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  • INSA de Rouen - MECA3 - Anne 2012-2013

    RDM : Rsistance des MatriauxSommaire1 Introduction 3

    1.1 Hypothses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Dmarche de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Calcul des forces extrieures 42.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Liaisons cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    3 Efforts intrieurs 53.1 Convention de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Relations diffrentielles pour les barres droites - Diagrammes defforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.2.1 Relations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Diagrammes defforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.3 Relations diffrentielles pour les barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4 Traction-Compression 7

    5 Flexion 85.1 Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    5.1.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.2 Moments quadratiques par rapport laxe y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    5.2 Flexion dvie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Flexion compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.4 Barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5 Sections composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    6 Cisaillement 106.1 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Cisaillement en flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    6.2.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.2 Moments statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    7 Torsion 117.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    7.1.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.1.2 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    8 Ressort hlicodal 128.1 Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Flche du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    9 Calcul des structures : Thormes nergtiques 139.1 Effort unitaire fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Rciprocit du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.3 Rciprocit des dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.4 Thorme de Mohr-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.5 Thorme de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1

  • 9.6 Mthode grapho-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.1 Enonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.2 Aires simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    10 Systmes hyperstatiques 1510.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.2 Degr dhyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.3 Mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    11 Critres de rsistance 1611.1 Quantits limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2 Critres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.3 Etats particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    12 Sollicitation par choc 1712.1 Enonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.2 Mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    13 Treillis 1813.1 Enonc du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2 Mthode usuelle de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.3 Mthode de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    14 Flambement 1914.1 Phnomne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2 Flambement lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.3 Modle complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4 Flambement et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2

  • 1 Introduction

    1.1 Hypothses fondamentalesLa Rsistance des Matriaux prend en compte les hypothses de la Mcanique des Milieux Continus et en ajoute dautres pour lasimplification du modle.

    1.1.1 Gomtrie

    On se place dans la thorie des barres : ltude porte sur des solides dformables lancs au repos

    On introduit alors la notion daxe (coordonne x) et de section normale (plan yz) pour permettre une rduction du tridimensionnelvers lunidimensionnel. Laxe va dfinir si les barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnelles)

    Selon les sollicitations, on parlera plus aisment de poutres, darbres, de tirants, de poteaux, etc.

    1.1.2 Dformations

    Hypothse de Bernoulli-Navier : Les sections planes et normales laxe avant dformation le restent aprs dformation.(Cette hypothse nest pas forcment respecte en cisaillement)

    1.1.3 Contraintes

    Hypothse de Saint-Venant : La modlisation nest valable qu une certaine distance des conditions limites de la poutre.Autrement dit, loin de tout point dapplication des forces, les efforts concernant les contraintes et les dformations produits pardeux groupes de forces quivalentes et statiques sont identiques.

    Efforts extrieurs :

    forces (unit : N) moments (unit : N.m) efforts distribus :

    linaires (unit : N.m1) surfaciques (pression, unit : N.m2) volumiques (poids propre, unit : N.m3)

    Lhypothse de Saint-Venant permet de relier une effort distribu une force statique quivalente.

    Efforts intrieurs : Lhypothse de Saint-Venant permet de sparer ce qui se passe le long de laxe et dans une certaine section, cequi introduit la notion defforts internes.

    forces/efforts axiaux/normaux : N efforts tranchants T (Ty, Tz) moment de torsion Mt moments de flexion M f (M f y, M f z)

    A chacun de ces types defforts est associ un type de sollicitation simple.

    1.1.4 Matriaux

    La Mcanique des Milieux Continus pose les hypothses suivantes :

    Conservation de la masse Conservation de la quantit de mouvement Conservation du moment cintique Petites dformations Elasticit linaire isotrope (loi de Hooke gnralise)

    3

  • 1.2 NotationsDformations spcifiques : Pour tre conforme aux covnentions internationales, on va parler de dformations spcifiques (allonge-

    ments spcifiques , glissements spcifiques ). Ladjectif "spcifique" indique le caractre adimensionnel.

    Tenseur des contraintes :

    11 12 1321 22 2331 32 33

    =1 12 1321 2 2331 32 3

    1.3 Dmarche de rsolutionLa rsolution en RDM doit toujours suivre les tapes qui suivent, si besoin est daller jusquau bout selon le problme pos. Gnrale-me