figura 1.2.

Si a,b son números reales tales que a < b, entonces un punto x satisface las desigualdadesa < x < b si, y solo si x está entre a y b. Al conjunto de todos los puntos comprendidos entre a yb se denomina intervalo. Resultarán conjuntos de fundamental importancia en el Cálculo y en elAnálisis matemático en general.

Como ejemplo particular veremos su importancia en la definición del concepto de la integralde Riemann.

Dependiendo de si los intervalos incluyen o no a sus extremos aparecen las definiciones queenunciamos a continuación.

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8 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLE

Figura 1.2. Orden en R.De�ni ión Intervalo abiertoSi a y b son números reales tales que a < b, definimos el intervalo abierto (a,b) como sigue:

(a,b) = {x ∈ R : a < x < b}De�ni ión Intervalo erradoSi a y b son números reales tales que a < b, definimos el intervalo cerrado [a,b] como sigue:

[a,b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b}De�ni ión Intervalo semiabiertoSi a y b son números reales tales que a < b, definimos los intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b)como sigue:

(a,b] = {x ∈ R : a < x 6 b}[a,b) = {x ∈ R : a 6 x < b}

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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 9De�ni ión Intervalos in�nitosSi a ∈ R definimos los intervalos infinitos

(−∞,a] = {x ∈ R : x 6 a}

(a,+∞) = {x ∈ R : x > a}entendiendo que los símbolos +∞ y −∞ se definen más adelante y de momento son númerosreales no finitos que cumplen, dado a ∈ R,

si a > 0a

0= +∞

si a < 0a

0= −∞

Se cumple

R = (−∞,+∞)

y definimos la extensión del cuerpo de los números reales como:

R = R∪{+∞,−∞}

Hemos comentado que los números reales son aquellos que cumplen los axiomas de cuerpoconmutativo totalmente ordenado y el axioma del supremo. Para entender el enunciado de esteúltimo axioma, debemos dar unas definiciones previas.De�ni ión Cota superior e inferiorSean A ⊂ R, α y β números reales. Entonces

1. α es una cota superior de A ⇔∀x ∈ A, x 6 α

2. β es una cota inferior de A ⇔∀x ∈ A, β 6 x

Naturalmente estas cotas no tienen por qué existir, o bien puede existir una de ellas y no la otra.En caso de existir diremos que el conjunto está acotado, otra definición fundamental en la teoríade conjuntos reales.De�ni ión Conjunto a otadoSea A ⊂ R. Diremos que el conjunto A está acotado si tiene cota superior y cota inferior.

Observemos que el conjunto A = R+ no está acotado por no estar acotado superiormente.

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10 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEDe�ni ión MáximoSea A ⊂ R, entonces se denomina máximo del conjunto A a un número real M tal que

M ∈ A

∀x ∈ A x 6 M

En caso de existir escribiremos M = max(A).De�ni ión MínimoSea A ⊂ R, entonces se denomina mínimo del conjunto A a un número real m tal que

m ∈ A

∀x ∈ A x > m

En caso de existir escribiremos m = mın(A).

Estamos ya en condiciones de definir el supremo de un conjunto, concepto que existirá en con-juntos de números reales acotados superiormente.De�ni ión SupremoSea A un conjunto de números reales acotado superiormente. Si existe el mínimo del conjuntode las cotas superiores recibe el nombre de supremo de A. En caso de existir lo notaremossup(A).

De manera análoga se define el ínfimo de un conjunto.De�ni ión Ín�moSea A un conjunto de números reales acotado inferiormente. Si existe el máximo del conjuntode las cotas inferiores recibe el nombre de ínfimo de A. En caso de existir lo notaremos ınf(A).

En el caso en que estos supremos e ínfimos se alcancen en el mismo conjunto A, entonces reci-ben el nombre de máximo y mínimo respectivamente, pero no tienen porqué existir en general.Notemos que tanto el supremo como el ínfimo de un conjunto acotado existen siempre.Ejemplo 1.3 El conjunto A = {x ∈ R : 0 6 x 6 1} está acotado superiormente. Ejemplos decotas superiores son los números = 1,2,3, .... Este conjunto tiene máximo,

maxA = 1

Sin embargo, el conjunto B = {x∈R : 0 6 x < 1}, igualmente acotado superiormente, no tienemáximo. El conjunto B sí tiene supremo,

supB = 1

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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 11De�ni ión Axioma del supremo o ompletitudTodo conjunto no vacío A de números reales acotado superiormente tiene supremo, es decir,

∃a ∈ R : a = supA

El conjunto de los números racionales Q no cumple el axioma del supremo.

Del axioma del supremo se deduce el teorema siguiente:TeoremaTodo conjunto no vacío de números reales A acotado inferiormente tiene un extremo inferior,es decir,

∃L ∈ R : L = ınfADemostra ión Sea −A el conjunto de los números opuestos a los de A. El conjunto −A 6= /0y está acotado superiormente, luego del axioma del supremo se deduce que existe a ∈ R tal quea = sup(−A). Luego −a = in f (A).

Algunas de las propiedades fundamentales del supremo que se utilizan para demostrar propieda-des y teoremas importantes del Análisis matemático son las siguientes:Propiedad de aproxima iónSea A un conjunto no vacío de números reales y b = sup(A). Entonces, ∀a < b,∃x ∈ R tal quea < x 6 b.Demostra ión Sabemos que x 6 b,∀x ∈ R (ya que b es cota superior de A).

Si x 6 a entonces a sería una cota superior de A más pequeña que el supremo, y esto lleva auna contradicción. Luego a < x.Propiedad aditivaSean A,B ⊂ R conjuntos no vacíos. Sea C = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}.Si A y B tienen supremo, entonces C tiene supremo y se cumple

sup(C) = sup(A)+ sup(B)Propiedad de ompara iónSean A,B ⊂ R conjuntos no vacíos tales que a 6 b,∀a ∈ A,∀b ∈ B. Si el conjunto B tienesupremo, entonces A tiene supremo y se cumple

sup(A) 6 sup(B)

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12 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEDel axioma del supremo y de la propiedad de aproximación del supremo, se deduce el siguienteresultado.PropiedadEl conjunto Z+ de los enteros positivos no está acotado superiormente.

A continuación enunciamos la propiedad arquimediana de los números reales. Geométricamenteequivale a decir que todo segmento lineal, por largo que sea, puede recubrirse por un númerofinito de segmentos lineales de longitud dada.Propiedad arquimedianaSi x > 0 y y ∈ R ⇒∃n ∈ Z+ tal que nx > y.Demostra ión Demostrar que existe n ∈ Z+ tal que nx > y equivale a demostrar que existe

n∈Z+ tal que n >y

x. Si no fuera así

y

xseria una cota superior de Z+ y esto contradice el teorema

anterior.

A continuación se enuncia uno de los resultados más importantes que caracterizan el conjunto delos números reales.Proposi ión Cara teriza ión de R

Q es denso en R. Es decir, ∀x,y ∈ R tales que x < y, entonces existen infinitos números racio-nales q tales que x < q < y.Demostra ión Se deduce de la propiedad arquimediana.

El concepto de numerabilidad se define en el capítulo siguiente, sin embargo, continuando uncomentario anterior, realizado en el estudio de los números racionales, afirmamos que el conjuntoQ es numerable mientras que R no lo es. Adelantamos que un conjunto es numerable si es finitoo bien permite establecer una biyección con N. Se puede ver la definición de numerabilidad enla Sección 4.2.

A continuación definimos uno de los conceptos asociados a los números reales más intere-santes: el valor absoluto de un número real, que inducirá las definiciones de norma y de distanciaen R.De�ni ión Valor absolutoDefinimos el valor absoluto de un número real como

|x| ={

x si x > 0−x si x < 0

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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 13PropiedadSi x es un número real, se cumple

−|x| 6 x 6 |x|

Observemos que |x| es la distancia de x a 0 tal como se visualiza en el gráfico de la Figura 1.3.

Figura 1.3. Valor absoluto.PropiedadSi a ∈ R+, entonces ∀x ∈ R se cumple:

|x| 6 a ⇔−a 6 x 6 a

|x| > a ⇔ [x < −a o bien x > a]

Luego si un punto x ∈ R está a distancia menor o igual que a del origen, está situado en larecta real entre −a y a. Si |x| > a el número real x está a distancia mayor que a del origen decoordenadas.

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14 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEPropiedad Propiedades de la fun ión valor absolutoPara cualquier x,y ∈ R se cumplen las propiedades siguientes:

1. |x| = 0 ⇔ x = 0

2. |− x| = |x|3. |x− y|= |y− x|4. |xy| = |x||y|

5.

∣∣∣∣x

y

∣∣∣∣=|x||y| si y 6= 0

6. |x + y|6 |x|+ |y| (desigualdad triangular)

7. |x|− |y|6 |x− y|8. ||x|− |y||6 |x− y|Demostra ión Algunas de estas propiedades son inmediatas aplicando la definición de valor

absoluto. Demostramos a continuación las que podrían presentar mayor dificultad.

1. −|x| 6 x 6 |x|−|y| 6 y 6 |y|−(|x|+ |y|) 6 x + y 6 |x|+ |y||x + y|6 |x|+ |y|

2. ||x|− |y||={

|x|− |y| si |x| > |y||y|− |x| si |x| 6 |y|

|x| = |x− y + y|1)

6 |x− y|+ |y| ⇒ |x|− |y|6 |x− y|

|y| = |y− x + x|1)

6 |y− x|+ |x| ⇒ |y|− |x|6 |y− x|= |x− y|Ejemplo 1.4 Escribir en forma de intervalo el conjunto de los números reales que cumplen:

{x ∈ R : |3x + 5|> 2}

De las propiedades del valor absoluto, se deduce

|3x + 5|> 2 ⇔ [3x + 5 > 2 o 3x + 5 6 −2]

por lo tanto, se debe cumplir una de las dos desigualdades.

3x + 5 > 2 ⇔ 3x > −3 ⇔ x > −1

3x + 5 6 −2 ⇔ 3x 6 −7 ⇔ x 6 −73

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por lo tanto,

{x ∈ R : |3x + 5|> 2} =

(−∞,−7

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]∪ [−1,+∞)

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Finalmente enunciamos y demostramos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que será el resultadomás fundamental a nivel topológico y de conjuntos en el conjunto de los números reales. Servirápara demostrar la desigualdad triangular de distancias y otros resultados similares.Propiedad Desigualdad de Cau hy-S hwarzSean a1, . . . ,an,b1, . . . ,bn ∈ R. Se cumple

(n

∑k=1

akbk

)2

6

(n

∑k=1

a2k

)(n

∑k=1

b2k

)

Hay igualdad si λ = −bk

ak∀k = 1, . . . ,n.Demostra ión Para cualquier número real x se cumple:

n

∑k=1

(akx + bk)2 =

n

∑k=1

a2kx2 + 2

n

∑k=1

akbkx +n

∑k=1

b2k =

=

(n

∑k=1

a2k

)x2 + 2

(n

∑k=1

akbk

)x +

n

∑k=1

b2k > 0

Sin∑

k=1a2

k > 0, es decir, existe algún ak 6= 0, tomamos x =−

n∑

k=1akbk

n∑

k=1a2

k

y substituyendo en la igualdad

tenemos: (n

∑k=1

akbk

)2

−(

n

∑k=1

a2k

)(n

∑k=1

b2k

)6 0

como queríamos demostrar.

Sin∑

k=1a2

k = 0, eso implica ak = 0 ∀k = 1, . . . ,n. En este caso, la igualdad es trivial.

1.3. Números complejos

Considérese la ecuaciónx2 + 1 = 0

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16 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEaparentemente muy sencilla pero con soluciones x = ±

√−1 que no son números reales, al no

pertenecer a este cuerpo las raíces de números negativos. Es por ello que para conseguir uncuerpo donde todos y cada uno de los polinomios a coeficientes reales (y de hecho también lospolinomios a coeficientes complejos) tengan solución, debemos ampliar nuestro conjunto contodas las raíces de números reales negativos. A este conjunto se le conoce con el nombre deconjunto de números complejos y se denota mediante C.

A principios del siglo XIX, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y William Rowan Hamil-ton (1805-1865) independientemente y casi al mismo tiempo propusieron la idea de definir losnúmeros complejos como pares ordenados (a,b) de números reales que tienen unas ciertas pro-piedades. Esta idea es la que se presenta a continuación.De�ni ión Número omplejoSe define el conjunto C de los números complejos como el producto cartesiano

C = R×R = {(a,b) : a,b ∈ R}

es decir, que un número complejo se identifica con un punto del plano.Si z = (a,b) es un número complejo, diremos que a es la parte real de z y se escribe Re(z) yque b es la parte imaginaria de z que escribiremos Im(z). Diremos que z = (a,b) está expresadoen forma cartesiana.

El curso en la plataforma Moodle asociado a este texto, presenta ejercicios interactivos que ayu-dan a la comprensión de los conceptos matemáticos que se van introduciendo en el texto. LaFigura 1.4 muestra uno de los ejemplos, en este caso asociado a la representación gráfica de losnúmeros complejos en el plano.De�ni ión Opera iones suma y produ toSi (a,b) y (c,d) son dos números complejos, definimos

(a,b)+ (c,d) = (a + c,b + d)(a,b) · (c,d) = (ac−bd,ad + bc)

Con estas operaciones, (C,+, ·) es un cuerpo conmutativo.

A diferencia de lo que ocurre con la definición de la operación suma, la definición del productode números complejos no parece intuitiva. A continuación se define la expresión binómica de losnúmeros complejos y es un buen ejercicio razonar el porqué de la definición del producto de losnúmeros complejos.De�ni ión Unidad imaginariaSe define i como el número complejo i = (0,1).

Observamos que i2 = (0,1) ·(0,1)= (−1,0). Como que los números complejos de la forma (a,0)tienen exactamente el mismo comportamiento respeto a la suma y multiplicación de números

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Figura 1.4. El plano omplejo.complejos que los números reales respecto a sus operaciones de suma y producto, escribiremos(a,0) simplemente como a.

Por lo tanto,

i2 = −1

Observar que√−1 = ±i, luego, el estudio con números complejos permite trabajar con raíces

de números negativos, a diferencia de la situación en R.

Fijémonos que podemos escribir

(a,b) = (a,0)+ (0,b) = (a,0)+ (b,0) · (0,1) = a + bi

Esta es una forma muy habitual de escribir los números complejos y se denomina forma binómi-ca.De�ni ión Número omplejo opuestoSi z = (a,b) diremos que el opuesto de z es el número complejo

−z = (−a,−b)

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18 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEDe�ni ión Número omplejo onjugadoSi z = a + bi definimos su conjugado, que escribiremos z, como

z = a−bi

La Figura 1.5 visualiza uno de los ejemplos interactivos en la plataforma Moodle que permiteconsolidar los conceptos de número complejo opuesto y conjugado.

Figura 1.5. Opuesto y onjugado de un número omplejo.De�ni ión inversoSi z = a + bi, con (a,b) 6= (0,0), se define el número complejo inverso de z, que escribiremosz−1, como

z−1 =1

a + bi

Para definir correctamente el número complejo debemos conocer su parte real y su parte ima-ginaria,

1a + bi

=1

a + bi· a−bi

a−bi=

a−bi

a2 + b2 =a

a2 + b2 −b

a2 + b2 i

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Comprobar que

(a,b) ·(

a

a2 + b2 ,−b

a2 + b2

)= (1,0)

La Figura 1.6 muestra un ejemplo interactivo para consolidar el concepto de inverso de un nú-mero complejo. Este concepto, permite ampliar las operaciones entre complejos ya estudiadas yque se pueden practicar interactivamente tal como ilustra la Figura 1.7.

Figura 1.6. Inverso de un número omplejo.De�ni ión móduloSi z = a + bi es un número complejo, definimos su módulo, que escribiremos |z|, como

|z| =√

a2 + b2

Observar que |z| es la distancia de z a (0,0). En general, la distancia entre dos números complejosz y w se define como |z−w|.

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Figura 1.7. Opera iones on números omplejos.PropiedadSi z y w son números complejos, se cumple

1. z = z

2. z = z ⇔ z es real

3. z+ w = z+ w

4. −z = −(z)

5. z ·w = z ·w6. z−1 = (z)−1, si z 6= 0

7. |z|2 = z · z8. |z ·w| = |z| · |w|9. |z+ w| 6 |z|+ |w|Ejemplo 1.5 Demostrar que si z,z′ ∈ C, se verifica que:

|z|2 + |z′|2 =12(|z+ z′|2 + |z− z′|2)

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Aplicando la propiedad |z|2 = zz, obtenemos:

12(|z+ z′|2 + |z− z′|2) =

12((z+ z′)(z+ z′)+ (z− z′)(z− z′))

=12((z+ z′)(z+ z′)+ (z− z′)(z− z′))

=12(zz + zz′ + z′z+ z′z′ + zz− zz′− z′z+ z′z′)

=12(2zz+ 2z′z′) = zz+ z′z′ = |z|2 + |z′|2

�

Anteriormente hemos visto que los números reales representan los puntos de una recta mientrasque los números complejos son los puntos del plano. La parte real se representa en el eje deabcisas o eje real, y los múltiplos de i como puntos del eje imaginario, perpendicular al eje realen el origen. A esta representación geométrica se la conoce como el Diagrama de Argand.

Si z = (a,b) y w = (c,d) son dos números complejos, determinan un paralelogramo, tal quedos de sus lados son los segmentos rectilíneos de (0,0) a z y de (0,0) a w. El vértice opuestoa (0,0) es el número complejo z + w. Luego la suma de números complejos se correspondegráficamente con la suma de vectores. Observamos esta representación en la Figura 1.8.

La interpretación geométrica del producto es más complicada y para ayudar a intuir la inter-pretación introducimos una nueva forma de representar los números complejos. El producto denúmeros complejos no es ni el producto escalar de vectores ni el producto vectorial.

Suponemos que z y w son dos números complejos diferentes de cero. Observamos que siz = 0 o bien w = 0 entonces z ·w = 0.

Para cualquier z ∈ C, z 6= 0 podemos escribir

z = |z| z

|z|

donde |z| es un número real positivo yz

|z| es un número complejo de módulo 1, porque

∣∣∣∣z

|z|

∣∣∣∣=|z||z| = 1

Pero, además, cualquier número complejo z = a + bi con |z| = 1 se puede escribir como

z = (cosθ ,senθ ) = cosθ + isenθ

por lo tanto, cualquier número complejo z 6= 0 se puede escribir como

z = r(cosθ + isenθ )

con r > 0. Esta expresión se denomina forma trigonométrica de un número complejo. El númeror es único (es |z|) pero θ no es único; si una posibilidad es θ0, que se denomina argumento y seescribe arg(z), entonces las otras son θ0 + 2kπ siendo k ∈ Z.

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Figura 1.8. Suma de números omplejos.Con el módulo y el argumento se define otra forma de representar los números complejos, laforma polar.

z = rθ

Es interesante el ejemplo interactivo que muestra la Figura 1.9 pues en él podemos practicar lasdistintas expresiones de un mismo número complejo.

La forma trigonométrica de los números complejos nos ayuda a dar la interpretación geomé-trica del producto.

Si z y w son dos números complejos diferentes de cero tales que


w = s(cosφ + isenφ)

entonces,

z ·w = rs(cosθ + isenθ )(cosφ + isenφ)

= rs[(cosθ cosφ − senθ senφ)+ y(senθ cosφ + cosθ senφ)]

= rs [cos(θ + φ)+ isen(θ + φ)]

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Figura 1.9. Representa ión de números omplejos.Por lo tanto, el número complejo z ·w es un número de módulo, el producto de los módulos de z yde w y de argumento, la suma de los argumentos de z y w. Obsérvese la interpretación geométricaen la Figura 1.10.Propiedad Propiedades del argumentoSi z y w son dos números complejos, entonces se cumple:

1. arg(zw) = arg(z)+ arg(w)

2. arg(z−1) = −arg(z), si z 6= 0

3. arg( z

w

)= arg(z)−arg(w), si w 6= 0

por lo tanto, si z = rθ y w = sφ podemos escribir

z ·w = (|z| · |w|)θ+φ

z

w=

rθ

sφ=(∣∣∣

z

w

∣∣∣)

θ−φ

siendo θ y φ ángulos del intervalo [0,2π).

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Figura 1.10. Produ to de números omplejos.Para el cálculo de potencias y raíces de números complejos conviene tener la expresión delnúmero en forma trigonométrica o polar, por lo tanto es interesante dado un número complejosaber pasar de la forma binómica o cartesiana a la forma polar o trigonométrica y viceversa.

En el curso de Cálculo en la plataforma Moodle se puede practicar con ejercicios interacti-vos el cambio de expresión de los números complejos, de coordenadas cartesianas a polares yviceversa. Ver Figuras 1.11 y 1.12.

Dada la forma trigonométrica es sencillo encontrar la forma binómica o cartesiana de unnúmero complejo

z = r(cosθ + isenθ ) = r cosθ + ir senθ = a + bi = (a,b)

siendoa = r cosθb = r senθ

Supongamos ahora que tenemos un número complejo en forma binómica. Buscamos su móduloy calculamos el argumento.

z = a + bi = |z|(cosθ + isenθ )

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Figura 1.11. Coordenadas polares.por lo tanto,

a = |z|cosθb = |z|senθ

Si a = 0 entonces θ =π

2si b > 0 y θ =

3π

2si b < 0.

Si a 6= 0 entoncesb

a=

senθ

cosθ⇒ θ = arctan

(b

a

)

Fijémonos que existen dos ángulos en [0,2π) con el mismo valor de la tangente. Para encontrarel valor correcto de θ debemos tener en cuenta los signos de a y de b. Si a y b tienen el mismosigno, la tangente es positiva y el ángulo θ se encuentra o bien en el primer cuadrante (si a > 0y b > 0), o bien en el tercero (si a < 0 y b < 0).

Las Figuras 1.13 y 1.14 muestran gráficamente estas observaciones.

Si a y b tienen signos diferentes, la tangente es negativa y el ángulo θ se encuentra en elsegundo cuadrante (a < 0 y b > 0) o en el cuarto (a > 0 y b < 0).

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Figura 1.12. Coordenadas artesianas.Ejemplo 1.6 Expresar en forma polar el número complejo z = 1− i√

3.

En primer lugar debemos calcular el módulo y el argumento del número complejo z.

|z| =√

(1)2 +(−√

3)2 =√

1 + 3 =√

4 = 2

θ = arctan−√

31

= arctan(−√

3)

Como a = 1 > 0 y b = −√

3 < 0

θ =5π

3

y, por lo tanto,

z = 2 5π3

�

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Figura 1.13. Cál ulo del ángulo.De�ni ión Exponen ial omplejaSi x ∈ R, se define la exponencial compleja como

eix = cosx + isenx

De�ni ión Forma exponen ialDado un número complejo z, se puede expresar en forma trigonométrica como

z = |z|(cosθ + isenθ )

De la definición de exponencial compleja se deduce

z = |z|eiθ

y a esta expresión se denomina forma exponencial de un número complejo.

En el curso de Cálculo en la plataforma Moodle se puede practicar esta expresión de los númeroscomplejos de manera interactiva. Ver Figura 1.15.

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Figura 1.14. Cál ulo del ángulo.Propiedad Fórmula de De MoivreSea z un número complejo, z 6= 0


entonces, si n ∈ N se cumple,

zn = |z|n(cosnθ + isennθ )

expresión que se conoce como fórmula de De Moivre.Demostra ión Aplicamos el método de inducción para demostrar la fórmula de De Moivre.Si n = 1, expresando el número complejo en forma trigonométrica, tenemos

z = |z|(cosθ + isenθ )

Supongamos que la fórmula se cumple para un determinado valor n, veamos si se cumple paran + 1.

zn+1 = zn·z = |z|n(cosnθ + isennθ )·|z|·(cosθ + isenθ )

= |z|n+1(cos(n + 1)θ + isen(n + 1)θ )

de donde se deduce que la fórmula es cierta para cualquier valor n ∈ N.

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Figura 1.15. Números omplejos en forma exponen ial.De�ni ión Raíz n-ésima de un número omplejoSi z ∈ C y n ∈ N, se dice que el número complejo u es una raíz n-ésima de z si se cumplez = un.Propiedad Cál ulo de raí es n-ésimas omplejasTodo número complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas complejas, que se calculande la siguiente manera:Si z = |z|(cosθ + isenθ ), entonces, los uk ∈ C tales que un

k = z son

uk = (|z|) 1n (cosθk + isenθk)

con

θk =θ + 2kπ

nk = 0,1, . . . ,n−1

Observamos que estos números complejos son todos diferentes, puesto que dos argumentos θk

cualesquiera con k = 0,1, . . . ,n−1 difieren en menos de 2π .

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30 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEDemostra ión Sea ω = x(cosφ + isen φ) donde s = |ω |. Un número complejo z = r(cosθ +isenθ ) satisface que zn = ω si y solo si se verifica,

rn(cosnθ + isennθ ) = s(cosφ + isenφ)

donde {rn = scosnθ + isennθ = cosφ + isenφ

De la primera ecuación rn = s obtenemos que el módulo será

r = n√

s

y de la segunda ecuación tendremos

nθ = φ + 2πk

con lo cual,

θ = θk =φ + 2πk

n

Recíprocamente, si consideramos r = n√

s y θ = θk para algún k, tendremos que z = r(cosθ +isenθ ) satisface la condición zn = ω .

Ahora nos falta determinar que el número de raíces n-ésimas de ω es exactamente n. Ten-dremos suficiente con ver cuáles de estos z son distintos y que en total hay n diferentes. Pero,

θk =φ + 2πk

n(∗)=

φ + 2(nq)π + 2k′πn

=φ

n+ 2qπ +

2πk′

n

(∗) ya que para algún q ∈ Z entre 0 y n−1 y algún k′ ∈Z podremos escribir k = nq+k′ (divisióneuclidiana). Entonces,

cosθk + isenθk = cosθk′ + isenθk′

Y esto quiere decir que todo z que satisface zn = ω se puede escribir como:

zk = n√

s(cosθk + isenθk)

para k = 0, · · · ,n−1.Ejemplo 1.7 Resolver en el cuerpo C de los números complejos la ecuación

z3 − i = 1

Este problema se puede reducir al cálculo de las raíces cúbicas de un número complejo. Enefecto, de la ecuación dada se deduce que

z = 3√

1 + i

Expresamos el número 1 + i en forma trigonométrica:

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1 + i =√

2(

cos(π

4

)+ isen

(π

4

))

Por lo tanto, las tres raíces que estamos buscando son los números complejos de módulo

3√√

2 =6√

2

y argumentos:

ϕ0 =

π

4+ 0 · (2π)

4=

π

12

ϕ1 =

π

4+ 1 · (2π)

4=

3π

4

ϕ2 =

π

4+ 2 · (2π)

4=

17π

12�

Estos tres puntos del plano que denominamos z0, z1 y z2 están sobre una misma circunferenciacentrada en el origen de coordenadas y de radio 6

√2, tal y como se puede visualizar interactiva-

mente en el ejercicio de la plataforma Moodle que muestra la Figura 1.16.

La Figura 1.17 muestra un ejemplo interactivo para practicar con las raíces de númeroscomplejos.

Observamos que existen polinomios con coeficientes reales que no tienen solución, por ejem-plo x2 + 1 = 0. El teorema fundamental del álgebra establece el hecho que la introducción delnúmero complejo i proporciona soluciones a cualquier ecuación polinómica con coeficientescomplejos.Teorema Teorema fundamental del álgebraCualquier ecuación

zn + an−1zn−1 + . . .+ a0 = 0, a0,a1, . . . ,an−1 ∈ C

tiene todas sus n soluciones (contadas con su multiplicidad) en el cuerpo de los complejos.

Ejercicios resueltosEjer i ioDeterminar el conjunto de los números reales que cumplen:

{x ∈ R : |x + 1|+ |x + 2|< 3}

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Figura 1.16. Raí es n-ésimas de un número omplejo.Solu iónEn este ejercicio tenemos la suma de dos valores absolutos. Para poder trabajar más cómoda-mente, eliminaremos el valor absoluto de x + 1 aplicando la definición.

Si x + 1 > 0 ⇔ x > −1

|x + 1|+ |x + 2|< 3 ⇔ x + 1 + |x + 2|< 3 ⇔ |x + 2|< 2− x

que equivale ax−2 < x + 2 < 2− x

Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resulta-dos correspondientes.

x + 2 < 2− x ⇔ 2x < 0 ⇔ x < 0

x−2 < x + 2 ⇔−2 < 2 (cierto)

Luego,{x ∈ R : |x + 2|< 2− x}= (−∞,0)∩ [−1,+∞) = [−1,0)

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Figura 1.17. Raí es de un número omplejo.Si x + 1 < 0 ⇔ x < −1

|x + 1|+ |x + 2|< 3 ⇔−x−1 + |x + 2|< 3 ⇔ |x + 2|< 4 + x

que equivale a

−4− x < x + 2 < 4 + x


x + 2 < 4 + x ⇔ 2 < 4 (cierto)

−4− x < x + 2 ⇔−6 < 2x ⇔−3 < x

Por lo tanto,

{x ∈ R : |x + 2|< 3 + x} = (−∞,−1)∩ (−3,+∞) = (−3,−1)

Así pues,{x ∈ R : |x + 1|+ |x + 2|< 2}⇔ [−1,0)∪ (−3,−1) = (−3,0)

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34 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEEjer i ioDeterminar el conjunto de los números reales que cumplen:

{x ∈ R : |x2 −6|< |x|}Solu iónEn esta desigualdad aparecen dos valores absolutos. Eliminaremos el valor absoluto de x apli-cando la definición.

Si x > 0|x2 −6|< x

que equivale a−x < x2 −6 < x

luego, estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de losresultados correspondientes.

−x < x2 −6 ⇔ x2 + x−6 > 0 ⇔ (−∞,−3)∪ (2,+∞)

x2 −6 < x ⇔ x2 − x−6 < 0 ⇔ (−2,3)

Por lo tanto,

{x ∈ R : |x2 −2|< x} = ((−∞,−3)∪ (2,+∞))∩ (−2,3) = (2,3)

Si x < 0|x2 −6|< |x| ⇔ |x2 −6|< −x

que equivale ax < x2 −6 < −x


x < x2 −6 ⇔ x2 − x−6 > 0 ⇔ (−∞,−2)∪ (3,+∞)

x2 −6 < −x ⇔ x2 + x−6 < 0 ⇔ (−3,2)

Por lo tanto,

{x ∈ R : |x2 −2|< −x} = ((−∞,−2)∪ (3,+∞))∩ (−3,2) = (−3,−2)

Así pues,{x ∈ R : |x2 −2|< |x|} = (−3,−2)∪ (2,3)Ejer i io

Calcular los valores z ∈ C tales que z,3z

y 2− z tengan el mismo módulo.

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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 35Solu iónSi z = x + yi tendremos:

|z| =√

x2 + y2

∣∣∣∣3z

∣∣∣∣=3|z| =

3√x2 + y2

|2− z|= |(2− x)− yi|=√

(2− x)2 + y2

Igualando las expresiones:

√x2 + y2 =

3√x2 + y2

⇒ x2 + y2 = 3

√x2 + y2 =

√(2− x)2 + y2 ⇒ x2 + y2 = 4−4x + x2 + y2 ⇒

⇒ 4x = 4 ⇒ x = 1

Debemos encontrar el valor de y que cumple

{x = 1x2 + y2 = 3

De donde se deduce

1 + y2 = 3 ⇒ y2 = 2 ⇒ y = ±√

2

por lo tanto, los números complejos que cumplen las condiciones son:

z1 = 1 +√

2i

z2 = 1−√

2i

Ejer i ioExpresar en forma binómica la suma:

S = 1 +1

1 + i+

1(1 + i)2 +

1(1 + i)3 + · · ·+ 1

(1 + i)20

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36 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLESolu iónEsta suma corresponde a la suma de los veinte primeros términos de la progresión geométrica de

razón1

1 + iluego utilizaremos la fórmula

Sn =a0 −anr

1− r

siendo a0 = 1, an =1

(1 + i)20 y r =1

1 + i

Calculamos el módulo y el argumento del número 1+ i.

|1 + i|=√

12 + 12 =√

2; θ = arctan11

=π

4

Por lo tanto, aplicando la fórmula de De Moivre:

(1 + i)20 = (√

2)2020 π

4= (

√2)20

5π

Calculamos, pues, la expresión binómica de la suma.

S20 =

1− 1(1 + i)20

11 + i

1− 11 + i

=

1− 1(1 + i)21

i

1 + i

=

(1 + i)− 1(1 + i)20

i

=(1 + i)− (

√2 π

4)−20

i· −i

−i=

−i(1 + i)+ i(√

2−20

)−5π

1

= (1− i)+ i√

2−20

(cos(−5π)+ sen(−5π)i)

= (1− i)+ i(√

2)−20

(−1)

= 1− ((√

2)−20

+ 1)iEjer i ioConsideramos la ecuación siguiente en el cuerpo C de los números complejos:

z3 +(−1−2i)z2 +(−1 + 9i)z−2(1 +5i)= 0

a) Demostrar que tiene una solución real y calcularla.

b) Buscar las otras soluciones de la ecuación.

c) Demostrar que el triángulo que determinan las tres soluciones de la ecuación es isósce-les.

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CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 37Solu iónSe trata de resolver una ecuación de tercer grado en el cuerpo de los números complejos. Recor-dar que si un polinomio a coeficientes reales tiene una raíz compleja también es raíz su conjugada.En este caso esto no pasa porque el polinomio tiene coeficientes complejos.

a) Suponemos z = r con r real. Tendremos:

r3 +(−1−2i)r2 +(−1 + 9i)r−2(1 + 5i)= 0

que separando la parte real y la parte imaginaria será:

(r3 − r2 − r−2)+ (−2r2 + 9r−10)i = 0

Por lo tanto, r deberá cumplir las ecuaciones:

r3 − r2 − r−2 = 0−2r2 + 9r−10 = 0

Resolviendo la segunda ecuación tenemos que r = 2 o bien r = 2,5. Pero r = 2,5 nocumple la primera ecuación, por lo tanto, la solución real de la ecuación es

r = 2

b) Dividimos el polinomio por z−2. La ecuación que debemos resolver se transforma en:

(z−2)(z2 +(1−2i)z+(1 + 5i))= 0

es decir, z2 +(1−2i)z+(1 + 5i)= 0 que es una ecuación de segundo grado.

z =−(1−2i)±

√(1−2i)2−4(1 + 5i)

2=

−(1−2i)±√−7−24i

2=

=−(1−2i)± (−3 + 4i)

2=

{−2 + 3i1− i

(hemos calculado√−7−24i resolviendo el sistema resultante de plantear la ecuación

(a+bi)2 =−7−24i, pero también se puede calcular pasando el número−7−24i a formatrigonométrica y calculando la raíz.)

Así, pues, las tres soluciones de la ecuación son: z1 = 2, z2 = −2 + 3i y z3 = 1− i.

c) Comprobamos que la distancia de z2 a z1 es la misma que la de z2 a z3 teniendo en cuentaque la distancia se define como d(z1,z2) = |z1 − z2|.

d(z2,z1) = |z2 − z1| = |(−2 + 3i)−2|= |−4 + 3i|=√

(−4)2 + 32 = 5

d(z2,z3) = |z2 − z3| = |(−2 + 3i)− (1− i)|= |−3 + 4i|=

=√

(−3)2 + 42 = 5

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38 CÁLCULO CON SOPORTE INTERACTIVO EN MOODLEProblemas propuestos1.1 Definir conjunto ordenado. Dar un ejemplo.1.2 Expresar en forma de intervalos los siguientes conjuntos de números reales:

a) {x ∈ R : 2 6 |2x−6|}

b) {x ∈ R : |x+1| > |x−2|}1.3 Expresar en forma de intervalo el siguiente conjunto de números reales

A = {x ∈ R : ||x+1|− |x−1|| < 1}1.4 Expresar en forma de intervalo el siguiente conjunto de números reales

{x ∈ R :

∣∣∣∣x2 +6x−1(x+3)2

∣∣∣∣< 1

}1.5 Encontrar el lugar geométrico de los puntos z ∈ C tales que z+ z < |z|.1.6 Determinar el lugar geométrico de los puntos del plano z ∈ C tales que la razón de distancias de z alos puntos 1 y −1 tiene valor constante 2.1.7 Encontrar para qué valores de n ∈ N, z = (

√3+ i)n es un número real positivo.1.8 Calcular (−8)

13 en el conjunto de los números complejos C y expresar el resultado en forma binómica.1.9 Sea z ∈ C el punto del plano z =

24+23i

10−5i+

15

i. Calcular z2/3.1.10 Calcular en el cuerpo de los números complejos

6√√

2− i√

61.11 Sean z1 y z2 las soluciones de la ecuación z2 − 2z + 5 = 0 en el cuerpo de los números complejos.Calcular 3

√z1 + z2.1.12 Demostrar que, si z1 y z2 son las soluciones complejas de la ecuación ax2 + bx + c = 0 (b2 < 4ac),

entonces z1z2

y z2z1

son números complejos conjugados de módulo 1.

Test de autoevaluación

Creemos interesante para el lector de este texto realizar el test de autoevaluación que se encuentraen la página de Moodle asociada al curso. El estudiante puede visualizar la corrección del testy recomendamos que en caso de no obtener resultados satisfactorios se practique de nuevo conlos ejercicios interactivos correspondientes a este capítulo. A continuación se muestra una de laspreguntas del test.

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números reales y...

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