INSA ENERGETIQUE + RDM.pdf

Download INSA ENERGETIQUE + RDM.pdf

Post on 19-Oct-2015

33 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • INSA de Rouen - MECA3 - Anne 2012-2013

    RDM : Rsistance des MatriauxSommaire1 Introduction 3

    1.1 Hypothses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Dmarche de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Calcul des forces extrieures 42.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Liaisons cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    3 Efforts intrieurs 53.1 Convention de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Relations diffrentielles pour les barres droites - Diagrammes defforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.2.1 Relations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Diagrammes defforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.3 Relations diffrentielles pour les barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4 Traction-Compression 7

    5 Flexion 85.1 Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    5.1.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.2 Moments quadratiques par rapport laxe y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    5.2 Flexion dvie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Flexion compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.4 Barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5 Sections composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    6 Cisaillement 106.1 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Cisaillement en flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    6.2.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.2 Moments statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    7 Torsion 117.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    7.1.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.1.2 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    8 Ressort hlicodal 128.1 Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Flche du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    9 Calcul des structures : Thormes nergtiques 139.1 Effort unitaire fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Rciprocit du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.3 Rciprocit des dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.4 Thorme de Mohr-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.5 Thorme de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1

  • 9.6 Mthode grapho-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.1 Enonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.2 Aires simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    10 Systmes hyperstatiques 1510.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.2 Degr dhyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.3 Mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    11 Critres de rsistance 1611.1 Quantits limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2 Critres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.3 Etats particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    12 Sollicitation par choc 1712.1 Enonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.2 Mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    13 Treillis 1813.1 Enonc du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2 Mthode usuelle de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.3 Mthode de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    14 Flambement 1914.1 Phnomne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2 Flambement lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.3 Modle complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4 Flambement et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2

  • 1 Introduction

    1.1 Hypothses fondamentalesLa Rsistance des Matriaux prend en compte les hypothses de la Mcanique des Milieux Continus et en ajoute dautres pour lasimplification du modle.

    1.1.1 Gomtrie

    On se place dans la thorie des barres : ltude porte sur des solides dformables lancs au repos

    On introduit alors la notion daxe (coordonne x) et de section normale (plan yz) pour permettre une rduction du tridimensionnelvers lunidimensionnel. Laxe va dfinir si les barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnelles)

    Selon les sollicitations, on parlera plus aisment de poutres, darbres, de tirants, de poteaux, etc.

    1.1.2 Dformations

    Hypothse de Bernoulli-Navier : Les sections planes et normales laxe avant dformation le restent aprs dformation.(Cette hypothse nest pas forcment respecte en cisaillement)

    1.1.3 Contraintes

    Hypothse de Saint-Venant : La modlisation nest valable qu une certaine distance des conditions limites de la poutre.Autrement dit, loin de tout point dapplication des forces, les efforts concernant les contraintes et les dformations produits pardeux groupes de forces quivalentes et statiques sont identiques.

    Efforts extrieurs :

    forces (unit : N) moments (unit : N.m) efforts distribus :

    linaires (unit : N.m1) surfaciques (pression, unit : N.m2) volumiques (poids propre, unit : N.m3)

    Lhypothse de Saint-Venant permet de relier une effort distribu une force statique quivalente.

    Efforts intrieurs : Lhypothse de Saint-Venant permet de sparer ce qui se passe le long de laxe et dans une certaine section, cequi introduit la notion defforts internes.

    forces/efforts axiaux/normaux : N efforts tranchants T (Ty, Tz) moment de torsion Mt moments de flexion M f (M f y, M f z)

    A chacun de ces types defforts est associ un type de sollicitation simple.

    1.1.4 Matriaux

    La Mcanique des Milieux Continus pose les hypothses suivantes :

    Conservation de la masse Conservation de la quantit de mouvement Conservation du moment cintique Petites dformations Elasticit linaire isotrope (loi de Hooke gnralise)

    3

  • 1.2 NotationsDformations spcifiques : Pour tre conforme aux covnentions internationales, on va parler de dformations spcifiques (allonge-

    ments spcifiques , glissements spcifiques ). Ladjectif "spcifique" indique le caractre adimensionnel.

    Tenseur des contraintes :

    11 12 1321 22 2331 32 33

    =1 12 1321 2 2331 32 3

    1.3 Dmarche de rsolutionLa rsolution en RDM doit toujours suivre les tapes qui suivent, si besoin est daller jusquau bout selon le problme pos. Gnrale-ment, il sagit de chercher dimensionner en dterminant dabord le comportement de la barre ou en localisant ses sections dan-gereuses, l o les contraintes sont maximales.

    Etapes de rsolution :

    Bilan des forces extrieures Calcul des ractions Etude des variations des efforts intrieurs le long de laxe Calcul des dformations

    2 Calcul des forces extrieures

    2.1 Principe fondamental de la statiqueDans le cadre de la RDM, on peut aisment le problme sur une seule dimension : la barre, tridimensionnelle, devient une simpleligne sans paisseur. De mme, pour une barre courbe, labscisse curviligne s peut tre utilise en replacement de labscisse x usuelle.

    Par cette simplification, le Principe fondamental de la statique se rduit un problme plan, cest dire trois quations :

    les rsultantes verticales (suivant z dans la convention qui sera adopte par la suite) les rsultantes horizontales (suivant x) les moments dans le plan (autour de y)

    2.2 Liaisons cinmatiquesParmi toutes les liaisons existantes permettant de modliser, de situer et de calculer les ractions, on sintressera seulement aux troisprincipales, que lon retrouve sempiternellement en RDM :

    Appui simple (Ponctuelle) :

    V

    Articulation (Rotule) :

    V

    H

    Encastrement :

    V

    HM

    4

  • 3 Efforts intrieurs

    3.1 Convention de signesConsidrons une barre en quilibre statique, et une section de celle-ci :

    Pour conserver lquilibre statique sur chaque tronon, on doit dfinir les efforts intrieurs.

    x =n n x

    F

    M

    F

    M

    L o la normale sortante et laxe x ont le mme sens, cest la face positive. Sur cette face, les efforts intrieurs sont positifs silssont orients comme les axes. On retrouve le contraire sur les faces ngatives.

    G x

    z

    y

    N

    Tz

    Ty

    Mt

    M f z

    M f y

    N

    Tz

    M f yN

    TzM f y

    A gauche dune section, les efforts intrieurs vaudront la somme des forces exerces gauche, le signe dfini par la convention.A droite, on retrouve le mme fonctionnement.

    3.2 Relations diffrentielles pour les barres droites - Diagrammes defforts3.2.1 Relations diffrentielles

    Si lon considre un tronon dpaisseur dx dune barre droite subissant une force liniquef =

    p(x)q(x)r(x)

    au centre de gravit de

    chaque face, on aura :dNdx

    =p(x) dTydx

    =q(x) dTzd = r(x)

    dNdx

    =p(x) dm fydx

    = Tz(x)dm fzd =Ty(x)

    N N

    T +dT

    M+dM

    TM P

    dx

    Dans la mesure o lon simplifie la barre pour un problme plan, on ne sintressequ deux de ces relations :dTdx

    =P et dMdx

    = T en considrant P= r(x), T = Tz et M = m fy

    Une autre faon de le retenir est dassembler les deux relations :d2Mdx2

    =dTdx

    =P

    3.2.2 Diagrammes defforts

    Le diagramme defforts est une reprsentation des efforts le long de la barre considre. Elle suit la convention de signes poseprcdemment et utilise les relations diffrentielles.

    Par convention due aux relations diffrentielles, laxe positif de M est invers par rapport celui de T .

    Exemple :

    5

  • l l lP 2P

    V1 =43P V4 =

    53P

    T T43P

    13P

    53P

    M M43Pl 5

    3Pl

    3.3 Relations diffrentielles pour les barres courbesSur une barre courbe de rayon R, on considre un tronon courbe de longueur ds= Rd subissant un effort radial linique P.Suivant lintgrale curviligne, on choisit repre dans lequel appliquer le Principe fondamental de la statique.Ceci nous amne ces trois relations :

    dNd

    = TdTd

    = PRN dMds

    = TR

    On peut retrouver les relations pour une barre plane en posant R+ et d 0

    6

  • 4 Traction-Compression

    La barre va subir un effort axial N : N N

    l

    A

    Les tenseurs de contrainte et de dformation sont donc respectivement :

    =

    0 00 0 00 0 0

    et =ll

    0 0

    0 ll

    0

    0 0 ll

    avec

    =NA

    l =NlEA

    7

  • 5 Flexion

    5.1 Flexion pure5.1.1 Contraintes

    Contrainte normale : M fy = =M fy z

    Iydans la section considre.

    Contrainte tangentielle : Tz = 0 = = 0

    y

    z

    La contrainte maximale est atteinte lune des extrmits.

    Elle prend la forme max =M fyWy

    avec Wy =Iyzmax

    le module de rsistance en flexion.

    5.1.2 Moments quadratiques par rapport laxe y

    Iy est le moment quadratique par rapport laxe y de la section. Comme la section est dpaisseur nulle, il prend la forme :

    Iy =A

    z2dA

    Rectangle : Iy =bh3

    12 b

    h Cercle : Iy =pid4

    64d

    Dans le cas de sections composes (forme complexe), il suffit de calculer le moment quadratique dans chaque section simple etde sommer lensemble par le thorme de Huygens :

    IAy = IBy+A(zB zA)2

    On prendra alors pour A et B les centres de gravit respectifs.

    5.2 Flexion dvieLa flexion nest pas uniquement suivant y ou z. Cette sollicitation se dcompose alors en deux sollicitations simples M fy et M fz .

    y

    z

    On a =M fy z

    Iy M fz y

    Iz

    Pour un cercle, on aura simplement =M f r

    I

    5.3 Flexion compose

    A la flexion dvie sajoute la contrainte normale, on a alors dans le cas le plus gnral : =NA+M fy z

    Iy M fz y

    Iz

    5.4 Barres courbesLaxe neutre ne passe plus par le centre de gravit et se trouve une excentration e. La distribution des contraintes sur la section nestplus une distribution linaire.

    On considre que le centre de gravit se trouve la distance R du centre de courbure et laxe neutre la distance r = R eLa position de la fibre neutre en N ( = 0) suivant z dans la section est donne par :

    A

    zr zdA= 0 = e

    IGAR

    La contrainte devient alors (z) =M fyA e

    zr z centre sur laxe neutre.

    8

  • 5.5 Sections compositesSi la section est compose de deux matriaux de sections et de modules respectifs A1,E1 et A2,E2, on aura des contraintes diffrentesdans chaque matriau.

    La position de laxe neutre est donne par zN =A1z1E1+A2z2E2A1E1+A2E2

    avec z1 et z2 le...

Recommended

View more >